Qu'est-ce que « espace métrique compact » ? — Mathématiques

Définition 4.15 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 4 — Topologie des espaces métriques

Un espace métrique $X$ est compact lorsque toute suite de $X$ admet une sous-suite convergeant dans $X$ (la propriété de Bolzano–Weierstrass). Une partie est compacte lorsqu’elle l’est pour la distance induite.

Les premières étapes de l’ensemble de Cantor () : chaque niveau supprime le tiers central ouvert de chaque segment. L’intersection C = _n C_n est compacte, d’intérieur vide et de longueur nulle, et pourtant équipotente à ℝ — et elle revient comme point fixe d’une contraction sur les ensembles dans le problème de fin de semaine de ce chapitre (question 22). — Les premières étapes de l’ensemble de Cantor (Exercice 4.8) : chaque niveau supprime le tiers central ouvert de chaque segment. L’intersection $C = \bigcap_n C_n$ est compacte, d’intérieur vide et de longueur nulle, et pourtant équipotente à $\R$ — et elle revient comme *point fixe* d’une contraction sur les ensembles dans le problème de fin de semaine de ce chapitre (question 22).

Exemples

Exemple 4.17 (Le théorème de Heine, avec et sans compacité)

Sur $\intcc{0}{1}$ , la fonction $x \mapsto x^2$ est uniformément continue — Heine le dit sans aucun calcul, mais l’estimation directe est instructive :

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},

donc $\delta = \varepsilon/2$ convient pour tous les points à la fois. Sur $\R$ la même fonction n’est pas uniformément continue : avec $x_n = n$ et $y_n = n + \frac1n$ , l’écart $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ tandis que $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$ : aucun $\delta$ unique ne sert $\varepsilon = 1$ . Le mécanisme est visible : la constante de Lipschitz locale $\abs{x + y}$ est bornée sur un compact et non bornée sur $\R$ — le théorème de Heine est exactement l’énoncé que la compacité plafonne uniformément de telles constantes locales.

Exemple 4.19 (Distances entre ensembles : la compacité gagne son pain)

Soit $K$ compact, $F$ fermé, $K \cap F = \emptyset$ dans un espace métrique. Alors

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

la fonction $x \mapsto d(x, F)$ est continue (Exercice 4.11) et positive sur $K$ ( $d(x, F) = 0$ mettrait $x \in \overline F = F$ ), donc elle atteint un minimum positif sur le compact $K$ (Théorème 4.16 (3)). La compacité n’est pas décorative : pour deux ensembles fermés l’infimum peut s’annuler sans être atteint — dans $\R^2$ , l’hyperbole $F_1 = \{xy = 1\}$ et l’axe $F_2 = \{y = 0\}$ sont deux fermés disjoints avec $d(F_1, F_2) = 0$ (les points $(n, \frac1n)$ approchent l’axe). La fuite à l’infini est exactement ce que la compacité interdit.

Exemple 4.21 (Un $\varepsilon$ -réseau, compté)

La précompacité (issue de la démonstration du Théorème 4.20) est très concrète sur $\intcc{0}{1}$ : pour $\varepsilon > 0$ , les $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ boules centrées en $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ de rayon $\varepsilon$ le recouvrent — environ $\frac1{2\varepsilon}$ boules, et aucun recouvrement ne peut se contenter de moins de $\frac{1}{2\varepsilon}$ d’entre elles (chaque boule couvre une longueur au plus $2\varepsilon$ ). Dans $\intcc01^2$ le compte s’élève au carré, à l’ordre $\varepsilon^{-2}$ : les nombres de recouvrement croissent comme $\varepsilon^{-d}$ en dimension $d$ — une face quantitative de la compacité, et la raison pour laquelle les boules unités de dimension infinie du Chapitre 5 (où aucun $\frac13$ -réseau fini n’existe) ne peuvent être compactes.

Lire dans le chapitre →

Exemples

Termes liés