Apa itu keluarga ortonormal?

Contoh 23.7 (Koordinat ortonormal, dengan periksa Parseval)

Jabarkanlah $x = (1, 2, 3)$ pada basis ortonormal Latihan 23.3,

Tak ada sistem yang perlu dipecahkan — hanya tiga hasil kali dalam:

Pengesahannya lewat rumus norma pada proposisinya:

Periksa jumlah kuadrat koordinat ini (yaitu kesamaan Parseval yang hingga) berongkos beberapa detik dan menangkap galat tanda dan penormalan nyaris pasti — jadikanlah ia kebiasaan kapan pun sebuah penjabaran ortonormal dihitung; adapun versi berdimensi takhingganya, bagi koefisien Fourier pada Contoh 23.14, merupakan teorema jilid Tahun 3.

Contoh 23.9 (Gram–Schmidt pada polinomial, selengkapnya)

Ortonormalkanlah $(1, X, X^2)$ di dalam $\R_2[X]$ dengan $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$. Langkah 1: $\norm{1}^2 = 1$, sehingga $e_1 = 1$. Langkah 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$, dan $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$: jadi $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$. Langkah 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ dan

Normanya dihitung pada Latihan 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$, dan dari situlah $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$. Adapun polinomial $1$, $X - \frac12$, $X^2 - X + \frac16$ merupakan, sampai skalanya, polinomial Legendre yang pertama pada selang $\intcc{0}{1}$; dan konstruksinya berlanjut satu derajat setiap kali, dengan setiap polinomial barunya ortogonal terhadap semua pendahulunya. Perhatikanlah bagaimana algoritmanya mendaur ulang kerja terdahulunya: proyeksi yang dikurangkan pada langkah 3 tepat merupakan hampiran afin terbaik atas $X^2$ yang ditemukan pada Contoh 23.12 — jadi Gram–Schmidt adalah proyeksi ortogonal yang berulang.

Contoh 23.11 (Proyeksi tak pernah memanjangkan)

Menerapkan Pythagoras pada pembelahan $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$:

dengan kesamaannya jika dan hanya jika $x \in F$. Pada basis ortonormal $(e_1, \dots, e_k)$ pada $F$ ini terbaca $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (yaitu ketaksamaan Bessel): sebanyak apa pun arah ortonormal yang diukur orang, kuadrat koordinatnya tak pernah melampaui kuadrat panjangnya — bandingkanlah kesamaan persis pada Contoh 23.7 ketika keluarganya basis penuh. Ketaksamaan sebaris inilah yang membuat koefisien Fourier terjumlahkan pada jilid Tahun 3; sedangkan di sini ia sudah menjelaskan mengapa menambahkan lebih banyak fungsi basis pada suatu pencocokan kuadrat terkecil hanya dapat mengurangi sisaannya.