ما معنى تغيير الأساس؟

مثال 21.9 (قراءة مصفوفة تغيير الأساس)

في $\R^2$، من القانوني $\mathcal B$ إلى $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

(بكتابة المتجهات الجديدة بالإحداثيات القديمة، عمودًا عمودًا). و لمتجهة الإحداثيات القديمة $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ إحداثياتٌ جديدة $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$: فعلًا $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$. وانتبه للاتجاه — فالمصفوفة $P$ مبنية من الأساس الجديد لكنها تحوّل من الجديد إلى القديم ($X = PX'$)؛ وأمّا الانتقال من القديم إلى الجديد فيكلّف المعكوس. وكتابة تحقق السلامة $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ بعد كل تحويل تمسك خطأ قلب $P$، وهو أشيع أخطاء الفصل.

مثال 21.11 (أساس جيد يجعل التطبيق شفافًا)

لتكن $u(x, y) = (y, x)$ (وهي مبادلة)، بمصفوفة $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ في الأساس القانوني. وفي الأساس $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

ولم يُحتَج فعلًا إلى أيّ جداء مصفوفات: فالتطبيق $u$ يثبّت $(1,1)$ و يعكس $(1,-1)$، ومنه يجب أن تكون مصفوفته في $\mathcal B'$ $\operatorname{diag}(1, -1)$ — فالمبادلة هي الانعكاس عبر المستقيم $y = x$. وإيجاد أساس، من أجل تشاكل ذاتي معطى، تصير فيه مصفوفته قطرية هو المسألة المركزية في مجلّد السنة الثانية (نظرية التقطير)؛ وتبيّن مسألة نهاية الأسبوع أدناه إلى أيّ مدى تذهب المتطابقات الكثيرةالحدود وحدها أصلًا.

مثال 21.12 (تغيير الأساس، مشغَّلًا بالمقلوب)

للإسقاط على $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ على امتداد $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$، في الأساس المكيَّف $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$، المصفوفةُ الشفافة $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$. وللحصول على مصفوفته في الأساس القانوني، شغّل المبرهنة 21.10 بالمقلوب، $A = P A' P^{-1}$:

وللتحقق: $A^2 = A$ (فهي جامدة)، و $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$، و $A\binom{1}{1} = \binom11$ و $A\binom{1}{-1} = 0$، كما فُرض. وهذا الاتجاه العكسي — صمّم المصفوفة في الأساس الجيد، ثم اقترن رجوعًا — هو كيف تُنتج فعلًا مصفوفات الدوران والانعكاس والإسقاط في الممارسة.