¿Qué es elementos asociados?

Ejemplo 2.20 (Un anillo sin factorización única)

Ninguna de las implicaciones euclídeo $\Rightarrow$ DIP $\Rightarrow$ DFU es una equivalencia, y merece la pena ver una vez, con todo detalle, cómo falla la última. En

la norma es multiplicativa y $N(z) = 1$ si y solo si $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Consideremos

Los cuatro factores son irreducibles: sus normas valen $4, 9, 6, 6$, y una factorización propia $z = z_1z_2$ obligaría a $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — pero $a^2 + 5b^2$ nunca es igual a $2$ ni a $3$ ($b = 0$ deja los no cuadrados $2, 3$; $\abs b \geq 1$ da $\geq 5$). Sin embargo, $2$ no es asociado de ninguno de los dos $1 \pm \iu\sqrt5$ (normas $4 \neq 6$): dos factorizaciones genuinamente distintas de $6$ en irreducibles. Equivalentemente, aquí irreducible $\neq$ primo: $2$ divide al producto $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ pero a ninguno de los dos factores (de nuevo por las normas). La reparación del fallo en términos de ideales — factorizar ideales en lugar de elementos — es el nacimiento de la teoría algebraica de números; a nuestro nivel, el ejemplo calibra hasta qué punto son especiales los anillos euclídeos $\Z$, $K[X]$, $\Z[\iu]$ de este capítulo.

Ejemplo 2.26

$X^n - p$ es irreducible sobre $\Q$ para todo primo $p$ y todo $n \geq 1$ (Eisenstein en $p$): hay polinomios irreducibles de todos los grados sobre $\Q$ — en marcado contraste con $\C$ (grado $1$, d’Alembert–Gauss, demostrado en el Capítulo 16) y con $\R$ (grados $1, 2$). El truco de trasladar amplía el alcance de Eisenstein: el polinomio ciclotómico $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ de índice $p$ cumple

Eisenstein en $p$ ($p \mid \binom pk$ para $0 < k < p$, y $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$): $\Phi_p(X+1)$, y por tanto $\Phi_p$, es irreducible sobre $\Q$. Este es el corazón algebraico de la historia del $17$-ágono que se cuenta en el Capítulo 4.