¿Qué es Longitud de un arco? — Matemáticas

Definición 24.9 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 24 — Curvas planas

La longitud de un arco de clase $C^1$ $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ es la integral de la rapidez:

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Motivación: en un intervalo pequeño, $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , de modo que el arco está próximo a una poligonal cuyas longitudes de segmento suman una suma de Riemann de $\norm{f'}$ , Teorema 15.20.) Para una curva polar $r = r(\theta)$ , la velocidad $r'\vec u + r\vec v$ tiene componentes ortogonales, luego

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

La longitud no depende de la parametrización elegida (monótona y de clase $C^1$ ): sustituir $t = \varphi(s)$ en la integral (Teorema 15.15) multiplica $f'$ por $\varphi'$ y $\dd t$ por $\varphi'^{-1}$ .

Un arco de la cicloide (de radio R = 1), el círculo rodante en t = 2 y las dos rectas guía del problema del fin de semana: la cuerda MC al punto de contacto es normal a la curva, y la cuerda MT a lo alto del círculo es tangente. — Un arco de la cicloide (de radio $R = 1$ ), el círculo rodante en $t = 2$ y las dos rectas guía del problema del fin de semana: la cuerda $MC$ al punto de contacto es *normal* a la curva, y la cuerda $MT$ a lo alto del círculo es *tangente*.

Ejemplos

Ejemplo 24.10 (Comprobación de coherencia: el círculo)

Para $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ en $\intcc{0}{2\pi}$ : $\norm{f'} = R$ , luego $L = 2\pi R$ — la definición devuelve la circunferencia. Prueba de reparametrización: la aplicación $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ en $\intcc{0}{\pi}$ dibuja el mismo círculo al doble de rapidez $\norm{g'} = 2R$ , y

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

otra vez: la mitad de tiempo, el doble de rapidez, la misma longitud — la invariancia prometida en la definición, vista una vez sobre números. (Ejecutar $g$ en todo $\intcc{0}{2\pi}$ daría $4\pi R$ : una curva recorrida dos veces es dos veces más larga como trayecto; la longitud mide el camino parametrizado, y llevar bien la cuenta del intervalo es parte del cálculo.) Para la astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ y, por simetría, $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : una curva dibujada dentro del círculo unidad, de longitud $6 < 2\pi$ . El problema del fin de semana mide el arco más famoso de todos.

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