O que é mudança de base?

Exemplo 21.9 (Ler a matriz de mudança de base)

Em $\R^2$, da base canônica $\mathcal B$ para $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

(os vetores novos escritos em coordenadas antigas, coluna a coluna). O vetor de coordenadas antigas $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ tem coordenadas novas $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$: de fato $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$. Atenção ao sentido — a matriz $P$ é construída a partir da base nova mas converte coordenadas novas em antigas ($X = PX'$); passar de antigas para novas custa a inversa. Escrever a verificação $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ depois de cada conversão pega o erro do $P$ invertido, que é o mais comum do capítulo.

Exemplo 21.11 (Uma boa base torna uma aplicação transparente)

Seja $u(x, y) = (y, x)$ (a troca), com matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ na base canônica. Na base $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

Nenhum produto de matrizes foi realmente necessário: $u$ fixa $(1,1)$ e inverte $(1,-1)$, logo em $\mathcal B'$ a sua matriz tem de ser $\operatorname{diag}(1, -1)$ — a troca é a reflexão em torno da reta $y = x$. Encontrar, para um dado endomorfismo, uma base em que a sua matriz se torne diagonal é o problema central do volume do segundo ano de graduação (a teoria da redução); o problema de fim de semana abaixo mostra quão longe as identidades polinomiais sozinhas já levam.

Exemplo 21.12 (Mudança de base, executada ao contrário)

A projeção sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ tem, na base adaptada $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$, a matriz transparente $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$. Para obter a sua matriz na base canônica, execute o Teorema 21.10 ao contrário, $A = P A' P^{-1}$:

Verificação: $A^2 = A$ (idempotente), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$, e $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, como prescrito. Este sentido inverso — desenhar a matriz na base boa e depois conjugar de volta — é como as matrizes de rotação, de reflexão e de projeção são de fato produzidas na prática.