Subgrup কী?

Contoh 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: ia tak kosong, dan untuk $z, w \in \mathbb{U}_n$ berlaku $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. Subgrup $(\Z, +)$ tepat berupa $n\Z$ (dibuktikan pada Teorema 6.4). Irisan subgrup selalu menjadi subgrup, tetapi gabungannya hampir tak pernah demikian (Latihan 7.6).

Contoh 7.13 (Morfisma tanda)

Pemetaan $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ yang mengirim $x$ ke tandanya adalah morfisma: karena tanda sebuah hasil kali sama dengan hasil kali tandanya. Kernelnya adalah $\intoo0{+\infty}$ (sebuah subgrup, sesuai janji Definisi 7.10), dan petanya seluruh $\{\pm1\}$: jadi surjektif, tetapi sangat tak injektif. Dua pelajaran umum dalam wujud mini. Pertama, sebuah morfisma boleh saja meremukkan informasi: $s$ tak mengingat apa pun dari $x$ selain satu bit, dan itulah keutamaannya — argumen tanda tepat merupakan perhitungan yang melewati $s$. Kedua, morfisma ke $\{\pm1\}$ adalah “invarian” yang paling sederhana: tanda permutasi, yang dibangun pada soal akhir pekan bab ini, adalah gejala yang sama pada grup $\mathfrak S_n$, dan semua argumen paritas yang digerakkannya turun lewat morfisma bernilai dua semacam itu.