Permukaan terparameter yang regular কী?

Contoh 19.2 (Tiga pemerian yang baku)

1. Grafik: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ untuk $f \in \mathcal{C}^1(U)$. Selalu regular: sebab $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ dan $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ bersifat bebas.

2. Bola (dalam koordinat bola): untuk bola berjari-jari $R$,

   $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$

   dengan $\theta$ menyatakan bujurnya dan $\varphi$ lintangnya. Kita memeriksa $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$: jadi regular jauh dari kutubnya (yang dihilangkan bagan ini).

3. Himpunan aras: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ dengan $f$ bersifat $\mathcal{C}^1$ dan $\nabla f \neq 0$ pada $S$. Di dekat tiap titiknya, satu koordinatnya dapat dinyatakan sebagai fungsi dua lainnya lewat teorema fungsi implisit (Bab 15), jadi $S$ secara lokal berupa grafik.

Contoh 19.3 (Dari himpunan aras ke grafik)

Teorema fungsi implisit pada butir 3 pantas dijalankan sekali secara gamblang. Ambillah bola $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ di dekat kutub utaranya $(0, 0, R)$: di sana $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$, jadi menyelesaikannya untuk $z$ memberi bagan grafiknya

yang regular di mana-mana pada daerah (terbuka) definisinya — termasuk di kutub yang dilewatkan bagan bolanya. Adapun di dekat titik khatulistiwa seperti $(R, 0, 0)$ teorema yang sama menyelesaikannya untuk $x$ (sebab $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$). Jadi patokan praktisnya: sebuah permukaan aras berupa grafik di atas bidang koordinat yang ortogonal terhadap komponen gradien terbesarnya, dan dengan meliputi bolanya lewat enam bagan grafik semacam itu kita memeriksa kemulusannya di mana-mana tanpa trigonometri sama sekali.