¿Qué es espacio de Banach?

Ejemplo 5.20 (La norma de operador de la integración)

Sobre $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$, sea $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (un endomorfismo: $T(f)$ es continua). Apliquemos el Método 5.9. Cota superior:

luego $\vertiii T \leq 1$. Testigo: $f \equiv 1$ da $T(f)(x) = x$ y $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$: se alcanza y $\vertiii T = 1$. Pero obsérvese que $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$: en efecto, $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ cumple $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$, de nuevo alcanzado en $f \equiv 1$; y, en general, $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$: la cota submultiplicativa $\vertiii T^n = 1$ se equivoca por un factorial. Este es exactamente el fenómeno que el truco de la iterada del problema de fin de semana del Capítulo 4 convierte en resolubilidad global de las ecuaciones diferenciales lineales.

Ejemplo 5.22 (La exponencial de matrices, primer contacto)

La exponencial de matrices: $\mathcal{M}_n(K)$ con cualquier norma submultiplicativa ($\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$) es de Banach (dimensión finita). Entonces, para toda $A$,

converge absolutamente ($\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$, sumable): está bien definida. El Capítulo 16 la explota sistemáticamente.