Wat is geassocieerde elementen?

Voorbeeld 2.20 (Een ring zonder eenduidige ontbinding)

Geen van de implicaties euclidisch $\Rightarrow$ hoofdideaaldomein $\Rightarrow$ UFD is een gelijkwaardigheid, en het falen van de laatste is het waard om één keer helemaal uit te schrijven. In

is de norm multiplicatief en geldt $N(z) = 1$ precies wanneer $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Beschouw

Alle vier de factoren zijn irreducibel: hun normen zijn $4, 9, 6, 6$, en een echte ontbinding $z = z_1z_2$ zou $N(z_1) \in \{2, 3\}$ afdwingen — maar $a^2 + 5b^2$ is nooit $2$ of $3$ ($b = 0$ laat de niet-kwadraten $2, 3$ over; $\abs b \geq 1$ geeft $\geq 5$). En toch is $2$ met geen van beide $1 \pm \iu\sqrt5$ geassocieerd (normen $4 \neq 6$): twee werkelijk verschillende ontbindingen van $6$ in irreducibele factoren. Gelijkwaardig: hier is irreducibel $\neq$ priem, want $2$ deelt het product $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ maar geen van beide factoren (opnieuw de normen). De ideaaltheoretische reparatie van dit falen — idealen ontbinden in plaats van elementen — is de geboorte van de algebraïsche getaltheorie; op ons niveau ijkt het voorbeeld hoe bijzonder de euclidische ringen $\Z$, $K[X]$ en $\Z[\iu]$ van dit hoofdstuk werkelijk zijn.

Voorbeeld 2.26

$X^n - p$ is irreducibel over $\Q$ voor elk priemgetal $p$ en elke $n \geq 1$ (Eisenstein bij $p$): er zijn dus over $\Q$ irreducibele veeltermen van elke graad — in scherp contrast met $\C$ (graad $1$, d’Alembert–Gauss, bewezen in Hoofdstuk 16) en $\R$ (graden $1$ en $2$). De truc van het verschuiven vergroot het bereik van Eisenstein: de $p$-de cyclotomische veelterm $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ voldoet aan

en dat is Eisenstein bij $p$ ($p \mid \binom pk$ voor $0 < k < p$, en $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$): dus is $\Phi_p(X+1)$, en daarmee $\Phi_p$, irreducibel over $\Q$. Dit is het algebraïsche hart van het verhaal over de regelmatige $17$-hoek in Hoofdstuk 4.