Matematika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

19Permukaan

Setelah kurva, kini permukaan: yakni objek berparameter dua di $\R^3$ . Adapun kalkulus diferensial pada Bab 15 menyediakan segala yang kita perlukan — sebab turunan parsial memberi vektor singgung, hasil kali silang memberi normalnya, dan determinan memberi luasnya. Kita mendefinisikan permukaan terparameter yang regular, bidang singgungnya, dan bentuk fundamental pertama, yang menyandikan semua pengukuran panjang dan luas pada permukaannya. Permukaan juga muncul sebagai himpunan aras $f(x, y, z) = c$ ; dan gradiennya lalu mengarahkan normalnya.

19.1 Permukaan terparameter

Definisi 19.1 (Permukaan terparameter yang regular)

Misalkan $U \subseteq \R^2$ terbuka. Sebuah permukaan terparameter berkelas $\mathcal{C}^k$ (dengan $k \geq 1$ ) adalah pemetaan $\sigma \colon U \to \R^3$ , $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$ , yang berkelas $\mathcal{C}^k$ . Sebuah titik disebut regular bila vektor turunan parsialnya

\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v), \qquad \sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)

bebas linear, yakni $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$ ; dan permukaannya disebut regular bila setiap titiknya demikian.

Contoh 19.2 (Tiga pemerian yang baku)

Grafik: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ untuk $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Selalu regular: sebab $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ dan $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ bersifat bebas.
Bola (dalam koordinat bola): untuk bola berjari-jari $R$ ,

$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$

dengan $\theta$ menyatakan bujurnya dan $\varphi$ lintangnya. Kita memeriksa $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : jadi regular jauh dari kutubnya (yang dihilangkan bagan ini).
Himpunan aras: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ dengan $f$ bersifat $\mathcal{C}^1$ dan $\nabla f \neq 0$ pada $S$ . Di dekat tiap titiknya, satu koordinatnya dapat dinyatakan sebagai fungsi dua lainnya lewat teorema fungsi implisit (Bab 15), jadi $S$ secara lokal berupa grafik.

Contoh 19.3 (Dari himpunan aras ke grafik)

Teorema fungsi implisit pada butir 3 pantas dijalankan sekali secara gamblang. Ambillah bola $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ di dekat kutub utaranya $(0, 0, R)$ : di sana $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$ , jadi menyelesaikannya untuk $z$ memberi bagan grafiknya

z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}, \qquad x^2 + y^2 < R^2 ,

yang regular di mana-mana pada daerah (terbuka) definisinya — termasuk di kutub yang dilewatkan bagan bolanya. Adapun di dekat titik khatulistiwa seperti $(R, 0, 0)$ teorema yang sama menyelesaikannya untuk $x$ (sebab $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$ ). Jadi patokan praktisnya: sebuah permukaan aras berupa grafik di atas bidang koordinat yang ortogonal terhadap komponen gradien terbesarnya, dan dengan meliputi bolanya lewat enam bagan grafik semacam itu kita memeriksa kemulusannya di mana-mana tanpa trigonometri sama sekali.

19.2 Bidang singgung dan normalnya

Definisi 19.4 (Bidang singgung)

Misalkan $\sigma$ regular di $(u_0, v_0)$ , dengan $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . Adapun bidang singgung $T_{M_0}S$ adalah bidang lewat $M_0$ yang diarahkan $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (dengan turunan parsialnya di $(u_0, v_0)$ ). Sedangkan normal satuannya adalah

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

Proposisi 19.5 (Vektor singgung itu vektor kecepatan)

Arah $T_{M_0}S$ persis merupakan himpunan vektor $\gamma'(0)$ , dengan $\gamma = \sigma \circ c$ menjelajahi kurva $\mathcal{C}^1$ yang digambar pada permukaannya lewat $M_0$ (yakni $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ bersifat $\mathcal{C}^1$ dengan $c(0) = (u_0, v_0)$ ).

Bukti. Bila $c(t) = (u(t), v(t))$ , maka aturan rantai (Bab 15) memberi

\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v \in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).

Sebaliknya, vektor $a\sigma_u + b\sigma_v$ dicapai oleh kurva $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$ , yang tinggal di himpunan terbuka $U$ untuk $\abs t$ yang kecil. ∎

Contoh 19.6 (Bidang singgung helikoidnya)

Untuk helikoid $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , di titik $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

jadi bidang singgungnya adalah $a\,y = z$ . Ia memuat seluruh garis pembangun mendatarnya $\{(t, 0, 0)\}$ (yakni arah $\sigma_v$ ): sebab seperti pada kerucut Latihan 19.1, permukaan yang dibangun garis lurus punya tiap garis pembangunnya terletak di dalam bidang singgung sepanjangnya. Adapun arah singgung lainnya $\sigma_u$ adalah kecepatan heliks $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : jadi satu bagan, dua kurva tergambar, dan seluruh bidang singgungnya terentang — yakni Proposisi 19.5 yang beraksi.

Proposisi 19.7 (Normal sebuah permukaan aras)

Misalkan $S = \{f = c\}$ dengan $f$ berkelas $\mathcal{C}^1$ dan $\nabla f(M_0) \neq 0$ . Maka bidang singgung $S$ di $M_0$ adalah bidang lewat $M_0$ yang ortogonal terhadap $\nabla f(M_0)$ :

T_{M_0}S :\quad \langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .

Bukti. Untuk sembarang kurva $\gamma$ yang digambar pada $S$ lewat $M_0$ , berlaku $f(\gamma(t)) = c$ secara identik, jadi aturan rantainya memberi $\langle \nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$ : sehingga semua vektor kecepatannya ortogonal terhadap gradiennya, jadi arah singgungnya termuat di bidang $\nabla f(M_0)^\perp$ . Keduanya subruang berdimensi $2$ — yakni arah singgungnya karena $S$ secara lokal berupa grafik yang regular (Contoh 19.2), dan komplemen ortogonalnya karena $\nabla f(M_0) \neq 0$ — sehingga keduanya sama. ∎

Contoh 19.8

Untuk bola $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : berlaku $\nabla f = 2(x, y, z)$ , jadi bidang singgung di $M_0$ ortogonal terhadap jari-jari $\vect{OM_0}$ — yakni fakta klasik bahwa jari-jari dan bidang singgungnya saling tegak lurus, dengan persamaan $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

Contoh 19.9 (Bidang singgung sebuah grafik)

Untuk $z = f(x, y)$ di $(x_0, y_0)$ : dengan menerapkan Proposisi 19.7 pada $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ,

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

yakni bagian afin uraian Taylor orde pertamanya — jadi bidang singgungnya adalah grafik diferensialnya, sebagaimana mestinya.

Contoh 19.10 (Titik terdekat sebuah permukaan)

Titik manakah pada paraboloid $z = x^2 + y^2$ yang terdekat ke $P = (0, 0, 1)$ ? Minimumkanlah kuadrat jaraknya sepanjang permukaannya: dengan $\rho^2 = x^2 + y^2$ ,

g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2, \qquad g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0 \iff \rho^2 = \tfrac12 ,

yang memberi lingkaran titik pada ketinggian $z = \frac12$ dan berjarak $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$ . Adapun tanda geometris keminimalannya: di titik $M$ semacam itu, vektor $\vect{MP}$ mestilah normal terhadap permukaannya — sebab kalau tidak, meluncur sepanjang kurva tergambar yang kecepatannya punya komponen ke arah $P$ akan mengecilkan jaraknya. Periksa: $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ di $M = (x, y, \tfrac12)$ , sedangkan $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) = \tfrac12(-2x, -2y, 1)$ : jadi sejajar, seperti diramalkan. Adapun syarat orde pertama “kaki garis tegak lurusnya” sama dengan yang kelak menggerakkan ekstremum pada himpunan aras di Latihan 19.12.

Contoh 19.11 (Bidang singgung kuadrik: aturan polarisasi)

Misalkan $S : xy + yz + zx = 1$ dan $M_0 = (1, 1, 0) \in S$ . Di sini $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$ , jadi $\nabla f(M_0) = (1, 1, 2)$ dan bidang singgungnya adalah

(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0, \qquad\text{yakni}\qquad x + y + 2z = 2 .

Jawaban yang sama datang dari aturan polarisasi yang menyamaratakan Contoh 19.8 dan Latihan 19.2: pada persamaan kuadriknya, gantilah $x^2$ dengan $x_0x$ , dan tiap hasil kali $xy$ dengan $\frac{x_0y + y_0x}2$ (dan secara siklik):

\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x + x_0z}2 = 1 \;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\; \frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,

yang kembali menjadi $x + y + 2z = 2$ . Aturannya berhasil karena $\nabla$ sebuah bentuk kuadratik adalah bentuk bilinear yang bersesuaian yang dinilai terhadap titik pangkalnya — jadi kesinggungan pada kuadrik adalah polarisasi, yakni satu wajah lagi Bab 12.

19.3 Bentuk fundamental pertama

Definisi 19.12 (Bentuk fundamental pertama)

Misalkan $\sigma \colon U \to \R^3$ permukaan $\mathcal{C}^1$ yang regular. Adapun bentuk fundamental pertamanya di $(u,v)$ adalah bentuk kuadratik definit positif pada $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

dengan

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

Catatan 19.13

Bentuk $I$ adalah pembatasan hasil kali skalar Euklides ruang lingkupnya ke bidang singgungnya, yang dibaca dalam basis $(\sigma_u, \sigma_v)$ : jadi ia definit positif persis karena $\sigma_u, \sigma_v$ bersifat bebas (Bab 12). Adapun setiap besaran metrik pada permukaannya — yakni panjang kurva tergambar, sudut antar keduanya, luas — dihitung dari $E, F, G$ belaka. Jadi dua permukaan dengan $E, F, G$ yang sama dalam parameter yang sesuai bersifat isometrik walaupun keduanya duduk berbeda di ruangnya: dan inilah titik tolak geometri yang hakiki.

Contoh 19.14 (Sudut antar kurva koordinat)

Bentuk fundamental pertamanya juga mengukur sudut: sebab kurva koordinat $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ dan $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ bertemu pada sudut $\theta$ dengan

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

jadi satu koefisien $F$ belaka yang memutuskan keortogonalan jaring parameternya. Untuk bagan bola dan helikoidnya, $F = 0$ : sehingga meridiannya memotong paralelnya, dan heliksnya memotong garis pembangun mendatarnya, secara siku-siku — dan itulah sebabnya integran luasnya runtuh menjadi $\sqrt{EG}$ . Sedangkan untuk bagan grafik, $F = f_xf_y$ hanya lenyap di tempat sebuah turunan parsialnya lenyap: jadi jaring koordinat sebuah grafik yang miring tak ortogonal, walaupun jaring $(x, y)$ di bawahnya ortogonal. Jadi ketika perhitungan pada sebuah permukaan tampak berat, langkah pertamanya adalah mencari bagan dengan $F = 0$ .

Contoh 19.15 (Bagan pelananya)

Untuk pelana $z = xy$ dengan bagan $\sigma(u, v) = (u, v, uv)$ :

\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u), \qquad E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,

dan $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$ : jadi regular di mana-mana. Adapun kedua kurva koordinat lewat sebuah titik berupa garis lurus $\R^3$ (bekukan $u$ atau bekukan $v$ : yakni garis pembangun pelana yang berpembangun ganda), namun $F \neq 0$ di luar sumbunya: jadi garis pembangun lewat titik generik tak ortogonal. Kedua garis pembangunnya terletak di bidang singgungnya, yang mereka rentang — jadi bidang singgungnya memotong permukaannya sepanjang dua garis penuh, yakni lawan ekstrem bolanya, yang bidang singgungnya menyentuh di satu titik belaka. Adapun tanda “sentuhan orde dua” antara sebuah permukaan dan bidang singgungnya merupakan cerita kelengkungan, yang diangkat pada jilid Tahun ke-3.

Proposisi 19.16 (Panjang kurva yang digambar pada sebuah permukaan)

Bila $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ dengan $t \in [a, b]$ bersifat $\mathcal{C}^1$ , maka

L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,

dengan $E, F, G$ dinilai di $(u(t), v(t))$ .

Bukti. Berlaku $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ menurut aturan rantai, jadi $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$ ; lalu integralkan $\norm{\gamma'}$ (Definisi 18.6). ∎

Contoh 19.17 (Mengapa pesawat terbang melintasi kutub)

Dua bandara terletak pada lintang $\varphi_0$ dan bujur yang berlawanan: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ dan $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ pada bola berjari-jari $R$ . Sepanjang paralelnya (dengan $\varphi \equiv \varphi_0$ ), panjangnya adalah $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . Sedangkan sepanjang rute lewat kutubnya (naik di meridian $\theta = 0$ , lalu turun di meridian $\theta = \pi$ ), panjangnya $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . Pada lintang $\varphi_0 = \frac\pi3$ (yakni enam puluh derajat): rute paralelnya $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , sedangkan rute kutubnya $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — jadi sepertiga lebih pendek. Bahkan $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ pada $\intcc0{\pi/2}$ (sebab fungsi $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ lenyap di kedua ujungnya dan turunannya $2 - \pi\sin\varphi$ berganti tanda sekali, jadi ia mula-mula naik lalu turun, sehingga taknegatif): jadi rute kutubnya tak pernah kalah. Bentuk fundamental pertamanya mengubah pertanyaan navigasi menjadi dua integral satu baris; dan Latihan 19.6 mendorong gagasannya sampai ke bukti keminimalan yang sejati bagi meridiannya.

Lema 19.18 (Kesamaan Lagrange)

Untuk setiap $a, b \in \R^3$ : $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$ . Khususnya

\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.

Bukti. Kedua ruasnya tak berubah bila kita mengganti $b$ dengan komponennya $b_\perp = b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ yang ortogonal terhadap $a$ (untuk $a \neq 0$ ; sedangkan kasus $a = 0$ trivial): ruas kirinya karena $a \wedge a = 0$ , dan ruas kanannya dengan menguraikan $\norm {b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ beserta $\langle a, b_\perp\rangle = 0$ . Jadi cukuplah membuktikan kesamaannya untuk $a, b$ yang ortogonal, tempat ia berbunyi $\norm{a \wedge b} = \norm a \norm b$ : yang benar, sebab untuk vektor yang ortogonal hasil kali silangnya bernorma $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$ . Adapun rumus pada displainya adalah kasus $a = \sigma_u$ dan $b = \sigma_v$ . ∎

Catatan 19.19

Kesamaan Lagrange mengatakan bahwa $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix} E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ merupakan determinan Gram bagi $(\sigma_u, \sigma_v)$ : yakni kuadrat luas jajaran genjang yang mereka rentang. Jadi keregularannya, kedefinitan positif bentuk fundamental pertamanya, dan kepositifan determinan Gramnya adalah tiga ungkapan bagi satu syarat — dan itulah sebabnya integran luas di bawah tak pernah lenyap pada bagan yang regular.

Definisi 19.20 (Luas)

Misalkan $\sigma \colon U \to \R^3$ permukaan $\mathcal{C}^1$ yang regular dan injektif, serta $K \subseteq U$ daerah kompak yang di atasnya integral lipat bermakna (Bab 20). Adapun luas keping $\sigma(K)$ adalah

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

Catatan 19.21 (Mengapa rumus ini)

Persegi panjang $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ terpetakan, hingga orde pertama, ke jajaran genjang yang direntang $\sigma_u\,\dd u$ dan $\sigma_v\,\dd v$ , yang berluas $\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ : jadi definisinya mengintegralkan faktor pemuaian luas lokalnya, persis seperti panjang busur yang mengintegralkan kelajuan lokalnya. Adapun kekonsistenannya dengan penggantian parameter adalah Latihan 19.8; sedangkan kekonsistenannya dengan rumus penggantian peubah bagi integral lipat dibahas pada Bab 20.

Contoh 19.22 (Dua grafik berbeda, satu luas)

Di atas cakram satuannya, bandingkanlah mangkuk $z = \frac12(x^2 + y^2)$ dan pelana $z = xy$ . Adapun integran luasnya (Latihan 19.5) adalah

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{dan}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

yang identik. Jadi kedua permukaannya — yang satu melengkung ke arah yang sama di segala arah, yang lain berbentuk pelana — berluas persis sama di atas setiap daerahnya, yakni $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ di atas cakram satuannya. Sebab unsur luasnya hanya melihat panjang gradiennya, bukan penataan pembengkokannya; jadi membedakan mangkuknya dari pelananya menuntut data orde dua (yakni struktur tanda yang dipamerkan pada Gambar 19.1), yang tak terdeteksi oleh pengukuran luas seberapa pun banyaknya. Jadi bentuk fundamental pertama itu metrik dan buta terhadap bentuknya; sedangkan bentuk kedua yang melihat bentuknya adalah milik Tahun ke-3.

Contoh 19.23 (Luas bolanya)

Untuk bagan bola pada Contoh 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

jadi $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ dan $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . Karena itu

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Contoh 19.24 (Kerucutnya, diperiksa terhadap rumus sekolah)

Untuk kerucut $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ di atas anulus $a \leq \rho \leq b$ , rumus grafik pada Latihan 19.5 memberi $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (sebab $f_x = x/\rho$ dan $f_y = y/\rho$ ), jadi

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Adapun pemeriksaan kekonsistenannya dengan rumus tinggi miring $\pi\rho\ell$ pada Contoh 19.26: kerucut penuh yang berjari-jari alas $b$ dan $a$ punya luas selimut $\pi b\cdot b\sqrt2$ dan $\pi a\cdot a\sqrt2$ , yang selisihnya persis $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . Jadi dua bagan, dua rumus, satu luas — yakni keinvarianan yang dibuktikan pada Latihan 19.8, yang terlihat di alam liar.

Catatan 19.25 (Pemeriksaan kewarasan bagi luas)

Tiga pemeriksaan seketika menangkap sebagian besar kesalahan pada perhitungan luas. Penskalaan: memuaikan sebuah permukaan sebesar $\lambda$ mengalikan $E, F, G$ dengan $\lambda^2$ dan luasnya dengan $\lambda^2$ — jadi jawaban yang kebergantungannya pada $R$ tak kuadratik (seperti $4\pi R^2$ ) pastilah salah. Kepositifan unsurnya: $\sqrt{EG - F^2}$ mestilah positif tegas pada interior bagannya; jadi nilai yang lenyap menandai kemerosotan bagannya, yang harus dipangkas seperti pada kutub bolanya. Kesimetrian: sebuah perhitungan atas keping yang simetris mestilah konsisten dengan menjumlahkan bagian kongruennya — jadi setengah bolanya sebaiknya memberi $2\pi R^2$ .

Contoh 19.26 (Permukaan putaran)

Putarlah kurva $z \mapsto (r(z), 0, z)$ dengan $r > 0$ berkelas $\mathcal{C}^1$ , mengelilingi sumbu- $z$ :

\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).

Maka $E = r(z)^2$ , $F = 0$ , $G = 1 + r'(z)^2$ , jadi

\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi} r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z = 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,

yakni rumus klasiknya (yaitu keliling $2\pi r$ dikali unsur panjang miringnya). Untuk kerucut $r(z) = kz$ dengan $z \in [0, h]$ : berlaku $\mathcal A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ dengan $\rho = kh$ menyatakan jari-jari alasnya dan $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ tinggi miringnya — yakni rumus sekolahnya, yang kini diturunkan alih-alih diterima saja.

Contoh 19.27 (Katenoidnya)

Putarlah katenari $r(z) = \cosh z$ dengan $z \in \intcc{-1}{1}$ mengelilingi sumbunya: maka katenoid hasilnya punya, menurut rumus putarannya dan $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$ ,

\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\, \dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z = \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},

yakni

\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .

Faktor miringnya $\sqrt{1 + r'^2}$ melebur dengan jari-jarinya menjadi kuadrat sempurna — yakni kesamaan yang sama yang membuat panjang busur katenari menjadi dasar pada bab kurva. Ini bukan kebetulan aljabar: sebab di antara semua permukaan putaran yang merentang kedua lingkaran perbatasannya, katenoidnya meminimumkan luasnya (yakni bentuk selaput sabun di antara dua cincin), dan sifat variasional inilah yang persis menyendirikan $\cosh$ ; adapun jilid Tahun ke-3 membuktikannya lewat kalkulus variasi.

Pelana z = x2 - y2 di dekat titik asalnya, beserta kurva koordinatnya (yakni kurva-u yang biru dan kurva-v yang hijau), bidang singgungnya di M_0 = (0,0,0) (yang bergaris putus-putus) dan normal satuannya n. Permukaannya menyeberangi bidang singgungnya — yakni analogi dua dimensi bagi sebuah belokan. — **Gambar 19.1.** Pelana $z = x^2 - y^2$ di dekat titik asalnya, beserta kurva koordinatnya (yakni kurva- $u$ yang biru dan kurva- $v$ yang hijau), bidang singgungnya di $M_0 = (0,0,0)$ (yang bergaris putus-putus) dan normal satuannya $n$ . Permukaannya menyeberangi bidang singgungnya — yakni analogi dua dimensi bagi sebuah belokan.

Catatan 19.28 (Jebakan yang sering muncul)

(i) Kesingularan bagan bukan kesingularan permukaan: sebab bagan bolanya merosot di kutubnya ( $\cos\varphi = 0$ ), tetapi bolanya mulus sempurna di sana — sebab bagan lain (dengan peran sumbunya dipertukarkan) bersifat regular di kutubnya. Jadi sebelum mengumumkan sebuah titik singular, cobalah parameterisasi kedua. (ii) Keregularan $\sigma$ menyangkut parameterisasinya, bukan petanya: sebab $\sigma(u, v) = (u^3, v, 0)$ tak regular sepanjang $u = 0$ walaupun petanya berupa sebuah bidang. (iii) Adapun rumus luasnya menuntut $\sigma$ yang injektif pada $K$ : sebab bagan yang meliputi sebuah keping dua kali mencacahnya dua kali (yakni $\theta$ yang berjalan atas $\intcc0{4\pi}$ melipatduakan luas bolanya). (iv) Adapun normal satuannya terdefinisi hingga tandanya oleh permukaannya tetapi dipilih oleh bagannya (yakni oleh urutan $u, v$ ); jadi pernyataan yang melibatkan orientasi harus menetapkan pilihan itu. (v) Akhirnya, $EG - F^2 > 0$ bukanlah hipotesis tambahan: sebab ia persis keregularannya, menurut kesamaan Lagrange — jadi bila ia lenyap di suatu tempat, masalahnya ada pada bagannya, dan tak ada rumus luas atau bidang singgung yang berlaku di sana.

Catatan 19.29 (Pandangan ke depan di dalam jilid ini)

Pautan ke depan dari sini. Unsur luasnya $\sqrt{EG - F^2}\,\dd u\,\dd v$ adalah Jacobi dua dimensi yang menyamar, dan Bab 20 membuat analoginya eksak lewat teorema penggantian peubah — jadi integral permukaan di sana adalah luas bab ini dengan sebuah integran di atasnya. Adapun bentuk fundamental pertamanya adalah medan bentuk kuadratik yang positif, yang ditangani titik demi titik lewat perkakas Bab 12, dan teorema spektralnya juga menggerakkan penggolongan kuadrik pada soal akhir pekan bab ini. Lalu garis normalnya menggerakkan masalah ekstremum pada himpunan kendala (Contoh 19.10), yakni benih geometris bagi metode pengganda Lagrange yang disketsakan bersama Teorema 15.11.

Empat dari sembilan permukaan kuadrik yang digolongkan pada soal akhir pekan, yang disketsakan lewat siluetnya dan sebuah kurva aras (merah): yakni elipsoid yang terbatas, hiperboloid berdaun satu yang berpembangun ganda beserta pinggangnya, mangkuk paraboloid eliptiknya, dan pelananya, yang kedua irisan parabolanya membengkok ke arah berlawanan.

Catatan 19.30 (Di mana ini dipakai)

Unsur luasnya $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ adalah ukuran integral permukaan pada Bab 20, tempat ia bertemu rumus Green; sedangkan bentuk fundamental pertamanya adalah prototipe sebuah medan bentuk kuadratik, yang dikaji titik demi titik lewat perkakas Bab 12; dan soal akhir pekan bab ini menggolongkan semua permukaan kuadrik lewat teorema spektralnya. Adapun jilid Tahun ke-3 kembali ke permukaan lewat bentuk diferensial dan teorema divergensinya, sedangkan kelengkungan hakikinya — yakni apa yang diketahui $E, F, G$ tentang pembengkokannya — adalah gerbang menuju geometri diferensial yang sesungguhnya.

19.4 Latihan

Latihan 19.1 ★

Tunjukkan bahwa bidang singgung kerucut $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (dikurangi puncaknya) semuanya melalui puncaknya. (Parameterkan lewat $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$ dengan $r > 0$ .)

Solusi

Solusi Latihan 19.1.

Dengan $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$ :

\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0), \qquad \sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),

yang bebas untuk $r > 0$ . Adapun bidang singgung di $M_0 = \sigma(\theta_0, r_0)$ melalui $M_0$ dengan arah $\sigma_\theta, \sigma_r$ . Kini $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ sendiri merupakan arah singgung: jadi puncaknya $O$ terletak pada bidang singgungnya. (Inilah kelakuan umum kerucut: sebab ia dibangun garis lewat puncaknya, dan bidang singgungnya memuat garis pembangun lewat titik singgungnya.)

Latihan 19.2 ★

Carilah bidang singgung elipsoid $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ di sebuah titik $(x_0, y_0, z_0)$ pada permukaannya.

Solusi

Solusi Latihan 19.2.

Terapkan Proposisi 19.7 pada $f(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$ : maka $\nabla f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ pada permukaannya. Jadi bidang singgungnya adalah

\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0) + \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0, \qquad\text{yakni}\qquad \frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,

dengan memakai bahwa $(x_0, y_0, z_0)$ memenuhi persamaan elipsoidnya — yakni aturan “pecah kuadratnya” yang menyamaratakan $\langle M_0, M \rangle = R^2$ milik bolanya.

Latihan 19.3 ★

Hitunglah $E, F, G$ bagi helikoid $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ dengan $a > 0$ , beserta luas keping $0 \leq u \leq 2\pi$ , $0 \leq v \leq 1$ , sebagai sebuah integral (lalu nilailah ia dengan memakai $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} + a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$ ).

Solusi

Solusi Latihan 19.3.

Berlaku $\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ dan $\sigma_v = (\cos u,\ \sin u,\ 0)$ , jadi

E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1, \qquad \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0

(jadi helikoidnya regular di mana-mana, termasuk pada sumbunya $v = 0$ ). Adapun luas kepingnya:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u = 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2} + a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,

yakni $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} + a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$ .

Latihan 19.4 ★★

(Torus) Parameterkan torus yang diperoleh dengan memutar lingkaran berpusat $(R, 0, 0)$ dan berjari-jari $r < R$ pada bidang- $xz$ mengelilingi sumbu- $z$ :

\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\ (R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).

Hitunglah $E, F, G$ , periksalah keregularannya, lalu tunjukkan bahwa luasnya $4\pi^2 R r$ (yakni Pappus: keliling rata-ratanya $2\pi R$ dikali panjang lingkarannya $2\pi r$ ).

Solusi

Solusi Latihan 19.4.

Turunannya:

\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ (R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr), \qquad \sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\ -r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).

Maka

E = (R + r\cos\psi)^2, \qquad F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi) \bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0, \qquad G = r^2 ,

jadi $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$ : sehingga regular di mana-mana. Adapun luasnya:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi) \,\dd\theta\,\dd\psi = 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr) = 4\pi^2 R r ,

sebab suku $\cos\psi$ -nya berintegral nol — yakni teorema Pappus: bahwa luasnya $=$ (panjang lingkaran yang diputar) $\times$ (jarak yang ditempuh pusatnya).

Latihan 19.5 ★★

Tunjukkan bahwa luas grafik $f \in \mathcal{C}^1(K)$ adalah $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$ , lalu hitunglah ia bagi keping paraboloid $z = \frac12(x^2 + y^2)$ di atas cakram $x^2 + y^2 \leq 1$ (lewat koordinat kutub, Bab 20).

Solusi

Solusi Latihan 19.5.

Untuk $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$ : berlaku $\sigma_x = (1, 0, f_x)$ dan $\sigma_y = (0, 1, f_y)$ , jadi $E = 1 + f_x^2$ , $F = f_xf_y$ , $G = 1 + f_y^2$ dan

EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2 = 1 + f_x^2 + f_y^2 ,

yang memberi rumus luas yang dinyatakan. Untuk $f = \frac12(x^2 + y^2)$ pada cakram satuannya: berlaku $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$ , jadi dalam koordinat kutub ( $x = \rho\cos\alpha$ , $y = \rho\sin\alpha$ , dengan Jacobi $\rho$ , Bab 20):

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho \,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1 = \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).

Latihan 19.6 ★★

Sebuah kurva tergambar $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ pada bola berjari-jari $R$ (dengan bagan bolanya) punya $u = \theta(t)$ dan $v = \varphi(t)$ . Tulislah panjangnya sebagai integral dalam $\theta, \varphi$ lalu buktikan bahwa di antara kurva yang menghubungkan dua titik pada meridian yang sama $\theta = \theta_0$ , busur meridiannya yang terpendek. (Batasilah integrannya dari bawah oleh $R\abs{\varphi'}$ .)

Solusi

Solusi Latihan 19.6.

Dari perhitungan Contoh 19.23, berlaku $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ , jadi menurut Proposisi 19.16

L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2 + \varphi'(t)^2}\;\dd t .

Misalkan titik ujungnya $(\theta_0, \varphi_1)$ dan $(\theta_0, \varphi_2)$ dengan $\varphi_1 < \varphi_2$ . Untuk sembarang kurva penghubungnya,

L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t \geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr| = R\,(\varphi_2 - \varphi_1),

dengan membuang suku taknegatif $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ lalu memakai ketaksamaan segitiga bagi integralnya. Adapun busur meridiannya $\theta \equiv \theta_0$ , dengan $\varphi$ naik dari $\varphi_1$ ke $\varphi_2$ , berpanjang persis $R(\varphi_2 - \varphi_1)$ : jadi ia terpendek. (Meridiannya adalah lingkaran besar; dan inilah kasus pertama yang dasar bagi fakta bahwa geodesik bolanya adalah lingkaran besar.)

Latihan 19.7 ★★★

(Garis normal sebuah bola) Misalkan $S$ permukaan aras yang regular $\{f = c\}$ , terhubung, dan semua garis normalnya melalui sebuah titik tetap $\Omega$ . Tunjukkan bahwa $S$ termuat pada sebuah bola yang berpusat $\Omega$ . (Tunjukkan bahwa $\norm{M - \Omega}^2$ punya turunan nol sepanjang setiap kurva yang digambar pada $S$ .)

Solusi

Solusi Latihan 19.7.

Tetapkan sebuah kurva $\gamma$ yang digambar pada $S$ lalu misalkan $g(t) = \norm{\gamma(t) - \Omega}^2$ . Maka $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) - \Omega\rangle$ . Adapun garis normal di $M = \gamma(t)$ melalui $\Omega$ menurut hipotesisnya, jadi $\gamma(t) - \Omega$ merupakan vektor normal yang ortogonal terhadap bidang singgungnya, khususnya terhadap kecepatannya $\gamma'(t)$ (Proposisi 19.5): sehingga $g' = 0$ , dan $g$ tetap sepanjang setiap kurva tergambar.

Kini himpunan $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ bersifat tertutup di $S$ ; ia juga terbuka di $S$ : sebab di dekat sembarang titiknya, $S$ berupa grafik yang regular, jadi sembarang titik $S$ di dekatnya terhubung dengannya lewat sebuah kurva tergambar (yakni ruas yang terangkat), dan sepanjangnya $g$ bersifat tetap. Lalu karena $S$ terhubung dan $S_c$ tak kosong bagi $c$ yang tepat, maka $S = S_c \subseteq$ bola berpusat $\Omega$ dan berjari-jari $\sqrt c$ (Bab 4: lewat hujah keterhubungannya).

Latihan 19.8 ★★★

(Luasnya geometris) Misalkan $\Phi \colon U' \to U$ difeomorfisma $\mathcal{C}^1$ antara himpunan terbuka $\R^2$ dan $\tilde\sigma = \sigma \circ \Phi$ . Tunjukkan bahwa

\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} = \abs{\det J_\Phi}\, \norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,

lalu turunkan, dengan memakai rumus penggantian peubah pada Bab 20, bahwa luas pada Definisi 19.20 tak bergantung pada parameterisasi regular yang dipilih.

Solusi

Solusi Latihan 19.8.

Tulislah $\Phi(u', v') = (u, v)$ . Menurut aturan rantai,

\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v, \qquad \tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,

dengan turunan parsial $\sigma$ dinilai di $\Phi(u',v')$ . Lalu menguraikan hasil kali silangnya secara bilinear dan memakai $\sigma_u \wedge \sigma_u = \sigma_v \wedge \sigma_v = 0$ serta $\sigma_v \wedge \sigma_u = -\sigma_u \wedge \sigma_v$ :

\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'} \frac{\partial v}{\partial v'} - \frac{\partial v}{\partial u'} \frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\, \sigma_u \wedge \sigma_v = \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .

Mengambil normanya memberi kesamaannya. Lalu, menurut rumus penggantian peubah (Bab 20) yang diterapkan pada pemetaan $\Phi$ di $K' = \Phi^{-1}(K)$ :

\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} \,\dd u'\dd v' = \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\; \abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v' = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :

jadi kedua parameterisasinya memberikan luas yang sama pada keping permukaan yang sama.

Latihan 19.9 ★

(Teorema kotak-topi Archimedes) Pada bola berjari-jari $R$ , zona antara lintang yang $z_1 \leq z \leq z_2$ (dengan $-R \leq z_1 < z_2 \leq R$ ) berluas $2\pi R\,(z_2 - z_1)$ : buktikanlah lewat bagan bolanya, lalu simpulkan bahwa luas sebuah zona hanya bergantung pada tingginya — jadi mengiris sebuah jeruk menjadi irisan setebal sama memberi jumlah kulit yang sama.

Solusi

Solusi Latihan 19.9.

Dalam bagan bolanya, $z = R\sin\varphi$ , dan zonanya bersesuaian dengan $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ dengan $z_i = R\sin\varphi_i$ . Lalu dengan unsur luasnya $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Contoh 19.23):

\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1) = 2\pi R\,(z_2 - z_1) .

Hasilnya hanya bergantung pada tingginya $z_2 - z_1$ : jadi irisan setebal sama mengusung luas yang sama, entah dipotong di khatulistiwanya atau di kutubnya — yakni teorema kotak-topi Archimedes, sekaligus sebab luas selimut silinder yang melingkupinya ( $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$ ) sama dengan luas bolanya.

Latihan 19.10 ★★

Tunjukkan bahwa setiap garis normal permukaan putaran $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ (dengan $r > 0$ berkelas $\mathcal C^1$ ) bertemu sumbu putarannya, lalu tentukan letak titik potongnya.

Solusi

Solusi Latihan 19.10.

Berlaku $\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ dan $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$ , jadi

\sigma_\theta \wedge \sigma_z = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,

yakni sebuah vektor normal di $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ . Adapun garis normalnya adalah

t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\ z - t\,r\,r'\bigr),

yang di $t = -1$ mencapai $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$ : jadi setiap garis normalnya bertemu sumbunya, pada ketinggian $z + rr'$ . (Inilah alasan tiga dimensi mengapa kesimetrian putarannya bertahan pada medan normalnya.)

Latihan 19.11 ★★

(Membuka gulungan silinder) Bagan $\sigma(u, v) = (\cos u,\ \sin u,\ v)$ bagi silinder satuannya punya $E = G = 1$ dan $F = 0$ : periksalah ini, lalu jelaskan mengapa setiap kurva tergambar $t \mapsto \sigma(u(t), v(t))$ berpanjang sama dengan kurva bidang $t \mapsto (u(t), v(t))$ . Turunkan bahwa heliks dari $(1, 0, 0)$ ke $(1, 0, 2\pi c)$ yang membuat satu putaran berpanjang $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ , dan bahwa tak ada kurva tergambar dengan titik ujung yang sama dan satu putaran penuh yang lebih pendek.

Solusi

Solusi Latihan 19.11.

Berlaku $\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$ dan $\sigma_v = (0, 0, 1)$ : jadi $E = 1$ , $F = 0$ , $G = 1$ . Menurut Proposisi 19.16, panjang sebuah kurva tergambar adalah $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ — yakni panjang bayangan parameternya $(u(t), v(t))$ pada bidangnya: jadi bagannya merupakan isometri lokal (yakni membuka gulungan silindernya). Adapun heliks $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$ dengan $t \in \intcc0{2\pi}$ punya bayangan berupa ruas dari $(0,0)$ ke $(2\pi, 2\pi c)$ , yang berpanjang $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ . Sedangkan sembarang kurva tergambar dari $(1,0,0)$ ke $(1, 0, 2\pi c)$ yang membuat satu putaran penuh punya bayangan kontinu yang menghubungkan $(0, 0)$ ke $(2\pi, 2\pi c)$ , yang panjang bidangnya $\geq$ panjang ruas lurusnya; jadi karena panjangnya sepakat, heliksnya terpendek.

Latihan 19.12 ★★★

Misalkan $S = \{f = c\}$ permukaan aras regular yang kompak dan $M_0 \in S$ sebuah titik yang berjarak maksimum dari titik asalnya. Tunjukkan bahwa $\nabla f(M_0)$ segaris dengan $\vect{OM_0}$ — jadi normal di titik terjauhnya bersifat radial. Terapkanlah pada elipsoid $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ (dengan $a > b > c > 0$ ): carilah semua titik yang normalnya radial, lalu kenalilah yang terjauhnya.

Solusi

Solusi Latihan 19.12.

Fungsi $g(M) = \norm{M}^2$ kontinu pada $S$ yang kompak, jadi ia mencapai maksimumnya di suatu $M_0$ . Untuk setiap kurva $\gamma$ yang digambar pada $S$ dengan $\gamma(0) = M_0$ , fungsi $t \mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ punya maksimum di $t = 0$ , jadi turunannya $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ lenyap: sehingga $M_0$ ortogonal terhadap setiap vektor singgungnya, yakni normal terhadap $S$ di $M_0$ . Lalu karena $\nabla f(M_0) \neq 0$ juga mengarahkan garis normalnya (Proposisi 19.7), maka $\nabla f(M_0)$ dan $\vect{OM_0}$ segaris. Untuk elipsoidnya, keradialannya berarti

\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :

jadi tiap koordinatnya memenuhi $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$ , dan seterusnya; lalu karena $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ berbeda-beda, paling banyak satu koordinatnya tak nol, sehingga penyelesaian pada permukaannya adalah keenam titik ujung sumbunya $(\pm a, 0, 0)$ , $(0, \pm b, 0)$ , $(0, 0, \pm c)$ . Adapun titik terjauhnya adalah $(\pm a, 0, 0)$ , pada jarak $a = \max(a,b,c)$ .

19.5 Soal: penggolongan kuadrik pada $\R^3$

Soal 19.1

Soal akhir pekan — setiap permukaan kuadrik, disortir lewat teorema spektral

Sebuah kuadrik adalah himpunan nol di $\R^3$ bagi sebuah polinomial berderajat dua

q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c, \qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\ c \in \R .

Adapun permukaan pada gambar bab ini — yakni bola, elipsoid, pelana, kerucut, silinder — semuanya kuadrik. Soal ini menggolongkan semuanya: sebab teorema spektral (Teorema 12.13) meluruskan bagian kuadratiknya, penggeseran afin (Bab 17) menyerap bagian linearnya, dan yang tersisa adalah daftar bentuk normal yang pendek dan lengkap.

Bagian I — Mesin reduksinya.

Misalkan $X = PY + t$ dengan $P \in O(3)$ dan $t \in \R^3$ (yakni penggantian koordinat yang kaku). Tunjukkan bahwa $q(PY + t) = Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ dengan

$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad c' = q(t) .$

Lalu turunkan bahwa spektrum $A$ (sehingga rank dan signaturnya) merupakan invarian kaku bagi persamaannya, dan jelaskanlah mengapa persamaan sebuah kuadrik hanya tertentukan hingga sebuah faktor skalar tak nol.
Dengan memakai teorema spektralnya, tunjukkanlah bahwa setelah sebuah perputaran persamaannya menjadi $\sum_i \lambda_i y_i^2 + 2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ dengan $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ menyatakan nilai eigen $A$ .
Untuk setiap $i$ yang $\lambda_i \neq 0$ , serap $\beta_iy_i$ lewat sebuah penggeseran ( $y_i \mapsto y_i - \beta_i/\lambda_i$ ). Tulislah persamaan tereduksinya ketika $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
Sebuah pusat kuadrik berpersamaan $q = 0$ adalah titik $\Omega$ dengan $q(2\Omega - X) = q(X)$ untuk setiap $X$ : jadi pencerminan titik pada $\Omega$ memelihara persamaannya, sehingga permukaannya. Tunjukkan bahwa $q(2\Omega - X) - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle A\Omega + b, \Omega\rangle$ , lalu turunkan: bahwa pusatnya persis merupakan penyelesaian $A\Omega = -b$ ; jadi ia ada bila dan hanya bila $b \in \operatorname{im}A$ , dan pusatnya tunggal bila dan hanya bila $A$ terbalikkan.

Bagian II — Kuadrik berpusat (dengan $\operatorname{rank}A = 3$ ). Di sini persamaan tereduksinya adalah $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$ .

Dengan mengalikan $-1$ bila perlu, andaikan sekurangnya dua $\lambda_i > 0$ . Cacahlah kemungkinannya: yakni signatur $(3, 0)$ dengan $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ , dan signatur $(2, 1)$ dengan $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ ; lalu namailah keenam himpunan hasilnya (elipsoid, titik, himpunan kosong, hiperboloid berdaun satu, kerucut, hiperboloid berdaun dua) kemudian tempatkanlah masing-masingnya dalam bentuk normal Euklidesnya ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ , dan seterusnya).
Golongkanlah $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : tunjukkan $A = 2J - I$ dengan $J$ matriks serba-satu, hitunglah spektrumnya $\{5, -1, -1\}$ , lalu kenalilah sebuah hiperboloid putaran berdaun dua terhadap sumbu $\R(1,1,1)$ .
(Garis pembangunnya) Untuk hiperboloid berdaun satu $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , faktorkanlah

$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$

lalu hasilkanlah dua keluarga berparameter satu berisi garis lurus yang terletak pada permukaannya.
Tunjukkan bahwa lewat setiap titik hiperboloid berdaun satu melintas tepat satu garis dari tiap keluarganya: jadi permukaannya berpembangun ganda.
Adapun kerucut asimtotik bagi hiperboloid berdaun satu adalah $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Dengan $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ , tunjukkanlah bahwa sembarang titik hiperboloidnya berjarak paling banyak $c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}}$ dari $C$ , jadi permukaannya memeluk kerucutnya di tak hingga. Lalu apakah irisan hiperboloidnya oleh bidang $x = \pm a$ ?

Bagian III — Rank $2$ dan rank $1$ : paraboloid, silinder, bidang.

Andaikan $\operatorname{rank}A = 2$ , katakanlah $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$ . Mulailah dari pertanyaan 3, lalu pecahlah menjadi dua kasus menurut $\beta_3 \neq 0$ (yakni tanpa pusat, menurut pertanyaan 4) atau $\beta_3 = 0$ (yakni sebuah garis pusat), lalu reduksikanlah menjadi

$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0 \qquad\text{atau}\qquad \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$

yakni paraboloid eliptik/hiperbolik pada kasus pertamanya, dan silinder atas konik berpusat (atau sepasang bidang yang berpotongan, sebuah garis, atau himpunan kosong) pada kasus keduanya.
Tunjukkan bahwa pelana $z = xy$ merupakan paraboloid hiperbolik: putarlah sebesar $\pi/4$ pada bidang- $xy$ untuk mencapai $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ , yakni permukaan pada Gambar 19.1 hingga penskalaan.
Tunjukkan bahwa pelana $z = xy$ mengusung kedua keluarga garis $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ dan $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ , dengan tepat satu garis dari tiap keluarganya lewat setiap titiknya: yakni kuadrik berpembangun ganda yang kedua.
Golongkanlah $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ di $\R^3$ (lengkapkan kuadratnya; lalu kenalilah sebuah silinder lingkaran tegak, kemudian berikanlah sumbu dan jari-jarinya).
Kini misalkan $\operatorname{rank}A = 1$ , katakanlah $\lambda_1 \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$ . Dengan memutar di dalam bidang kernelnya lalu menggeser, reduksikanlah menjadi

$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0) \qquad\text{atau}\qquad \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$

yakni sebuah silinder parabolik, atau sepasang bidang sejajar, sebuah bidang ganda, atau himpunan kosong. Golongkanlah $(x + y)^2 = z$ selengkapnya (yakni bentuk normalnya, dan sumbu keinvarianan geserannya).

Bagian IV — Teorema penggolongannya.

Rangkailah Bagian I–III menjadi sebuah teorema: bahwa setiap kuadrik $\R^3$ dipetakan oleh sebuah gerak kaku ke tepat satu bentuk normal. Daftarkanlah ketujuh belas tipe afinnya (cacahlah varian kosong dan himpunan yang merosot), lalu sendirikanlah kesembilan permukaan kuadriknya: yakni elipsoid, hiperboloid berdaun satu dan berdaun dua, kerucut, paraboloid eliptik dan hiperbolik, serta silinder eliptik, hiperbolik dan parabolik.
Tulislah algoritma penggolongannya: yakni diberikan $(A, b, c)$ , besaran mana yang kauhitung, dalam urutan mana, dan cabang mana yang memutuskan tipe mana? Benarkanlah bahwa tiap langkahnya efektif (yakni nilai eigen sebuah matriks simetrik $3\times3$ , rank, dan keterselesaian $A\Omega = -b$ ).
Jalankan algoritmanya pada $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 1$ : tunjukkan bahwa $A = 2I - J$ berspektrum $\{2, 2, -1\}$ lalu simpulkan: yakni hiperboloid putaran berdaun satu terhadap $\R(1,1,1)$ .
Jalankan ia pada $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : carilah pusatnya lalu kenalilah kuadriknya.
Jalankan ia pada $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonalkan blok- $xy$ -nya ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) lalu kenalilah kuadriknya.
Euklides lawan afin. Tunjukkan bahwa dua kuadrik berpusat dalam bentuk normalnya setara secara kaku bila dan hanya bila daftar koefisiennya sama (hingga permutasi dan sebuah skalar positif bersama pada persamaannya), sedangkan secara afin, hanya data signaturnya yang bertahan: jadi setiap elipsoid adalah peta afin bola bundarnya. Lalu teorema mana yang menjamin bahwa signaturnya tak dapat berubah sepanjang jalannya (Teorema 12.6)?

Bagian V — Panennya.

Tunjukkan bahwa setiap irisan sebuah kuadrik oleh bidang afin merupakan sebuah konik (yang boleh merosot) pada bidang itu. Kenalilah irisan pelana $z = xy$ oleh bidang $z = c$ (untuk $c \neq 0$ dan $c = 0$ ).
Permukaan kuadrik mana yang memuat garis lurus? Tunjukkan bahwa elipsoid, hiperboloid berdaun dua dan paraboloid eliptik tak memuat satu pun (batasilah $q$ ke sebuah garis lalu pakailah ketaksamaan Cauchy–Schwarz bagi kasus berdaun dua); bahwa kerucut dan silinder dibangun satu keluarga; lalu simpulkan bahwa permukaan kuadrik yang berpembangun ganda persis merupakan hiperboloid berdaun satu dan paraboloid hiperbolik.
Ketika hanya tipe afinnya yang dikehendaki, reduksi Gauss (Teorema 12.5) lebih murah daripada mendiagonalkan. Kerjakanlah ulang pertanyaan 17 lewat algoritma Gauss lalu periksalah signaturnya $(2, 1)$ ; dan informasi Euklides apa yang hilang oleh Gauss?
Semua nilai eigen matriks simetrik bersifat real; tunjukkanlah bahwa karenanya tanda nilai eigen $A$ dapat dibaca dari polinomial karakteristiknya lewat aturan tanda Descartes, lalu periksalah pada pertanyaan 6: bahwa $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ punya tepat satu pergantian tanda, sehingga bersignatur $(1, 2)$ .
Rangkuman. Rangkumlah algoritmanya dalam beberapa baris; lalu nyatakanlah peran persis yang dimainkan (i) teorema spektral, (ii) persamaan pusatnya $A\Omega = -b$ , (iii) teorema inersia Sylvester, dan (iv) reduksi Gauss. Lalu apa yang dihasilkan mesin yang sama di $\R^2$ , dan apa yang berubah di $\R^n$ ?

Solusi

Solusi Soal 19.1.

1. Menguraikannya, dan memakai kesimetrikan $A$ (yakni $t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$ ):

q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY + 2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At + 2b^{\mathsf T}t + c\bigr),

yang tak lain tripel pada displainya. Adapun $A' = P^{\mathsf T}\!AP = P^{-1}AP$ serupa dengan $A$ : jadi berpolinomial karakteristik, spektrum, rank, dan signatur yang sama. Akhirnya $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ untuk $s \neq 0$ , jadi hanya persamaan hingga sebuah skalar yang terlekat pada himpunannya; dan menskalakannya dengan $s$ mengalikan semua nilai eigennya dengan $s$ .

2. Teorema spektralnya menyediakan $P \in O(3)$ dengan $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ ; lalu pertanyaan 1 dengan $t = 0$ mengubah persamaannya menjadi $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$ , dengan $\beta = P^{\mathsf T}b$ .

3. Untuk $\lambda_i \neq 0$ : berlaku $\lambda_iy_i^2 + 2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i + \frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 - \frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$ ; jadi penggeseran $z_i = y_i + \beta_i/\lambda_i$ (dan $z_i = y_i$ untuk $i > r$ ) memberi

\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0, \qquad c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.

4. Berlaku $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T} A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$ ; jadi setelah diuraikan lalu dikurangi $q(X)$ , suku kuadratiknya saling meniadakan dan

q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle + 4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .

Bila $A\Omega + b = 0$ maka ini lenyap secara identik: sehingga pencerminan titiknya memelihara $q$ , jadi juga kuadriknya. Sebaliknya, “ $q(2\Omega - X) = q(X)$ untuk setiap $X$ ” mengatakan bahwa fungsi afin di atas lenyap pada seluruh $\R^3$ , yang memaksa bagian linearnya $A\Omega + b$ menjadi nol. Jadi pusatnya $=$ penyelesaian $A\Omega = -b$ : yakni himpunan tak kosong bila dan hanya bila $b \in \operatorname{im}A$ (yaitu subruang afin yang diarahkan $\ker A$ ), dan berupa titik tunggal bila dan hanya bila $A$ terbalikkan.

5. Signatur $(3,0)$ (yakni semua $\lambda_i > 0$ ): $\delta > 0$ memberi $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ dengan $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$ , dan seterusnya — yakni sebuah elipsoid; $\delta = 0$ : yakni titik tunggal $O$ ; $\delta < 0$ : kosong. Sedangkan signatur $(2,1)$ (dengan $\lambda_1, \lambda_2 > 0 > \lambda_3$ ): $\delta > 0$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , yakni hiperboloid berdaun satu; $\delta = 0$ : yakni kerucut $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ ; $\delta < 0$ : $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , yakni hiperboloid berdaun dua (dengan $\abs z \geq c$ : jadi dua komponen).

6. Bagian kuadratiknya bermatriks $A$ dengan diagonal $1$ dan luar diagonal $2$ : jadi $A = 2J - I$ . Karena $J$ berspektrum $\{3, 0, 0\}$ (dengan vektor eigen $(1,1,1)$ untuk $3$ ), maka $A$ berspektrum $\{5, -1, -1\}$ , dan nilai eigen $5$ -nya diusung $\R(1,1,1)$ . Dalam koordinat terputarnya: $5u^2 - v^2 - w^2 = 1$ , yakni $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$ : jadi sebuah hiperboloid berdaun dua, yang berputaran (sebab nilai eigennya sama $-1$ ) terhadap sumbu $\R(1,1,1)$ .

7. Permukaannya adalah $\bigl(\frac xa - \frac zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$ . Untuk $(\lambda : \mu) \neq (0:0)$ definisikanlah garis

D_{\lambda:\mu} :\quad \lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac yb\Bigr), \qquad \mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)

(yakni dua persamaan afin yang bebas: sebuah garis). Mengalikan kedua persamaannya menunjukkan bahwa setiap titik $D_{\lambda:\mu}$ terletak pada permukaannya ketika $\lambda\mu \neq 0$ ; sedangkan kasus $\lambda = 0$ atau $\mu = 0$ diperiksa langsung (misalnya $\lambda = 0$ : $y = b$ dan $\frac xa = -\frac zc$ , yang memenuhi persamaannya). Adapun keluarga keduanya $D'_{\lambda:\mu}$ menukar kedua faktor ruas kanannya.

8. Tetapkan $M$ pada permukaannya. Syarat agar $M \in D_{\lambda:\mu}$ membentuk sistem linear homogen $2\times2$ dalam $(\lambda, \mu)$ yang determinannya

\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 - \frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0

persis karena $M$ terletak pada kuadriknya: jadi sebuah penyelesaian tak trivial $(\lambda : \mu)$ ada. Adapun matriks koefisiennya tak pernah nol (sebab itu akan memaksa $1 - \frac yb = 1 + \frac yb = 0$ ), jadi ranknya $1$ dan penyelesaiannya tunggal hingga penskalaan: sehingga tepat satu garis keluarganya melalui $M$ . Hal yang sama berlaku bagi keluarga keduanya, dan kedua garisnya berbeda (sebab di $(a, 0, 0)$ keduanya adalah $\{x = a,\ \frac zc = \frac yb\}$ dan $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$ ): jadi hiperboloid berdaun satunya berpembangun ganda.

9. Misalkan $M = (x, y, z)$ pada hiperboloidnya, dengan $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq 1$ . Maka titik $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ dengan $\varepsilon$ menyatakan tanda $z$ memenuhi $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$ : jadi $N \in C$ , dan

d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho} = c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .

Bila $\norm M \to \infty$ maka $\rho \to \infty$ (sebab ketiga koordinatnya terbatas oleh kelipatan $\rho$ ), jadi $d(M, C) \to 0$ . Adapun irisan $x = a$ : $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ , yakni sepasang garis bersilangan pada pertanyaan 8 — dan demikian pula di $x = -a$ .

10. Dengan $\lambda_3 = 0$ , pertanyaan 3 menyisakan $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . Dalam basis eigennya, $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , jadi menurut pertanyaan 4 pusatnya ada bila dan hanya bila $\beta_3 = 0$ . Bila $\beta_3 \neq 0$ : maka penggeseran $z_3 \mapsto z_3 - c''/(2\beta_3)$ membuang konstantanya, sehingga menyisakan $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$ , yakni $z_3 = px^2 + qy^2$ setelah dinamai ulang: jadi sebuah paraboloid eliptik bila $\lambda_1\lambda_2 > 0$ , dan paraboloid hiperbolik bila $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — dan memang tanpa pusat. Sedangkan bila $\beta_3 = 0$ : persamaan $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0$ tak melibatkan $z_3$ : jadi kuadriknya berupa silinder atas konik bidang yang bersesuaian — yakni silinder eliptik, sebuah garis, atau himpunan kosong bila $\lambda_1\lambda_2 > 0$ ; dan silinder hiperbolik atau sepasang bidang berpotongan bila $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — dengan seluruh garis pusat $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$ .

11. Yakni $xy - z = 0$ . Setelah menyulihkan $x = \frac{u + v}{\sqrt2}$ dan $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (yakni perputaran sebesar $\pi/4$ ): berlaku $xy = \frac{u^2 - v^2}2$ , jadi persamaannya menjadi $z = \frac12(u^2 - v^2)$ : yakni sebuah paraboloid hiperbolik — yaitu pelana pada gambarnya, hingga faktor $\frac12$ .

12. Garis $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (yang diparameterkan oleh $y$ ) jelas terletak pada $z = xy$ , demikian pula $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ ; jadi lewat $(x_0, y_0, x_0y_0)$ melintas keduanya. Ketunggalannya: bila $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 + tv_3)$ tinggal pada permukaannya, maka koefisien $t^2$ pada $(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ memberi $v_1v_2 = 0$ , jadi $v_1 = 0$ atau $v_2 = 0$ , sehingga mendarat di salah satu keluarganya: jadi satu garis dari tiap keluarganya lewat tiap titiknya — yakni kuadrik berpembangun ganda yang kedua.

13. Setelah kuadratnya dilengkapkan: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ , tanpa syarat apa pun pada $z$ : jadi sebuah silinder lingkaran tegak berjari-jari $\sqrt2$ dengan sumbu berupa garis tegak $\{(1, -2, z) : z \in \R\}$ — yakni sebuah garis pusat, seperti diramalkan pertanyaan 10.

14. Dengan $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ , persamaan tereduksinya adalah $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . Sebuah perputaran bidang kernelnya $(z_2, z_3)$ menyelaraskan bentuk linearnya: $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ dengan $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$ . Bila $\beta \neq 0$ , geserlah $w$ untuk menyerap $c''$ : jadi $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w = 0$ , yakni sebuah silinder parabolik; sedangkan bila $\beta = 0$ : $\lambda_1z_1^2 = -c''$ memberi dua bidang sejajar (bila $c'' \lambda_1 < 0$ ), sebuah bidang ganda (bila $c'' = 0$ ), atau himpunan kosong. Untuk $(x + y)^2 = z$ : dengan $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ persamaannya berbunyi $z = 2u^2$ : yakni silinder parabolik, yang invarian terhadap penggeseran sepanjang $(1, -1, 0)$ .

15. Setiap kuadriknya dibawa oleh sebuah perputaran ditambah penggeseran ke salah satu dari: (rank 3) elipsoid, titik, himpunan kosong, lalu hiperboloid berdaun satu, kerucut, hiperboloid berdaun dua; (rank 2) paraboloid eliptik, paraboloid hiperbolik, silinder eliptik, garis, himpunan kosong, silinder hiperbolik, sepasang bidang berpotongan; (rank 1) silinder parabolik, sepasang bidang sejajar, bidang ganda, himpunan kosong. Lalu dengan mengenali ketiga varian kosongnya sebagai tipe afin persamaan yang berbeda, cacahnya menjadi tujuh belas; dan di antaranya sembilan berupa permukaan sejati: yakni elipsoid, kedua hiperboloidnya, kerucutnya, kedua paraboloidnya, dan ketiga silindernya.

16. Algoritmanya. (i) Bacalah $(A, b, c)$ ; lalu hitunglah polinomial karakteristik $A$ , nilai eigennya (yang real, berkat teorema spektral) dan $r = \operatorname{rank}A$ . (ii) Selesaikan $A\Omega = -b$ (lewat eliminasi Gauss): terselesaikan atau tidak — jadi berpusat atau tidak. (iii) Bila terselesaikan, geserlah ke sebuah pusat: maka persamaannya menjadi $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ dengan $c'' = c + \langle b, \Omega\rangle$ ; lalu sortirlah menurut $r$ , signaturnya, dan tanda $c''$ lewat pertanyaan 5, 10, dan 14. (iv) Bila tak terselesaikan (dengan $r \leq 2$ ), putar lalu reduksikan seperti pada pertanyaan 10 dan 14: yakni paraboloid (bila $r = 2$ ) atau silinder parabolik (bila $r = 1$ ), yang eliptik/hiperbolik menurut tanda $\lambda_1\lambda_2$ . Adapun tiap langkahnya berupa perhitungan berhingga: yaitu akar sebuah kubik yang berakar real, rank, dan sistem linear.

17. Matriks $A$ berdiagonal $1$ dan luar diagonal $-1$ : jadi $A = 2I - J$ , yang berspektrum $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ dengan $-1$ pada $\R(1,1,1)$ . Signaturnya $(2,1)$ , $b = 0$ , dan ruas kanannya $\delta = 1 > 0$ : jadi $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$ , yakni hiperboloid berdaun satu yang berputaran terhadap sumbu $\R(1,1,1)$ .

18. Lengkapkan kuadratnya: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 + (-1 - 4 + 1 + 4) = 0$ , yakni

(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :

jadi konstantanya lenyap — sehingga sebuah kerucut lingkaran tegak bertitik puncak (sekaligus pusat tunggal) $(1, -2, 1)$ dan bersumbu sejajar $Oz$ .

19. Bagian kuadratiknya $x^2 + 4xy + y^2$ bermatriks $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (pada bidang- $xy$ ), yang bernilai eigen $3$ (pada $(1,1)$ ) dan $-1$ (pada $(1,-1)$ ): jadi dengan $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ dan $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ia sama dengan $3u^2 - v^2$ , sehingga kuadriknya adalah

z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :

yakni sebuah paraboloid hiperbolik (sebab $A$ berrank $2$ dan $b$ punya komponen sepanjang $\ker A = \R e_z$ : jadi tanpa pusat).

20. Sebuah gerak kaku mengubah data persamaannya lewat $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (dengan nilai eigen yang sama) dan bentuk normalnya tak punya kebebasan sisa yang lain selain mempermutasikan koordinatnya dan mengalikan seluruh persamaannya dengan sebuah skalar ( $> 0$ agar penulisannya terpelihara): jadi dua bentuk normal berpusat berimpit hingga isometri bila dan hanya bila daftar koefisiennya sepakat hingga permutasi dan faktor positif bersama — yakni bagi elipsoidnya, bila setengah sumbunya $(a, b, c)$ sepakat. Sedangkan secara afin, kita juga boleh menskalakan tiap koordinatnya secara terpisah ( $z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs {\lambda_i}}$ ), yang menghapus nilai eigennya dan hanya menyisakan tandanya: jadi setiap elipsoid menjadi $u^2 + v^2 + w^2 = 1$ , yakni bolanya. Adapun teorema inersia Sylvester (Teorema 12.6) menjamin bahwa signaturnya bertahan pada sembarang penggantian linear yang terbalikkan: sehingga tipe afin pada pertanyaan 15 sungguh berbeda-beda.

21. Parameterkan bidangnya secara afin: $M = P + su + tv$ . Maka $q(P + su + tv)$ merupakan polinomial berderajat $\leq 2$ dalam $(s, t)$ (uraikan bentuk kuadratiknya secara bilinear), jadi irisan $\{q = 0\}$ merupakan konik bidangnya, yang boleh merosot. Untuk $z = xy$ dan bidang $z = c$ : berlaku $xy = c$ , yakni hiperbola bila $c \neq 0$ , dan untuk $c = 0$ berupa kedua garis koordinatnya — yakni sepasang garis pembangun lewat titik asalnya.

22. Elipsoid: terbatas, jadi tak memuat garis. Hiperboloid berdaun dua $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : batasilah ke $p + tv$ ; maka koefisien $t^2$ -nya $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2} - \frac{v_2^2}{b^2}$ mesti lenyap, jadi $v_3 \neq 0$ (sebab kalau tidak $v = 0$ ); lalu koefisien $t$ -nya memberi $\frac{p_3v_3}{c^2} = \frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$ , dan Cauchy–Schwarz menghasilkan

\frac{p_3^2}{c^2} = \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2 \leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2} = \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},

jadi suku tetapnya $\leq 0 \neq 1$ : sehingga tak ada garis. Paraboloid eliptik $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ : koefisien $t^2$ -nya memaksa $v_1 = v_2 = 0$ , lalu persamaannya menjadi linear tak tetap dalam $t$ : jadi tak ada garis. Kerucut $x^2 + y^2 = z^2$ : sebuah garis padanya memenuhi $q(p) = q(v) = B(p, v) = 0$ bagi bentuk Lorentznya; lalu kesamaan pada Cauchy–Schwarz bidangnya $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} = \sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ memaksa $(p_1, p_2) \parallel (v_1, v_2)$ lalu $p = kv$ : jadi semua garisnya melalui puncaknya — yakni satu keluarga. Silinder: untuk silinder eliptik dan paraboliknya koefisien $t^2$ -nya memaksa $v_1 = v_2 = 0$ (jadi hanya garis pembangunnya); sedangkan untuk silinder hiperboliknya $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , syarat $\frac{v_1}a = \pm \frac{v_2}b$ dengan $v_2 \neq 0$ menuntun lewat koefisien $t$ -nya ke $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$ , yang bertentangan dengan suku tetapnya $1$ : jadi hanya garis pembangun tegaknya lagi. Karena itu permukaan kuadrik yang berpembangun ganda persis merupakan hiperboloid berdaun satu dan paraboloid hiperbolik.

23. Menurut Gauss: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 - z^2 - 2yz$ , jadi

q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y + z)^2 :

yakni tiga kuadrat bebas bertanda $(+, +, -)$ — jadi signaturnya $(2, 1)$ , yang cocok dengan pertanyaan 17, tanpa perhitungan nilai eigen. Adapun Gauss kehilangan data metriknya: sebab koordinat barunya tak ortonormal, jadi nilai eigennya (yakni bentuk hiperboloidnya, sumbunya, dan panjangnya) lenyap; sehingga hanya tipe afinnya yang tersisa.

24. Misalkan $p$ , $n$ , $z$ berturut-turut banyaknya nilai eigen yang positif, negatif, dan nol, dengan $p + n + z = 3$ . Adapun aturan Descartes membatasi $p$ oleh banyaknya $V$ pergantian tanda pada $\chi_A$ , dan $n$ oleh banyaknya $V'$ pergantian tanda pada $\chi_A(-\lambda)$ ; lebih jauh tiap pasangan koefisien tak nol yang berurutan menghasilkan satu pergantian pada tepat satu dari kedua polinomialnya, jadi $V + V' \leq 3 - z$ (sebab akar nolnya terlihat sebagai koefisien ekor yang lenyap). Lalu $p + n = 3 - z \geq V + V' \geq p + n$ : jadi kesamaan, sehingga $p = V$ persis — dan tanda nilai eigennya dapat dibaca. Untuk $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ : tandanya $+,-,-,-$ memberi $V = 1$ , sedangkan $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 9\lambda - 5$ bertanda $-,-,+,-$ : jadi $V' = 2$ . Sehingga signaturnya $(1, 2)$ — yang konsisten dengan pemfaktoran eksak $\chi_A = (\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ pada pertanyaan 6.

25. Algoritmanya: diagonalkan bagian kuadratiknya secara ortonormal (lewat teorema spektral: yakni satu-satunya langkah yang dalam secara analitis, dan itulah yang membuat penggolongannya Euklides); lalu selesaikan $A\Omega = -b$ untuk memutuskan tipe berpusat lawan tipe parabolik dan untuk menggeser bagian linearnya bila mungkin (yakni geometri afin); lalu bacalah tipenya dari rank, signatur, dan konstantanya (sebab Sylvester menjamin ketiganya invarian); dan ketika hanya tipe afinnya yang berperan, reduksi Gauss menggantikan teorema spektralnya dengan harga informasi metriknya. Di $\R^2$ mesin yang sama menggolongkan konik: yakni elips, hiperbola, parabola, ditambah sepasang garis, sebuah garis, sebuah titik, dan himpunan kosong. Sedangkan di $\R^n$ tak ada yang berubah selain tata bukunya: sebab tipenya diindeks oleh signatur $A$ , kedudukan $b$ terhadap $\operatorname{im}A$ , dan satu konstanta — dengan matriks berbatas berdimensi $(n{+}2)$ atas $(A, b, c)$ yang menyediakan invarian yang ringkas.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium

19.1 Permukaan terparameter

19.2 Bidang singgung dan normalnya

19.3 Bentuk fundamental pertama

19.4 Latihan

19.5 Soal: penggolongan kuadrik pada R3\R^3R3

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

19.5 Soal: penggolongan kuadrik pada $\R^3$