Relasi ekuivalensi কী?

Contoh 1.30 (Memeriksa ketiga aksioma)

Pada $\R$, tetapkan $x \mathbin{\mathcal{R}} y$ bila $x - y \in \Z$. Refleksif: $x - x = 0 \in \Z$. Simetris: jika $x - y \in \Z$ maka $y - x = -(x - y) \in \Z$. Transitif: jika $x - y \in \Z$ dan $y - z \in \Z$, maka $x - z = (x - y) + (y - z) \in \Z$ (jumlah dua bilangan bulat). Jadi $\mathcal R$ adalah relasi ekuivalensi, dan $\mathrm{cl}(x) = x + \Z = \{x + k : k \in \Z\}$: setiap kelas memuat tepat satu wakil di $\intco01$, yaitu bagian pecahan-nya. Sebaliknya, relasi “$\abs{x - y} \leq 1$” pada $\R$ bersifat refleksif dan simetris tetapi tidak transitif ($0 \mathbin{\mathcal R} 1$ dan $1 \mathbin{\mathcal R} 2$, padahal $\abs{0 - 2} > 1$): kedekatan tidak menular, dan tidak ada partisi ke dalam kelas — contoh penyangkal yang berguna untuk diingat ketika pemeriksaan aksioma mulai terasa rutin.

Contoh 1.32

Pada $\Z$, kekongruenan modulo $n$ ($x \equiv y \pmod n$ bila $n$ membagi $x - y$) adalah relasi ekuivalensi; kelas-kelasnya adalah $n$ himpunan bilangan bulat yang bersisa tertentu bila dibagi $n$. Contoh ini menjelma menjadi ring $\Z/n\Z$ pada Bab 7.