Qu'est-ce que « changement de base » ?

Exemple 21.9 (Lire la matrice de passage)

Dans $\R^2$, de la base canonique $\mathcal B$ à $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

(les nouveaux vecteurs écrits en anciennes coordonnées, colonne par colonne). Le vecteur d’anciennes coordonnées $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ a pour nouvelles coordonnées $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$ : en effet $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$. Attention au sens — la matrice $P$ est construite à partir de la nouvelle base, mais elle convertit les coordonnées nouvelles en anciennes ($X = PX'$) ; passer des anciennes aux nouvelles coûte l’inverse. Écrire la vérification $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ après chaque conversion permet de repérer l’erreur du $P$ inversé, qui est la faute la plus fréquente du chapitre.

Exemple 21.11 (Une bonne base rend une application transparente)

Soit $u(x, y) = (y, x)$ (l’échange), de matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ dans la base canonique. Dans la base $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

Aucun produit matriciel n’était vraiment nécessaire : $u$ fixe $(1,1)$ et renverse $(1,-1)$, donc dans $\mathcal B'$ sa matrice doit être $\operatorname{diag}(1, -1)$ — l’échange est la symétrie par rapport à la droite $y = x$. Trouver, pour un endomorphisme donné, une base dans laquelle sa matrice devient diagonale est le problème central du volume de Licence 2 (la théorie de la réduction) ; le devoir maison ci-dessous montre jusqu’où les seules identités polynomiales mènent déjà.

Exemple 21.12 (Changement de base, pris à l’envers)

La projection sur $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ a, dans la base adaptée $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$, la matrice transparente $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$. Pour obtenir sa matrice dans la base canonique, on lit le Théorème 21.10 à l’envers, $A = P A' P^{-1}$ :

Vérification : $A^2 = A$ (idempotente), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$, et $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, comme prévu. Ce sens inverse — concevoir la matrice dans la bonne base, puis conjuguer pour revenir — est la façon dont on produit en pratique les matrices de rotation, de symétrie et de projection.