O que é espaço métrico compacto? — Matemática

Definição 4.15 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 4 — Topologia dos espaços métricos

Um espaço métrico $X$ é compacto quando toda sequência em $X$ tem uma subsequência que converge em $X$ (a propriedade de Bolzano–Weierstrass). Uma parte é compacta quando o é com a distância induzida.

As primeiras etapas do conjunto de Cantor (): cada nível apaga o terço médio aberto de cada segmento. A interseção C = _n C_n é compacta, tem interior vazio e comprimento zero, e no entanto é equipotente a ℝ — e ela reaparece como ponto fixo de uma contração sobre conjuntos no problema de fim de semana deste capítulo (questão 22). — As primeiras etapas do conjunto de Cantor (Exercício 4.8): cada nível apaga o terço médio aberto de cada segmento. A interseção $C = \bigcap_n C_n$ é compacta, tem interior vazio e comprimento zero, e no entanto é equipotente a $\R$ — e ela reaparece como *ponto fixo* de uma contração sobre conjuntos no problema de fim de semana deste capítulo (questão 22).

Exemplos

Exemplo 4.17 (O teorema de Heine, com e sem compacidade)

Em $\intcc{0}{1}$ , a função $x \mapsto x^2$ é uniformemente contínua — Heine o afirma sem cálculo algum, mas a estimativa direta é instrutiva:

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},

de modo que $\delta = \varepsilon/2$ serve para todos os pontos de uma vez. Em $\R$ a mesma função não é uniformemente contínua: com $x_n = n$ e $y_n = n + \frac1n$ , o afastamento $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ enquanto $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$ : nenhum $\delta$ único serve para $\varepsilon = 1$ . O mecanismo é visível: a constante lipschitziana local $\abs{x + y}$ é limitada num compacto e ilimitada em $\R$ — o teorema de Heine é exatamente a afirmação de que a compacidade limita tais constantes locais uniformemente.

Exemplo 4.19 (Distâncias entre conjuntos: a compacidade ganha o pão)

Sejam $K$ compacto, $F$ fechado, $K \cap F = \emptyset$ num espaço métrico. Então

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

a função $x \mapsto d(x, F)$ é contínua (Exercício 4.11) e positiva em $K$ ( $d(x, F) = 0$ poria $x \in \overline F = F$ ), logo atinge um mínimo positivo no compacto $K$ (Teorema 4.16 (3)). A compacidade não é decorativa: para dois fechados o ínfimo pode se anular sem ser atingido — em $\R^2$ , a hipérbole $F_1 = \{xy = 1\}$ e o eixo $F_2 = \{y = 0\}$ são fechados disjuntos com $d(F_1, F_2) = 0$ (os pontos $(n, \frac1n)$ se aproximam do eixo). A fuga para o infinito é exatamente o que a compacidade proíbe.

Exemplo 4.21 (Uma $\varepsilon$ -rede, contada)

A precompacidade (extraída da demonstração do Teorema 4.20) é bem concreta em $\intcc{0}{1}$ : para $\varepsilon > 0$ , as $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ bolas centradas em $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ de raio $\varepsilon$ o cobrem — cerca de $\frac1{2\varepsilon}$ bolas, e nenhuma cobertura consegue usar menos de $\frac{1}{2\varepsilon}$ delas (cada bola cobre comprimento no máximo $2\varepsilon$ ). Em $\intcc01^2$ a contagem eleva-se ao quadrado, da ordem de $\varepsilon^{-2}$ : os números de recobrimento crescem como $\varepsilon^{-d}$ em dimensão $d$ — uma face quantitativa da compacidade, e a razão pela qual as bolas unitárias de dimensão infinita de Capítulo 5 (onde não existe nenhuma $\frac13$ -rede finita) não podem ser compactas.

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