جميع الكتب

مهني

1 Markets I: The Ecosystem and Exchange-Traded Marketsالأسواق عبر الإنترنتالإنجليزية 2 Markets II: Rates, FX and Creditالأسواق عبر الإنترنتالإنجليزية 3 Markets III: Commodities, Energy and Cryptoالأسواق عبر الإنترنتالإنجليزية 4 Quantitative Methodsالأساليب عبر الإنترنتالإنجليزية 5 Derivatives and Volatilityالمشتقات عبر الإنترنتالإنجليزية 6 Rates, Credit, XVA and Riskالفائدة والائتمان والمخاطر عبر الإنترنتالإنجليزية 7 Research Craft: Predictors, Backtests, Measurement, Portfoliosالبحث عبر الإنترنتالإنجليزية 8 Strategies I: Equities and Futuresالاستراتيجيات عبر الإنترنتالإنجليزية 9 Strategies II: Volatility, Relative Value, Macro and the Bank Desksالاستراتيجيات عبر الإنترنتالإنجليزية 10 Microstructure and Executionالتنفيذ عبر الإنترنتالإنجليزية 11 Market Making and High-Frequency Tradingصناعة السوق عبر الإنترنتالإنجليزية 12 Machine Learning for Marketsتعلم الآلة عبر الإنترنتالإنجليزية 13 Low-Latency Softwareالتكنولوجيا عبر الإنترنتالإنجليزية 14 Networks, Hardware and Trading Infrastructureالتكنولوجيا عبر الإنترنتالإنجليزية 15 Research, Data and Risk Platformsالتكنولوجيا عبر الإنترنتالإنجليزية 16 The Desk and the Firmالشركة عبر الإنترنتالإنجليزية 17 The Industry: Firms, Roles and Careersالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية 18 Interviews I: Maths, Probability and Speedالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية 19 Interviews II: Markets, Trading Games and the Final Roundالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية 20 Interviews III: Codeالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية
التطبيقات حول المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى طول قوس؟

يُعرف أيضًا باسم: طول القوس

تعريف 24.9 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 24 — المنحنيات المستوية

طول قوس من الصنف C1C^1 f ⁣:[a, b]→R2f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2 هو تكامل السرعة:

L=∫ab∥f′(t)∥  ⁣dt=∫abx′(t)2+y′(t)2   ⁣dt.L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(والتحفيز: على فترة صغيرة، M(t+h)≈M(t)+hf′(t)M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)، ومنه فالقوس قريب من مضلع تُجمع أطوال قطعه لتعطي مجموع ريمان للمقدار ∥f′∥\norm{f'}، المبرهنة 15.20.) ومن أجل منحن قطبي r=r(θ)r = r(\theta)، يكون للسرعة r′u⃗+rv⃗r'\vec u + r\vec v مركّبتان متعامدتان، ومنه

L=∫θ1θ2r′(θ)2+r(θ)2   ⁣dθ.L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

ولا يتعلق الطول بالتعليم المختار (الرتيب، من الصنف C1C^1): إذ إن التعويض t=φ(s)t = \varphi(s) في التكامل (المبرهنة 15.15) يضرب f′f' في φ′\varphi' و  ⁣dt\dd t في φ′−1\varphi'^{-1}.

قوس واحد من الدويرية (بنصف قطر R = 1)، والدائرة المتدحرجة عند t = 2، ومستقيما الإرشاد في مسألة نهاية الأسبوع: فالوتر MC إلى نقطة التماس ناظم على المنحني، والوتر MT إلى قمة الدائرة مماس.
قوس واحد من الدويرية (بنصف قطر R=1R = 1)، والدائرة المتدحرجة عند t=2t = 2، ومستقيما الإرشاد في مسألة نهاية الأسبوع: فالوتر MCMC إلى نقطة التماس ناظم على المنحني، والوتر MTMT إلى قمة الدائرة مماس.

أمثلة

مثال 24.10 (تحقق من السلامة: الدائرة)

من أجل f(t)=(Rcos⁡t,Rsin⁡t)f(t) = (R\cos t, R\sin t) على [0, 2π]\intcc{0}{2\pi}: ∥f′∥=R\norm{f'} = R، ومنه L=2πRL = 2\pi R — فيعيد التعريف المحيط. واختبار إعادة التعليم: يرسم التطبيق g(t)=(Rcos⁡2t,Rsin⁡2t)g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t) على [0, π]\intcc{0}{\pi} الدائرةَ نفسها بسرعة مضاعفة ∥g′∥=2R\norm{g'} = 2R، و

∫0π2R  ⁣dt=2πR\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

مرة أخرى: نصف الزمن وضِعف السرعة والطول نفسه — وهو الحفظ الموعود به في التعريف، مراقَبًا مرة على أعداد. (وتشغيل gg على [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} كله سيعطي 4πR4\pi R: فالمنحني المقطوع مرتين أطول مرتين بوصفه رحلة؛ فالطول يقيس المسار المعلَّم، ومسك الدفاتر الأمين للفترة جزء من الحساب.) ومن أجل النجمية (cos⁡3t,sin⁡3t)(\cos^3t, \sin^3t): ∥f′∥=3∣sin⁡tcos⁡t∣=32∣sin⁡2t∣\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}، وبالتناظر L=4∫0π/232sin⁡2t  ⁣dt=6L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6: أي منحني مرسوم داخل الدائرة الواحدية، طوله 6<2π6 < 2\pi. وتقيس مسألة نهاية الأسبوع أشهر قوس على الإطلاق.

اقرأ في الفصل ←

مصطلحات ذات صلة