O que é espaço de Banach?

Exemplo 5.20 (A norma de operador da integração)

Em $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$, seja $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (um endomorfismo: $T(f)$ é contínua). Rode o Método 5.9. Cota superior:

logo $\vertiii T \leq 1$. Testemunha: $f \equiv 1$ dá $T(f)(x) = x$ e $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$: atingida, $\vertiii T = 1$. Mas note que $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$: de fato $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ tem $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$, atingida de novo em $f \equiv 1$; e, em geral, $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — a cota submultiplicativa $\vertiii T^n = 1$ erra por um fatorial. Esse é exatamente o fenômeno que o truque do iterado do problema de fim de semana do Capítulo 4 converte em resolubilidade global de equações diferenciais lineares.

Exemplo 5.22 (Exponencial de matriz, primeiro contato)

A exponencial de matriz: $\mathcal{M}_n(K)$ com qualquer norma submultiplicativa ($\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$) é de Banach (dimensão finita). Então, para toda $A$,

converge absolutamente ($\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$, somável): está bem definida. O Capítulo 16 a explora sistematicamente.