Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

16Gelombang Terpandu dan Rongga

Pulsa sebuah radar berjalan dari pemancarnya ke piringannya di dalam pipa tembaga bersegi empat; cahaya sebuah sambungan internet berjalan sepuluh ribu kilometer di dalam benang kaca yang lebih tipis daripada sehelai rambut; gelombang mikro sebuah oven memantul-mantul di antara dindingnya lalu menetap menjadi pola bintik panas dan dingin. Sebuah gelombang yang terkurung dinding yang menghantar atau membiaskan bukan lagi gelombang bidang yang bebas pergi ke mana pun: ia harus memenuhi syarat batas pada dindingnya, dan itu memilih bentuk yang boleh diambilnya — yaitu ragam-nya — dan melarangnya di bawah frekuensi ambang. Bab ini membangun pandu yang paling sederhana, dua keping penghantar yang sejajar, dari pemantulan Bab 15; lalu pandu gelombang bersegi empat, rongga tertutupnya, dan, dalam gambaran sinar, serat optik.

16.1 Gelombang di antara dua keping penghantar

Proposisi 16.1 (Ragam pandu keping sejajar)

Dua bidang penghantar sempurna $y = 0$ dan $y = a$ membatasi ruang hampa. Carilah gelombang yang berjalan sepanjang $z$ dengan $\vect E = E(y)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} \vect e_x$ (medannya sejajar kepingnya, tegak lurus arah rambatnya). Persamaan Maxwell dalam hampa dan syarat $E = 0$ pada kepingnya memaksakan

E(y) = E_0\sin\frac{n\pi y}a , \qquad k_g^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \Bigl(\frac{n\pi}a\Bigr)^2 , \qquad n = 1, 2, \dots

Ragam $n$ hanya merambat di atas frekuensi ambang-nya $f_n = nc/2a$ ; di bawahnya, $k_g$ khayal dan medannya meluruh sepanjang pandunya. Kecepatan fase dan grupnya adalah

v_\varphi = \frac c{\sqrt{1 - f_n^2/f^2}} > c , \qquad v_g = c\sqrt{1 - f_n^2/f^2} < c , \qquad v_\varphi v_g = c^2 ,

dan medan magnetnya mempunyai komponen sepanjang $y$ dan sepanjang $z$ : sebuah gelombang terpandu tidak transversal dalam arah rambatnya.

Bukti. Sisipkanlah ke dalam $\Delta\vect E = \partial_t^2\vect E/c^2$ : $E'' - k_g^2E = -(\omega^2/c^2)E$ , yakni $E'' + (\omega^2/c^2 - k_g^2)E = 0$ , yang penyelesaiannya yang lenyap di $y = 0$ dan $y = a$ adalah sinus dengan $\omega^2/c^2 - k_g^2 = (n\pi/a)^2$ ; $\operatorname{div} \vect E = 0$ berlaku karena $E_x$ tidak bergantung pada $x$ . Faraday memberi $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ dan $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E$ , yang terakhir dalam kuadratur. Kecepatannya menyusul dari bentuk Klein–Gordon hubungan dispersinya (Bab 8). ∎

Catatan 16.2 (Ragam sebagai dua gelombang bidang)

$\sin(n\pi y/a)\eu^{-\iu k_gz}$ adalah jumlah dua gelombang bidang bervektor gelombang $(0, \pm n\pi/a, k_g)$ , bermodulus $\omega/c$ , yang memantul-mantul di antara kepingnya pada sudut $\theta$ dari sumbunya dengan $\cos\theta = k_gc/\omega$ : sebuah ragam terpandu adalah gelombang bidang yang berjalan zigzag di antara dindingnya, terpantul dengan $r = -1$ pada masing-masingnya, dan gelombang berdiri transversalnya merupakan syarat bahwa ia berinterferensi membangun dengan dirinya sendiri. Energinya berjalan sepanjang zigzagnya dengan $c$ , maka sepanjang sumbunya dengan $c\cos\theta = v_g$ ; perpotongan puncaknya dengan sumbunya berlari dengan $c/\cos\theta = v_\varphi$ . Pada ambangnya gelombangnya memantul bolak-balik menyeberangi pandunya lalu tak pergi ke mana pun.

Kiri: sebuah ragam terpandu adalah gelombang bidang yang memantul-mantul di antara kepingnya; sudut membuka ketika frekuensinya mendekati ambangnya. Kanan: profil transversal E(y) kedua ragam pertamanya, yang lenyap pada dinding penghantarnya. — Kiri: sebuah ragam terpandu adalah gelombang bidang yang memantul-mantul di antara kepingnya; sudut $\theta$ membuka ketika frekuensinya mendekati ambangnya. Kanan: profil transversal $E(y)$ kedua ragam pertamanya, yang lenyap pada dinding penghantarnya.

Kiri: kurva dispersi ketiga ragam pertama sebuah pandu, masing-masing sebuah hiperbola yang bermula pada ambangnya. Kanan: kecepatan fase dan grup sebuah ragam terhadap frekuensi; energinya merangkak dekat ambangnya lalu mendekati c jauh di atasnya. — Kiri: kurva dispersi ketiga ragam pertama sebuah pandu, masing-masing sebuah hiperbola yang bermula pada ambangnya. Kanan: kecepatan fase dan grup sebuah ragam terhadap frekuensi; energinya merangkak dekat ambangnya lalu mendekati $c$ jauh di atasnya.

Contoh 16.3 (Angka)

Keping yang terpisah $3\,\mathrm{cm}$ : $f_1 = 5\,\mathrm{GHz}$ , $f_2 = 10\,\mathrm{GHz}$ ; di antara kedua frekuensi itu hanya satu ragam yang merambat (kerja ragam tunggal, yang menjaga sebuah pulsa dari terbelah menjadi beberapa dengan $v_g$ berbeda). Pada $8\,\mathrm{GHz}$ ragam $n = 1$ mempunyai $v_g = 0.78c$ , $v_\varphi = 1.28c$ , dan panjang gelombang pandunya $\lambda_g = 2\pi/k_g = 4.8\,\mathrm{cm}$ alih-alih $3.75\,\mathrm{cm}$ dalam ruang bebas. Pada $4\,\mathrm{GHz}$ tak ada yang lolos: medannya meluruh sebagai $\eu^{-z/\ell}$ dengan $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.6\,\mathrm{cm}$ — itulah asas jala pada pintu oven, pandu gelombang di bawah ambangnya yang dipakai sebagai pelemah tertera, dan cerobong logam ventilasi yang meloloskan udara tetapi bukan radio.

16.2 Pandu gelombang bersegi empat dan rongganya

Proposisi 16.4 (Pandu bersegi empat; ragam TE $_{10}$ )

Sebuah pipa logam berongga berpenampang segi empat $a \times b$ ( $a > b$ ) mengemban ragam yang frekuensi ambangnya adalah

f_{mn} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2} ;

yang terendah, ragam TE $_{10}$ ( $f_{10} = c/2a$ ), mempunyai $\vect E = E_0\sin (\pi x/a)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\,\vect e_y$ : satu setengah sinus menyeberangi sisi lebarnya, seragam menyeberangi sisi sempitnya, lenyap pada kedua dinding $x = 0$ , $x = a$ — tepat ragam keping sejajarnya, sedangkan dinding sisinya $y = 0$ , $b$ tegak lurus $\vect E$ dan tak memaksakan apa pun padanya. Pandunya dipakai antara $f_{10}$ dan ambang berikutnya; garis medan magnetnya menutup dalam bidang $xz$ dan arus yang diimbaskannya dalam dindingnya adalah yang tak boleh dipotong sebuah celah. Daya yang diembannya adalah $\tfrac14\varepsilon_0cE_0^2\,ab \sqrt{1 - f_{10}^2/f^2}$ .

Bukti. Ragam umumnya adalah hasil kali $\cos$ / $\sin$ dalam $x$ dan $y$ dengan syarat batas pada keempat dindingnya, yang memberi $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (m\pi/a)^2 - (n\pi/b)^2$ (diterima tanpa bukti secara umum; hal TE $_{10}$ -nya adalah proposisi di atas). Dayanya: vektor Poynting rerata sepanjang $z$ adalah $E_0^2\sin^2(\pi x/a) \,k_g/2\mu_0\omega$ yang diintegralkan di seluruh penampangnya. ∎

Ragam TE_10 sebuah pandu bersegi empat: medan listriknya merentangi dimensi sempitnya dengan profil setengah sinus menyeberangi yang lebar; medan magnetnya menutup dalam simpal pada bidang muka lebarnya, sepanjang setengah panjang gelombang pandunya. — Ragam TE $_{10}$ sebuah pandu bersegi empat: medan listriknya merentangi dimensi sempitnya dengan profil setengah sinus menyeberangi yang lebar; medan magnetnya menutup dalam simpal pada bidang muka lebarnya, sepanjang setengah panjang gelombang pandunya.

Proposisi 16.5 (Resonator rongga)

Menutup sebuah pandu dengan dua dinding penghantar yang terpisah sepanjang $d$ mengubahnya menjadi rongga, yang di dalamnya gelombang terpandunya harus membentuk gelombang berdiri sepanjang $z$ juga: $k_g = p\pi/d$ , dan frekuensi resonansi sebuah kotak segi empat $a \times b \times d$ adalah

f_{mnp} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2 + \Bigl(\frac pd\Bigr)^2} .

Jumlah ragam berfrekuensi di bawah $f$ tumbuh sebagai $8\pi V f^3/3c^3$ bagi sebuah kotak bervolume $V$ (diterima tanpa bukti: cacahlah titik kisi $(m/2a, n/2b, p/2d)$ dalam seperdelapan bola, dengan dua polarisasi) — yaitu rapat ragam yang akan diperlukan teori radiasi termal (Bab 26). Tiap ragamnya mempunyai faktor kualitas $Q$ yang ditetapkan rugi dindingnya (hambatan permukaan Bab 14), lazimnya $10^3$ – $10^4$ bagi tembaga pada frekuensi gelombang mikro, $10^{10}$ bagi rongga adihantar.

Bukti. Gelombang berdiri sepanjang ketiga arahnya dengan simpul pada keenam dindingnya; vektor gelombangnya $(m\pi/a, n\pi/b, p\pi/d)$ bermodulus $\omega/c$ . ∎

Contoh 16.6 (Oven, radar, jam)

Sebuah oven gelombang mikro $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ dekat $2.45\,\mathrm{GHz}$ mempunyai berpuluh ragam dalam beberapa persen dari frekuensi magnetronnya: medannya adalah tumpang tindih gelombang berdiri, dengan maksimum yang terpisah $6\,\mathrm{cm}$ , yang diratakan piringan putarnya (dan sebuah “pengaduk ragam”). Magnetron sebuah radar sendiri merupakan resonator rongga; sebuah pemercepat partikel adalah rantai rongga adihantar yang ragam TM-nya mendorong gerombolannya; atom sebuah jam sesium menyeberangi rongga gelombang mikro yang ditalakan ke $9.19\,\mathrm{GHz}$ .

16.3 Serat optik dalam gambaran sinar

Proposisi 16.7 (Serat indeks tangga)

Sebuah inti kaca berindeks $n_1$ yang dikelilingi selongsong berindeks sedikit lebih rendah $n_2$ memandu cahaya lewat pemantulan dalam total pada batas intinya. Sebuah sinar yang memasuki muka ujungnya dari udara pada sudut $\alpha$ dari sumbunya terperangkap jika $\sin\alpha < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , yaitu apertur numerik-nya; sinar dari sudut yang berbeda menempuh panjang yang berbeda, dan sebuah pulsa yang memasuki serat sepanjang $L$ tersebar sebesar

\Delta t = \frac{n_1L}c\Bigl(\frac{n_1}{n_2} - 1\Bigr) ,

yaitu dispersi ragam-nya — sekitar $50\,\mathrm{ns}$ tiap kilometer bagi $n_1 - n_2 = 0.01$ , yang membatasi serat beragam banyak sampai beberapa megabit tiap sekon sepanjang sepuluh kilometer. Sebuah serat ragam tunggal mempunyai inti yang begitu tipis ( $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) sehingga hanya satu ragam yang merambat, seperti pandunya di antara kedua ambang pertamanya; yang tersisa adalah dispersi kromatik kacanya (Bab 8).

Bukti. Pemantulan total di antarmuka inti–selongsongnya menuntut $\sin\theta > n_2/n_1$ bagi sudut $\theta$ dari normal ke batasnya, yakni $\cos \theta' > n_2/n_1$ bagi sudut $\theta'$ dari sumbunya di dalam; pembiasan di pintu masuknya memberi $\sin\alpha = n_1\sin\theta'$ , sehingga $\sin\alpha < n_1\sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ . Sinar terperangkap yang paling curam menempuh $L/\cos\theta' = Ln_1/n_2$ melawan $L$ bagi yang sesumbu, dengan $c/n_1$ . ∎

Sebuah serat indeks tangga dalam gambaran sinar: sinar di dalam kerucut penerimaannya terperangkap oleh pemantulan dalam total; sinar zigzagnya tiba sesudah yang sesumbu — dispersi ragam.

Metode 16.8 (Pembukuan gelombang terpandu)

(1) Kenalilah dindingnya dan syaratnya (komponen tangensial $\vect E = 0$ pada penghantar; pemantulan total bagi dielektrik). (2) Tuliskanlah medannya sebagai gelombang berdiri transversal dikalikan faktor yang berjalan sepanjang pandunya; syarat batasnya mengkuantumkan bilangan gelombang transversalnya. (3) Hubungan dispersinya $k_g^2 = \omega^2/c^2 - k_\perp^2$ memberi ambangnya, $v_\varphi$ , $v_g$ , $\lambda_g$ . (4) Cacahlah ragam yang merambat pada frekuensi kerjanya; bidiklah satu. (5) Bagi sebuah rongga tambahkanlah syarat membujurnya lalu carilah frekuensi resonansinya; bagi ruginya pakailah hambatan permukaannya.

16.4 Latihan

Latihan 16.1 ★

Keping yang terpisah $2.0\,\mathrm{cm}$ : tentukanlah frekuensi ambang ketiga ragam pertamanya; pada $12\,\mathrm{GHz}$ , ragam mana yang merambat, dan bagi yang pertama $k_g$ , $\lambda_g$ , $v_\varphi$ , $v_g$ ; pada $6\,\mathrm{GHz}$ , panjang peluruhan medannya.

Solusi

Solusi Latihan 16.1.

$f_n = nc/2a = 7.5$ , $15$ , $22.5\,\mathrm{GHz}$ . Pada $12\,\mathrm{GHz}$ hanya $n = 1$ : $k_g = (2\pi/c)\sqrt{f^2 - f_1^2} = 196\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda_g = 3.2\,\mathrm{cm}$ , $v_\varphi = c/0.78 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 2.3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Pada $6\,\mathrm{GHz}$ : $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.1\,\mathrm{cm}$ .

Latihan 16.2 ★

Sebuah pandu gelombang pita X baku mempunyai $a = 22.9\,\mathrm{mm}$ , $b = 10.2\,\mathrm{mm}$ . Tentukanlah ambang TE $_{10}$ , TE $_{20}$ dan TE $_{01}$ ; pita ragam tunggalnya; pada $10\,\mathrm{GHz}$ : $\lambda_g$ , $v_g$ , sudut zigzagnya. Mengapa $b \approx a/2$ merupakan pilihan yang baik?

Solusi

Solusi Latihan 16.2.

TE $_{10}$ $6.55\,\mathrm{GHz}$ , TE $_{20}$ $13.1\,\mathrm{GHz}$ , TE $_{01}$ $14.7\,\mathrm{GHz}$ : ragam tunggal dari $6.55$ sampai $13.1\,\mathrm{GHz}$ . Pada $10\,\mathrm{GHz}$ : $\sqrt{1 - (6.55/10)^2} = 0.756$ , $\lambda_g = 4.0\,\mathrm{cm}$ , $v_g = 0.76c$ , $\cos\theta = 0.756$ , $\theta = 41{}^{\circ}$ . $b \approx a/2$ menjaga TE $_{01}$ di atas TE $_{20}$ (pita ragam tunggal terlebar) sambil menyisakan celah terbesar bagi medannya (daya sebelum dadal).

Latihan 16.3 ★

Sebuah rongga $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ : tentukanlah frekuensi ragam $(1,1,0)$ , $(1,0,1)$ , $(2,1,1)$ , $(3,2,1)$ ; jumlah ragam di bawah $2.5\,\mathrm{GHz}$ dari rumus pencacahnya; ragam terendah sebuah rongga kubus $9.19\,\mathrm{GHz}$ — berapa sisinya.

Solusi

Solusi Latihan 16.3.

$f = 1.5 \times 10^8\sqrt{(m/0.3)^2 + (n/0.3)^2 + (p/0.2)^2}$ : $0.71\,\mathrm{GHz}$ , $0.90\,\mathrm{GHz}$ , $1.35\,\mathrm{GHz}$ , $1.95\,\mathrm{GHz}$ . $N = 8\pi Vf^3/3c^3 = 8\pi \times 0.018 \times 1.56 \times 10^{28}/ 8.1 \times 10^{25} \approx 260$ . Kubusnya: $f = c\sqrt2/2L$ , $L = 2.3\,\mathrm{cm}$ .

Latihan 16.4 ★

Sebuah serat mempunyai $n_1 = 1.48$ , $n_2 = 1.46$ . Tentukanlah apertur numerik dan setengah sudut penerimaannya; sebaran ragamnya tiap kilometer; laju bit maksimum sepanjang $2\,\mathrm{km}$ jika satu bit harus berlangsung lebih lama daripada sebarannya; hal yang sama dengan $n_1 - n_2 = 0.003$ .

Solusi

Solusi Latihan 16.4.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.48^2 - 1.46^2} = 0.24$ , $14{}^{\circ}$ ; $\Delta t = (n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $135\,\mathrm{ns}$ sepanjang $2\,\mathrm{km}$ : $7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ; dengan $0.003$ : $10\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ , $50\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

Latihan 16.5 ★★

Bagi ragam keping sejajar $n = 1$ : (a) carilah $\vect B$ dari hukum Faraday lalu tunjukkanlah bahwa ia mempunyai komponen $z$ dalam kuadratur dengan $E$ . (b) Arus permukaan pada tiap kepingnya (hubungan batas). (c) Vektor Poynting rerata sepanjang $z$ dan daya tiap satuan lebarnya; periksalah bahwa komponen transversalnya rata-ratanya nol. (d) Tunjukkanlah bahwa kecepatan energinya, yaitu daya dibagi energi rerata tiap satuan panjang, sama dengan $v_g$ .

Solusi

Solusi Latihan 16.5.

(a) $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ , $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E = (\iu\pi/a\omega) E_0\cos(\pi y/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}$ : dalam kuadratur. (b) Di $y = 0$ , $B_y = 0$ dan $\vect j_s = \vect e_y\wedge\vect B/\mu_0 = (B_z/\mu_0)\vect e_x$ : sepanjang medannya. (c) $\langle\Pi_z\rangle = E_0^2k_g\sin^2(\pi y/a)/2\mu_0\omega$ , daya tiap satuan lebarnya $E_0^2k_ga/4\mu_0\omega$ ; $\langle\Pi_y\rangle \propto \operatorname{Re}(\underline E\,\iu\underline B_z^*) = 0$ . (d) Energi rerata tiap satuan panjang dan lebarnya $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2a$ (paruh listrik dan magnetiknya masing-masing $\tfrac18\varepsilon_0E_0^2a$ ); nisbahnya adalah $c^2k_g/\omega = v_g$ .

Latihan 16.6 ★★

Di bawah ambang. (a) Sebuah lubang $1\,\mathrm{mm}$ pada jala $0.5\,\mathrm{mm}$ sebuah pintu oven pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ : perlakukanlah sebagai pandu berlebar $a = 1\,\mathrm{mm}$ ; tentukanlah panjang peluruhan dan pelemahannya menyeberangi lembarnya dalam dB (bandingkanlah Bab 14). (b) Sebuah cerobong ventilasi berpenampang $20\,\mathrm{cm}$ dalam ruang terperisai: sampai frekuensi berapa ia menghalangi radio, dan seberapa besar ia melemahkan $100\,\mathrm{MHz}$ sepanjang $1\,\mathrm{m}$ ? (c) Sebuah “pelemah pandu gelombang di bawah ambang” memakai tabung berdiameter $1\,\mathrm{cm}$ pada $1\,\mathrm{GHz}$ : tentukanlah pelemahannya tiap sentimeter (pakailah rumus kepingnya dengan $a = 1\,\mathrm{cm}$ sebagai taksiran). (d) Mengapa pelemahannya tak bergantung pada konduktivitas dindingnya?

Solusi

Solusi Latihan 16.6.

(a) $f_1 = 150\,\mathrm{GHz} \gg f$ : $\ell \approx a/\pi = 0.32\,\mathrm{mm}$ ; $\eu^{-0.5/0.32}$ : $-14\,\mathrm{dB}$ dalam amplitudo, $-27$ dalam daya. (b) $f_1 = 750\,\mathrm{MHz}$ ; pada $100\,\mathrm{MHz}$ $\ell = 6.4\,\mathrm{cm}$ : $-136\,\mathrm{dB}$ sepanjang satu meter. (c) $f_1 = 15\,\mathrm{GHz}$ , $\ell = 3.2\,\mathrm{mm}$ : $27\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}$ . (d) Gelombangnya tak muat; keevanesenan itu geometri, bukan pelesapan.

Latihan 16.7 ★★

Daya dan dadal. Pandu pita X Latihan 16.2 mengemban TE $_{10}$ pada $10\,\mathrm{GHz}$ . (a) Tentukanlah dayanya bagi $E_0 = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ . (b) Udara dadal pada $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : tentukanlah daya maksimumnya; bagaimana radar mengemban bermegawatt (pemampatan, gas)? (c) Rugi dindingnya: arus permukaan pada dinding lebarnya berorde $E_0/\mu_0c$ ; dengan $R_s = 0.026\,\Omega$ bagi tembaga pada $10\,\mathrm{GHz}$ , taksirlah ruginya tiap meter dan pelemahannya dalam dB/m. (d) Bandingkanlah dengan $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ sebuah kabel sesumbu: mengapa pandu dipakai pada frekuensi ini?

Solusi

Solusi Latihan 16.7.

(a) $P = \tfrac14\varepsilon_0cE_0^2ab\sqrt{1 - f_{10}^2/f^2} = 120\,\mathrm{kW}$ . (b) $\times9$ : $1\,\mathrm{MW}$ ; nitrogen bertekanan atau SF $_6$ menaikkan medan dadalnya. (c) $j_s \approx E_0/\mu_0c = 2.7\,\mathrm{kA}/\mathrm{m}$ ; $\tfrac12R_sj_s^2 = 9 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ di seluruh $2a = 0.046\,\mathrm{m}^{2}$ tiap meter: $4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}$ , $3.5\%$ tiap meter, sekitar $0.15\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (d) Tiga kali lebih kecil daripada kabelnya, dan bermegawatt alih-alih berkilowatt.

Latihan 16.8 ★★

Kualitas rongga. Sebuah rongga kubus tembaga bersisi $10\,\mathrm{cm}$ dalam ragam terendahnya. (a) Frekuensinya. (b) Energi tersimpannya adalah $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2V/4$ (diterima tanpa bukti) dan rugi dindingnya $\tfrac12R_sH_0^2\times$ luasnya dengan $H_0 \approx E_0/ \mu_0c$ dan $R_s = 1/\gamma\delta$ : faktor kualitasnya $Q = \omega W/P$ — hitunglah. (c) Lebar pita $f/Q$ resonansinya; waktu dering turunnya $Q/\omega$ . (d) Sebuah rongga adihantar mempunyai $R_s \sim 1 \times 10^{-8}\,\Omega$ : tentukanlah $Q$ , dan mengapa pemercepat memakainya.

Solusi

Solusi Latihan 16.8.

(a) $f = c\sqrt2/2L = 2.12\,\mathrm{GHz}$ . (b) $\delta = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 12\,\mathrm{m}\Omega$ ; $W = \varepsilon_0E_0^2V/8 = 1.1 \times 10^{-15}\,E_0^2$ ; $P = \tfrac12R_s(E_0/377)^2 \times 6L^2 = 2.5 \times 10^{-9}\,E_0^2$ : $Q = \omega W/P \approx 6000$ . (c) $360\,\mathrm{kHz}$ ; $0.45\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (d) $Q \sim 10^{10}$ : medan berpuluh megavolt tiap meter ditopang berkilowatt alih-alih bergigawatt.

Latihan 16.9 ★★

Pencacahan ragam. (a) Tunjukkanlah bahwa jumlah ragam sebuah kotak bervolume $V$ berfrekuensi di bawah $f$ adalah $N(f) = 8\pi Vf^3/3c^3$ (titik $(m, n, p)$ dalam seperdelapan bola berjari-jari $2fL/c$ bagi sebuah kubus, dua polarisasi). (b) Jumlah ragam tiap satuan volume dan frekuensi, $\dd N/V\dd f = 8\pi f^2/c^3$ . (c) Sebuah ruang $1\,\mathrm{m}^{3}$ : tentukanlah ragam tiap hertz pada $1\,\mathrm{GHz}$ ; pada $500\,\mathrm{THz}$ (cahaya tampak). (d) Mengapa rongga kecil mempunyai ragam yang jarang sementara ruang besar mempunyai kesinambungan — dan apa halnya oven pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 16.9.

(a) Titik $(m, n, p)$ dengan $m^2 + n^2 + p^2 \le (2fL/c)^2$ mengisi seperdelapan bola: $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi(2fL/c)^3$ , dikalikan dua polarisasi: $8\pi L^3f^3/3c^3$ . (b) $8\pi f^2/c^3$ . (c) $9 \times 10^{-7}$ tiap hertz (satu tiap megahertz) pada $1\,\mathrm{GHz}$ ; $2 \times 10^5$ tiap hertz pada $500\,\mathrm{THz}$ . (d) Ragamnya diskret ketika jaraknya melampaui lebarnya; dalam ovennya, satu ragam tiap $10\,\mathrm{MHz}$ atau semacamnya di sekitar $2.45\,\mathrm{GHz}$ — berpuluh dalam beberapa persen.

Latihan 16.10 ★★★

TE $_{10}$ selengkapnya. Dalam pandunya $0 < x < a$ , $0 < y < b$ : $\vect E = E_0\sin(\pi x/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\vect e_y$ . (a) Dari Faraday, carilah $\underline B_x$ dan $\underline B_z$ ; periksalah $\operatorname{div}\vect B = 0$ . (b) Periksalah Maxwell–Ampère dalam hampa, lalu dapatkanlah kembali $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (\pi/a)^2$ . (c) Tentukanlah arus permukaan pada keempat dindingnya (dinding lebarnya $y = 0$ , $b$ dan dinding sempitnya $x = 0$ , $a$ ); arus mana yang mengalir sepanjang $z$ , mana yang melintang? (d) Sebuah celah yang dipotong sepanjang $z$ di tengah dinding lebarnya tidak memancar, sedangkan celah yang melintanginya memancar: jelaskanlah.

Solusi

Solusi Latihan 16.10.

(a) Dari $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$ :

\underline B_x = -\frac{k_g}\omega\underline E , \qquad \underline B_z = \frac{\iu\pi}{a\omega}E_0\cos\frac{\pi x}a\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} ,

dan $\partial_xB_x + \partial_zB_z = -(k_g\pi/a\omega)E_0\cos(\pi x/a) + (k_g\pi/a\omega)E_0 \cos(\pi x/a) = 0$ . (b) $(\operatorname{\vect{curl}}\vect B)_y = \partial_zB_x - \partial_xB_z = (\iu/\omega)(k_g^2 + \pi^2/a^2)\underline E = (\iu\omega/c^2)\underline E$ : $k_g^2 = \omega^2/c^2 - \pi^2/a^2$ . (c) Dinding lebarnya: $\vect j_s = \pm(B_z\vect e_x - B_x\vect e_z)/\mu_0$ — sepanjang $z$ sebagai $\sin(\pi x/a)$ , melintang sebagai $\cos(\pi x/a)$ (nol di tengahnya); dinding sempitnya: sepanjang $y$ saja. (d) Sebuah celah membujur di tengahnya hanya memotong arus melintang, yang lenyap di sana; celah yang melintang memotong yang membujur lalu memancar: yaitu antena pandu gelombang bercelah.

Latihan 16.11 ★★★

Pandu dielektrik. Sebuah lempeng berindeks $n_1$ dan setebal $a$ dalam medium $n_2 < n_1$ memandu cahaya lewat pemantulan total. (a) Bagi sinar pada sudut $\theta$ dari normal ke mukanya, syarat terpandunya adalah bahwa fase pulang perginya menyeberangi lempengnya, $2k_0n_1a\cos\theta - 2\varphi_r$ ( $\varphi_r$ yaitu geseran fase pemantulan totalnya, diambil $\approx 0$ di sini), merupakan kelipatan $2\pi$ : tentukanlah jumlah ragamnya bagi $a = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\lambda = 1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $n_1 = 1.48$ , $n_2 = 1.46$ (terimalah cacah ragamnya $\approx 2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda$ tiap polarisasi). (b) Tebalnya bagi satu ragam. (c) Bandingkanlah dengan sebuah inti serat ragam tunggal $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Mengapa pandu dielektriknya, tak seperti yang logam, tak dapat mempunyai ambang bagi ragam terendahnya?

Solusi

Solusi Latihan 16.11.

(a) $2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda = 2 \times 50 \times 0.242/1.5 \approx 16$ tiap polarisasi. (b) $a < \lambda/2\mathrm{NA} = 3.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Sebuah inti bulat dengan $\mathrm{NA} = 0.12$ beragam tunggal di bawah $d = 2.405\lambda/\pi\mathrm{NA} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : yaitu baku $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Sinar yang menyerempet selalu terpantul seluruhnya: ragam terendahnya ada pada setiap frekuensi, dan ekor evanesennya sekadar menyebar ke dalam selongsongnya.

Latihan 16.12 ★★★

Serat indeks bergradasi. Untuk mengurangi dispersi ragamnya indeks intinya menurun dari sumbunya ke luar, $n(r) = n_1\sqrt{1 - 2\Delta(r/a)^2}$ dengan $\Delta \approx 0.01$ . (a) Jelaskanlah secara kualitatif mengapa sinar yang menyimpang dari sumbunya, meskipun lebih panjang, dapat menempuh waktu yang sama dengan yang sesumbu. (b) Dengan memakai persamaan sinar dalam medium berlapis, $n(r)\cos\theta(r) =$ tetap, tunjukkanlah bahwa sinar yang diluncurkan dari sumbunya pada sudut kecil berayun sinusoidal di sekitarnya (uraikanlah $n$ sampai orde kedua). (c) Periode ayunannya bagi $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Sebaran ragam sisanya berorde $n_1L\Delta^2/2c$ : tentukanlah nilainya tiap kilometer, dibandingkan dengan indeks tangganya $n_1L\Delta/c$ .

Solusi

Solusi Latihan 16.12.

(a) Sinar yang menyimpang dari sumbunya menghabiskan waktunya dalam indeks yang lebih rendah, yang di dalamnya cahaya lebih cepat: lintasan yang lebih panjang terimbangi. (b) $n(r)\cos\theta = n_1\cos\theta_0$ dengan $n \approx n_1(1 - \Delta r^2/a^2)$ dan $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$ : $(\dd r/\dd z)^2 = \theta_0^2 - 2\Delta r^2/a^2$ , sebuah ayunan selaras $r = r_0\sin(\sqrt{2\Delta}\,z/a)$ . (c) $2\pi a/\sqrt{2\Delta} = 1.1\,\mathrm{mm}$ . (d) $n_1L\Delta^2/2c = 0.25\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ melawan $49\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ : dua ratus kali lebih baik.

Serat optik yang dinyalakan dari ujung jauhnya: cahaya yang terperangkap pemantulan dalam total dalam inti yang lebih tipis daripada sehelai rambut, dan dipandu mengelilingi setiap tikungan yang landai.

16.5 Soal: Rongga oven dan serat optik

Soal 16.1

Soal akhir pekan — dua sistem gelombang terpandu dalam setiap dapur dan setiap kota: oven yang memasak dengan gelombang berdiri dan serat yang mengemban internet

Bagian I — Dari magnetron ke rongganya. Sebuah magnetron menyuapi $800\,\mathrm{W}$ pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ ke dalam pandu gelombang bersegi empat ( $a = 8.6\,\mathrm{cm}$ , $b = 4.3\,\mathrm{cm}$ ) yang membuka ke rongga ovennya ( $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ ); dindingnya baja, $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

Frekuensi ambang ragam TE $_{10}$ , TE $_{20}$ , TE $_{01}$ pandunya; periksalah bahwa hanya TE $_{10}$ yang merambat pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
Panjang gelombang pandunya, kecepatan fase dan grupnya pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
Amplitudo medan $E_0$ dalam pandunya bagi $800\,\mathrm{W}$ (rumus daya TE $_{10}$ ); bandingkanlah dengan medan dadal udara.
Amplitudo arus permukaan pada dinding lebarnya (berorde $E_0/\mu_0c$ ); kedalaman kulit dan hambatan permukaan bajanya; rugi tiap meter pandunya.
Ragam rongganya: daftarkanlah yang berfrekuensi dalam $3\%$ dari $2.45\,\mathrm{GHz}$ (cobalah $(m, n, p)$ sampai $4$ ); berapa banyak?
Jarak antara bintik panas satu ragam semacam itu sepanjang tiap sumbunya; mengapa piringnya berputar, dan apa itu “pengaduk ragam”?
Faktor kualitas rongganya ketika terbebani makanan sekitar $200$ : tentukanlah lebar pita tanggapannya; mengapa ketaksesuaian antara frekuensi magnetronnya dan ragamnya tak banyak berarti.
Rongga kosongnya mempunyai $Q \approx 3000$ : tentukanlah energi tersimpannya pada masukan $800\,\mathrm{W}$ , rapat energi reratanya, amplitudo medannya; bandingkanlah dengan pertanyaan 3 dan dengan dadalnya. Apa yang melindungi magnetronnya ketika ovennya berjalan kosong?
Waktu bagi energinya untuk menempuh $20\,\mathrm{cm}$ pandu dari magnetronnya ke rongganya.
Magnetronnya disuapi catu daya yang disearahkan setengah gelombang lalu memancar hanya selama separuh tiap daur jala-jalanya: tentukanlah daya puncaknya selama semburannya bagi rerata $800\,\mathrm{W}$ ; apa yang dilakukan rongganya di antara semburannya (pakailah $Q \approx 200$ )?

Bagian II — Pintu dan ambangnya.

Jala pintunya mempunyai lubang $1.5\,\mathrm{mm}$ pada lembar $1\,\mathrm{mm}$ : tentukanlah panjang peluruhan dalam sebuah lubang dan pelemahannya dalam dB menyeberangi lembarnya.
Tepi pintunya disekat sebuah “cekikan” seperempat gelombang: sebuah alur sedalam $\lambda/4$ mengelilingi kusen pintunya, yang menyajikan rangkaian terbuka pada celahnya (ingatlah Bab 15): berapa dalam alurnya pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
Kebocoran yang sah adalah $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ pada $5\,\mathrm{cm}$ : itu setara dengan berapa bagian dari $800\,\mathrm{W}$ yang menembus pintu $100\,\mathrm{cm}^{2}$ ?
Sebuah cerobong $30\,\mathrm{cm}$ berdiameter $4\,\mathrm{cm}$ melubangi rongganya: adakah ia di bawah ambang pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ ? Tentukanlah pelemahannya sepanjang panjangnya.
Mengapa jalanya harus terhubung secara listrik ke kusen pintunya di seluruh kelilingnya (celah pada hubungannya akan berperilaku seperti apa)?

Bagian III — Seratnya. Sebuah serat indeks tangga: inti $n_1 = 1.465$ , selongsong $n_2 = 1.460$ , diameter intinya $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (beragam banyak) atau $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ (ragam tunggal); $\lambda = 1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; pelemahannya $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .

Apertur numerik dan sudut penerimaannya; mudahkah mengopel cahaya ke dalamnya?
Sebaran ragamnya tiap kilometer bagi serat beragam banyaknya; laju bit maksimum sepanjang $10\,\mathrm{km}$ (satu bit tiap waktu sebarannya).
Jumlah ragam serat beragam banyaknya (terimalah $N \approx \tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2$ ); dan yang ragam tunggal ( $d = 9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : tunjukkanlah bahwa rumus yang sama memberi sekitar $1$ ).
Dalam serat ragam tunggalnya penyebaran yang tersisa bersifat kromatik: dengan $\omega'' \approx -0.2\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (Bab 8) dan pulsa $50\,\mathrm{ps}$ , tentukanlah jarak yang sepanjangnya sebuah pulsa berlipat dua; laju bitnya sepanjang $100\,\mathrm{km}$ .
Pelemahannya sepanjang $100\,\mathrm{km}$ dalam dB dan sebagai nisbah daya; masukan $1\,\mathrm{mW}$ : tentukanlah daya keluarannya; dengan penguat tiap $80\,\mathrm{km}$ , berapa banyak bagi sambungan lintas Atlantik $6000\,\mathrm{km}$ ?
Frekuensi dan energi foton pada $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; foton tiap sekon dalam $1\,\mathrm{mW}$ , dan tiap bit pada $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ , pada masukannya dan sesudah $100\,\mathrm{km}$ .
Mengapa $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ (pikirkanlah kedua mekanisme rugi silika: hamburan Rayleigh, yang turun sebagai $1/\lambda^4$ , dan serapan inframerah yang naik di luar $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ )?
Pemantulan Fresnel pada ujung serat yang dibelah dan menghadap udara: tentukanlah ruginya dalam dB; mengapa penyambungnya memakai gel penyesuai indeks atau sentuhan fisik yang dipoles.
Mengapa sebuah serat tidak memancar pada tikungan yang landai, dan mengapa ia kehilangan cahaya pada tikungan yang tajam (pikirkanlah sudut sinarnya pada batas intinya)?
Bandingkanlah kedua pandu soal ini: apa yang mengurung gelombangnya, apa yang membatasi lebar pitanya, apa ruginya.

Solusi

Solusi Soal 16.1.

1. $c/2a = 1.74\,\mathrm{GHz}$ ; TE $_{20}$ dan TE $_{01}$ : $3.49\,\mathrm{GHz}$ : hanya TE $_{10}$ pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ .

2. $\sqrt{1 - (1.74/2.45)^2} = 0.70$ : $\lambda_g = 17.4\,\mathrm{cm}$ , $v_\varphi = 1.42c$ , $v_g = 0.70c = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

3. $E_0^2 = 4P/\varepsilon_0c\,ab\sqrt{\cdot} = 3200/6.9 \times 10^{-6}$ : $E_0 = 21\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , seperseratus dadalnya.

4. $j_s \approx E_0/\mu_0c = 57\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; $\delta = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 0.1\,\Omega$ ; $\tfrac12R_sj_s^2 \times 2a = 28\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ : $3.5\%$ tiap meter — bajanya berugi, tetapi pandunya pendek.

5. $f = 1.5 \times 10^8\sqrt{11.1(m^2 + n^2) + 25p^2}$ dalam $\pm3\%$ dari $2.45\,\mathrm{GHz}$ : $(1, 2, 3)$ , $(2, 1, 3)$ pada $2.51\,\mathrm{GHz}$ , $(4, 0, 2)$ , $(0, 4, 2)$ , $(4, 3, 0)$ , $(3, 4, 0)$ pada $2.50\,\mathrm{GHz}$ — sekitar enam.

6. Setengah panjang gelombangnya $a/m$ , $b/n$ , $d/p$ : terpisah $7$ sampai $10\,\mathrm{cm}$ . Piringan putarnya menyeret makanannya menembus maksimum dan minimumnya; sebuah pengaduk (kipas logam yang berputar) mengocok ulang ragamnya.

7. $f/Q = 12\,\mathrm{MHz}$ : resonansi yang terbebani itu bertumpang tindih menjadi kesinambungan; magnetronnya selalu menemukan ragam untuk disuapi.

8. $W = QP/\omega = 3000 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 0.16\,\mathrm{J}$ ; $u = 8.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 \approx \sqrt{4u/\varepsilon_0} = 2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ — dekat dadalnya: percikan busur; daya pantulnya kembali ke magnetronnya, yang terlindungi (sedikit) oleh beban tiruan atau sirkulator — dari situlah “jangan pernah menjalankannya kosong”.

9. $0.2/2.1 \times 10^8 = 1\,\mathrm{ns}$ .

10. $1.6\,\mathrm{kW}$ puncaknya; di antara semburannya medannya berdering turun dalam $Q/\omega = 13\,\mathrm{ns}$ : rongganya kosong hampir sepanjang waktu.

11. $\ell \approx a/\pi = 0.48\,\mathrm{mm}$ ; $\eu^{-1/0.48}$ : $-18\,\mathrm{dB}$ dalam amplitudo, $-36\,\mathrm{dB}$ dalam daya.

12. $\lambda/4 = 3.1\,\mathrm{cm}$ .

13. $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ $\times$ $100\,\mathrm{cm}^{2}$ = $0.5\,\mathrm{W}$ : $0.06\%$ .

14. $f_1 \approx c/2d = 3.75\,\mathrm{GHz} > 2.45\,\mathrm{GHz}$ : di bawah ambangnya; $\ell = 1.7\,\mathrm{cm}$ , $\eu^{-30/1.7}$ : $-150\,\mathrm{dB}$ .

15. Arus dindingnya harus mengalir sinambung ke dalam jalanya; celah pada hubungannya adalah celah yang memotongnya — sebuah antena celah yang memancar ke luar.

16. $\mathrm{NA} = \sqrt{1.465^2 - 1.460^2} = 0.12$ , $7{}^{\circ}$ : sebuah kerucut sempit, yang menuntut laser dan lensa.

17. $(n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 17\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $170\,\mathrm{ns}$ sepanjang $10\,\mathrm{km}$ : $6\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

18. $\tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2 = 75$ ; bagi $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2.4$ — yaitu rezim ragam tunggalnya ( $V = \pi d\,\mathrm{NA}/\lambda = 2.2 < 2.4$ ).

19. $\Delta x_0 = (c/n)\tau = 1\,\mathrm{cm}$ : $t_{\text{seb}} = 10^{-4}/0.2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ , $100\,\mathrm{km}$ : $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ sepanjang jarak itu sebelum kompensasi.

20. $20\,\mathrm{dB}$ , sebuah faktor $100$ : $10\,\text{µ}\mathrm{W}$ ; $6000/80 = 75$ penguat.

21. $f = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $hf = 0.8\,\mathrm{eV}$ ; $8 \times 10^{15}$ foton tiap sekon; $8 \times 10^5$ tiap bit pada masukannya, $8 \times 10^3$ sesudah $100\,\mathrm{km}$ .

22. Jumlah kedua ruginya minimum dekat $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ ).

23. $R = ((1.465 - 1)/2.465)^2 = 3.6\%$ : $0.16\,\mathrm{dB}$ tiap muka, dua kali pada sebuah penyambung ditambah interferensi celahnya; gel atau sentuhan fisik menyingkirkan udaranya.

24. Pada tikungan yang landai sinarnya masih menjumpai batasnya di luar sudut kritisnya; pada tikungan yang tajam datangnya pada dinding luarnya turun di bawahnya dan cahayanya bocor keluar.

25. Oven: dinding logam, pemantulan dengan $r = -1$ ; lebar pitanya ditetapkan ragam rongganya; ruginya dalam kulit bajanya. Serat: pemantulan dalam total pada batas kaca–kaca; lebar pitanya ditetapkan dispersi ragam dan kromatiknya; ruginya lewat hamburan dan serapan, $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .