Fisika Universitas — Tahun 2 · Bachelor Year 2

8Dispersi dan Paket Gelombang

Jatuhkanlah sebutir batu ke kolam lalu amatilah cincin riaknya: puncak baru lahir di tepi dalamnya, berlari keluar menembus cincinnya, lalu mati di tepi luarnya — cincinnya sebagai keseluruhan bergerak lebih lambat daripada puncak di dalamnya. Duduklah di pantai sesudah badai yang jauh dan alun yang panjang dan lambat tiba sehari sebelum riak yang pendek: lautnya menyortir gelombang menurut panjang gelombangnya. Kabel telegraf lintas Atlantik yang pertama, pada 1858, mengubah titik dan garis yang tajam menjadi noda yang menuntut waktu bermenit-menit untuk dibaca. Dalam ketiga hal itu kelajuan sebuah gelombang bergantung pada frekuensinya: mediumnya bersifat dispersif. Bab ini memperkenalkan hubungan dispersi, bilangan gelombang kompleks yang mengemban perambatan sekaligus serapan, kecepatan grup yang dengannya sebuah paket — beserta energinya, dan informasinya — sungguh-sungguh berjalan, dan saluran yang dilalui telegrafi, televisi dan internet: kabel koaksial.

8.1 Hubungan dispersi

Definisi 8.1 (Hubungan dispersi; kecepatan fase)

Medium yang linear, homogen dan tak berubah menurut waktu menerima gelombang bidang monokromatik $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (notasi kompleks; sinyal fisisnya adalah bagian nyatanya) asalkan $\omega$ dan $k$ memenuhi hubungan dispersi mediumnya, $\mathcal D(\omega, k) = 0$ , yang diselesaikan sebagai $k(\omega)$ atau $\omega(k)$ . Untuk $k$ nyata gelombangnya berjalan tanpa berubah bentuk dengan kecepatan fase

v_\varphi = \frac\omega k .

Mediumnya bersifat tak dispersif apabila $v_\varphi$ tak bergantung pada $\omega$ (maka $\omega = ck$ dan setiap sinyal merambat tanpa berubah bentuk — yaitu persamaan d’Alembert) dan dispersif pada hal lainnya.

Bukti. Menyisipkan $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ ke dalam persamaan linear berkoefisien tetap mengubah tiap $\partial_t$ menjadi $\iu\omega$ dan tiap $\partial_x$ menjadi $-\iu k$ , sehingga menyisakan hubungan aljabar. Tali, gelombang bunyi dan batangnya memberi $\omega^2 = c^2k^2$ . ∎

Contoh 8.2 (Dispersif dan tak dispersif)

(i) Sebuah tali di atas alas elastik (gaya pemulih $-Ky$ tiap satuan panjang, atau rantai bandul), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ dengan $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — yaitu hubungan Klein–Gordon, yang sama dengan hubungan sebuah plasma dan sebuah pandu gelombang (Bab 14 dan 16): $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$ , dan tak ada $k$ nyata di bawah ambang $\omega_c$ . (ii) Gelombang gravitasi air dalam: $\omega^2 = gk$ (diterima tanpa bukti), $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : gelombang panjang lebih cepat — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bagi $100\,\mathrm{m}$ , $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bagi $1\,\mathrm{km}$ . (iii) Rantai atomnya, $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (Bab 6). (iv) Cahaya dalam kaca, $k = n(\omega)\omega/c$ , itulah sebabnya sebuah prisma menguraikan spektrum.

Kiri: tiga hubungan dispersi — garis lurus bagi medium tak dispersif, hiperbola Klein–Gordon dengan ambangnya, parabola gelombang air dalam. Kanan: bagi hubungan Klein–Gordon kecepatan fasenya melampaui c dan kecepatan grupnya tinggal di bawahnya, dengan v_ v_g = c2. — Kiri: tiga hubungan dispersi — garis lurus bagi medium tak dispersif, hiperbola Klein–Gordon dengan ambangnya, parabola gelombang air dalam. Kanan: bagi hubungan Klein–Gordon kecepatan fasenya melampaui $c$ dan kecepatan grupnya tinggal di bawahnya, dengan $v_\varphi v_g = c^2$ .

Definisi 8.3 (Bilangan gelombang kompleks: perambatan dan pelemahan)

Ketika hubungan dispersinya memberi, bagi $\omega$ nyata, sebuah $\underline k = k' - \iu k''$ yang kompleks, gelombangnya adalah

\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

ia merambat dengan $v_\varphi = \omega/k'$ dan amplitudonya meluruh sebagai $\eu^{-x/\delta}$ dengan panjang pelemahan $\delta = 1/k''$ (ia harus meluruh searah rambatnya: $k'$ dan $k''$ bertanda sama). Jika $\underline k$ murni khayal, $\underline k = -\iu\kappa$ , gelombangnya bersifat evanesen: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$ , sebuah ayunan berdiri yang amplitudonya mati sepanjang jarak $1/\kappa$ tanpa merambatkan apa pun — yaitu hal medium Klein–Gordon di bawah ambangnya, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$ , dan hal sebuah logam pada frekuensi optik.

Contoh 8.4 (Tali teredam)

Sebuah tali dalam fluida kental, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$ . Untuk peredaman lemah ( $\alpha \ll \mu \omega$ ), $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : gelombangnya menjaga kelajuannya dan kehilangan amplitudo sepanjang $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$ , tak bergantung pada frekuensi — sebuah rugi pelesap tanpa dispersi, $8.7\,\mathrm{dB}$ tiap panjang $\delta$ .

8.2 Paket gelombang dan kecepatan grup

Proposisi 8.5 (Layangan; kecepatan grup)

Dua gelombang beramplitudo sama dan berfrekuensi bertetangga $\omega \pm \delta\omega$ , berbilangan gelombang $k \pm \delta k$ , tertumpang menjadi

s = 2A\cos(\delta\omega\,t - \delta k\,x)\cos(\omega t - kx) :

sebuah pembawa pada $(\omega, k)$ yang bergerak dengan $v_\varphi = \omega/k$ , yang termodulasi selubung lambat yang bergerak dengan $\delta\omega/\delta k$ . Sebuah paket gelombang — tumpangan gelombang monokromatik yang bilangan gelombangnya berada dalam pita sempit di sekitar $k_0$ — berjalan, sebagai keseluruhan, dengan kecepatan grup

v_g = \frac{\dd\omega}{\dd k}\Bigr|_{k_0} ,

yaitu kecepatan energinya dan kecepatan informasi yang diembannya. Dalam medium tak dispersif $v_g = v_\varphi = c$ ; pada hal lainnya paketnya berubah bentuk selama berjalan (ia menyebar), makin cepat makin besar $\dd^2\omega/\dd k^2$ dan makin sempit pelengkap spektrumnya, yaitu lebar ruangnya.

Bukti. Rumus jumlah ke hasil kali memberi layangannya. Untuk sebuah paket, tuliskanlah $s = \int a(k)\eu^{\iu(\omega(k)t - kx)}\dd k$ (sebuah tumpangan Fourier — integral Fourier dipelajari dalam jilid matematika Tahun ke-3; di sini hanya tafsirannya sebagai jumlah sinusoida yang sinambung yang dipakai), dengan $a(k)$ yang memuncak di $k_0$ . Uraikanlah $\omega(k) \approx \omega_0 + v_g(k - k_0)$ : maka $s \approx \eu^{\iu(\omega_0t - k_0x)}\int a(k)\eu^{\iu(k - k_0)(v_gt - x)}\dd k$ , yaitu pembawa dikali selubung yang hanya merupakan fungsi $x - v_gt$ — selubungnya bergerak dengan $v_g$ . Suku berikutnya, $\tfrac12\omega''(k_0)(k - k_0)^2t$ , mendefasekan komponennya menurut waktu lalu menyebarkan selubungnya. Energi sebuah paket terletak di tempat selubungnya berada; begitu pula setiap sinyal. ∎

Layangan: dua frekuensi yang bertetangga menghasilkan pembawa yang cepat (bergerak dengan kecepatan fase) di bawah selubung yang lambat (bergerak dengan kecepatan grup); dalam medium dispersif kedua kelajuannya berbeda dan puncaknya menyelusup menembus selubungnya.

Contoh 8.6 (Air dalam: puncaknya mendahului grupnya)

$\omega = \sqrt{gk}$ : $v_g = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12v_\varphi$ . Sebuah grup alun bergerak dengan separuh kelajuan puncaknya: sambil mengamati rentetan gelombang, Anda melihat puncak muncul di belakang grupnya, berjalan menembusnya lalu lenyap di depannya — persis cincin di kolam itu. Sebuah badai $3000\,\mathrm{km}$ jauhnya mengirimkan alun $15\,\mathrm{s}$ -nya ( $\lambda = gT^2/2\pi = 350\,\mathrm{m}$ , $v_g = gT/4\pi = 11.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) dalam tiga hari, gelombang $8\,\mathrm{s}$ -nya ( $v_g = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) dalam lima setengah hari: dari waktu tibanya periode yang berbeda, ahli oseanografi menentukan letak badainya.

Jejak gelombang sebuah perahu motor di danau yang tenang: pola berbulunya tinggal di dalam sebuah baji bersudut tetap sebab energi tiap gelombang airnya berjalan dengan separuh kelajuan puncaknya — dispersi yang menjadi kasatmata.

Contoh 8.7 (Klein–Gordon: lebih cepat daripada cahaya, dan tidak)

Untuk $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ : $v_\varphi = \omega/k$ dan $v_g = c^2k/\omega$ , jadi $v_\varphi v_g = c^2$ : kecepatan fasenya melampaui $c$ (dalam ionosfer, puncak gelombang $10\,\mathrm{MHz}$ bergerak lebih cepat daripada cahaya) tetapi kecepatan grupnya, yang mengemban sinyalnya, tinggal di bawahnya. Kecepatan fase tidak mengangkut energi maupun informasi — puncaknya seperti titik cahaya mercusuar yang menyapu awan yang jauh.

Catatan 8.8 (Penyebaran)

Sebuah paket berlebar ruang $\Delta x$ memuat bilangan gelombang sepanjang $\Delta k \sim 1/\Delta x$ (kebalikan Fourier, diterima tanpa bukti); kecepatan grup komponennya berbeda sebesar $\Delta v_g \approx |\omega''|\Delta k$ , jadi sesudah waktu $t$ ia telah menyebar sebesar $|\omega''|\Delta k\,t$ : lebarnya berlipat dua sesudah $t_{\text{seb}} \sim \Delta x^2/|\omega''|$ . Sebuah paket berisi sepuluh gelombang air dalam $100\,\mathrm{m}$ ( $\Delta x \approx 1\,\mathrm{km}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) berlipat dua dalam sekitar enam jam; sebuah pulsa cahaya $1\,\mathrm{ns}$ dalam serat optik menyebar berpuluh pikosekon tiap kilometer — yaitu batas laju bit sambungan panjang. Paket gelombang kuantum Bab 30 menyebar karena sebab yang sama.

8.3 Kabel koaksial

Proposisi 8.9 (Persamaan telegrafis; saluran tanpa rugi)

Sebuah kabel koaksial (atau saluran dua penghantar mana pun) mempunyai, tiap satuan panjang, induktansi $\Lambda$ dan kapasitansi $\Gamma$ . Tegangan $v(x, t)$ antara kedua penghantarnya dan arus $i(x, t)$ dalam penghantar dalamnya menuruti persamaan telegrafis

\frac{\partial v}{\partial x} = -\Lambda\frac{\partial i}{\partial t} , \qquad \frac{\partial i}{\partial x} = -\Gamma\frac{\partial v}{\partial t} ,

sehingga memberi persamaan d’Alembert bagi $v$ dan $i$ dengan

c = \frac1{\sqrt{\Lambda\Gamma}} , \qquad v = Z_c\,i \ \text{bagi gelombang menuju } +x, \quad Z_c = \sqrt{\frac\Lambda\Gamma} ,

dengan $Z_c$ yaitu impedansi ciri salurannya. Untuk kabel koaksial berjari-jari $a < b$ yang terisi dielektrik berpermitivitas nisbi $\varepsilon_r$ , $\Lambda = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac ba$ , $\Gamma = \dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$ , jadi $c = c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$ (sekitar $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dua pertiga kelajuan cahaya) dan $Z_c = \dfrac{60\,\Omega} {\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\dfrac ba$ : $50\,\Omega$ atau $75\,\Omega$ bagi kabel yang lazim.

Bukti. Modelkanlah iris $[x, x + \dd x]$ sebagai induktansi seri $\Lambda\dd x$ dan kapasitansi paralel $\Gamma\dd x$ : jatuh tegangan sepanjang irisnya adalah $\Lambda\dd x\,\partial_ti$ , dan arus yang hilang ke kapasitansinya adalah $\Gamma\dd x \,\partial_tv$ . Turunkanlah bersilang. Untuk $v = f(x - ct)$ , persamaan pertamanya memberi $i = f(x - ct)/\Lambda c = v/\sqrt{\Lambda/\Gamma}$ . Nilai $\Lambda$ dan $\Gamma$ adalah nilai kapasitor tabung dan induktor koaksial yang dihitung dalam jilid Tahun ke-1. ∎

Kiri: rangkaian setara sebuah iris x saluran tanpa rugi — induktansi seri, kapasitansi paralel — yang darinya persamaan telegrafisnya menyusul. Kanan: sebuah kabel koaksial dalam penampang; dan -nya hanya bergantung pada nisbah jari-jarinya dan pada dielektriknya. — Kiri: rangkaian setara sebuah iris $\dd x$ saluran tanpa rugi — induktansi seri, kapasitansi paralel — yang darinya persamaan telegrafisnya menyusul. Kanan: sebuah kabel koaksial dalam penampang; $\Lambda$ dan $\Gamma$ -nya hanya bergantung pada nisbah jari-jarinya dan pada dielektriknya.

Sebuah kabel koaksial: inti dalam, dielektrik, penghantar luar teranyam — sebuah saluran transmisi yang induktansi dan kapasitansi tiap meternya menetapkan kelajuannya dan impedansi cirinya.

Proposisi 8.10 (Saluran berugi; syarat tanpa distorsi)

Dengan hambatan seri $R$ dan konduktansi paralel $G$ tiap satuan panjang, persamaannya menjadi $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$ , $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv - Gv$ , dan hubungan dispersinya $\underline k^2 = (\Lambda\omega - \iu R)(\Gamma\omega - \iu G)$ : salurannya dispersif dan melemahkan. Dua limitnya: (i) $R/\Lambda = G/\Gamma$ (syarat Heaviside, yang dicapai dengan menambahkan induktansi): $\underline k = \omega\sqrt{\Lambda\Gamma} - \iu\sqrt{RG}$ , setiap frekuensi berjalan dengan kelajuan yang sama dan pelemahan yang sama — salurannya melemahkan tetapi tidak mencacatkan. (ii) $\Lambda \approx 0$ , $G \approx 0$ (kabel bawah laut yang pertama): $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$ , sebuah persamaan difusi — sebuah pulsa tidak merambat melainkan memudar, mencapai jarak $L$ sesudah waktu $\sim R\Gamma L^2$ (hukum kuadrat Kelvin), seratus kali lebih lama bagi kabel yang sepuluh kali lebih panjang.

Bukti. Sisipkanlah $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $-\iu kv = -(\iu\omega\Lambda + R)i$ , $-\iu ki = -(\iu \omega\Gamma + G)v$ ; kalikanlah. Di bawah syarat Heaviside hasil kalinya menjadi kuadrat sempurna. Limit difusinya membuang suku $\iu\omega\Lambda$ dan $G$ . ∎

Contoh 8.11 (Tiga kabel)

Kabel lintas Atlantik 1858: sebatang kawat tembaga dalam getah perca, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $L = 3000\,\mathrm{km}$ : $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ dan $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ tiap titik: satu kata tiap menit, dan upaya para operatornya untuk memaksakan sinyalnya dengan $2\,\mathrm{kV}$ merusak isolasinya dalam beberapa pekan. Sebuah saluran telepon yang dibebani kumparan tiap $2\,\mathrm{km}$ untuk memenuhi syarat Heaviside (1900): tutur kata yang jelas sepanjang ratusan kilometer. Sebuah kabel koaksial $50\,\Omega$ modern: $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , dan sebuah pelemahan, akibat efek kulit dalam penghantarnya (Bab 14), yang tumbuh sebagai $\sqrt f$ : beberapa desibel tiap seratus meter pada $100\,\mathrm{MHz}$ .

Metode 8.12 (Membaca sebuah hubungan dispersi)

(1) Tuliskanlah persamaan gelombang mediumnya dalam notasi kompleks lalu selesaikanlah bagi $\underline k(\omega)$ . (2) $k$ nyata: hitunglah $v_\varphi = \omega/k$ dan $v_g = \dd\omega/\dd k$ (atau $1/(\dd k/\dd\omega)$ ); bandingkanlah: dispersif atau tidak, normal ( $v_g < v_\varphi$ ) atau anomali. (3) $k$ kompleks: belahlah menjadi perambatan ( $k'$ ) dan pelemahan ( $k''$ , dengan panjang $1/k''$ ); murni khayal berarti evanesen, tanpa pengangkutan. (4) Sebuah frekuensi ambang memisahkan pita yang merambat dari pita yang evanesen. (5) Bagi sebuah sinyal, bernalarlah pada selubungnya dengan $v_g$ , jangan pernah pada puncaknya.

8.4 Latihan

Latihan 8.1 ★

Gelombang air dalam, $\omega^2 = gk$ . (a) Kecepatan fase, kecepatan grup dan periode sebuah alun $100\,\mathrm{m}$ . (b) Sebuah alun berperiode $14\,\mathrm{s}$ : panjang gelombangnya, $v_\varphi$ , $v_g$ ; waktu bagi energinya untuk menyeberangi $5000\,\mathrm{km}$ . (c) Mengapa riak berperiode $2\,\mathrm{s}$ sama sekali tak sampai ke sana?

Solusi

Solusi Latihan 8.1.

(a) $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\omega = \sqrt{gk} = 0.79\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 8.0\,\mathrm{s}$ ; $v_\varphi = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $\omega = 0.45\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $k = \omega^2 /g = 0.021\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda = 310\,\mathrm{m}$ ; $v_\varphi = gT/2\pi = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5 \times 10^6/11 = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.3$ hari. (c) $\lambda = 6\,\mathrm{m}$ , $v_g = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ia akan menuntut lima pekan, dan gelombang pendek teredam kekentalan dan dipecahkan angin jauh sebelum itu.

Latihan 8.2 ★

Sebuah medium menuruti $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ dengan $\omega_c = 2\pi \times 1 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ dan $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Untuk $f = 20\,\mathrm{MHz}$ : tentukanlah $k$ , $v_\varphi$ , $v_g$ , dan hasil kalinya. Untuk $f = 5\,\mathrm{MHz}$ : $\kappa$ dan kedalaman tembusnya.

Solusi

Solusi Latihan 8.2.

$\omega = 1.26 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\omega_c = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $k = \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}/c = 0.36\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $v_\varphi = 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = c^2k/\omega = 2.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , hasil kalinya $c^2$ . Pada $5\,\mathrm{MHz}$ , $\omega < \omega_c$ : $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c = 0.18\,\mathrm{m}^{-1}$ , kedalamannya $5.5\,\mathrm{m}$ .

Latihan 8.3 ★

Dua garpu tala pada $440\,\mathrm{Hz}$ dan $444\,\mathrm{Hz}$ : frekuensi layangannya, dan periode perubahan kenyaringannya. Dua gelombang air berpanjang gelombang $100\,\mathrm{m}$ dan $110\,\mathrm{m}$ : frekuensinya, panjang gelombang dan kelajuan selubungnya; bandingkanlah dengan $v_g$ pada $105\,\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 8.3.

Layangan pada $4\,\mathrm{Hz}$ , periode kenyaringannya $0.25\,\mathrm{s}$ . Air: $f = 0.125$ dan $0.119\,\mathrm{Hz}$ ; selubungnya $\cos(\delta\omega t - \delta kx)$ dengan $\delta k = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ (layangannya terpisah $1.1\,\mathrm{km}$ ) dan kelajuannya $\delta\omega/\delta k = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — yaitu kecepatan grup pada $105\,\mathrm{m}$ , $\tfrac12\sqrt{g\lambda/2\pi} = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Latihan 8.4 ★

Sebuah kabel koaksial: penghantar dalam berdiameter $0.9\,\mathrm{mm}$ , penghantar luar $3.0\,\mathrm{mm}$ , polietilena ( $\varepsilon_r = 2.3$ ). Tentukanlah $\Lambda$ , $\Gamma$ , kelajuan gelombangnya, impedansi cirinya, tundanya tiap meter; panjang kabel yang setara dengan tunda $10\,\mathrm{ns}$ . Kabel yang sama dengan udara alih-alih polietilena.

Solusi

Solusi Latihan 8.4.

$\ln(b/a) = 1.20$ : $\Lambda = 0.24\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 106\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , $c = 1/ \sqrt{\Lambda\Gamma} = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z_c = 48\,\Omega$ , $5.0\,\mathrm{ns}/\mathrm{m}$ ; $10\,\mathrm{ns}$ $\leftrightarrow$ $2.0\,\mathrm{m}$ . Udara: $\Gamma = 46\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , $c = c_0$ , $Z_c = 72\,\Omega$ .

Latihan 8.5 ★★

Tali yang kaku. Sebuah dawai piano yang sungguhan menuruti $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - EI\,\partial_x^4y$ ( $EI$ kekakuan lenturnya). (a) Hubungan dispersinya, kecepatan fase dan grupnya. (b) Bagi dawai A $_4$ Bab 6 ( $T = 685\,\mathrm{N}$ , $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $EI = 9.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$ ), tentukanlah kenaikan nisbi $v_\varphi$ bagi harmonik kedelapannya ( $k = 8\pi/L$ , $L = 0.38\,\mathrm{m}$ ); periksalah terhadap ketakharmonikan yang ditemukan di sana. (c) Dispersinya normal atau anomali? Seperti apa rupa petikan yang tajam sesudah beberapa perjalanan pulang pergi?

Solusi

Solusi Latihan 8.5.

(a) $\omega^2 = c^2k^2 + (EI/\mu)k^4$ ; $v_\varphi = \sqrt{c^2 + (EI/\mu)k^2}$ ; $v_g = (c^2k + 2(EI/\mu)k^3)/\omega$ . (b) $c^2 = 1.12 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ , $k = 66\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $(EI/\mu)k^2 = 7.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ : $v_\varphi/c = \sqrt{1.063} = 1.031$ , $+3.1\%$ — yaitu $53$ sen Bab 6. (c) $v_g > v_\varphi$ : anomali; harmonik tingginya berlari mendahului dan serangan sebuah petikan berubah menjadi kicau menurun yang singkat.

Latihan 8.6 ★★

Tali teredam. $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ . (a) Turunkanlah hubungan dispersinya. (b) Untuk $\alpha \ll \mu\omega$ , tunjukkanlah $k' \approx \omega/c$ dan $k'' \approx \alpha/2Z$ ; pelemahannya dalam desibel tiap meter. (c) Angka: $\mu = 5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $T = 50\,\mathrm{N}$ , $\alpha = 0.02\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $f = 100\,\mathrm{Hz}$ : periksalah hampirannya lalu berikanlah $\delta$ . (d) Dispersifkah tali teredamnya? Dalam rezim $\alpha$ yang mana ia akan menjadi dispersif?

Solusi

Solusi Latihan 8.6.

(a) $-\mu\omega^2 + \iu\alpha\omega = -Tk^2$ : $\underline k^2 = (\omega^2/c^2)(1 - \iu\alpha/\mu\omega)$ . (b) $\underline k \approx (\omega/c)(1 - \iu\alpha/2\mu\omega)$ : $k' = \omega/c$ , $k'' = \alpha/2\mu c = \alpha/2Z$ ; $8.7k''$ dB/m. (c) $c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z = 0.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $\mu\omega = 3.1 \gg 0.02$ : $k'' = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ , $\delta = 50\,\mathrm{m}$ , $0.17\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (d) Tidak dalam limit ini ( $k' = \omega/c$ ); ketika $\alpha \gtrsim \mu\omega$ akar kuadratnya tak lagi melinear dan $k'$ bergantung secara tak linear pada $\omega$ : dispersif (yaitu limit difusif kabelnya).

Latihan 8.7 ★★

Riak. Gelombang air yang pendek diatur tegangan permukaan: $\omega^2 = \gamma k^3/\rho$ ( $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ); hubungan lengkapnya adalah $\omega^2 = gk + \gamma k^3/\rho$ . (a) $v_\varphi$ dan $v_g$ bagi gelombang kapiler murni; mana yang lebih besar? (b) Tunjukkanlah bahwa kecepatan fase hubungan lengkapnya minimum pada $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g}$ lalu hitunglah $\lambda_m$ dan $v_{\min}$ . (c) Sebuah perahu yang lebih lambat daripada $v_{\min}$ tak membuat jejak gelombang: mengapa? (d) Tetes hujan di kolam membuat cincin yang puncaknya tertinggal di belakang cincinnya: dalam rezim yang mana?

Solusi

Solusi Latihan 8.7.

(a) $v_\varphi = \sqrt{\gamma k/\rho}$ , $v_g = \tfrac32v_\varphi$ : grupnya mendahului puncaknya. (b) $v_\varphi^2 = g/k + \gamma k/\rho$ minimum pada $k_m = \sqrt{\rho g/\gamma}$ : $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g} = 1.7\,\mathrm{cm}$ , $v_{\min} = (4g\gamma/\rho)^{1/4} = 23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . (c) Sebuah jejak gelombang adalah pola yang tak bergerak terhadap perahunya, tersusun atas gelombang yang kecepatan fasenya sepadan dengan kelajuannya; tak satu pun lebih lambat daripada $23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . (d) Rezim kapiler, $v_g > v_\varphi$ : puncaknya lahir di depan cincinnya lalu mati di belakangnya.

Latihan 8.8 ★★

Penyebaran. Sebuah paket berlebar awal $\Delta x_0$ melipatduakan lebarnya sesudah $t_{\text{seb}} \approx \Delta x_0^2/|\omega''(k_0)|$ . (a) Sebuah grup gelombang air dalam, $\lambda = 50\,\mathrm{m}$ , $\Delta x_0 = 500\,\mathrm{m}$ . (b) Sebuah pulsa cahaya dalam serat kaca: $\omega'' \approx -0.16\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; sebuah pulsa $10\,\mathrm{ps}$ ( $\Delta x_0 = 2\,\mathrm{mm}$ ): waktu penyebarannya dan jarak yang ditempuhnya sementara itu; hal yang sama bagi pulsa $1\,\mathrm{ns}$ . Mengapa sambungan optik yang panjang memakai pulsa yang lebih panjang atau serat pengimbang dispersi?

Solusi

Solusi Latihan 8.8.

(a) $k = 0.126\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -18\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $t_{\text{seb}} = 2.5 \times 10^5/18 = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , empat jam. (b) $10\,\mathrm{ps}$ : $t_{\text{seb}} = 4 \times 10^{-6}/0.16 = 25\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $5\,\mathrm{km}$ pada $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{ns}$ : $0.04/0.16 = 0.25\,\mathrm{s}$ , $50\,000\,\mathrm{km}$ . Pulsa pendek (laju bit tinggi) menyebar dalam hitungan kilometer: sambungan panjang memakai serat pengimbang atau laju yang sedang.

Latihan 8.9 ★★

Kabel bawah laut. $R = 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma = 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $\Lambda$ dan $G$ dapat diabaikan. (a) Tunjukkanlah bahwa $v$ menuruti persamaan difusi lalu berikanlah difusivitasnya. (b) Hubungan dispersinya $\underline k(\omega)$ ; kecepatan fase dan panjang pelemahannya pada $1\,\mathrm{Hz}$ dan pada $10\,\mathrm{Hz}$ . (c) Waktu bagi sebuah sinyal untuk “tiba” sepanjang $3000\,\mathrm{km}$ ( $\sim R\Gamma L^2$ ); kata tiap menit. (d) Obat Heaviside: induktansi tiap kilometer yang diperlukan bagi $R/\Lambda = G/\Gamma$ jika $G = 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{S}/\mathrm{km}$ ; mengapa sukar ditambahkan?

Solusi

Solusi Latihan 8.9.

(a) $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$ , $D = 1/R\Gamma = 1.1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (b) $\underline k^2 = -\iu R\Gamma\omega$ : $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ ; $1\,\mathrm{Hz}$ : $k = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $v_\varphi = 3.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 600\,\mathrm{km}$ ; $10\,\mathrm{Hz}$ : $v_\varphi = 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 190\,\mathrm{km}$ . (c) $R\Gamma L^2 = 9 \times 10^{-13} \times 9 \times 10^{12} = 8\,\mathrm{s}$ tiap titik: sekitar satu kata tiap menit. (d) $\Lambda = R\Gamma/G = 9\,\mathrm{H}/\mathrm{km}$ — sebuah induktansi yang mustahil bagi kabel bawah laut; kumparan pembeban bekerja pada saluran telepon daratan, yang $G$ dan $R\Gamma$ -nya berbeda.

Latihan 8.10 ★★★

Energi berjalan dengan kecepatan grup. Tali di atas alas elastik: $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ , dengan gelombang $y = A\cos(\omega t - kx)$ dan $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ . (a) Rapat energinya $e = \tfrac12\mu(\partial_ty)^2 + \tfrac12T (\partial_xy)^2 + \tfrac12Ky^2$ dan fluksnya $\mathcal P = -T\partial_xy\,\partial_ty$ : periksalah $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$ . (b) Rerata waktunya $\langle e\rangle$ dan $\langle\mathcal P\rangle$ bagi gelombangnya. (c) Tunjukkanlah bahwa $\langle\mathcal P\rangle/ \langle e\rangle = c^2k/\omega = v_g$ , bukan $v_\varphi$ . (d) Apa yang terjadi pada fluks energinya di bawah ambangnya?

Solusi

Solusi Latihan 8.10.

(a) $\partial_te = \dot y(\mu\ddot y + Ky) + Ty'\dot y' = \dot yTy'' + Ty'\dot y' = \partial_x (Ty'\dot y) = -\partial_x\mathcal P$ . (b) $\langle e\rangle = \tfrac14A^2(\mu\omega^2 + Tk^2 + K) = \tfrac12\mu\omega^2A^2$ (dengan memakai $\mu\omega^2 = Tk^2 + K$ ); $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Tk\omega A^2$ . (c) Nisbahnya $Tk/\mu\omega = c^2k/\omega = v_g$ . (d) $y = A\eu^{-\kappa x}\cos\omega t$ : $\mathcal P \propto \sin2\omega t$ , reratanya nol — tak ada energi yang menyeberangi mediumnya.

Latihan 8.11 ★★★

Alun dan tsunami. Gelombang air berpanjang gelombang $\lambda$ pada kedalaman $h$ menuruti $\omega^2 = gk\tanh kh$ (diterima tanpa bukti). (a) Dapatkanlah kembali limit air dalam dan limit air dangkal ( $kh \ll 1$ ); kelajuan gelombang air dangkal; dispersifkah keduanya? (b) Sebuah tsunami berpanjang gelombang $\lambda = 200\,\mathrm{km}$ di atas $4\,\mathrm{km}$ samudra: limit yang mana, kelajuannya, periodenya; waktu untuk menyeberangi $8000\,\mathrm{km}$ . (c) Amplitudonya di lepas pantai $0.5\,\mathrm{m}$ : energi tiap satuan panjang puncaknya (terimalah $E = \tfrac12\rho gA^2$ tiap satuan luas) bagi muka sepanjang $1000\,\mathrm{km}$ ; apa yang terjadi ketika kedalamannya turun menjadi $10\,\mathrm{m}$ , jika fluks energinya $Ev_g$ kekal (hukum pendangkalan, $A \propto h^{-1/4}$ )? (d) Sebuah alun $100\,\mathrm{m}$ yang tiba di pantai: pada kedalaman berapa ia mulai merasakan dasarnya, dan mengapa puncaknya berbelok sejajar garis pantainya?

Solusi

Solusi Latihan 8.11.

(a) $\tanh kh \to 1$ : $\omega^2 = gk$ ; $kh \ll 1$ : $\omega = \sqrt{gh}\,k$ , kelajuannya $\sqrt{gh}$ , tak dispersif. (b) $kh = 0.13$ : dangkal; $c = \sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = 17\,\mathrm{min}$ ; $8000\,\mathrm{km}$ dalam $11\,\mathrm{h}$ . (c) $\tfrac12\rho gA^2 = 1.2\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ atas $200 \times 1000$ km $^2$ : $2.5 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$ . Pendangkalan: $A \propto h^{-1/4}$ , $(4000/10)^{1/4} = 4.5$ : $2.2\,\mathrm{m}$ , sebelum mencuram dan menjalar naik. (d) Pada $h \approx \lambda/2 = 50\,\mathrm{m}$ ; bagian puncak yang berada di air lebih dangkal melambat, jadi puncaknya berputar sejajar dengan kontur kedalamannya — pembiasan.

Latihan 8.12 ★★★

Sebuah pulsa pada saluran. Sebuah kabel $50\,\Omega$ sepanjang $\ell = 100\,\mathrm{m}$ ( $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) disuapi di $x = 0$ oleh sebuah generator berhambatan dalam $50\,\Omega$ dan diakhiri di $x = \ell$ oleh beban $R_L$ . (a) Tunjukkanlah bahwa gelombang yang tiba di ujungnya dipantulkan dengan koefisien tegangan $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ (tuliskanlah $v$ dan $i$ sebagai gelombang datang ditambah gelombang pantul lalu terapkanlah hukum Ohm pada bebannya). (b) Nilainya bagi $R_L = 50$ , $0$ , $\infty$ , $150\,\Omega$ . (c) Sebuah pulsa $1\,\mathrm{ns}$ sebesar $1\,\mathrm{V}$ dikirimkan: apa yang diperlihatkan osiloskop di generatornya, dan kapan, bagi tiap bebannya; mengapa $50\,\Omega$ generatornya penting. (d) Sebuah kerusakan pada kabel yang terkubur mengembalikan gema sesudah $1.8\,\text{µ}\mathrm{s}$ : di manakah ia? (Reflektometri kawasan waktu.)

Solusi

Solusi Latihan 8.12.

(a) Di $x = \ell$ : $v = v_i + v_r$ , $i = (v_i - v_r)/Z_c$ , $v = R_Li$ : $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ . (b) $0$ , $-1$ , $+1$ , $0.5$ . (c) Masukan salurannya tampak seperti $Z_c$ , jadi osiloskopnya melihat $0.5\,\mathrm{V}$ pada $t = 0$ , lalu gemanya $0.5r$ V pada $2\ell/c = 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : tak ada, $-0.5\,\mathrm{V}$ , $+0.5\,\mathrm{V}$ , $+0.25\,\mathrm{V}$ ; generator yang tersesuaikan menyerap gemanya, jadi tak ada gema kedua. (d) $\tfrac12 \times 2 \times 10^8 \times 1.8 \times 10^{-6} = 180\,\mathrm{m}$ .

8.5 Soal: Kabel dan laut

Soal 8.1

Soal akhir pekan — dispersi yang bekerja: kabel telegraf yang menodakan titiknya, alun yang mengumumkan sebuah badai, tsunami yang menyeberangi samudra, dan paket yang menyebar

Bagian I — Kabel telegraf. Kabel lintas Atlantik 1866: $R = 2.0\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma = 0.25\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $\Lambda = 0.5\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ , $G$ dapat diabaikan, panjangnya $L = 3500\,\mathrm{km}$ .

Tuliskanlah persamaan telegrafisnya dengan $R$ lalu turunkanlah hubungan dispersinya $\underline k^2 = \Gamma\omega(\Lambda\omega - \iu R)$ .
Pada frekuensi berapa $\Lambda\omega$ sama dengan $R$ ? Simpulkanlah bahwa untuk frekuensi telegraf (beberapa hertz) salurannya berada dalam rezim difusif.
Dalam rezim itu, $\underline k = \sqrt{-\iu R\Gamma\omega}$ : berikanlah $k'$ dan $k''$ (ingat $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ ); kecepatan fase dan panjang pelemahannya pada $1\,\mathrm{Hz}$ ; pada $4\,\mathrm{Hz}$ .
Pelemahannya dalam desibel sepanjang seluruh kabelnya pada $1\,\mathrm{Hz}$ dan pada $4\,\mathrm{Hz}$ . Frekuensi mana yang bertahan? Apa akibatnya bagi sebuah titik yang tajam?
Taksiran Kelvin atas waktu lintasnya, $R\Gamma L^2$ ; laju praktis kabelnya dalam kata tiap menit jika satu kata terdiri atas sekitar $10$ titik dan garis dan titiknya tak boleh bertindihan.
Heaviside mengusulkan menaikkan $\Lambda$ : nilai berapa yang membuat $\Lambda\omega = R$ pada $4\,\mathrm{Hz}$ , dan berapa kelajuan serta pelemahannya nanti (ambillah $G = 0$ , sehingga syarat $R/\Lambda = G/\Gamma$ tak dapat dipenuhi secara tepat — pakailah hubungan umumnya pada frekuensi itu)?
Sebuah serat optik modern mengemban $1 \times 10^{10}\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : bandingkanlah dengan pertanyaan 5, dalam pangkat sepuluh.

Bagian II — Alun. Air dalam: $\omega^2 = gk$ .

Kecepatan fase dan kecepatan grup sebagai fungsi periode $T$ .
Sebuah badai $4000\,\mathrm{km}$ dari sebuah pantai membangkitkan gelombang berperiode dari $6\,\mathrm{s}$ sampai $18\,\mathrm{s}$ : waktu tiba tiap ujungnya; durasi peristiwa alunnya.
Tunjukkanlah bahwa di pantai berjarak $D$ periode yang tiba menuruti $1/T = gt/4\pi D$ , dengan $t$ dihitung dari badainya: $1/T$ tumbuh linear menurut waktu. Sebuah pelampung mencatat $T = 16\,\mathrm{s}$ pada suatu tengah hari dan $T = 12\,\mathrm{s}$ tepat $24\,\mathrm{h}$ kemudian: jarak badainya.
Energi tiap satuan luas sebuah alun beramplitudo $A$ adalah $\tfrac12\rho gA^2$ ; daya yang menyeberangi garis $1\,\mathrm{m}$ puncaknya, untuk $A = 1.5\,\mathrm{m}$ , $T = 12\,\mathrm{s}$ . (Pakailah kecepatan grupnya — mengapa?)
Sebuah ladang energi gelombang bermuka $1\,\mathrm{km}$ dengan efisiensi $30\%$ : daya listriknya; bandingkanlah dengan sebuah turbin angin ( $3\,\mathrm{MW}$ ).
Sebuah perahu pada $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di atas air dalam meninggalkan jejak gelombang tak bergerak di belakangnya: panjang gelombang manakah yang kecepatan fasenya sama dengan kelajuan perahunya sehingga ia mengikutinya? Mengapa polanya terseret dalam bentuk V, lebih sempit daripada yang disiratkan penyebaran puncaknya sendiri (pikirkanlah $v_g = v_\varphi/2$ )?
Sambil mengamati satu grup alun dari sebuah tebing, lukiskanlah apa yang dilakukan satu puncak selama grupnya melewati sebuah pelampung tetap; berapa puncak yang dimuat sebuah grup berdurasi $2\,\mathrm{min}$ pada $T = 12\,\mathrm{s}$ , dan berapa “masa hidup” puncak yang diwakilinya?

Bagian III — Tsunami. $\omega^2 = gk\tanh kh$ ; kedalaman Pasifik $h = 4.0\,\mathrm{km}$ .

Sebuah gempa mengangkat sepetak dasar laut seluas $100\,\mathrm{km}$ setinggi $2\,\mathrm{m}$ ; gelombangnya mempunyai $\lambda \approx 200\,\mathrm{km}$ : periksalah bahwa ia gelombang air dangkal lalu berikanlah kelajuannya, periodenya dan waktu untuk mencapai pantai $6000\,\mathrm{km}$ jauhnya.
Dispersifkah ia? Bandingkanlah dengan alun Bagian II: apakah ia tiba sebelum atau sesudah alunnya akan tiba? Mana yang tiba sebagai pulsa tunggal?
Tingginya di lepas pantai $0.6\,\mathrm{m}$ : energi tiap meter persegi; energi total sebuah muka sepanjang $500\,\mathrm{km}$ yang tersebar sepanjang satu panjang gelombang; bandingkanlah dengan ledakan $1\,\mathrm{Mt}$ ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
Hukum pendangkalan: tingginya ketika kedalamannya turun menjadi $20\,\mathrm{m}$ dekat pantai (fluks energi $\tfrac12\rho gA^2v_g$ kekal, $v_g = \sqrt{gh}$ ); kelajuan dan panjang gelombangnya di sana; mengapa gelombangnya lalu menjadi curam lalu pecah seperti sebuah dinding.
Sebuah kapal di laut tak menyadari tsunaminya lewat: mengapa?
Alat ukur pasang surut yang terpisah $6000\,\mathrm{km}$ mencatat gelombangnya: apa yang diberikan waktu tempuhnya, dan mengapa kelajuan terukurnya sedikit lebih kecil daripada $\sqrt{gh}$ di atas samudra yang kedalamannya berubah-ubah.

Bagian IV — Paket yang menyebar.

Bagi air dalam, hitunglah $\omega''(k) = \dd^2\omega/\dd k^2$ dan nilainya bagi $\lambda = 100\,\mathrm{m}$ .
Sebuah paket berisi $10\,$ gelombang semacam itu ( $\Delta x_0 \approx 1\,\mathrm{km}$ ) dilepaskan: waktu penyebarannya $\Delta x_0^2/|\omega''|$ ; jarak yang ditempuh paketnya sementara itu.
Jelaskanlah dengan kata-kata mengapa paket berspektrum lebih sempit (rentetan lebih panjang) menyebar lebih lambat, dan mengapa tsunami Bagian III hampir tidak menyebar sama sekali.
Taksiran yang sama bagi sebuah elektron berpanjang gelombang $0.1\,\mathrm{nm}$ yang terlokalkan dalam $1\,\mathrm{nm}$ , dengan $\omega = \hbar k^2/2m$ ( $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ): waktu penyebaran dan jarak yang ditempuhnya — perjumpaan pertama dengan paket gelombang kuantum Bab 30.
Rangkumlah dalam sebuah tabel: bagi kabelnya, alunnya, tsunaminya dan elektronnya, hubungan dispersinya, $v_\varphi$ , $v_g$ dan apakah mediumnya menyebarkan atau sekadar melemahkan.

Solusi

Solusi Soal 8.1.

1. $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$ , $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv$ ; dengan $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $\iu kv = (\iu\omega\Lambda + R)i$ , $\iu ki = \iu\omega\Gamma v$ , sehingga $k^2 = \omega\Gamma(\omega\Lambda - \iu R)$ .

2. $\omega = R/\Lambda = 4000\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $640\,\mathrm{Hz}$ : pada beberapa hertz $\Lambda\omega \ll R$ , difusif.

3. $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ dengan $R\Gamma = 5 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ : $1\,\mathrm{Hz}$ : $1.25 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $v_\varphi = 5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 800\,\mathrm{km}$ ; $4\,\mathrm{Hz}$ : $2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $400\,\mathrm{km}$ .

4. $8.7L/\delta$ : $38\,\mathrm{dB}$ pada $1\,\mathrm{Hz}$ , $76\,\mathrm{dB}$ pada $4\,\mathrm{Hz}$ : hanya komponen yang paling lambat yang bertahan; sebuah titik yang tajam tiba sebagai gundukan yang panjang dan rendah.

5. $R\Gamma L^2 = 5 \times 10^{-13} \times 1.2 \times 10^{13} = 6\,\mathrm{s}$ : satu titik tiap enam sekon, satu kata tiap menit (kabel yang sungguhan, dengan galvanometer cermin yang peka, mampu beberapa kata).

6. $\Lambda = R/\omega = 80\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ . Lalu $k^2 = \Gamma R\omega(1 - \iu)$ , $k = \sqrt{\Gamma R\omega} \,2^{1/4}\eu^{-\iu\pi/8}$ : $k' = 3.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $k'' = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $v_\varphi = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 620\,\mathrm{km}$ , $49\,\mathrm{dB}$ sepanjang kabelnya alih-alih $76\,\mathrm{dB}$ .

7. Satu titik tiap $6\,\mathrm{s}$ adalah sekitar $0.2\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : seratnya $10^{10}$ sampai $10^{11}$ kali lebih cepat.

8. $v_\varphi = gT/2\pi$ , $v_g = gT/4\pi$ .

9. $18\,\mathrm{s}$ : $v_g = 14.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $4 \times 10^6/14.1 = 3.3\,\mathrm{hari}$ ; $6\,\mathrm{s}$ : $4.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $9.9\,\mathrm{hari}$ : alunnya berlangsung lebih dari enam hari.

10. $t = D/v_g = 4\pi D/gT$ , jadi $1/T = gt/4\pi D$ . $\Delta(1/T) = 1/12 - 1/16 = 0.0208\,\mathrm{Hz}$ dalam $86\,400\,\mathrm{s}$ : $g/4\pi D = 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-2}$ , $D = 3200\,\mathrm{km}$ .

11. $\tfrac12\rho gA^2 = 11\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ ; energinya bergerak dengan $v_g = gT/4\pi = 9.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $103\,\mathrm{kW}$ tiap meter puncaknya.

12. $10^3 \times 103 \times 0.3 = 31\,\mathrm{MW}$ : sepuluh turbin angin.

13. $\lambda = 2\pi U^2/g = 16\,\mathrm{m}$ . Energi tiap komponen gelombangnya berjalan dengan separuh kelajuan fasenya, jadi polanya terkurung dalam sebuah baji di belakang perahunya (bersetengah sudut $19.5{}^{\circ}$ , berapa pun kelajuannya).

14. Sebuah puncak lahir di belakang grupnya, menyusulnya (puncaknya bergerak dengan $2v_g$ relatif terhadap airnya, $v_g$ relatif terhadap grupnya) lalu mati di depannya. Grupnya sepanjang $120 \times 9.4 = 1.1\,\mathrm{km}$ , yaitu lima panjang gelombang ( $\lambda = gT^2/2\pi = 225\,\mathrm{m}$ ); sepuluh puncak melewati pelampungnya, masing-masing telah hidup sekitar dua menit.

15. $kh = 0.13$ : dangkal. $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = \lambda/c = 17\,\mathrm{min}$ , $8.4\,\mathrm{h}$ .

16. Tak dispersif: semua komponennya pada $198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , tiba bersama-sama sebagai satu pulsa (alunnya, pada $\sim10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , tersortir menurut periodenya, akan menuntut sepekan).

17. $\tfrac12\rho gA^2 = 1.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ atas $500 \times 200$ km $^2$ : $1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$ , $4\%$ satu megaton.

18. $A = 0.6(4000/20)^{1/4} = 2.3\,\mathrm{m}$ ; $c = \sqrt{gh} = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = cT = 14\,\mathrm{km}$ . Puncaknya, yang berada di air lebih dalam daripada lembah di depannya, berjalan lebih cepat lalu menyusulnya: mukanya mencuram menjadi sebuah bore.

19. Sebuah kenaikan $0.6\,\mathrm{m}$ selama seperempat jam, pada kemiringan $10^{-5}$ : tak terasa sama sekali.

20. Kelajuan reratanya, $\sqrt{gh}$ bagi kedalaman reratanya; karena $\sqrt h$ cekung, bentangan dangkalnya memperlambat gelombangnya lebih daripada bentangan dalamnya mempercepatnya, dan rerata lintasannya berada di bawah $\sqrt{g\bar h}$ .

21. $\omega' = \tfrac12\sqrt{g/k}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3}$ ; $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ : $\omega'' = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

22. $t_{\text{seb}} = 10^6/50 = 2 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , $5.6\,\mathrm{h}$ ; paketnya telah berpindah $v_gt = 6.25 \times 2 \times 10^4 = 125\,\mathrm{km}$ .

23. Rentetan yang panjang memuat pita $k$ yang sempit, yang kecepatan grupnya nyaris berimpit: komponennya tinggal bersama lebih lama. Medium tsunaminya tak dispersif: kelajuannya sama, tanpa penyebaran.

24. $\omega'' = \hbar/m = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $t_{\text{seb}} = 10^{-18}/1.2 \times 10^{-4} = 9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ ; $v_g = \hbar k/m = 7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $60\,\mathrm{nm}$ .

25. Kabel: $k^2 = -\iu R\Gamma\omega$ , $v_\varphi = \sqrt{2\omega/R\Gamma}$ , tanpa $v_g$ yang bersih, melemahkan dan menodakan. Alun: $\omega^2 = gk$ , $v_\varphi = 2v_g$ , menyebar. Tsunami: $\omega = \sqrt{gh}\,k$ , $v_\varphi = v_g$ , tak keduanya. Elektron: $\omega = \hbar k^2/2m$ , $v_g = 2v_\varphi$ , menyebar.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 431 istilah di glosarium