Qu'est-ce que « espace de Banach » ?

Exemple 5.20 (La norme d’opérateur de l’intégration)

Sur $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$, posons $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (un endomorphisme : $T(f)$ est continue). Déroulons la Méthode 5.9. Borne supérieure :

donc $\vertiii T \leq 1$. Témoin : $f \equiv 1$ donne $T(f)(x) = x$ et $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$ : atteinte, $\vertiii T = 1$. Mais notons $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$ : en effet $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ vérifie $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$, atteinte de nouveau en $f \equiv 1$ ; et plus généralement $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — la borne sous-multiplicative $\vertiii T^n = 1$ se trompe d’une factorielle. C’est exactement le phénomène que l’astuce d’itération du problème du week-end du Chapitre 4 convertit en résolubilité globale des équations différentielles linéaires.

Exemple 5.22 (Exponentielle de matrice, premier contact)

L’exponentielle de matrice : $\mathcal{M}_n(K)$ munie de n’importe quelle norme sous-multiplicative ($\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$) est de Banach (dimension finie). Alors, pour tout $A$,

converge absolument ($\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$, sommable) : bien définie. Le Chapitre 16 l’exploite systématiquement.