Wat is compacte metrische ruimte? — Wiskunde

Definitie 4.15 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 4 — Topologie van metrische ruimten

Een metrische ruimte $X$ heet compact wanneer elke rij in $X$ een deelrij heeft die in $X$ convergeert (de eigenschap van Bolzano–Weierstrass). Een deelverzameling heet compact wanneer zij dat is met de geïnduceerde afstand.

De eerste stadia van de cantorverzameling (): elk niveau verwijdert het open middelste derde van elk segment. De doorsnede C = _n C_n is compact, heeft leeg inwendige en lengte nul, en is toch gelijkmachtig met ℝ — en zij keert terug als vast punt van een contractie op verzamelingen in de weekendopgave van dit hoofdstuk (vraag 22). — De eerste stadia van de cantorverzameling (Oefening 4.8): elk niveau verwijdert het open middelste derde van elk segment. De doorsnede $C = \bigcap_n C_n$ is compact, heeft leeg inwendige en lengte nul, en is toch gelijkmachtig met $\R$ — en zij keert terug als *vast punt* van een contractie op verzamelingen in de weekendopgave van dit hoofdstuk (vraag 22).

Voorbeelden

Voorbeeld 4.17 (De stelling van Heine, met en zonder compactheid)

Op $\intcc{0}{1}$ is de functie $x \mapsto x^2$ uniform continu — Heine zegt dat zonder enige berekening, maar de rechtstreekse schatting is leerzaam:

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},

dus voldoet $\delta = \varepsilon/2$ voor alle punten tegelijk. Op $\R$ is dezelfde functie niet uniform continu: met $x_n = n$ en $y_n = n + \frac1n$ gaat de kloof $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ terwijl $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$ : geen enkele $\delta$ bedient $\varepsilon = 1$ . Het mechanisme is zichtbaar: de lokale Lipschitz-constante $\abs{x + y}$ is begrensd op een compacte verzameling en onbegrensd op $\R$ — de stelling van Heine zegt precies dat compactheid zulke lokale constanten uniform aftopt.

Voorbeeld 4.19 (Afstanden tussen verzamelingen: compactheid verdient haar loon)

Zij $K$ compact en $F$ gesloten met $K \cap F = \emptyset$ in een metrische ruimte. Dan is

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

de functie $x \mapsto d(x, F)$ is continu (Oefening 4.11) en positief op $K$ (uit $d(x, F) = 0$ zou $x \in \overline F = F$ volgen), dus neemt zij op de compacte $K$ een positief minimum aan (Stelling 4.16 (3)). De compactheid is geen versiering: voor twee gesloten verzamelingen kan het infimum nul zijn zonder te worden aangenomen — in $\R^2$ zijn de hyperbool $F_1 = \{xy = 1\}$ en de as $F_2 = \{y = 0\}$ disjuncte gesloten verzamelingen met $d(F_1, F_2) = 0$ (de punten $(n, \frac1n)$ naderen de as). Ontsnappen naar oneindig is precies wat compactheid verbiedt.

Voorbeeld 4.21 (Een $\varepsilon$ -net, geteld)

De totale begrensdheid (uit het bewijs van Stelling 4.20) is op $\intcc{0}{1}$ heel concreet: voor $\varepsilon > 0$ overdekken de $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ bollen met straal $\varepsilon$ rond $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ het interval — ongeveer $\frac1{2\varepsilon}$ bollen, en geen enkele overdekking kan het met minder dan $\frac{1}{2\varepsilon}$ ervan af (elke bol dekt hoogstens lengte $2\varepsilon$ ). In $\intcc01^2$ wordt de telling gekwadrateerd tot de orde $\varepsilon^{-2}$ : overdekkingsgetallen groeien als $\varepsilon^{-d}$ in dimensie $d$ — een kwantitatief gezicht van compactheid, en de reden dat de oneindigdimensionale eenheidsbollen van Hoofdstuk 5 (waar helemaal geen eindig $\frac13$ -net bestaat) niet compact kunnen zijn.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen