حول GitHub المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى طول قوس؟

يُعرف أيضًا باسم: طول القوس

تعريف 24.9 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 24 — المنحنيات المستوية

طول قوس من الصنف C1C^1 f ⁣:[a, b]→R2f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2 هو تكامل السرعة:

L=∫ab∥f′(t)∥  ⁣dt=∫abx′(t)2+y′(t)2   ⁣dt.L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(والتحفيز: على فترة صغيرة، M(t+h)≈M(t)+hf′(t)M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)، ومنه فالقوس قريب من مضلع تُجمع أطوال قطعه لتعطي مجموع ريمان للمقدار ∥f′∥\norm{f'}، المبرهنة 15.20.) ومن أجل منحن قطبي r=r(θ)r = r(\theta)، يكون للسرعة r′u⃗+rv⃗r'\vec u + r\vec v مركّبتان متعامدتان، ومنه

L=∫θ1θ2r′(θ)2+r(θ)2   ⁣dθ.L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

ولا يتعلق الطول بالتعليم المختار (الرتيب، من الصنف C1C^1): إذ إن التعويض t=φ(s)t = \varphi(s) في التكامل (المبرهنة 15.15) يضرب f′f' في φ′\varphi' و  ⁣dt\dd t في φ′−1\varphi'^{-1}.

قوس واحد من الدويرية (بنصف قطر R = 1)، والدائرة المتدحرجة عند t = 2، ومستقيما الإرشاد في مسألة نهاية الأسبوع: فالوتر MC إلى نقطة التماس ناظم على المنحني، والوتر MT إلى قمة الدائرة مماس.
قوس واحد من الدويرية (بنصف قطر R=1R = 1)، والدائرة المتدحرجة عند t=2t = 2، ومستقيما الإرشاد في مسألة نهاية الأسبوع: فالوتر MCMC إلى نقطة التماس ناظم على المنحني، والوتر MTMT إلى قمة الدائرة مماس.

أمثلة

مثال 24.10 (تحقق من السلامة: الدائرة)

من أجل f(t)=(Rcos⁡t,Rsin⁡t)f(t) = (R\cos t, R\sin t) على [0, 2π]\intcc{0}{2\pi}: ∥f′∥=R\norm{f'} = R، ومنه L=2πRL = 2\pi R — فيعيد التعريف المحيط. واختبار إعادة التعليم: يرسم التطبيق g(t)=(Rcos⁡2t,Rsin⁡2t)g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t) على [0, π]\intcc{0}{\pi} الدائرةَ نفسها بسرعة مضاعفة ∥g′∥=2R\norm{g'} = 2R، و

∫0π2R  ⁣dt=2πR\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

مرة أخرى: نصف الزمن وضِعف السرعة والطول نفسه — وهو الحفظ الموعود به في التعريف، مراقَبًا مرة على أعداد. (وتشغيل gg على [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} كله سيعطي 4πR4\pi R: فالمنحني المقطوع مرتين أطول مرتين بوصفه رحلة؛ فالطول يقيس المسار المعلَّم، ومسك الدفاتر الأمين للفترة جزء من الحساب.) ومن أجل النجمية (cos⁡3t,sin⁡3t)(\cos^3t, \sin^3t): ∥f′∥=3∣sin⁡tcos⁡t∣=32∣sin⁡2t∣\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}، وبالتناظر L=4∫0π/232sin⁡2t  ⁣dt=6L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6: أي منحني مرسوم داخل الدائرة الواحدية، طوله 6<2π6 < 2\pi. وتقيس مسألة نهاية الأسبوع أشهر قوس على الإطلاق.

اقرأ في الفصل ←

مصطلحات ذات صلة