Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

14Gelombang Elektromagnetik dalam Plasma, Penghantar dan Dielektrik

Sebuah siaran gelombang pendek menyeberangi samudra dengan memantul dari atmosfer atas, yang memantulkannya seperti cermin — namun lapisan yang sama meloloskan sinyal televisi dan satelit. Sendok logam berkilau, jala logam pada pintu oven gelombang mikro menahan gelombangnya di dalam sementara Anda mengamati makanan Anda menembusnya, dan selembar kaca bening bagi cahaya tetapi buram bagi ultraungu. Dalam tiap halnya sebuah gelombang memasuki sebuah bahan, muatan bahannya menanggapi, dan tanggapannya mengubah gelombangnya: kelajuannya, pelemahannya, bahkan merambat atau tidaknya sama sekali. Bab ini menggarap ketiga model baku sebuah medium — sebuah gas elektron bebas, sebuah penghantar ohmik, dan elektron terikat — dengan satu metode yang menangani semuanya: tambahkanlah arus imbasnya pada persamaan Maxwell lalu bacalah hubungan dispersinya.

14.1 Gelombang dalam sebuah plasma

Definisi 14.1 (Plasma; model elektron bebas)

Yang disebut plasma adalah gas yang netral secara keseluruhan yang terdiri atas elektron bebas (kerapatan $n$ , massa $m$ , muatan $-e$ ) dan ion positif, yang, karena beribu-ribu kali lebih berat, diambil sebagai tetap. Atmosfer atas (ionosfer, $n \sim 10^{11}$ – $10^{12}$ m $^{-3}$ ), sebuah tabung lucutan, korona matahari, dan — pada frekuensi optik — elektron hantaran sebuah logam adalah plasma. Tumbukannya diabaikan (periode gelombangnya pendek dibandingkan waktu di antara tumbukannya). Frekuensi cirinya adalah frekuensi plasma

\omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0m}} , \qquad f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} \approx 9\,\text{Hz}\times\sqrt{n\,[\text{m}^{-3}]} :

$3\,\mathrm{MHz}$ sampai $9\,\mathrm{MHz}$ bagi ionosfer, $2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ (ultraungu) bagi sebuah logam.

Teorema 14.2 (Hubungan dispersi sebuah plasma)

Bagi gelombang PPH transversal $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ dalam sebuah plasma, elektronnya berayun dengan $\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}/\iu m\omega$ lalu mengemban rapat arus $\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E}$ dengan $\underline\gamma = ne^2/\iu m\omega$ ; persamaan Maxwell lalu memberi

k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} .

Di atas $\omega_p$ gelombangnya merambat, dengan $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} > c$ dan $v_g = c\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} < c$ , $v_\varphi v_g = c^2$ ; di bawah $\omega_p$ , $k = -\iu\kappa$ dengan $\kappa = \sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}/c$ : gelombangnya bersifat evanesen, menembus sepanjang $1/\kappa$ dan terpantul seluruhnya (Bab 15); plasmanya lalu menjadi cermin. Pada $\omega \gg \omega_p$ elektronnya tak sanggup mengikuti dan plasmanya menjadi bening.

Bukti. Persamaan geraknya $m\,\dd\vect v/\dd t = -e\vect E$ (gaya magnetiknya $ev B \sim evE/c$ dapat diabaikan bagi $v \ll c$ , dan gerak ionnya $m/M$ kali lebih kecil): $\iu m\omega\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}$ . Lalu $\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}$ . Plasmanya tetap netral bagi gelombang transversal ( $\vect k\cdot\vect E = 0$ memberi $\rho = 0$ lewat Gauss), jadi Maxwell–Ampère berbunyi $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect B} = \mu_0\underline\gamma\underline{\vect E} + \iu\omega\mu_0\varepsilon_0\underline{\vect E}$ dan Maxwell–Faraday $\underline{\vect B} = \vect k \wedge\underline{\vect E}/\omega$ ; digabungkan, $k^2\underline{\vect E} = \mu_0(\iu\omega\underline\gamma - \omega^2\varepsilon_0)(-1)\underline{\vect E}$ , yakni $k^2 = \omega^2\mu_0\varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0 \underline\gamma = (\omega^2 - ne^2/\varepsilon_0m)/c^2$ . Kecepatannya menyusul seperti dalam Bab 8. ∎

Catatan 14.3 (Ke mana energinya pergi)

Konduktivitasnya khayal: $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$ , elektronnya mengambil energi dari gelombangnya selama separuh daur lalu mengembalikannya selama separuh berikutnya — sebuah medium tanpa rugi, yang di dalamnya energi gelombangnya terbagi antara medannya dan energi kinetik elektronnya, dan berjalan dengan $v_g$ . Tumbukan menambahkan bagian nyata yang kecil pada $\underline\gamma$ dan serapan yang kecil: lapisan D ionosfer menyerap gelombang menengah pada siang hari, itulah sebabnya pemancar gelombang menengah yang jauh tertangkap pada malam hari.

Contoh 14.4 (Ionosfer dan radio)

Dengan $n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ dalam lapisan F, $f_p = 9\,\mathrm{MHz}$ : siaran gelombang pendek di bawah nilai itu terpantul (dan dapat melompat mengelilingi Bumi antara ionosfer dan tanahnya), FM ( $100\,\mathrm{MHz}$ ), televisi dan sambungan satelit lolos. Gelombang $3\,\mathrm{MHz}$ hanya menembus $1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 6\,\mathrm{m}$ ke dalam lapisannya sebelum berbalik. Sebuah wahana yang masuk kembali ke atmosfer terselubungi plasma dengan $n \sim 10^{18}$ m $^{-3}$ , $f_p \sim 10\,\mathrm{GHz}$ : hubungan radionya terputus bermenit-menit.

Kiri: hubungan dispersi sebuah plasma — tak ada perambatan di bawah _p, sebuah hiperbola yang mendekati garis cahaya di atasnya. Kanan: gelombang pendek di bawah frekuensi plasmanya dipantulkan ionosfer lalu melompat mengelilingi Bumi; frekuensi yang lebih tinggi lolos ke antariksa. — Kiri: hubungan dispersi sebuah plasma — tak ada perambatan di bawah $\omega_p$ , sebuah hiperbola yang mendekati garis cahaya di atasnya. Kanan: gelombang pendek di bawah frekuensi plasmanya dipantulkan ionosfer lalu melompat mengelilingi Bumi; frekuensi yang lebih tinggi lolos ke antariksa.

14.2 Gelombang dalam penghantar ohmik: efek kulit

Teorema 14.5 (Efek kulit)

Dalam penghantar ohmik ( $\vect j = \gamma\vect E$ , dengan $\gamma$ nyata, pada frekuensi yang $\omega\tau \ll 1$ dan $\varepsilon_0\omega \ll \gamma$ , yakni di bawah $\sim1 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ bagi tembaga) arus pergeserannya dapat diabaikan dan medannya menuruti persamaan difusi $\Delta\vect E = \mu_0\gamma\,\partial_t\vect E$ . Gelombang PPH yang memasuki penghantarnya di $x = 0$ mempunyai

\underline k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega , \qquad \underline k = \frac{1 - \iu}\delta , \qquad \delta = \sqrt{\frac2{\mu_0\gamma\omega}} ,

sehingga $\underline E = E_0\,\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}$ : ia teredam sepanjang kedalaman kulit $\delta$ , dengan fase yang juga berputar satu radian tiap $\delta$ — panjang gelombangnya $2\pi\delta$ , kecepatan fasenya $\omega\delta \ll c$ . Arus $\vect j = \gamma\vect E$ terkurung dalam lapisan setebal $\delta$ di bawah permukaannya, dan $\vect B$ tertinggal $45{}^{\circ}$ dari $\vect E$ dengan $|B| = |E|\sqrt2/\omega\delta$ . Bagi tembaga, $\delta = 9.2\,\mathrm{mm}$ pada $50\,\mathrm{Hz}$ , $0.21\,\mathrm{mm}$ pada $100\,\mathrm{kHz}$ , $2.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada $1\,\mathrm{GHz}$ .

Bukti. $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = \mu_0\gamma\vect E$ (pergeserannya dibuang) dan $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$ : dengan mengambil curl yang kedua, $-\Delta\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect E$ (penghantarnya netral, $\operatorname{div} \vect E = 0$ ). Bagi $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega$ , dan $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ memberi $\underline k = (1 - \iu)/\delta$ (akar yang meluruh ke dalam penghantarnya). Faraday: $\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu) \underline E/\omega\delta$ , bermodulus $\sqrt2E/\omega\delta$ dan berfase $-\pi/4$ . ∎

Kiri: medan di dalam sebuah penghantar — sebuah ayunan teredam, mati dalam beberapa kedalaman kulit. Kanan: kedalaman kulit tembaga dan air laut terhadap frekuensi: bermilimeter pada frekuensi jala-jala, bermikrometer pada gigahertz; lautnya hanya meloloskan gelombang radio yang terpanjang.

Contoh 14.6 (Akibat efek kulit)

(i) Sebuah kawat berjari-jari $a \gg \delta$ mengemban arusnya dalam cincin setebal $\delta$ : hambatannya naik dari $1/\gamma\pi a^2$ menjadi sekitar $1/\gamma 2\pi a\delta$ tiap meter — bagi kawat tembaga $1\,\mathrm{mm}$ , empat kali nilai searahnya pada $1\,\mathrm{MHz}$ , seratus kali pada $1\,\mathrm{GHz}$ . Kumparan frekuensi tinggi memakai kawat “Litz” (banyak untai yang terisolasi) atau tabung bersepuh perak; penghantar jaringan dayanya dipilin dengan selongsong aluminium. (ii) Sebuah kotak logam melemahkan sebuah gelombang sebesar $\eu^{-d/\delta}$ tiap ketebalan $d$ : sebuah kotak aluminium $1\,\mathrm{mm}$ menghalangi $1\,\mathrm{MHz}$ sebesar $100\,\mathrm{dB}$ tetapi $50\,\mathrm{Hz}$ nyaris tidak sama sekali — medan magnet berfrekuensi rendah menuntut besi. (iii) Kapal selam hanya menerima radio gelombang sangat panjang ( $\delta = 2.3\,\mathrm{m}$ pada $10\,\mathrm{kHz}$ dalam air laut); ranjau dideteksi lewat arus pusar yang diimbaskan sebuah kumparan padanya (Bab 11, dengan waktu difusi $\mu_0\gamma d^2$ ).

14.3 Gelombang dalam dielektrik: elektron terikat

Proposisi 14.7 (Elektron terikat elastik; indeks kompleks)

Dalam sebuah isolator tiap elektron terikat pada atomnya: simpangan $\vect r$ dari kesetimbangannya memanggil gaya pemulih $-m\omega_0^2\vect r$ dan peredaman $-m\Gamma\,\dd\vect r/\dd t$ (energi yang dipancarkan atau diserahkan kepada kisinya). Digerakkan gelombangnya, $m\ddot{\vect r} = -m\omega_0^2\vect r - m\Gamma\dot{\vect r} - e\vect E$ ; elektron yang tersimpangkan memberi mediumnya polarisasi (momen dwikutub tiap satuan volume) $\vect P = -ne\vect r = \varepsilon_0\underline\chi(\omega) \underline{\vect E}$ dengan suseptibilitas

\underline\chi(\omega) = \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega} , \qquad \omega_p^2 = \frac{ne^2}{\varepsilon_0m} ,

dan arus terikatnya $\vect j = \partial_t\vect P$ . Persamaan Maxwell lalu memberi

\underline k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\,(1 + \underline\chi) = \frac{\omega^2}{c^2}\,\underline n^2 , \qquad \underline n = n' - \iu n'' ,

dengan $n'$ yaitu indeks biasnya (kecepatan fasenya $c/n'$ ) dan $n''$ ekstingsinya (intensitasnya meluruh sebagai $\eu^{-2n''\omega x/c}$ ). Jauh di bawah sebuah resonansi ( $\omega \ll \omega_0$ , $\Gamma$ diabaikan), $n'^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + \omega_p^2\omega^2/\omega_0^4$ : indeksnya naik dengan frekuensi — dispersi normal, hukum Cauchy $n \approx A + B/\lambda^2$ — dan serapannya dapat diabaikan; dekat $\omega_0$ mediumnya menyerap, dan tepat di atasnya $n'$ turun dengan $\omega$ (dispersi anomali).

Bukti. Amplitudo kompleksnya: $(\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega)\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E} /m$ ; $\underline{\vect P} = -ne\underline{\vect r}$ . Lalu, seperti bagi plasmanya, $k^2 = \omega^2\mu_0 \varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma$ dengan $\underline{\vect j} = \iu\omega\underline{\vect P} = \iu\omega\varepsilon_0 \underline\chi\underline{\vect E}$ , yakni $\underline\gamma = \iu\omega\varepsilon_0\underline\chi$ : $k^2 = (\omega^2/c^2) (1 + \underline\chi)$ . (Plasmanya adalah hal $\omega_0 = 0$ , $\Gamma = 0$ .) Uraiannya: $1/(\omega_0^2 - \omega^2) \approx (1 + \omega^2/\omega_0^2)/\omega_0^2$ . ∎

Model elektron terikat (Lorentz): bagian nyata indeksnya naik dengan frekuensi di bawah resonansinya (dispersi normal: ungu lebih lambat daripada merah dalam kaca), bagian khayalnya memuncak pada resonansinya (serapan), dan indeksnya turun menembus resonansinya (dispersi anomali).

Contoh 14.8 (Kaca, air, udara)

Kaca mempunyai resonansi elektroniknya dalam ultraungu ( $\omega_0 \sim 10^{16}$ rad/s): dalam cahaya tampak ia bening dan dispersif, $n = 1.51$ pada $700\,\mathrm{nm}$ , $1.53$ pada $400\,\mathrm{nm}$ , cukup bagi sebuah prisma untuk menguraikan pelangi dan bagi pulsa sebuah serat untuk menyebar (Bab 8); dalam ultraungu ia menyerap — Anda tak menjadi hitam di balik jendela. Air, selain itu, mempunyai resonansi putar molekul kutubnya dekat $20\,\mathrm{GHz}$ (sebuah relaksasi Debye alih-alih garis yang tajam): ia menyerap gelombang mikro dengan kuat, yang lalu memanaskan makanan dan membutakan radar dalam hujan, dan mempunyai $n'' \approx 0$ dalam jendela tampak yang sempit — yaitu jendela yang darinya mata berevolusi. Udara, dengan $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$ , tetap membengkokkan Matahari terbenam sebesar setengah derajat.

Catatan 14.9 (Satu persamaan, tiga medium)

Setiap medium linear masuk ke persamaan Maxwell lewat arus imbasnya $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$ , dan hubungan dispersinya selalu $\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma(\omega)$ :

medium	$\underline\gamma(\omega)$	$\underline k^2$
plasma	$ne^2/\iu m\omega$ (khayal)	$(\omega^2 - \omega_p^2)/c^2$ : ambang
penghantar ohmik	$\gamma$ (nyata)	$-\iu\mu_0\gamma\omega$ : efek kulit
dielektrik	$\iu\omega\varepsilon_0\underline\chi(\omega)$	$(\omega^2/c^2)(1 + \underline\chi)$ : indeks

Sebuah logam adalah ketiganya bergantian: ohmik di bawah $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ , sebuah plasma (yang memantulkan) dalam cahaya tampak, bening dalam ultraungu jauh.

Metode 14.10 (Gelombang dalam sebuah medium)

(1) Tuliskanlah persamaan gerak muatannya lalu dapatkanlah $\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E}$ . (2) Sisipkanlah ke dalam Maxwell–Ampère dengan ansatz PPH-nya: $\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma$ . (3) Ambillah akar dengan $\operatorname{Im}k \le 0$ (peluruhan searah jalannya), belahlah menjadi bagian nyata (perambatan, $v_\varphi = \omega/k'$ ) dan khayal (pelemahan). (4) Kenalilah rezimnya dalam frekuensi — merambat, evanesen, menyerap — dan frekuensi cirinya ( $\omega_p$ , $1/\mu_0\gamma\delta^2$ , $\omega_0$ ). (5) Carilah $\vect B$ dari Faraday dan, jika perlu, fluks Poynting serta daya yang dilesapkan.

14.4 Latihan

Latihan 14.1 ★

Tentukanlah frekuensi plasma bagi $n = 1 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ (ionosfer pada malam hari), $1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ (pada siang hari), $1 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-3}$ (selubung masuk kembali), $8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ (tembaga), $1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-3}$ (ruang antarbintang). Bagi masing-masingnya, mana di antara berikut yang lolos: pemancar gelombang menengah $1\,\mathrm{MHz}$ , pemancar FM $100\,\mathrm{MHz}$ , sinyal GPS $1.5\,\mathrm{GHz}$ , cahaya tampak?

Solusi

Solusi Latihan 14.1.

$f_p \approx 9\sqrt n$ Hz: $2.8\,\mathrm{MHz}$ , $9\,\mathrm{MHz}$ , $9\,\mathrm{GHz}$ , $2.6 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ ( $\lambda_p = 115\,\mathrm{nm}$ ), $2.8\,\mathrm{kHz}$ . Gelombang menengah pada $1\,\mathrm{MHz}$ : hanya menembus ruang antarbintang. FM: menembus ionosfer, bukan selubungnya. GPS: segalanya kecuali selubungnya. Cahaya: segalanya kecuali tembaganya.

Latihan 14.2 ★

Tentukanlah kedalaman kulit tembaga ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) pada $50\,\mathrm{Hz}$ , $1\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{MHz}$ , $1\,\mathrm{GHz}$ ; aluminium ( $3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) pada $1\,\mathrm{MHz}$ ; air laut ( $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) pada $10\,\mathrm{kHz}$ dan $1\,\mathrm{GHz}$ ; tanah basah ( $1 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) pada $1\,\mathrm{MHz}$ . Frekuensi radio mana yang mencapai kapal selam di $10\,\mathrm{m}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 14.2.

Tembaga: $9.2\,\mathrm{mm}$ , $2.1\,\mathrm{mm}$ , $65\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $2.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; aluminium pada $1\,\mathrm{MHz}$ : $84\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; air laut: $2.3\,\mathrm{m}$ pada $10\,\mathrm{kHz}$ , $7\,\mathrm{mm}$ pada $1\,\mathrm{GHz}$ ; tanah: $5\,\mathrm{m}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$ . Kapal selam di $10\,\mathrm{m}$ menuntut $\delta \gtrsim 10\,\mathrm{m}$ : di bawah sekitar $500\,\mathrm{Hz}$ .

Latihan 14.3 ★

Sebuah kaca menuruti $n = 1.50 + 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2$ . Tentukanlah indeksnya pada $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ , $700\,\mathrm{nm}$ ; kecepatan fasenya; indeks grupnya $n_g = n - \lambda\,\dd n/\dd\lambda$ pada $550\,\mathrm{nm}$ ; sebaran sudut berkas putih yang dibiaskan pada datang $45{}^{\circ}$ ke dalam kacanya.

Solusi

Solusi Latihan 14.3.

$n = 1.528$ , $1.515$ , $1.509$ ; $v = 1.963$ , $1.980$ , $1.987 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $n_g = n + 2B/\lambda^2 = 1.545$ . Sudut biasnya $\arcsin(0.707/n)$ : $27.57{}^{\circ}$ dan $27.93{}^{\circ}$ : sebaran $0.36{}^{\circ}$ .

Latihan 14.4 ★

Sebuah gelombang $5\,\mathrm{MHz}$ menjumpai lapisan dengan $n = 2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ : terpantulkah ia? Kedalaman tembusnya; hal yang sama pada $2\,\mathrm{MHz}$ ; frekuensi minimum yang menyeberangi lapisan dengan $n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ . Mengapa pita gelombang pendek “terbuka” dan “tertutup” menurut jam dan daur matahari?

Solusi

Solusi Latihan 14.4.

$f_p = 4.0\,\mathrm{MHz}$ : $5\,\mathrm{MHz}$ lolos; $2\,\mathrm{MHz}$ terpantul, menembus $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 14\,\mathrm{m}$ . Bagi $n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $11\,\mathrm{MHz}$ . Kerapatannya mengikuti fluks pengion Matahari — jam, musim, dan daur sebelas tahunnya — sehingga frekuensi terpakai tertingginya bergerak bersamanya.

Latihan 14.5 ★★

Hambatan bolak-balik. Sebuah kawat tembaga berjari-jari $a = 1.0\,\mathrm{mm}$ . (a) Hambatan searahnya tiap meter. (b) Pada $1\,\mathrm{MHz}$ : $\delta$ ; hambatan hampirannya tiap meter dengan arusnya terkurung dalam cincin setebal $\delta$ ; nisbahnya terhadap yang searah. (c) Pada $100\,\mathrm{MHz}$ . (d) Mengapa kumparan berlilitan $N$ dari kawat ini mempunyai faktor kualitas yang berhenti membaik dengan $N$ pada frekuensi tinggi, dan apakah kawat Litz itu?

Solusi

Solusi Latihan 14.5.

(a) $1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ . (b) $\delta = 65\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $R \approx 1/\gamma2\pi a\delta = 41\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ , $7.7$ kali yang searah. (c) $\delta = 6.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $0.41\,\Omega/\mathrm{m}$ , $77$ kali. (d) $R \propto \sqrt f$ tumbuh secepat $L\omega$ begitu kulitnya menguasai, dan tiap lilitan menambah hambatan; kawat Litz membundel banyak untai terisolasi yang lebih tipis daripada $\delta$ , sehingga seluruh tembaganya menghantar.

Latihan 14.6 ★★

Perisaian. Sebuah kotak aluminium ( $\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) setebal $1.0\,\mathrm{mm}$ . Tentukanlah pelemahan amplitudo medan yang menyeberangi dindingnya, dalam dB, pada $50\,\mathrm{Hz}$ , $10\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{MHz}$ (faktor $\eu^{-d/\delta}$ , dengan pemantulan di permukaannya diabaikan). Mengapa medan magnet jala-jala diperisai dengan besi (berpermeabilitas tinggi) alih-alih tembaga?

Solusi

Solusi Latihan 14.6.

$\delta_{\text{Al}} = 11.9$ , $0.84$ , $0.084\,\mathrm{mm}$ : $d/\delta = 0.08$ , $1.2$ , $12$ : $0.7$ , $10$ , $103\,\mathrm{dB}$ . Pada $50\,\mathrm{Hz}$ penghantarnya bening; besi ber- $\mu_r$ tinggi mengalihkan fluksnya (perisaian magnetik) dan juga menyusutkan $\delta$ sebesar $\sqrt{\mu_r}$ .

Latihan 14.7 ★★

Energi dalam sebuah plasma. Bagi gelombang transversal Teorema 14.2: (a) amplitudo kecepatan elektronnya dan rapat energi kinetiknya $\tfrac12nm\langle v^2\rangle$ . (b) Rapat energi listrik dan magnetik reratanya. (c) Tunjukkanlah bahwa rapat energi totalnya adalah $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2(1 + \dots)$ — hitunglah kurungnya — dan bahwa $\langle\Pi\rangle$ dibagi dengannya sama dengan $v_g$ . (d) Berapa bagian energinya yang berada pada elektronnya pada $\omega = 2\omega_p$ ?

Solusi

Solusi Latihan 14.7.

(a) $v_0 = eE_0/m\omega$ ; $\tfrac12nm\langle v^2\rangle = ne^2E_0^2/4m\omega^2 = \tfrac14\varepsilon_0 E_0^2\,\omega_p^2/\omega^2$ . (b) $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2$ dan $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2(1 - \omega_p^2/ \omega^2)$ . (c) Jumlahnya $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ (kurungnya $1$ ); $\langle\Pi \rangle = E_0^2k/2\mu_0\omega$ , dan nisbahnya $c^2k/\omega = v_g$ . (d) $\tfrac14\cdot\tfrac14 /\tfrac12 = 1/8$ .

Latihan 14.8 ★★

Dispersi pulsar. Pulsa radio dari sebuah pulsar menyeberangi jarak $L$ plasma antarbintang ( $n \ll$ apa pun, $\omega \gg \omega_p$ ). (a) Tunjukkanlah bahwa tunda grupnya adalah $t \approx (L/c)(1 + \omega_p^2/2\omega^2)$ . (b) Tunda antara tibanya pada $f_1$ dan $f_2$ adalah $\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2 \varepsilon_0mc}\,nL\Bigl(\dfrac1{f_1^2} - \dfrac1{f_2^2}\Bigr)$ : hitunglah tetapannya. (c) Sebuah pulsar pada $L = 1\,\mathrm{kpc} = 3.1 \times 10^{19}\,\mathrm{m}$ menembus $n = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-3}$ : tundanya antara $400\,\mathrm{MHz}$ dan $1.4\,\mathrm{GHz}$ . (d) Ahli astronomi mengukur $\Delta t$ dan mengetahui $n$ : apa yang mereka peroleh? (Ukuran dispersinya, yaitu tolok jarak baku bagi pulsar.)

Solusi

Solusi Latihan 14.8.

(a) $1/v_g = (1/c)(1 - \omega_p^2/\omega^2)^{-1/2} \approx (1 + \omega_p^2/2\omega^2)/c$ . (b) $\Delta t = (L\omega_p^2/2c)(1/\omega_1^2 - 1/\omega_2^2)$ dengan $\omega_p^2 = ne^2/\varepsilon_0m$ dan $\omega = 2\pi f$ : tetapannya $e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc = 1.34 \times 10^{-7}\,$ (SI). (c) $nL = 9.3 \times 10^{23}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $(1/f_1^2 - 1/f_2^2) = 5.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta t = 0.72\,\mathrm{s}$ . (d) Kolomnya $nL$ (ukuran dispersinya), sehingga jaraknya bagi sebuah model $n$ .

Latihan 14.9 ★★

Sebuah garis spektrum. Dalam gas encer ( $\underline n \approx 1 + \underline\chi/2$ ) model Lorentz memberi $n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi$ . (a) Tunjukkanlah bahwa dekat $\omega_0$ , $n'' \approx \dfrac{\omega_p^2}{4\omega_0}\,\dfrac{\Gamma/2}{(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4}$ , sebuah Lorentzian berlebar penuh $\Gamma$ . (b) Koefisien serapannya $\alpha = 2n''\omega/c$ di pusatnya. (c) Uap natrium, $n = 1 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $\lambda_0 = 589\,\mathrm{nm}$ , $\Gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $\alpha$ di pusatnya dan tebal yang menyerap $90\%$ (abaikanlah pelebaran Doppler, yang sebenarnya melebarkan garisnya seratus kali lipat). (d) Sketsalah $n' - 1$ menyeberangi garisnya; di manakah dispersinya anomali?

Solusi

Solusi Latihan 14.9.

(a) $\operatorname{Im}\underline\chi = \omega_p^2\Gamma\omega/[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2]$ dengan $\omega_0^2 - \omega^2 \approx 2\omega_0(\omega_0 - \omega)$ : $n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi$ adalah Lorentzian yang dinyatakan itu. (b) $n''(\omega_0) = \omega_p^2/2\omega_0\Gamma$ , $\alpha = 2n''\omega_0/c = \omega_p^2/\Gamma c$ . (c) $\omega_p^2 = 3.2 \times 10^{20}\,\mathrm{s}^{-2}$ : $\alpha = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\ln10/\alpha = 0.13\,\mathrm{mm}$ . (d) $n' - 1 \propto (\omega_0 - \omega)/[(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4]$ : positif di bawah, negatif di atas, menurun dalam $\pm\Gamma/2$ dari garisnya — anomali di sana.

Latihan 14.10 ★★★

Pemanasan Joule dalam kulitnya. Sebuah gelombang $E_0\eu^{\iu\omega t}$ (sepanjang $y$ ) memasuki penghantar yang mengisi $x > 0$ . (a) Tuliskanlah $\underline E(x, t)$ lalu simpulkanlah $\underline B(x, t)$ (sepanjang $z$ ) dari Faraday. (b) Vektor Poynting rerata di permukaannya: tunjukkanlah $\langle\Pi_x(0)\rangle = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ . (c) Daya Joule rerata tiap satuan luas, $\int_0^\infty\tfrac12\gamma|\underline E|^2\dd x$ : tunjukkanlah bahwa ia sama dengan (b). (d) Nyatakanlah hasilnya sebagai $\tfrac12R_sH_0^2$ dengan $H_0 = B_0/\mu_0$ yaitu medan magnet permukaannya dan $R_s = 1/\gamma\delta$ yaitu hambatan permukaan; nilainya bagi tembaga pada $1\,\mathrm{GHz}$ , dan rugi sebuah rongga gelombang mikro yang dindingnya mengemban $H_0 = 100\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 14.10.

(a) $\underline E = E_0\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}$ , $\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu)\underline E/\omega\delta$ . (b) $\langle\Pi_x\rangle = \tfrac12\operatorname{Re}(\underline E \underline B^*)/\mu_0 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ di $x = 0$ . (c) $\int_0^\infty\tfrac12\gamma E_0^2 \eu^{-2x/\delta}\dd x = \gamma E_0^2\delta/4 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ dengan memakai $\gamma = 2/\mu_0\omega\delta^2$ . (d) $H_0 = \sqrt2E_0/\mu_0\omega\delta$ , jadi $\tfrac12R_sH_0^2 = E_0^2/\gamma\mu_0^2\omega^2\delta^3 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ . Tembaga pada $1\,\mathrm{GHz}$ : $R_s = 1/\gamma\delta = 8\,\mathrm{m}\Omega$ ; $\tfrac12 \times 8 \times 10^{-3} \times 10^4 = 40\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

Latihan 14.11 ★★★

Mengapa logam berkilau. Perlakukanlah elektron hantaran perak ( $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) sebagai plasma tanpa tumbukan pada frekuensi optik. (a) $\omega_p$ dan panjang gelombang yang bersesuaian. (b) Pada $500\,\mathrm{nm}$ : $k$ khayal — kedalaman tembusnya; gelombangnya terpantul seluruhnya (tanpa serapan dalam model ini): peraknya menjadi cermin. (c) Pada $200\,\mathrm{nm}$ ? Dari situlah “kebeningan ultraungu” logam alkali. (d) Perak yang sungguhan memantulkan $95\%$ , emas tampak kuning: apa yang terlewat model ini (pikirkanlah tumbukan, dan elektron terikat yang resonansinya terletak dalam cahaya tampak bagi emas)?

Solusi

Solusi Latihan 14.11.

(a) $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\lambda_p = 2\pi c/\omega_p = 140\,\mathrm{nm}$ . (b) $\omega = 3.8 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} < \omega_p$ : $1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 23\,\mathrm{nm}$ , pemantulan total. (c) Masih di bawah $\omega_p$ : memantulkan; kebeningannya hanya di luar $140\,\mathrm{nm}$ (pada natrium, $210\,\mathrm{nm}$ ). (d) Tumbukan memberi bagian nyata pada $\underline\gamma$ dan serapan beberapa persen; resonansi elektron terikat dalam cahaya tampak (emas, tembaga) menyerap birunya lalu mewarnai logamnya.

Latihan 14.12 ★★★

Air dalam gelombang mikro. Orientasi molekul kutub air memberi suseptibilitas $\underline\chi = \chi_s/(1 + \iu\omega\tau)$ (relaksasi Debye), $\chi_s \approx 80$ , $\tau = 8\,\mathrm{ps}$ , di atas sebuah tetapan $\chi_\infty \approx 4$ . (a) Bagian nyata dan khayal $\underline\varepsilon_r = 1 + \chi_\infty + \underline\chi$ pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ dan pada $20\,\mathrm{GHz}$ . (b) Indeks kompleksnya dan panjang serapan $1/(2n''\omega/c)$ intensitasnya pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ : seberapa dalam sebuah oven memasak? (c) Daya yang terserap tiap satuan volume bagi amplitudo medan $E_0$ dalam airnya: $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2$ ; nilainya bagi $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ . (d) Mengapa $2.45\,\mathrm{GHz}$ yang dipakai alih-alih $20\,\mathrm{GHz}$ yang serapannya maksimum?

Solusi

Solusi Latihan 14.12.

(a) $\omega\tau = 0.12$ : $\underline\varepsilon_r = 84 - 9.7\iu$ ; pada $20\,\mathrm{GHz}$ , $\omega\tau = 1$ : $45 - 40\iu$ . (b) $\underline n \approx 9.2 - 0.53\iu$ ; $c/2n''\omega = 1.8\,\mathrm{cm}$ : ovennya memasak dua sentimeter terluarnya, hantaran mengerjakan sisanya. (c) $\tfrac12 \times 1.54 \times 10^{10} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 9.7 \times 4 \times 10^6 = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$ . (d) Pada $20\,\mathrm{GHz}$ panjang serapannya akan semilimeter: hanya kulitnya yang akan matang; $2.45\,\mathrm{GHz}$ menembus, dan merupakan pita bebas.

Sebuah stasiun pemancar gelombang pendek pada senja hari: gelombangnya, beberapa megahertz di bawah frekuensi plasma ionosfer, hendak dipantulkan kembali ke tanah seribu kilometer jauhnya.

Aurora australis yang difoto dari Stasiun Antariksa Internasional: partikel dari Matahari, yang dipandu medan magnet Bumi, membangkitkan plasma atmosfer atasnya — yaitu ionosfer yang frekuensi plasmanya memantulkan gelombang radio (NASA).

14.5 Soal: Ionosfer, pintu oven dan prisma

Soal 14.1

Soal akhir pekan — tiga bahan yang dilihat sebuah gelombang: plasma yang membelokkan sinyal GPS, logam yang menahan gelombang mikro di dalam, dan kaca yang menguraikan cahaya putih

Bagian I — Ionosfer dan GPS. Kerapatan elektron dalam lapisan F $n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; kolom total elektron sepanjang lintasan tegak adalah $N_T = \int n\,\dd z = 2 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-2}$ pada siang hari. GPS: $f_1 = 1575\,\mathrm{MHz}$ , $f_2 = 1228\,\mathrm{MHz}$ .

Frekuensi plasma lapisan F; loloskah GPS? Loloskah gelombang pendek $5\,\mathrm{MHz}$ ?
Tunjukkanlah bahwa untuk $\omega \gg \omega_p$ kecepatan grupnya adalah $v_g \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2)$ dan kecepatan fasenya $c(1 + \omega_p^2/2\omega^2)$ .
Tunda grup tambahan sinyal GPS yang menyeberangi lapisannya: tunjukkanlah $\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2\varepsilon_0mc}\,\dfrac{N_T}{f^2}$ lalu hitunglah bagi $f_1$ ; galat jaraknya $c\,\Delta t$ .
Penerimanya memakai kedua frekuensinya: dari kedua tundanya ia menyingkirkan galatnya. Nyatakanlah $N_T$ dalam $\Delta t_1 - \Delta t_2$ ; ketelitian berapa pada beda tundanya yang memberi $N_T$ sampai $1\%$ ?
Berapa daur pembawa tambahan yang diwakili tunda pertanyaan 3 pada $f_1$ ?
Fase pembawanya dimajukan sebanyak yang grupnya ditunda: mengapa (tanda kedua koreksinya)? Yang mana yang berarti bagi penerima yang mencacah daur pembawanya?
Pada malam hari $N_T$ turun sepuluh kali: galat bagi penerima berfrekuensi tunggal pada siang dan pada malam hari.
Sebuah suar matahari menaikkan $n$ dalam lapisan D ( $80\,\mathrm{km}$ ) menjadi $1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$ dengan banyak tumbukan: layanan radio mana yang terpukul, dan mengapa GPS hanya sedikit memburuk?

Bagian II — Pintu ovennya. Dinding rongganya dan jala pintunya terbuat dari baja ( $\gamma = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ); lubang jalanya selebar $1.0\,\mathrm{mm}$ pada lembaran setebal $0.5\,\mathrm{mm}$ ; $f = 2.45\,\mathrm{GHz}$ , $P = 800\,\mathrm{W}$ .

Kedalaman kulit dalam bajanya pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ ; “tebal”-kah dindingnya?
Hambatan permukaannya $R_s = 1/\gamma\delta$ ; dengan medan magnet permukaan beramplitudo $H_0 = 30\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ pada dindingnya ( $1\,\mathrm{m}^{2}$ ), tentukanlah daya yang hilang dalam dindingnya, $\tfrac12R_sH_0^2$ tiap satuan luas; bagian $P$ -nya.
Dalam sebuah lubang selebar $a \ll \lambda$ medannya tak dapat merambat (lubangnya merupakan pandu gelombang di bawah ambangnya, Bab 16): ia meluruh sebagai $\eu^{-\pi z/a}$ menyeberangi ketebalan $z$ . Tentukanlah pelemahan amplitudonya menyeberangi lembaran $0.5\,\mathrm{mm}$ , dalam dB.
Mengapa Anda dapat melihat menembus jalanya (panjang gelombang cahaya terhadap ukuran lubangnya) sementara gelombang mikronya tak dapat keluar?
Jendela kacanya sebuah dielektrik dengan $\underline\varepsilon_r = 4 - 0.02\iu$ : tentukanlah indeksnya, dan panjang pelemahan intensitas di dalamnya; terpanaskah kacanya?
Sebuah garpu logam dalam ovennya: medan di ujungnya diperkuat; dengan kedalaman kulit pertanyaan 8, taksirlah rapat arus di permukaannya bagi $H_0 = 300\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (pakailah $j \approx H_0/\delta$ di permukaannya) dan pemanasan setempatnya $j^2/\gamma$ — mengapa ada bunga api?

Bagian III — Kawat pada frekuensi radio. Sebuah kawat tembaga berjari-jari $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) dalam kumparan pemanas induksi $13.56\,\mathrm{MHz}$ mengemban $20\,\mathrm{A}$ rms.

Kedalaman kulitnya; penampang penghantar efektifnya; hambatan bolak-baliknya tiap meter terhadap yang searah.
Daya yang dilesapkan tiap meter kawat kumparannya; suhu yang akan dicapai kawatnya dengan pendinginan konveksi $h = 20\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ .
Kumparannya mengimbaskan arus dalam benda kerja baja ( $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $\mu_r \approx 1$ ketika panas): kedalaman kulit di sana; mengapa pemanasan induksi hanya memanaskan lapisan permukaan, dan bagaimana itu dipakai untuk mengeraskan roda gigi?
Untuk mengurangi rugi kumparannya kawatnya diganti dengan tabung tembaga $3\,\mathrm{mm}$ yang di dalamnya ada air: hambatan barunya tiap meter; adakah bagian dalam tabungnya mengemban arus?
Pada frekuensi berapa kedalaman kulit dalam tembaganya akan sama dengan jari-jari kawatnya? Di bawahnya, hampiran apa yang menggantikan rumus “kawat tebal”-nya?

Bagian IV — Prismanya. Sebuah kaca mempunyai $n(\lambda) = 1.500 + 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2$ , dengan resonansinya pada $\lambda_0 = 100\,\mathrm{nm}$ .

Periksalah bahwa bentuk Cauchynya menyusul dari model Lorentz jauh di bawah resonansinya, dan bahwa $\omega_p^2/\omega_0^2 = n^2(\infty) - 1$ : nilai $\omega_p^2/\omega_0^2$ dan nilai $n$ efektif bagi kaca ini.
Indeks dan kecepatan fasenya pada $400\,\mathrm{nm}$ dan $700\,\mathrm{nm}$ ; indeks grupnya pada $550\,\mathrm{nm}$ ; tunda antara kedua warnanya sepanjang $1\,\mathrm{km}$ kaca semacam itu dalam sebuah serat.
Sebuah prisma $60{}^{\circ}$ pada simpangan minimum bagi $550\,\mathrm{nm}$ : tentukanlah simpangannya (pakailah $n\sin(A/2) = \sin((A + D)/2)$ ); jarak sudut antara $400\,\mathrm{nm}$ dan $700\,\mathrm{nm}$ (turunkanlah); pada layar $2\,\mathrm{m}$ jauhnya, lebar spektrumnya.
Mengapa kacanya buram pada $200\,\mathrm{nm}$ , dan apa warnanya jika secuil besi menambahkan resonansi lemah pada $700\,\mathrm{nm}$ ?
Dalam gambaran Lorentz, mengapa biru disimpangkan lebih banyak daripada merah oleh prismanya?
Dalam satu tabel berikanlah, bagi lapisan F, bajanya, tembaganya dan kacanya pada frekuensi kerjanya, sifat $\underline\gamma$ dan nasib gelombangnya.

Solusi

Solusi Soal 14.1.

1. $f_p = 9\,\mathrm{MHz}$ : GPS lolos, gelombang pendeknya terpantul.

2. $k = (\omega/c)\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}$ : $v_\varphi = \omega/k \approx c(1 + \omega_p^2/ 2\omega^2)$ , $v_g = \dd\omega/\dd k = c^2k/\omega \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2)$ .

3. $\Delta t = \int(1/v_g - 1/c)\dd z = \int\omega_p^2\dd z/2c\omega^2 = e^2N_T/2\varepsilon_0 mc\omega^2 = (e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc)N_T/f^2 = 1.34 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{17}/2.48 \times 10^{18} = 11\,\mathrm{ns}$ : $3.2\,\mathrm{m}$ .

4. $N_T = (\Delta t_1 - \Delta t_2)/K(1/f_1^2 - 1/f_2^2)$ ; selisihnya $7\,\mathrm{ns}$ : $1\%$ menuntut $0.07\,\mathrm{ns}$ .

5. $v_\varphi$ melampaui $c$ sebanyak $v_g$ kurang darinya: fase pembawanya tiba lebih awal sementara modulasinya tiba terlambat. Penerima berfase pembawa menerapkan koreksinya dengan tanda yang berlawanan.

6. $3.2\,\mathrm{m}$ pada siang hari, $0.3\,\mathrm{m}$ pada malam hari.

7. $f_p = 0.9\,\mathrm{MHz}$ dengan tumbukan: gelombang menengah dan pendek terserap (sebuah pemadaman radio); GPS pada $1.5\,\mathrm{GHz}$ merasakan serapan $\propto 1/\omega^2$ , yang dapat diabaikan.

8. $f_1\Delta t = 1.575 \times 10^9 \times 1.1 \times 10^{-8} = 17$ daur.

9. $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : dinding semilimeter adalah seratus kedalaman kulit.

10. $R_s = 1/\gamma\delta = 0.1\,\Omega$ ; $\tfrac12R_sH_0^2 = 45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $45\,\mathrm{W}$ , $6\%$ .

11. $\eu^{-\pi \times 0.5} = 0.21$ : $-14\,\mathrm{dB}$ dalam amplitudo, $-27\,\mathrm{dB}$ dalam daya (dan lubang mungilnya memang sedikit sekali berkopel sejak awal).

12. Cahaya, $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dua ribu kali lebih kecil daripada lubangnya lalu lolos; gelombang mikronya, $\lambda = 12\,\mathrm{cm}$ , seratus kali lebih besar.

13. $\underline n = 2 - 0.005\iu$ ; $c/2n''\omega = 1.9\,\mathrm{m}$ : kacanya nyaris tak menghangat.

14. $j \approx H_0/\delta = 3 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $j^2/\gamma = 9 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ dalam lapisan sepuluh mikrometer: ujungnya memanas dalam hitungan milisekon, melontarkan elektron, mengionkan udaranya — bunga api.

15. $\delta = 18\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; penampangnya $2\pi a\delta = 5.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ melawan $\pi a^2 = 7.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}$ : $R_{\text{ac}} = 0.30\,\Omega/\mathrm{m}$ , empat belas kali yang searah.

16. $RI^2 = 120\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; permukaannya $\pi d = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ tiap meter: $\Delta T \approx 1900\,\mathrm{K}$ — ia akan mencair; kumparan semacam itu berupa tabung berpendingin air.

17. $\delta = 0.14\,\mathrm{mm}$ : arus imbasnya, dan kalornya, tinggal dalam sepersepuluh milimeter; sebuah pulsa pendek yang disusul pencelupan mengeraskan permukaan sebuah roda gigi sementara intinya tetap liat.

18. $R = 1/\gamma2\pi a\delta = 0.10\,\Omega/\mathrm{m}$ , tiga kali lebih kecil; bagian dalamnya tak mengemban apa pun — dari situlah tabungnya, dengan pendinginnya di tempat tembaganya akan terbuang percuma.

19. $\delta = a$ pada $f = 1/\pi\mu_0\gamma a^2 = 17\,\mathrm{Hz}$ ; di bawahnya, arusnya seragam dan rumus searahnya berlaku.

20. $n^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + (\omega_p^2/\omega_0^2)(\lambda_0/\lambda)^2$ : yaitu bentuk Cauchy dengan $n(\infty)^2 - 1 = \omega_p^2/\omega_0^2 = 1.25$ bagi $n(\infty) = 1.5$ .

21. $n = 1.531$ dan $1.510$ , $v = 1.96$ dan $1.99 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $n_g(550) = 1.550$ ; $n_g(400) - n_g(700) = 0.063$ : $210\,\mathrm{ns}$ sepanjang satu kilometer.

22. $\sin((A + D)/2) = 1.5165 \times 0.5$ : $D = 38.6{}^{\circ}$ ; $\dd D = 2\sin (A/2)\dd n/\cos((A + D)/2) = 1.53\,\dd n$ : $\Delta D = 1.85{}^{\circ}$ , $6.5\,\mathrm{cm}$ pada $2\,\mathrm{m}$ .

23. Pada $200\,\mathrm{nm}$ frekuensinya mendekati resonansinya dan $n''$ tumbuh: buram. Resonansi lemah pada $700\,\mathrm{nm}$ menyerap merahnya: kaca hijau.

24. Biru lebih dekat ke resonansi ultraungunya: elektron terikatnya menanggapi lebih kuat, $n$ lebih besar, dan simpangannya pun.

25. Lapisan F pada $1.5\,\mathrm{GHz}$ : $\underline\gamma$ khayal, perambatan dengan tunda grup yang kecil. Baja pada $2.45\,\mathrm{GHz}$ : $\underline\gamma$ nyata, efek kulit, pemantulan. Tembaga pada $13.56\,\mathrm{MHz}$ : hal yang sama, dengan kulit $18\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Kaca dalam cahaya tampak: $\iu\omega\varepsilon_0\chi$ , indeks nyata, sebuah medium dispersif yang bening.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Plasma; model elektron bebas

Lihat semua 393 istilah di glosarium