Wat is basisverandering?

Voorbeeld 21.9 (De matrix van basisverandering lezen)

In $\R^2$, van de canonieke $\mathcal B$ naar $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

(de nieuwe vectoren geschreven in oude coördinaten, kolom voor kolom). De vector met oude coördinaten $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ heeft nieuwe coördinaten $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$: inderdaad is $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$. Let op de richting — de matrix $P$ wordt uit de nieuwe basis gebouwd maar zet nieuw om in oud ($X = PX'$); van oud naar nieuw gaan kost de inverse. De controle $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ opschrijven na elke omzetting vangt de fout met de omgekeerde $P$ op, die de meest voorkomende fout van het hoofdstuk is.

Voorbeeld 21.11 (Een goede basis maakt een afbeelding doorzichtig)

Zij $u(x, y) = (y, x)$ (verwisseling), met matrix $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ in de canonieke basis. In de basis $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

Er was eigenlijk geen matrixproduct nodig: $u$ houdt $(1,1)$ vast en keert $(1,-1)$ om, dus moet haar matrix in $\mathcal B'$ gelijk zijn aan $\operatorname{diag}(1, -1)$ — de verwisseling is de spiegeling in de rechte $y = x$. Voor een gegeven endomorfisme een basis vinden waarin zijn matrix diagonaal wordt, is het centrale probleem van het volume van bachelorjaar 2 (reductietheorie); de weekendopgave hieronder toont hoe ver veeltermidentiteiten alleen al reiken.

Voorbeeld 21.12 (Basisverandering, achterstevoren gelopen)

De projectie op $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ langs $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ heeft, in de aangepaste basis $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$, de doorzichtige matrix $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$. Om haar matrix in de canonieke basis te krijgen, laat men Stelling 21.10 achterstevoren lopen, $A = P A' P^{-1}$:

Controle: $A^2 = A$ (idempotent), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$, en $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, zoals voorgeschreven. Deze omgekeerde richting — ontwerp de matrix in de goede basis en conjugeer terug — is hoe matrices van rotaties, spiegelingen en projecties in de praktijk werkelijk worden gemaakt.