ما معنى فضاء متري متراص؟

مثال 4.17 (مبرهنة هاينه، مع التراص وبدونه)

على $\intcc{0}{1}$، تكون الدالة $x \mapsto x^2$ متصلة بانتظام — وتقول مبرهنة هاينه ذلك بلا حساب، لكن التقدير المباشر مفيد:

ومن ثم يفي $\delta = \varepsilon/2$ بكل النقاط دفعةً واحدة. أما على $\R$ فالدالة نفسها ليست متصلة بانتظام: فمع $x_n = n$ و$y_n = n + \frac1n$، تكون الفجوة $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ في حين أن $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$: فلا يوجد $\delta$ واحد يفي بالاختيار $\varepsilon = 1$. والآلية ظاهرة: فالثابت الليبشيتزي المحلي $\abs{x + y}$ محدود على متراص وغير محدود على $\R$ — ومبرهنة هاينه هي بالضبط القول بأن التراص يضع سقفًا منتظمًا لمثل هذه الثوابت المحلية.

مثال 4.19 (المسافات بين المجموعات: التراص يستحق أجره)

لتكن $K$ متراصة و$F$ مغلقة، مع $K \cap F = \emptyset$، في فضاء متري. عندئذٍ

فالدالة $x \mapsto d(x, F)$ متصلة (التمرين 4.11) وموجبة على $K$ (إذ إن $d(x, F) = 0$ يضع $x \in \overline F = F$)، ومن ثم تبلغ حدًّا أدنى موجبًا على المتراص $K$ (المبرهنة 4.16 (3)). وليس التراص زينة: فمن أجل مجموعتين مغلقتين قد ينعدم الحدّ الأدنى دون أن يُبلغ — ففي $\R^2$، القطعُ الزائد $F_1 = \{xy = 1\}$ والمحور $F_2 = \{y = 0\}$ مجموعتان مغلقتان منفصلتان مع $d(F_1, F_2) = 0$ (فالنقاط $(n, \frac1n)$ تقترب من المحور). والهرب إلى اللانهاية هو بالضبط ما يمنعه التراص.

مثال 4.21 (شبكة $\varepsilon$، معدودة)

الحدّ الكلي (من برهان المبرهنة 4.20) ملموس جدًا على $\intcc{0}{1}$: فمن أجل $\varepsilon > 0$، تغطيه الكرات $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ ذوات المراكز $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ ونصف القطر $\varepsilon$ — أي نحو $\frac1{2\varepsilon}$ كرة، ولا تستطيع أي تغطية أن تكتفي بأقلّ من $\frac{1}{2\varepsilon}$ منها (فكل كرة تغطي طولًا لا يتجاوز $2\varepsilon$). وفي $\intcc01^2$ يتربّع العدد فيصير من رتبة $\varepsilon^{-2}$: فأعداد التغطية تنمو مثل $\varepsilon^{-d}$ في البعد $d$ — وهو وجه كمّي للتراص، والسبب في أن كرات الوحدة غير المنتهية البعد في الفصل 5 (حيث لا توجد أي شبكة $\frac13$ منتهية) لا يمكن أن تكون متراصة.