आधार-परिवर्तन क्या है?

उदाहरण 21.9 (आधार-परिवर्तन आव्यूह पढ़ना)

$\R^2$ में, विहित $\mathcal B$ से $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ तक:

(नए सदिश पुराने निर्देशांकों में, स्तंभ-दर-स्तंभ लिखे हुए)। पुराने निर्देशांकों वाले सदिश $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ के नए निर्देशांक $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$ हैं: वस्तुतः $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$। दिशा का ध्यान रखिए — आव्यूह $P$ नए आधार से बनता है, पर वह निर्देशांकों को नए से पुराने में बदलता है ($X = PX'$); पुराने से नए जाने की क़ीमत प्रतिलोम है। हर रूपांतरण के बाद जाँच $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ लिख लेने से उलटे-$P$ वाली त्रुटि पकड़ में आ जाती है, जो इस अध्याय की सबसे आम भूल है।

उदाहरण 21.11 (अच्छा आधार प्रतिचित्रण को पारदर्शी बना देता है)

मान लीजिए $u(x, y) = (y, x)$ (अदला-बदली), जिसका विहित आधार में आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ है। आधार $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ में:

सचमुच किसी आव्यूह-गुणनफल की आवश्यकता नहीं थी: $u$ $(1,1)$ को अचल रखता है और $(1,-1)$ को उलट देता है, अतः $\mathcal B'$ में उसका आव्यूह $\operatorname{diag}(1, -1)$ होना ही था — अदला-बदली रेखा $y = x$ के पार का परावर्तन है। किसी दिए हुए अंतःसमाकारिता के लिए ऐसा आधार खोजना जिसमें उसका आव्यूह विकर्ण हो जाए, स्नातक वर्ष 2 के खंड की केंद्रीय समस्या है (लघुकरण-सिद्धांत); और नीचे की सप्ताहांत समस्या दिखाती है कि अकेली बहुपद-सर्वसमिकाएँ ही कितनी दूर तक ले जाती हैं।

उदाहरण 21.12 (आधार-परिवर्तन, उलटी दिशा में चलाया हुआ)

$G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ के अनुदिश $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ पर प्रक्षेप का, अनुकूलित आधार $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$ में, पारदर्शी आव्यूह $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$ है। उसका विहित-आधार वाला आव्यूह पाने के लिए प्रमेय 21.10 को उलटी दिशा में चलाइए, $A = P A' P^{-1}$:

जाँच: $A^2 = A$ (वर्गसम), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$, और $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, जैसा निर्धारित था। यही उलटी दिशा — अच्छे आधार में आव्यूह गढ़िए, फिर वापस संयुग्मित कीजिए — वह विधि है जिससे व्यवहार में घूर्णन, परावर्तन और प्रक्षेप के आव्यूह सचमुच बनाए जाते हैं।