Wat is Banachruimte?

Voorbeeld 5.20 (De operatornorm van de integratie)

Zij op $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ de afbeelding $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (een endomorfisme: $T(f)$ is continu). Volg Methode 5.9. Bovengrens:

dus $\vertiii T \leq 1$. Getuige: $f \equiv 1$ geeft $T(f)(x) = x$ en $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$: aangenomen, dus $\vertiii T = 1$. Maar merk op dat $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$: inderdaad voldoet $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ aan $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$, opnieuw aangenomen in $f \equiv 1$; en in het algemeen is $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — de submultiplicatieve grens $\vertiii T^n = 1$ zit er een faculteit naast. Dit is precies het verschijnsel dat de iteratietruc uit de weekendopgave van Hoofdstuk 4 omzet in globale oplosbaarheid van lineaire differentiaalvergelijkingen.

Voorbeeld 5.22 (De matrixexponentiaal, eerste contact)

De matrixexponentiaal: $\mathcal{M}_n(K)$ met een willekeurige submultiplicatieve norm ($\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$) is een banachruimte (eindige dimensie). Dan convergeert voor elke $A$ de reeks

absoluut ($\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$, sommeerbaar): zij is dus welgedefinieerd. Hoofdstuk 16 buit haar systematisch uit.