¿Qué es cambio de base?

Ejemplo 21.9 (Leer la matriz de cambio de base)

En $\R^2$, de la canónica $\mathcal B$ a $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

(los vectores nuevos escritos en coordenadas antiguas, columna a columna). El vector de coordenadas antiguas $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ tiene coordenadas nuevas $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$: en efecto, $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$. Ojo con el sentido — la matriz $P$ se construye con la base nueva pero convierte de nuevas a antiguas las coordenadas ($X = PX'$); pasar de antiguas a nuevas cuesta la inversa. Escribir la comprobación $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ tras cada conversión atrapa el error de invertir $P$, que es el fallo más frecuente del capítulo.

Ejemplo 21.11 (Una buena base vuelve transparente una aplicación)

Sea $u(x, y) = (y, x)$ (el intercambio), con matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ en la base canónica. En la base $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

En realidad no hacía falta ningún producto de matrices: $u$ deja fijo $(1,1)$ e invierte $(1,-1)$, así que en $\mathcal B'$ su matriz tiene que ser $\operatorname{diag}(1, -1)$ — el intercambio es la reflexión respecto de la recta $y = x$. Hallar, para un endomorfismo dado, una base en la que su matriz sea diagonal es el problema central del volumen del segundo año (la teoría de reducción); y el problema del fin de semana de más abajo muestra hasta dónde llegan ya las solas identidades polinómicas.

Ejemplo 21.12 (Cambio de base, al revés)

La proyección sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ tiene, en la base adaptada $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$, la matriz transparente $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$. Para obtener su matriz en la base canónica, ejecútese al revés el Teorema 21.10, $A = P A' P^{-1}$:

Comprobación: $A^2 = A$ (idempotente), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$ y $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, como se prescribió. Este sentido inverso —diséñese la matriz en la base buena y conjúguese después de vuelta— es como se producen en la práctica las matrices de rotación, de reflexión y de proyección.