Apa itu perubahan basis?

Contoh 21.9 (Membaca matriks perubahan basisnya)

Di dalam $\R^2$, dari $\mathcal B$ yang kanonik ke $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

(dengan vektor barunya ditulis dalam koordinat lamanya, kolom demi kolom). Maka vektor berkoordinat lama $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ berkoordinat baru $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$: memang $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$. Awas arahnya — karena matriks $P$ dibangun dari basis yang baru tetapi mengubah koordinat baru menjadi lama ($X = PX'$); sedangkan beralih dari lama ke baru berongkos inversnya. Jadi menuliskan periksa kewarasannya $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ setelah setiap pengalihan menangkap galat $P$ yang terbalik, yang merupakan kesalahan paling lazim pada bab ini.

Contoh 21.11 (Basis yang baik membuat sebuah pemetaan bening)

Misalkan $u(x, y) = (y, x)$ (yaitu penukaran), yang bermatriks $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ pada basis kanoniknya. Adapun pada basis $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

Sesungguhnya tak ada hasil kali matriks yang diperlukan: karena $u$ menetapkan $(1,1)$ dan membalikkan $(1,-1)$, sehingga pada $\mathcal B'$ matriksnya pasti $\operatorname{diag}(1, -1)$ — jadi penukarannya adalah pencerminan terhadap garis $y = x$. Adapun mencari, bagi sebuah endomorfisma yang diberikan, sebuah basis yang di situ matriksnya menjadi diagonal merupakan masalah pusat jilid Tahun 2 (yaitu teori reduksinya); sedangkan soal akhir pekan di bawah menunjukkan sejauh apa kesamaan polinomial belaka sudah melangkah.

Contoh 21.12 (Perubahan basis, yang dijalankan terbalik)

Proyeksi pada $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ sepanjang $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ mempunyai, pada basis yang disesuaikan $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$, matriks yang bening $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$. Untuk memperoleh matriks basis kanoniknya, jalankanlah Teorema 21.10 mundur, $A = P A' P^{-1}$:

Periksa: $A^2 = A$ (jadi idempoten), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$, dan $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, sebagaimana ditetapkan. Adapun arah terbalik ini — rancanglah matriksnya pada basis yang baik, lalu konjugasikan kembali — itulah cara matriks rotasi, pencerminan dan proyeksi sesungguhnya diproduksi dalam praktik.