Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

5Genormeerde vectorruimten

Wanneer de metrische ruimte een vectorruimte is en de afstand van een norm komt, beginnen topologie en lineaire algebra te wisselenwerken: lineaire afbeeldingen zijn precies continu wanneer zij begrensd zijn op de eenheidsbol, eindige dimensie dwingt alle normen om overeen te stemmen, en volledigheid maakt absoluut convergente reeksen tot convergente. De kloof eindig/oneindig dimensionaal — gekristalliseerd in de stelling van Riesz — is de diepste les van het hoofdstuk.

Doorheen zijn $E, F$ vectorruimten over $K = \R$ of $\C$ .

5.1 Normen

Definitie 5.1

Een norm op $E$ is een afbeelding $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ met, voor alle $x, y \in E$ , $\lambda \in K$ :

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

Dan is $d(x, y) = \norm{x - y}$ een afstand, en heel Hoofdstuk 4 is van toepassing. De omgekeerde driehoeksongelijkheid $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ maakt de norm zelf $1$ -Lipschitz; optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn continu (schattingen $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ , enz.).

Voorbeeld 5.2

Op $K^n$ :

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

( $\norm\cdot_2$ is een norm door Cauchy–Schwarz, volume van Jaar 1). Op $C(\intcc{a}{b})$ :

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

de laatste twee zijn normen dankzij strikte positiviteit van de integraal en integrale Cauchy–Schwarz (volume van Jaar 1). Op matrices: elke norm op $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ; de operatornormen hieronder zijn de structureel belangrijke.

Definitie 5.3 (Equivalente normen)

Twee normen $N_1, N_2$ op $E$ zijn equivalent wanneer er constanten $c, C > 0$ zijn met

c\,N_1 \leq N_2 \leq C\, N_1 .

Equivalente normen hebben dezelfde open verzamelingen, dezelfde convergente en Cauchyrijen, dezelfde compacte en volledige deelverzamelingen: dezelfde analyse.

Voorbeeld 5.4 (Niet-equivalentie in oneindige dimensie)

Op $C(\intcc{0}{1})$ : $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ altijd, maar geen omgekeerde grens geldt: $f_n(x) = x^n$ heeft $\norm{f_n}_\infty = 1$ en $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Dus $f_n \to 0$ voor $\norm\cdot_1$ maar niet voor $\norm\cdot_\infty$ : de twee normen zijn het oneens over convergentie zelf.

Voorbeeld 5.5 (Expliciete constanten in dimensie $n$ )

Op $K^n$ zijn de drie klassieke normen equivalent met scherpe constanten:

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

de middelste grens $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ komt van Cauchy–Schwarz tegen de all-ones-vector. Extremale vectoren: $e_1$ maakt de eerste twee ongelijkheden tot gelijkheden, $(1, 1, \dots, 1)$ de laatste twee. De dimensie $n$ zit zichtbaar in de constanten — het kwantitatieve zaad van het falen in oneindige dimensie: als $n \to \infty$ overleeft geen uniforme constante, precies wat Voorbeeld 5.4 op functieruimten tentoonspreidt.

De eenheidsbollen van de drie klassieke normen van ℝ2, genest zoals de ongelijkheden van voorschrijven: kleinere bol, grotere norm. Rondheid telt: de vlakke zijden van de ruit en het vierkant zijn precies de falen van strikte convexiteit die in het weekendvraagstuk van en in dit hoofdstuk (vraag 4) worden uitgebuit. — De eenheidsbollen van de drie klassieke normen van $\R^2$ , genest zoals de ongelijkheden van Voorbeeld 5.5 voorschrijven: kleinere bol, grotere norm. Rondheid telt: de vlakke zijden van de ruit en het vierkant zijn precies de falen van strikte convexiteit die in het weekendvraagstuk van Hoofdstuk 8 en in dit hoofdstuk (vraag 4) worden uitgebuit.

5.2 Continue lineaire afbeeldingen

Stelling 5.6 (Karakterisering)

Voor een lineaire afbeelding $u \colon E \to F$ tussen genormeerde ruimten zijn de volgende equivalent:

$u$ is continu;
$u$ is continu in $0$ ;
$u$ is begrensd op de gesloten eenheidsbol: $\sup_{\norm x \leq 1} \norm{u(x)} < \infty$ ;
er is $C \geq 0$ met $\norm{u(x)} \leq C \norm x$ voor alle $x$ ;
$u$ is Lipschitz.

De kleinste zulke $C$ is de operatornorm $\vertiii{u} = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{u(x)} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{u(x)}}{\norm x}$ ; zij maakt de ruimte $\mathcal{L}_c(E, F)$ van continue lineaire afbeeldingen tot een genormeerde ruimte, met

\vertiii{v \circ u} \leq \vertiii v\, \vertiii u .

Bewijs. (1 $\Rightarrow$ 2) triviaal. (2 $\Rightarrow$ 3): continuïteit in $0$ met $\varepsilon = 1$ geeft $\delta$ met $\norm x \leq \delta \Rightarrow \norm{u(x)} \leq 1$ ; homogeniteit schaalt dan elke $x$ met $\norm x \leq 1$ omlaag in die bol en terug:

\norm{u(x)} = \frac1\delta\,\norm{u(\delta x)} \leq \frac1\delta ,

aangezien $\norm{\delta x} \leq \delta$ . (3 $\Rightarrow$ 4): voor $x \neq 0$ , pas de grens toe op $\frac{x}{\norm x}$ . (4 $\Rightarrow$ 5): $\norm{u(x) - u(y)} = \norm{u(x - y)} \leq C\norm{x - y}$ . (5 $\Rightarrow$ 1) bekend.

Normaxioma’s voor $\vertiii\cdot$ : homogeniteit en scheiding zijn duidelijk ( $\vertiii u = 0$ forceert $u = 0$ op de bol, dus overal); driehoeksongelijkheid uit $\norm{(u + v)(x)} \leq \norm{u(x)} + \norm{v(x)}$ . Submultiplicativiteit: $\norm{v(u(x))} \leq \vertiii v\,\norm{u(x)} \leq \vertiii v \vertiii u \norm x$ . ∎

Voorbeeld 5.7

Op $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : evaluatie $f \mapsto f(0)$ heeft operatornorm $1$ ; integratie $f \mapsto \int_0^1 f$ heeft norm $1$ ; de afbeelding $f \mapsto \int_0^1 t f(t)\dd t$ heeft norm $\int_0^1 t\,\dd t = \frac12$ (bovengrens door de driehoeksongelijkheid voor integralen; bereikt in $f \equiv 1$ ). Maar differentiatie, van $(C^1, \norm\cdot_\infty)$ naar $(C^0, \norm\cdot_\infty)$ , is niet continu: $\norm{\sin(nx)}_\infty = 1$ terwijl de afgeleide sup-norm $n$ heeft. Lineair impliceert niet continu in oneindige dimensie.

Voorbeeld 5.8 (Twee normen, twee oordelen over één rij)

Op $C(\intcc01)$ , zij $g_n(x) = \sqrt{n}\,x^n$ . Dan

\norm{g_n}_1 = \frac{\sqrt n}{n + 1} \longrightarrow 0, \qquad \norm{g_n}_2^2 = \frac{n}{2n + 1} \longrightarrow \frac12, \qquad \norm{g_n}_\infty = \sqrt n \longrightarrow \infty :

één rij, drie normen, drie gedragingen — convergentie naar nul, geen convergentie (normen stabiliseren op $\frac1{\sqrt2}$ maar de puntgewijze limiet is $0$ ), en explosie. Massa die concentreert nabij $x = 1$ is onzichtbaar voor $\norm\cdot_1$ , half zichtbaar voor $\norm\cdot_2$ , dominant voor $\norm\cdot_\infty$ . In oneindige dimensie is “convergeert het?” geen vraag over een rij: het is een vraag over een rij en een norm.

Methode 5.9 (Een operatornorm berekenen)

Altijd in twee zetten. Bovengrens: schat $\norm{u(x)}$ door $C\norm x$ met driehoeksongelijkheden, Cauchy–Schwarz, of integraalschattingen — dit bewijst $\vertiii u \leq C$ . Getuige: toon ofwel een specifiek $x_0 \neq 0$ met $\norm{u(x_0)} = C\norm{x_0}$ (de grens wordt bereikt), of een rij eenheidsvectoren $x_n$ met $\norm{u(x_n)} \to C$ (de grens wordt benaderd). Beide zetten zijn verplicht: een bovengrens alleen geeft slechts $\vertiii u \leq C$ , een getuige alleen slechts $\vertiii u \geq C$ . In oneindige dimensie mag de getuige een rij moeten zijn — het supremum hoeft niet bereikt te worden (Oefening 5.8).

Voorbeeld 5.10 (Diagonale operatoren zien elke norm hetzelfde)

Voor $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ op $K^n$ met elke van de normen $\norm\cdot_1, \norm\cdot_2, \norm\cdot_\infty$ : uit $\abs{d_ix_i} \leq \bigl(\max_j\abs{d_j}\bigr)\abs{x_i}$ coördinaatsgewijs, $\norm{Dx} \leq \max_j\abs{d_j}\,\norm x$ ; en $x = e_{j_0}$ (een maximaliserende index) bereikt het. Dus $\vertiii D = \max_j\abs{d_j}$ in alle drie de gevallen: voor diagonale afbeeldingen vertellen alle redelijke normen hetzelfde verhaal, de grootste rekkingsfactor. Alles moeilijks over operatornormen gaat over niet-diagonaal gedrag — daarom werken de aangepaste normen van het weekendvraagstuk van dit hoofdstuk (vraag 22) door eerst een matrix diagonaal te maken.

Voorbeeld 5.11 (Kolomsommen: de $1$ -norm-tweeling van Oefening 5.4)

Op $(\R^n, \norm\cdot_1)$ is de operatornorm van een matrix $A$ de grootste absolute kolomsom. Voer de methode uit: voor $\norm x_1 \leq 1$ ,

\norm{Ax}_1 = \sum_i\Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j \abs{x_j}\sum_i\abs{a_{ij}} \leq \Bigl(\max_j\sum_i\abs{a_{ij}}\Bigr)\norm x_1 ,

en de grens wordt bereikt in $x = e_{j_0}$ voor een maximaliserende kolom $j_0$ — de netste denkbare getuige. Dus voor $A = \left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A_1 = \max(1 + 3,\ 2 + 1) = 4$ , terwijl $\vertiii A_\infty = 4$ ook (rijen) — hier een toeval, geen wet: transponeer de matrixentries asymmetrisch en de twee normen scheiden. Rijen voor $\norm\cdot_\infty$ , kolommen voor $\norm\cdot_1$ : de ezelsbrug is dat de eenheidsvectoren van elke norm (tekenpatronen, resp. basisvectoren) de bijpassende sommen eruit pikken.

Propositie 5.12 (Bilineaire afbeeldingen)

Een bilineaire afbeelding $b \colon E \times F \to G$ is continu iff $\norm{b(x,y)} \leq C\norm x\,\norm y$ voor zekere $C$ ; dan is zij Lipschitz op begrensde verzamelingen. (Zelfde bewijspatroon; het product $(u, v) \mapsto v \circ u$ en matrixvermenigvuldiging zijn de sleutelvoorbeelden.)

Bewijs. Als de grens geldt:

b(x,y) - b(x_0,y_0) = b(x - x_0,\, y) + b(x_0,\, y - y_0),

dus $\norm{b(x,y) - b(x_0,y_0)} \leq C\norm{x - x_0}\norm y + C\norm{x_0}\norm{y - y_0}$ : continuïteit in $(x_0, y_0)$ , en een Lipschitzgrens waar $\norm x, \norm y \leq R$ . Omgekeerd geeft continuïteit in $(0,0)$ $\delta$ met $\norm{b(x,y)} \leq 1$ op $\norm x, \norm y \leq \delta$ ; schaal beide variabelen. ∎

5.3 Eindige dimensie

Stelling 5.13 (Equivalentie van normen in eindige dimensie)

Op een eindigdimensionale ruimte zijn alle normen equivalent. Bijgevolg, in eindige dimensie: convergentie, openheid, compactheid, volledigheid zijn normonafhankelijke begrippen; compact $=$ gesloten en begrensd; de ruimte is volledig; en elke lineaire (of multilinaire) afbeelding vanuit een eindigdimensionale ruimte is continu.

Bewijs. Fixeer een basis en identificeer $E \simeq K^n$ ; het volstaat om elke norm $N$ te vergelijken met $\norm\cdot_\infty$ .

Eén richting is algebra: $N(x) = N(\sum x_i e_i) \leq \sum \abs{x_i} N(e_i) \leq C \norm x_\infty$ met $C = \sum N(e_i)$ . Dit toont ook dat $N$ continu is op $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ (zij is $C$ -Lipschitz: $\abs{N(x) - N(y)} \leq N(x - y)$ ).

De andere is topologie: de eenheidssfeer $S = \{x : \norm{x}_\infty = 1\}$ is gesloten en begrensd in $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ , dus compact (Stelling 4.16 (2), geldig voor $\C^n \simeq \R^{2n}$ ). De continue functie $N$ bereikt haar minimum $c$ op $S$ ; $c > 0$ aangezien $N$ alleen in $0 \notin S$ verdwijnt. Homogeniteit spreidt de grens: $N(x) \geq c \norm{x}_\infty$ voor alle $x$ .

Gevolgen: alle uitspraken herleiden tot $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ , waar ze bekend zijn (Stelling 4.9, Stelling 4.16); een lineaire $u$ vanuit eindigdimensionale $E$ voldoet aan $\norm{u(x)} \leq \sum\abs{x_i} \norm{u(e_i)} \leq C'\norm{x}_\infty$ : grens (4) van Stelling 5.6. ∎

Gevolg 5.14

Een eindigdimensionale deelruimte van elke genormeerde ruimte is gesloten.

Bewijs. Zij is volledig voor de geïnduceerde norm (Stelling 5.13), en volledige deelverzamelingen zijn gesloten (Definitie 4.7). ∎

Voorbeeld 5.15 (Een beste benadering berekend door symmetrie)

In $\bigl(C(\intcc{-1}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , hoe ver is $f(x) = \abs x$ van de (gesloten, tweedimensionale) deelruimte van affiene functies $a + bx$ ? Door symmetrie laat vervangen van $a + bx$ door $a - bx$ $\norm{f - (a \pm bx)}_\infty$ onveranderd, en het middenpunt $a$ doet minstens zo goed (driehoeksongelijkheid op het gemiddelde): het volstaat constanten te beschouwen. Voor een constante $a$ :

\norm{\abs x - a}_\infty = \max\,(1 - a,\ a) \geq \frac12 ,

geminimaliseerd in $a = \frac12$ : de afstand is $\frac12$ , bereikt door de constante $\frac12$ . Merk de foutcurve $\abs x - \frac12$ op: zij bereikt $\pm\frac12$ afwisselend in $x = -1, 0, 1$ — drie extrema van wisselend teken voor een beste benadering uit een tweeparameterfamilie. Dat equioscillatiepatroon is geen toeval; het is de handtekening van optimaliteit die het weekendvraagstuk van dit hoofdstuk tot de stelling van Chebyshev maakt.

Voorbeeld 5.16 (Gesloten versus dichte deelruimten)

In $E = \bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : elke $\R_n[X]$ (polynomen van graad $\leq n$ , beperkt tot $\intcc01$ ) is een eindigdimensionale, dus gesloten, deelruimte — een uniforme limiet van polynomen van graad $\leq n$ is er een. Maar de unie $\R[X]$ van alle is dicht in $E$ (de approximatiestelling van Weierstrass, bewezen in Hoofdstuk 10), en dichte echte deelruimten zijn zo niet-gesloten als maar kan. De moraal: geslotenheid van deelruimten is een eindigdimensionaal privilege; gestapelde gesloten verdiepingen kunnen een dichte wolkenkrabber bouwen.

Stelling 5.17 (Riesz)

De gesloten eenheidsbol van een genormeerde ruimte $E$ is compact als en slechts als $\dim E < \infty$ .

Bewijs. Eindige dimensie: gesloten en begrensd volstaat (Stelling 5.13).

Omgekeerd, veronderstel $\dim E = \infty$ . Lemma van Riesz: voor elke echte gesloten deelruimte $F \subsetneq E$ en $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ bestaat een eenheidsvector $x$ met $d(x, F) \geq 1 - \varepsilon$ . Bewijs: kies $y \notin F$ , zij $\delta = d(y, F) > 0$ ( $F$ gesloten), kies $f \in F$ met $\norm{y - f} \leq \frac{\delta}{1 - \varepsilon}$ , en stel $x = \frac{y - f}{\norm{y - f}}$ : voor elke $g \in F$ ,

\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f + \norm{y-f}\,g)}}{\norm{y - f}} \geq \frac{\delta}{\norm{y-f}} \geq 1 - \varepsilon ,

de teller is een afstand van $y$ tot een punt van $F$ .

Bouw nu eenheidsvectoren $x_1, x_2, \dots$ inductief: $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ is eindigdimensionaal, dus gesloten (Gevolg 5.14) en echt; het lemma van Riesz met $\varepsilon = \frac12$ levert een eenheid $x_{k+1}$ met $d(x_{k+1}, F_k) \geq \frac12$ . De rij voldoet aan $\norm{x_p - x_q} \geq \frac12$ voor $p \neq q$ : geen convergente deelrij — de eenheidsbol is niet compact. ∎

Voorbeeld 5.18 (Riesz als dimensiedetector)

Is $C(\intcc01)$ eindigdimensionaal? Riesz antwoordt zonder een expliciete oneindige vrije familie te tonen: de rij $f_n(x) = x^n$ ligt in de gesloten eenheidsbol en voldoet, voor $m > n$ , $\norm{f_n - f_m}_\infty \geq f_n(x_0) - f_m(x_0) > 0$ in geschikte punten — netjes gekwantificeerd in het weekendvraagstuk van dit hoofdstuk (vraag 16), waar een deelrij onderlinge afstand $\geq \frac14$ houdt. Geen convergente deelrij, dus de bol is niet compact, dus $\dim C(\intcc01) = \infty$ door Stelling 5.17. Compactheid van de eenheidsbol is een perfecte dichotomie: zij geldt in eindige dimensie, faalt in oneindige dimensie, zonder middenweg — meetkunde alleen leest het dimensietype af.

5.4 Banachruimten

Definitie 5.19

Een Banachruimte is een volledige genormeerde ruimte. Voorbeelden: elke eindigdimensionale genormeerde ruimte (Stelling 5.13); $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ (Stelling 4.9); $\mathcal{L}_c(E, F)$ voor $F$ Banach (zelfde bewijspatroon als voor continue functies). Niet-voorbeeld: $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ (Oefening 5.7).

Voorbeeld 5.20 (De operatornorm van integratie)

Op $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , zij $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (een endomorfisme: $T(f)$ is continu). Voer Methode 5.9 uit. Bovengrens:

\abs{T(f)(x)} \leq \int_0^x\abs f \leq x\,\norm f_\infty \leq \norm f_\infty ,

dus $\vertiii T \leq 1$ . Getuige: $f \equiv 1$ geeft $T(f)(x) = x$ en $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$ : bereikt, $\vertiii T = 1$ . Maar merk $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$ : inderdaad heeft $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$ , opnieuw bereikt in $f \equiv 1$ ; en algemeen $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — de submultiplicatieve grens $\vertiii T^n = 1$ zit een faculteit ernaast. Dit is precies het fenomeen dat de iterateertruc van het weekendvraagstuk van Hoofdstuk 4 omzet in globale oplosbaarheid van lineaire differentiaalvergelijkingen.

Stelling 5.21 (Absolute convergentie in Banachruimten)

In een Banachruimte, als $\sum \norm{u_n} < \infty$ dan convergeert $\sum u_n$ , en $\norm{\sum u_n} \leq \sum\norm{u_n}$ . (De volledige theorie van reeksen in genormeerde ruimten is Hoofdstuk 7.)

Bewijs. Partiële sommen $S_N$ : voor $q > p$ , $\norm{S_q - S_p} \leq \sum_{n=p+1}^{q}\norm{u_n}$ , wat naar $0$ gaat (Cauchy-criterium voor de reële reeks van normen): $(S_N)$ is Cauchy, dus convergent. De ongelijkheid gaat over naar de limiet vanuit de eindige driehoeksongelijkheid. ∎

Voorbeeld 5.22 (Matrixexponentieel, eerste contact)

Het matrixexponentieel: $\mathcal{M}_n(K)$ met elke submultiplicatieve norm ( $\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$ ) is Banach (eindige dimensie). Dan, voor elke $A$ ,

\eu^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}

convergeert absoluut ( $\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$ , sommeerbaar): welgedefinieerd. Hoofdstuk 16 buit het systematisch uit.

Voorbeeld 5.23 (Een Neumannreeks die afbreekt)

Voor $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & \frac12\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A < 1$ in elke operatornorm gebouwd op de normen van Voorbeeld 5.2, en $A^2 = 0$ , dus storrt de meetkundige reeks in:

(I - A)^{-1} = \sum_{k \geq 0} A^k = I + A = \begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\ 0 & 1\end{pmatrix},

geverifieerd door $(I - A)(I + A) = I - A^2 = I$ . Nilpotentie kapt de reeks af precies zoals zij het exponentieel kapte in Hoofdstuk 3; en het voorbeeld kalibreert verwachtingen: de Neumann-inverse is in het algemeen een oneindige reeks, een polynoom precies wanneer de perturbatie nilpotent is, en de fout na $N$ termen is altijd begrensd door de meetkundige staart $\vertiii A^{N+1}/(1 - \vertiii A)$ .

Voorbeeld 5.24 (Het exponentieel van een rotatiegenerator)

Neem $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & -\theta\\ \theta & 0\end{smallmatrix}\right)$ . Dan $A^2 = -\theta^2 I$ , dus de machten cyclen met periode vier, en de reeks splitst in even en oneven delen:

\eu^{A} = \sum_{k}\frac{A^k}{k!} = \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j}}{(2j)!}\Bigr) I + \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j+1}}{(2j+1)!}\Bigr) \frac{A}{\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},

alle herschikkingen gelicentieerd door absolute convergentie. Het exponentieel van een antisymmetrische generator is een rotatie — hier puur uit de reeks berekend, drie hoofdstukken vóór de differentiaalvergelijking $x' = Ax$ (Hoofdstuk 16) uitlegt waarom: $\eu^{tA}$ is uniforme circulaire beweging. Het sluitende inzicht: identiteiten tussen matrixreeksen worden bewezen precies als scalaire, zodra een submultiplicatieve norm absolute convergentie certificeert.

Voorbeeld 5.25 (Sup-norm betekent uniform: het woordenboek)

De uitspraak $\norm{f_n - f}_\infty \to 0$ is uniforme convergentie: één getal, $\sup_x\abs{f_n(x) - f(x)}$ , begrens de fout in elk punt tegelijk. Het woordenboek in actie op $f_n(x) = x^n$ over $\intcc{0}{1}$ : puntgewijs, $f_n \to 0$ op $\intco{0}{1}$ en $f_n(1) = 1$ ; in norm, $\norm{f_n - 0}_\infty = 1 \not\to 0$ , en inderdaad is de puntgewijze limiet discontinu, dus buiten bereik van een $\norm\cdot_\infty$ -limiet in $C(\intcc01)$ (die gesloten is onder uniforme limieten, Stelling 4.9). Op $\intcc{0}{a}$ , $a < 1$ : $\norm{f_n}_\infty = a^n \to 0$ — uniforme convergentie hersteld door het domein te verkleinen. Elke convergentie-uitspraak van Hoofdstuk 10 is een uitspraak over deze ene norm; het woordenboek in gedachten houden halveert dat hoofdstuk.

Opmerking 5.26 (Veelgemaakte valkuilen)

(i) Een operatornorm hangt af van beide gekozen normen: dezelfde matrix heeft $\vertiii\cdot_\infty$ gegeven door rijsommen (Oefening 5.4) en een andere $\vertiii\cdot_1$ (kolomsommen); “de” norm van een matrix citeren zonder de onderliggende normen te noemen is betekenisloos. (ii) $\vertiii{AB} \leq \vertiii A\,\vertiii B$ is een ongelijkheid, meestal strikt — machten kunnen veel sneller krimpen dan de grens $\vertiii A^k$ suggereert, wat precies het punt van aangepaste normen is (weekendvraagstuk van dit hoofdstuk, vraag 22). (iii) “Lineair impliceert continu” is een eindigdimensionaal privilege: differentiatie op polynomen is lineair en onbegrensd (Voorbeeld 5.7). (iv) Absolute convergentie van $\sum u_n$ helpt alleen wanneer de ruimte volledig is (Oefening 7.9 bouwt het tegenvoorbeeld). (v) In oneindige dimensie is een supremum over de eenheidsbol een echt supremum: neem niet aan dat het bereikt wordt (Oefening 5.8).

Opmerking 5.27 (Perspectieven binnen dit volume)

Drie afspraken liggen nu vast. Met Hoofdstuk 7: in een Banachruimte convergeren absoluut convergente reeksen, dus worden de meetkundige en exponentiële reeksen van operatoren alledaagse instrumenten — $I - A$ inverteren, $\eu^{A}$ definiëren (Voorbeeld 7.2). Met Hoofdstuk 10 en Hoofdstuk 11: convergentie van functierijen en machtreeksen is convergentie in $\bigl(C, \norm\cdot_\infty\bigr)$ (Voorbeeld 5.25), en de convergentiestraal is een uitspraak over welke meetkundige reeksen domineren. Met Hoofdstuk 14: de normen $\norm\cdot_2$ en $\norm\cdot_\infty$ zijn het oprecht oneens op $C(\intcc{0}{1})$ (Voorbeeld 5.8), wat precies is waarom kwadratische-middelconvergentie van Fourierreeksen en uniforme convergentie twee verschillende stellingen met twee verschillende prijzen zijn.

Opmerking 5.28 (Waar dit hoofdstuk gebruikt wordt)

Operatornormen en de meetkundige reeks drijven de perturbatieargumenten van Hoofdstuk 15 (inversefunctiestelling) en het matrixexponentieel van Hoofdstuk 16; equivalentie van normen machtigt stilzwijgend elk “kies je favoriete norm”-argument in Hoofdstuk 10 en verder; en de kloof eindig/oneindig van de stelling van Riesz — kwantitatief gemaakt in het weekendvraagstuk van dit hoofdstuk — is de reden waarom het volume van Jaar 3 nieuwe instrumenten nodig heeft (zwakke convergentie, Arzelà–Ascoli, Hilbertprojecties) waar dit volume nog convergente deelrijen kon extraheren.

5.5 Oefeningen

Oefening 5.1 ★

Teken op $\R^2$ de eenheidsbollen van $\norm\cdot_1$ , $\norm\cdot_2$ , $\norm\cdot_\infty$ , en bewijs de ongelijkheden $\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ met de beste constanten in dimensie $2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

Eenheidsbollen: een ruit ( $\norm\cdot_1$ ), een schijf ( $\norm\cdot_2$ ), een vierkant ( $\norm\cdot_\infty$ ), genest in die volgorde. Ongelijkheden: $\norm x_\infty \leq \norm x_2$ (één kwadraat is ten hoogste de som); $\norm x_2 \leq \norm x_1$ (kwadrateren: $x_1^2 + x_2^2 \leq (\abs{x_1} + \abs{x_2})^2$ ); $\norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ (twee termen, elk $\leq \max$ ). Scherpte: $(1, 0)$ maakt de eerste twee tot gelijkheden; $(1, 1)$ maakt $\norm x_1 = 2\norm x_\infty$ en toont ook dat $\norm x_2 = \sqrt2 \norm x_\infty$ en $\norm x_1 = \sqrt2 \norm x_2$ de extreme ratio’s in de andere richting zijn.

Oefening 5.2 ★

Is $N(f) = \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ een norm op $C^1(\intcc{0}{1})$ ? Vergelijk haar met $\norm{f}_\infty$ : één ongelijkheid geldt, de andere faalt (toon).

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

Normaxioma’s: homogeniteit en driehoeksongelijkheid worden termgewijs geërfd; scheiding: $N(f) = 0$ forceert $f' = 0$ (dus $f$ constant) en $f(0) = 0$ : $f = 0$ . Het is een norm.

Vergelijking: $\norm f_\infty \leq N(f)$ , aangezien $\abs{f(x)} \leq \abs{f(0)} + \abs{\int_0^x f'} \leq \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ . Het omgekeerde faalt: neem $f_n(x) = \frac1n \sin(nx)$ : dan $\norm{f_n}_\infty \leq \frac1n \to 0$ terwijl $N(f_n) = 0 + \norm{\cos(nx)}_\infty = 1$ . Geen constante $C$ geeft $N \leq C\norm\cdot_\infty$ .

Oefening 5.3 ★

Bereken de operatornorm van $u(f) = \int_0^1 f(t)\,\eu^t\,\dd t$ op $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr) \to \R$ , en van de verschuiving $S(x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_2, \dots, x_n, 0)$ op $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

$\abs{u(f)} \leq \norm f_\infty \int_0^1 \eu^t\,\dd t = (\eu - 1)\norm f_\infty$ , met gelijkheid voor $f \equiv 1$ : $\vertiii u = \eu - 1$ .

Verschuiving: $\norm{S(x)}_\infty = \max(\abs{x_2}, \dots, \abs{x_n}) \leq \norm x_\infty$ , gelijkheid in $x = e_2$ : $\vertiii S = 1$ (voor $n \geq 2$ ).

Oefening 5.4 ★★

Bewijs op $(\R^n, \norm\cdot_\infty)$ dat de operatornorm van een matrix $A$ is $\vertiii A_\infty = \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ (de grootste absolute rijsom). Bereken haar voor $\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 1\end{pmatrix}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

Bovengrens: voor $\norm x_\infty \leq 1$ ,

\abs{(Ax)_i} = \Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j \abs{a_{ij}},

dus $\norm{Ax}_\infty \leq \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ . Bereikt: zij $i_0$ het max realiseren en neem $x_j = \operatorname{sign}(a_{i_0 j})$ (modulus- $1$ -entries): dan $(Ax)_{i_0} = \sum_j \abs{a_{i_0 j}}$ . Vandaar de formule. Voor de gegeven matrix: rijsommen $3$ en $4$ : $\vertiii A_\infty = 4$ .

Oefening 5.5 ★★

Bewijs dat $GL_n(K)$ open is in $\mathcal{M}_n(K)$ en dat $A \mapsto A^{-1}$ continu is erop. Hint: voor openheid, als $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ dan $A + H = A(I + A^{-1}H)$ met $\vertiii{A^{-1}H} < 1$ , en $I + B$ is inverteerbaar voor $\vertiii B < 1$ door de meetkundige reeks (Stelling 5.21); voor continuïteit, begrens $(A+H)^{-1} - A^{-1}$ met dezelfde reeks.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

Meetkundige reeks: voor $\vertiii B < 1$ convergeert de reeks $\sum B^k$ absoluut in de Banach $\mathcal{M}_n(K)$ (Stelling 5.21, $\vertiii{B^k} \leq \vertiii B^k$ ), en

(I - B)\sum_{k=0}^{K} B^k = I - B^{K+1} \longrightarrow I :

door continuïteit van het product (Propositie 5.12), $(I - B)\sum_{k\geq0} B^k = I$ , dus $I - B$ is inverteerbaar met inverse de som (en $\vertiii{(I-B)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii B}$ ).

Openheid: voor $A$ inverteerbaar en $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ : $A + H = A(I + A^{-1}H)$ met $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ : inverteerbaar. Dus blijft een bol rond $A$ in $GL_n$ .

Continuïteit van inversie: met $B = -A^{-1}H$ ,

(A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl((I - B)^{-1} - I\bigr)A^{-1} = \Bigl(\sum_{k \geq 1} B^k\Bigr) A^{-1},

van norm $\leq \frac{\vertiii B}{1 - \vertiii B}\vertiii{A^{-1}} \to 0$ als $H \to 0$ .

Oefening 5.6 ★★

Zij $\varphi$ een lineaire vorm op een genormeerde ruimte $E$ . Bewijs dat $\varphi$ continu is als en slechts als $\ker\varphi$ gesloten is. (Als $\ker\varphi$ gesloten is en $\varphi \neq 0$ , kies $a$ met $\varphi(a) = 1$ en $r > 0$ met $B(a, r) \cap \ker\varphi = \emptyset$ ; leid $\abs{\varphi(h)} \leq \frac{1}{r}\norm h$ af door een schalingsargument op $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

Continu $\Rightarrow$ gesloten kern: origineel van de gesloten $\{0\}$ (Stelling 4.6).

Omgekeerd, veronderstel $\ker\varphi$ gesloten en $\varphi \neq 0$ . Kies $a$ met $\varphi(a) = 1$ ; aangezien $a \notin \ker\varphi$ en de kern gesloten is, mist zekere bol $B(a, r)$ haar. Zij nu $h \in E$ met $\varphi(h) \neq 0$ : de vector $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ ligt in $\ker\varphi$ , dus buiten $B(a, r)$ :

\Bigl\Vert \frac{h}{\varphi(h)} \Bigr\Vert \geq r \quad\Longrightarrow\quad \abs{\varphi(h)} \leq \frac{\norm h}{r},

een ongelijkheid die triviaal ook geldt wanneer $\varphi(h) = 0$ : grens (4) van Stelling 5.6: continu.

Oefening 5.7 ★★

Bewijs dat $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ niet volledig is: toon dat de functies $f_n$ , affiene hellingen van $0$ naar $1$ over $\bigl[\frac12 - \frac1n, \frac12\bigr]$ (waarde $0$ ervoor, $1$ erna), een Cauchyrij vormen zonder continue $\norm\cdot_1$ -limiet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

Zij $f_n$ gelijk aan $0$ op $\intcc{0}{\frac12 - \frac1n}$ , affien omhoog tot waarde $1$ in $\frac12$ , dan $1$ op $\intcc{\frac12}{1}$ . Voor $m \geq n$ is $f_m - f_n$ gesteund op een interval van lengte $\frac1n$ met waarden in $\intcc{-1}{1}$ : $\norm{f_m - f_n}_1 \leq \frac1n$ : Cauchy.

Veronderstel $f_n \to f$ in $\norm\cdot_1$ met $f$ continu. Op $\intcc{0}{\frac12 - \delta}$ (vaste $\delta$ ): $\int \abs{f} = \int\abs{f - f_n} \leq \norm{f - f_n}_1 \to 0$ voor $n > \frac1\delta$ , dus $\int_0^{1/2 - \delta}\abs f = 0$ , en door strikte positiviteit $f = 0$ daar — voor elke $\delta$ : $f = 0$ op $\intoo{0}{\frac12}$ . Evenzo $f = 1$ op $\intcc{\frac12}{1}$ (de $f_n$ zijn daar allemaal $1$ ). Door continuïteit in $\frac12$ : $0 = 1$ , absurd. Geen limiet bestaat: de ruimte is niet volledig.

Oefening 5.8 ★★★

Op $E = C(\intcc{0}{1})$ met $\norm\cdot_\infty$ , beschouw

\varphi(f) = \sum_{n \geq 1} (-1)^n\, 2^{-n} f\bigl(\tfrac1n\bigr).

Bewijs dat $\varphi$ een welgedefinieerde continue lineaire vorm is met $\vertiii\varphi = 1$ , maar dat het supremum dat $\vertiii\varphi$ definieert niet bereikt wordt op de gesloten eenheidsbol. (Bovengrens: driehoeksongelijkheid. Norm $= 1$ : bouw continue $f_K$ met $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ en $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ voor $n \leq K$ — de punten $\frac1n$ zijn van elkaar geïsoleerd. Niet-bereiking: gelijkheid zou $f(\frac1n) = (-1)^n$ forceren voor elke $n$ , onverenigbaar met continuïteit van $f$ in $0$ aangezien $\frac1n \to 0$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

Welgedefinieerd en continu: $\abs{\varphi(f)} \leq \sum 2^{-n} \norm f_\infty = \norm f_\infty$ , dus $\varphi$ is een lineaire vorm met $\vertiii\varphi \leq 1$ (de reeks convergeert absoluut voor elke $f$ ).

Norm $1$ : fixeer $K$ ; de punten $1, \frac12, \dots, \frac1K$ zijn paarsgewijs verschillend, dus bestaat een continue $f_K$ , $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ , met $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ voor $n \leq K$ (stuksgewijs affiene interpolatie, constant nabij $0$ ). Dan

\varphi(f_K) \geq \sum_{n=1}^{K} 2^{-n} - \sum_{n > K} 2^{-n} = 1 - 2^{-K+1} \xrightarrow[K \to \infty]{} 1 .

Niet bereikt: als $\norm f_\infty \leq 1$ en $\varphi(f) = 1$ , moet elke term haar maximum bijdragen: $(-1)^n f(\frac1n) = 1$ voor elke $n$ (anders kan het strikte tekort van één term niet gecompenseerd worden, alle termen $\leq 2^{-n}$ ). Dus $f(\frac1n) = (-1)^n$ ; maar $\frac1n \to 0$ en $f$ is continu in $0$ , wat de tegensprekende convergentie van $(-1)^n$ forceert. Dus is het supremum geen maximum — onmogelijk in eindige dimensie, waar de gesloten eenheidsbol compact is.

Oefening 5.9 ★★★

Zij $E$ een genormeerde ruimte waarin de gesloten eenheidsbol compact is. Leid opnieuw, zonder Stelling 5.17 te citeren, af dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft, en bewijs dat elke lineaire vorm op $E$ continu is als en slechts als $\dim E < \infty$ . (Voor oneindige dimensie, bouw een discontinue vorm door haar vrij te definiëren op een lineair onafhankelijke genormaliseerde rij en uit te breiden — met toegeving van het bestaan van een algebraïsch complement.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

Begrensde rijen: een begrensde rij ligt in zekere gesloten bol $\overline B(0, R) = R\,\overline B(0,1)$ , compact (beeld van de compacte eenheidsbol onder het homeomorfisme $x \mapsto Rx$ ): extraheer daar.

Lineaire vormen: als $\dim E < \infty$ , is elke lineaire afbeelding vanuit $E$ continu (Stelling 5.13). Omgekeerd, veronderstel $\dim E = \infty$ (wat door Stelling 5.17 eigenlijk uitgesloten wordt door de compactheidshypothese — het punt van deze vraag is de implicatie tussen de twee eigenschappen in algemene genormeerde ruimten): kies een genormaliseerde lineair onafhankelijke rij $(e_n)$ , vul haar aan tot een algebraïsche basis (toegegeven), en definieer $\varphi(e_n) = n$ , $\varphi = 0$ op de andere basisvectoren, lineair uitgebreid. Dan $\abs{\varphi(e_n)} = n$ met $\norm{e_n} = 1$ : onbegrensd op de eenheidsbol, discontinu. Dus forceert “alle vormen continu” eindige dimensie.

Oefening 5.10 ★★

Bewijs op $C(\intcc{0}{1})$ dat $\norm f_1 \leq \norm f_2 \leq \norm f_\infty$ (Cauchy–Schwarz voor de eerste), en toon met de familie $f_n(x) = x^n$ dat geen van beide ongelijkheden tot op een constante omkeerbaar is: de drie normen zijn paarsgewijs niet-equivalent.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

Cauchy–Schwarz met de constante functie $1$ : $\norm f_1 = \int_0^1 \abs f\cdot 1 \leq \bigl(\int_0^1 f^2\bigr)^{1/2}\bigl(\int_0^1 1\bigr)^{1/2} = \norm f_2$ . En $\norm f_2^2 = \int f^2 \leq \norm f_\infty^2$ . Voor $f_n(x) = x^n$ :

\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1}, \qquad \norm{f_n}_2 = \frac1{\sqrt{2n+1}}, \qquad \norm{f_n}_\infty = 1 .

Dan $\norm{f_n}_2/\norm{f_n}_1 = \frac{n+1}{\sqrt{2n+1}} \to \infty$ en $\norm{f_n}_\infty/\norm{f_n}_2 = \sqrt{2n+1} \to \infty$ : geen omgekeerde ongelijkheden, geen paar is equivalent.

Oefening 5.11 ★★

(Afstand tot een hypervlak) Zij $\varphi$ een niet-nulle continue lineaire vorm op een genormeerde ruimte $E$ . Bewijs dat

d\bigl(x, \ker\varphi\bigr) = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi} \qquad (x \in E),

en controleer op Oefening 5.8 dat het infimum niet door enig punt van het hypervlak hoeft te worden bereikt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.11.

Ondergrens voor de afstand: voor $h \in \ker\varphi$ , $\abs{\varphi(x)} = \abs{\varphi(x - h)} \leq \vertiii\varphi\,\norm{x - h}$ ; neem het infimum over $h$ : $d(x, \ker\varphi) \geq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$ .

Bovengrens: we mogen $\varphi(x) \neq 0$ aannemen. Gegeven $\varepsilon > 0$ , kies een eenheid $u$ met $\abs{\varphi(u)} \geq \vertiii\varphi - \varepsilon > 0$ en stel $h = x - \frac{\varphi(x)}{\varphi(u)}\,u$ : dan $\varphi(h) = 0$ en

\norm{x - h} = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\abs{\varphi(u)}} \leq \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi - \varepsilon}.

Laat $\varepsilon \to 0$ : $d(x, \ker\varphi) \leq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$ ; gelijkheid.

Niet-bereiking: neem $\varphi$ uit Oefening 5.8 ( $\vertiii\varphi = 1$ , niet bereikt) en elke $x$ met $\varphi(x) \neq 0$ . Als zekere $h \in \ker\varphi$ $\norm{x - h} = \abs{\varphi(x)}$ realiseerde, zou de eenheidsvector $v = (x - h)/\norm{x - h}$ voldoen aan $\abs{\varphi(v)} = \abs{\varphi(x)}/\norm{x - h} = 1 = \vertiii\varphi$ : de operatornorm zou bereikt worden — tegenspraak.

Oefening 5.12 ★★★

Op $E = \R[X]$ (alle polynomen), zij $N_1(P) = \sup_{\intcc{0}{1}}\abs P$ en $N_2(P) = \sup_{\intcc{0}{2}}\abs P$ . Toon dat $N_1 \leq N_2$ maar dat $N_1$ en $N_2$ niet equivalent zijn; leid af dat de identiteit $(E, N_2) \to (E, N_1)$ een continue lineaire bijectie is waarvan de inverse discontinu is. Toon ten slotte dat $(E, N_1)$ niet volledig is (Taylor-partiële sommen van $\eu^x$ ). Alle drie de fenomenen zijn onmogelijk in eindige dimensie — zeg waarom.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.12.

$N_1 \leq N_2$ is monotoniciteit van de sup in het domein, dus de identiteit $(E, N_2) \to (E, N_1)$ is $1$ -Lipschitz. Voor $P_n(x) = (x/2)^n$ : $N_2(P_n) = 1$ (bereikt in $x = 2$ ) terwijl $N_1(P_n) = 2^{-n}$ : een grens $N_2 \leq CN_1$ zou $1 \leq C2^{-n}$ voor alle $n$ geven: onmogelijk. Dus zijn de normen niet equivalent en is de inverse identiteit een discontinue lineaire bijectie.

Onvolledigheid: zij $S_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}$ . Voor $m > n$ , $N_1(S_m - S_n) \leq \sum_{k>n}\frac1{k!} \to 0$ : Cauchy voor $N_1$ . Als $S_n \to P$ in $(E, N_1)$ , dan puntgewijs $P(x) = \lim S_n(x) = \eu^x$ op $\intcc{0}{1}$ ; maar een polynoom van graad $d$ kan niet gelijk zijn aan $\eu^x$ op een interval (differentieer $d + 1$ keer: de linkerkant sterft, $\eu^x$ niet). Geen limiet in $E$ : niet volledig.

In eindige dimensie zijn alle drie de fenomenen onmogelijk: alle normen zijn equivalent, elke genormeerde ruimte is volledig, en de inverse van een lineaire bijectie is lineair vanuit een eindigdimensionale ruimte, dus continu (Stelling 5.13).

5.6 Vraagstuk: Beste benadering en de stelling van Chebyshev

Hoe goed kan een functie benaderd worden door polynomen van gegeven graad, en welk polynoom doet het het best? Aan de bestaanskant hoort het antwoord bij dit hoofdstuk: compactheid in eindige dimensie doet beste benaderingen bestaan. Aan de expliciete kant kan één niet-triviaal geval met de blote hand volledig opgelost worden — onder alle monische polynomen van graad $n$ is dat van kleinste sup-norm op $\intcc{-1}{1}$ het (genormaliseerde) Chebyshevpolynoom, van norm $2^{1-n}$ : de extremale stelling van Chebyshev. Het vraagstuk bewijst beide kanten, en meet dan hoe erg compactheid faalt in oneindige dimensie: de eenheidsbol van $C(\intcc{0}{1})$ bevat oneindige constellaties van punten op onderlinge afstand $1$ .

Probleem 5.1

Weekendvraagstuk — de extremale stelling van Chebyshev en de meetkunde van de eenheidsbol

Normen zonder subscript zijn sup-normen op het aangegeven segment.

Deel I — Beste benadering in genormeerde ruimten.

Zij $F$ een eindigdimensionale deelruimte van een genormeerde ruimte $E$ en $x \in E$ . Bewijs dat de afstand $d(x, F) = \inf_{f \in F}\norm{x - f}$ bereikt wordt (herleid tot een gesloten begrensde deelverzameling van $F$ en gebruik Stelling 5.13).
Een norm is strikt convex wanneer $\norm u = \norm v = 1$ en $u \neq v$ impliceren $\bigl\Vert\frac{u + v}2\bigr\Vert < 1$ . Toon dat $\norm\cdot_2$ op $\R^n$ strikt convex is (parallellogramidentiteit), en dat $\norm\cdot_1$ en $\norm\cdot_\infty$ dat niet zijn voor $n \geq 2$ .
Bewijs dat voor een strikt convexe norm de beste benadering van vraag 1 uniek is.
Bereken in $(\R^2, \norm\cdot_\infty)$ alle beste benaderingen van $x = (0, 1)$ door de lijn $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ : een interval van minimizers.
Toon in $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ dat de beste benadering van $f$ door constanten uniek is, gelijk aan $c^* = \frac{\max f + \min f}{2}$ , met afstand $\frac{\max f - \min f}{2}$ ; bereken beide voor $f(x) = x^2$ op $\intcc{0}{1}$ .

Deel II — Chebyshevpolynomen.

Toon dat er precies één polynoom $T_n$ is met $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ voor alle $\theta$ (recurrentie $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ uit de cosinusoptelformule), dat $\deg T_n = n$ , en dat haar leidende coëfficiënt $2^{n-1}$ is voor $n \geq 1$ .
Toon $\abs{T_n} \leq 1$ op $\intcc{-1}{1}$ , met $T_n(\eta_k) = (-1)^k$ in de $n + 1$ punten $\eta_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ ( $k = 0, \dots, n$ ), en dat de wortels van $T_n$ de $n$ punten $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ zijn, die de $\eta_k$ interliniëren.
Bereken $T_2, T_3, T_4$ , en verifieer de alternatie van $T_3$ in $\eta_0, \dots, \eta_3 = 1, \frac12, -\frac12, -1$ door directe evaluatie.
Bewijs voor $\abs x \geq 1$

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2},$

en leid $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n \to \infty$ meetkundig af voor vaste $x > 1$ .
Bewijs de compositiewet $T_m \circ T_n = T_{mn}$ (controleer op $\intcc{-1}{1}$ en roep de rigiditeit van polynomen in).

Deel III — De extremale stelling van Chebyshev. Schrijf $Q_n = 2^{1-n}T_n$ (monisch, door vraag 6).

Zij $P$ monisch van graad $n \geq 1$ met $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P < 2^{1-n}$ . Door $D = Q_n - P$ te evalueren in de punten $\eta_k$ en tekenwisselingen te tellen, leid een tegenspraak af. Besluit:

$\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P \;\geq\; 2^{1-n} \qquad\text{voor elke monische } P \text{ van graad } n.$
(Gelijkheidsgeval) Veronderstel $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n}$ met $P$ monisch van graad $n$ , en zij $D = Q_n - P \neq 0$ . Toon $(-1)^kD(\eta_k) \geq 0$ voor alle $k$ ; toon dat elk van de $n$ intervallen $\intcc{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ een nulpunt van $D$ bevat, en dat een nulpunt gedeeld door twee opeenvolgende intervallen een inwendig punt $\eta_k$ is waar ook $D' = 0$ . Besluit dat $D$ $n$ nulpunten heeft geteld met multipliciteit, dus $D = 0$ : de minimizer is precies $Q_n$ — de extremale stelling van Chebyshev.
Herformuleer de stelling als een afstand: op $\intcc{-1}{1}$ ,

$d_\infty\bigl(X^n,\ \R_{n-1}[X]\bigr) = 2^{1-n},$

met unieke beste benadering $X^n - Q_n$ ; en toon door de affiene substitutie $x = \frac{1+t}2$ dat op $\intcc{0}{1}$ de afstand $2^{1-2n}$ wordt.
(Optimale interpolatieknopen) Voor $n$ knopen $x_1, \dots, x_n \in \intcc{-1}{1}$ is het knooppolynoom $\omega(x) = \prod_i(x - x_i)$ monisch van graad $n$ . Leid uit vraag 12 af welke knopenkeuze $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega$ minimaliseert, de knoopafhankelijke factor van de klassieke interpolatiefoutgrens, en geef de minimale waarde.
Verifieer het geval $n = 2$ van de stelling met de hand (vind $\inf_c \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c}$ direct), en bereken numeriek de afstand van vraag 13 op $\intcc{0}{1}$ voor $n = 10$ . Wat zegt haar grootte over de grafiek van $x^{10}$ ?

Deel IV — De eenheidsbol van $C(\intcc{0}{1})$ .

Zij $g_k(x) = x^{2^k}$ . Toon $\norm{g_k}_\infty = 1$ en $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ voor $j > k$ (evalueer in het punt waar $x^{2^k} = \frac12$ ): een expliciete begrensde rij zonder convergente deelrij — de gesloten eenheidsbol is niet compact, met de blote hand.
(Lemma van Riesz, aangescherpt) Zij $F$ een eindigdimensionale echte deelruimte van een genormeerde ruimte $E$ . Produceer met vraag 1 een eenheidsvector $x$ met $d(x, F) = 1$ precies — niet slechts $\geq 1 - \varepsilon$ zoals in het lemma van Stelling 5.17.
Leid af: in elke oneindigdimensionale genormeerde ruimte bestaat een rij eenheidsvectoren met paarsgewijze afstanden $\geq 1$ , en herleid de stelling van Riesz eruit.
Exhibeer in $C(\intcc{0}{1})$ zo’n constellatie expliciet: de tentfuncties $h_n$ met steun op $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ en piekwaarde $1$ . Verifieer $\norm{h_n} = 1$ , $\norm{h_n - h_m} = 1$ voor $n \neq m$ , en merk op dat $h_n \to 0$ puntgewijs maar niet uniform.
(Totale begrensdheid faalt) Toon dat de gesloten eenheidsbol van $C(\intcc{0}{1})$ niet overdekt kan worden door eindig veel bollen van straal $\frac13$ (elke zulke bol bevat ten hoogste één $h_n$ ) — contrasteer met de totale-begrensdheidsstap in het bewijs van Stelling 4.20.

Deel V — Normen aan het werk op matrices, en synthese.

Bewijs dat elke eigenwaarde $\lambda$ van $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ voldoet aan $\abs\lambda \leq \vertiii A$ voor elke operatornorm; pas Oefening 5.4 toe om de eigenwaarden van $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ te begrenzen en vergelijk met hun ware modulus.
(Aangepaste normen) Zij $A$ diagonaliseerbaar, $A = P\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\,P^{-1}$ . Toon dat $N_P(x) = \norm{P^{-1}x}_\infty$ een norm is waarvan de operatornorm voldoet aan $\vertiii A_{N_P} = \max_i\abs{\lambda_i}$ .
Leid af: voor diagonaliseerbare $A$ , $A^k \to 0$ als en slechts als alle eigenwaarden $\abs{\lambda_i} < 1$ voldoen — equivalentie van normen maakt de conclusie normonafhankelijk. Controleer op $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ .
(Equivalentieconstanten blazen op) Vergelijk op $\R_n[X]$ $N_c(P) = \max_k \abs{a_k}$ (coëfficiënten) en $\norm{P}_{\intcc{0}{1}}$ : beide zijn normen, dus equivalent voor elke vaste $n$ ; maar toon, met de monische minimizer van vraag 13 op $\intcc{0}{1}$ , dat de beste constante $C_n$ in $N_c \leq C_n\norm\cdot_{\intcc{0}{1}}$ voldoet aan $C_n \geq 2^{2n-1}$ . Besluit in één zin waarom “alle normen zijn equivalent” sterft in oneindige dimensie.
(Synthese) Eén zin elk: waar compactheid van eindigdimensionale bollen werkte (vragen 1, 12); wat strikte convexiteit bestuurt; wat de constellatie van vragen 18–19 vernietigt; en hoe vraag 24 het falen kwantificeert. Noem de top (de extremale stelling van Chebyshev) en zeg waar beste benadering haar moderne thuis vindt (de projectiestelling op Hilbertruimten, volume van Jaar 3, waar volledigheid compactheid vervangt).

Oplossing

Oplossing van Probleem 5.1.

1. De kandidaat-waardige vormen $K = \{f \in F : \norm{x - f} \leq \norm x\}$ : niet-leeg ( $0 \in K$ ), gesloten (origineel van een gesloten interval onder de continue $f \mapsto \norm{x - f}$ , doorsneden met de gesloten $F$ , Gevolg 5.14), begrensd ( $\norm f \leq \norm{f - x} + \norm x \leq 2\norm x$ ). In de eindigdimensionale $F$ betekent gesloten en begrensd compact (Stelling 5.13); de continue functie $f \mapsto \norm{x - f}$ bereikt op $K$ haar infimum, dat gelijk is aan het infimum over heel $F$ (elke $f \notin K$ geeft $\norm{x - f} > \norm x \geq \inf$ ).

2. Parallellogramidentiteit in $(\R^n, \norm\cdot_2)$ : $\norm{u + v}^2 + \norm{u - v}^2 = 2\norm u^2 + 2\norm v^2$ (ontwikkel de kwadraten van coördinaatsommen). Voor eenheden $u \neq v$ :

\Bigl\Vert\frac{u+v}2\Bigr\Vert^2 = 1 - \frac{\norm{u - v}^2}{4} < 1 .

Niet strikt convex: voor $\norm\cdot_\infty$ , neem $u = (1, 1, 0, \dots)$ , $v = (1, -1, 0, \dots)$ : eenheidsvectoren met middenpunt $(1, 0, \dots)$ van norm $1$ ; voor $\norm\cdot_1$ , neem $u = (1, 0, \dots)$ , $v = (0, 1, 0, \dots)$ : middenpunt $(\frac12, \frac12, 0, \dots)$ van norm $1$ .

3. Zij $d = d(x, F)$ . Als $d = 0$ : $x \in \overline F = F$ en de enige minimizer is $x$ . Als $d > 0$ en $f_1 \neq f_2$ beide minimaliseren: $u = \frac{x - f_1}{d}$ en $v = \frac{x - f_2}{d}$ zijn verschillende eenheidsvectoren, dus

\Bigl\Vert x - \frac{f_1 + f_2}2\Bigr\Vert = d\,\Bigl\Vert\frac{u + v}2\Bigr\Vert < d ,

met $\frac{f_1 + f_2}2 \in F$ : tegenspraak met de definitie van $d$ . Unieke minimizer.

4. $\norm{(0,1) - t(1,0)}_\infty = \max(\abs t, 1) \geq 1$ , met gelijkheid iff $\abs t \leq 1$ : de minimizers vormen het segment $\{t(1, 0) : t \in \intcc{-1}{1}\}$ , allen op afstand $1$ — uniciteit faalt precies omdat de vierkante bol platte zijden heeft (vraag 2).

5. Zij $M = \max f$ , $m = \min f$ (bereikt: compactheid). Voor elke constante $c$ : $\sup\abs{f - c} \geq \max(M - c,\, c - m) \geq \frac{M - m}2$ , de laatste ongelijkheid omdat de twee grootheden middelen tot $\frac{M-m}2$ ; gelijkheid in beide forceert $M - c = c - m$ , d.w.z. $c = c^* = \frac{M + m}2$ . Omgekeerd $\sup\abs{f - c^*} = \max(M - c^*, c^* - m) = \frac{M - m}2$ . Unieke beste constante. Voor $f(x) = x^2$ op $\intcc01$ : $c^* = \frac12$ , afstand $\frac12$ .

6. Uit $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : de polynomen gedefinieerd door $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ , $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ voldoen aan $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ door inductie. Uniciteit: twee polynomen die op $\intcc{-1}{1}$ (oneindig veel punten) overeenkomen zijn gelijk. Opnieuw inductie: $\deg T_n = n$ met leidende coëfficiënt $2^{n-1}$ voor $n \geq 1$ ( $T_1$ : coëfficiënt $1 = 2^0$ ; de recurrentie verdubbelt haar).

7. Elke $x \in \intcc{-1}{1}$ is $\cos\theta$ , en $\abs{\cos n\theta} \leq 1$ . In $\eta_k = \cos\frac{k\pi}n$ : $T_n(\eta_k) = \cos k\pi = (-1)^k$ , en $1 = \eta_0 > \eta_1 > \dots > \eta_n = -1$ . Wortels: $\cos n\theta = 0$ iff $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : de $n$ verschillende punten $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ , en aangezien $\frac{(k-1)\pi}n < \frac{(2k-1)\pi}{2n} < \frac{k\pi}n$ , ligt elke wortel strikt tussen twee opeenvolgende extrema.

8. $T_2 = 2X^2 - 1$ , $T_3 = 4X^3 - 3X$ , $T_4 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ . Voor $T_3$ : $T_3(1) = 1$ , $T_3(\tfrac12) = \tfrac12 - \tfrac32 = -1$ , $T_3(-\tfrac12) = 1$ , $T_3(-1) = -1$ : perfecte alternatie.

9. Zij $u_\pm = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ voor $x \geq 1$ : de wortels van $z^2 - 2xz + 1$ , met $u_+u_- = 1$ . De rij $s_n = \frac{u_+^n + u_-^n}2$ voldoet aan $s_{n+1} = 2x\,s_n - s_{n-1}$ (Newton-achtige recurrentie uit de kwadratische), $s_0 = 1$ , $s_1 = x$ : dezelfde recurrentie en beginwaarden als $n \mapsto T_n(x)$ , dus $s_n = T_n(x)$ voor alle $n$ . Aangezien $0 < u_- \leq 1 \leq u_+$ met $u_+ > 1$ voor $x > 1$ : $T_n(x) \geq \frac{u_+^n}2 \to \infty$ en $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2-1}\bigr)^n$ . (Voor $x \leq -1$ gebruik de pariteit $T_n(-x) = (-1)^nT_n(x)$ , duidelijk uit de recurrentie.)

10. Voor elke $\theta$ : $T_m\bigl(T_n(\cos\theta)\bigr) = T_m(\cos n\theta) = \cos mn\theta = T_{mn}(\cos\theta)$ . De polynomen $T_m \circ T_n$ en $T_{mn}$ komen overeen op $\intcc{-1}{1}$ , dus zijn gelijk.

11. $D = Q_n - P$ heeft graad $\leq n - 1$ (de monische leidende termen heffen op). In de extrema: $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(\eta_k)} > 0$ door de hypothese. Dus neemt $D$ niet-nulle waarden van wisselend teken aan in de $n + 1$ dalende punten $\eta_0 > \dots > \eta_n$ : door de tussenwaardestelling heeft zij minstens $n$ verschillende nulpunten, één in elk open interval $\intoo{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ . Een niet-nul polynoom van graad $\leq n - 1$ kan geen $n$ nulpunten hebben; en $D = 0$ spreekt de strikte tekens tegen. Tegenspraak: $\sup\abs P \geq 2^{1-n}$ voor elke monische $P$ van graad $n$ .

12. Nu $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 0$ aangezien $\abs{P} \leq 2^{1-n}$ . Op elk $\intcc{\eta_k}{\eta_{k-1}}$ ( $k = 1, \dots, n$ ) hebben de eindpuntwaarden van $D$ tegengestelde zwakke tekens: de tussenwaardestelling levert een nulpunt $z_k$ in het gesloten interval. Als de $z_k$ paarsgewijs verschillend gekozen kunnen worden, heeft $D \neq 0$ van graad $\leq n-1$ $n$ nulpunten: tegenspraak. Twee opeenvolgende intervallen kunnen alleen het nulpunt $z_k = z_{k+1} = \eta_k$ met $0 < k < n$ delen (inwendig). Daar betekent $D(\eta_k) = 0$ dat $P(\eta_k) = (-1)^k2^{1-n}$ , een extremale waarde van $P$ op $\intcc{-1}{1}$ bereikt in een inwendig punt: $P'(\eta_k) = 0$ ; en $\eta_k$ is ook een inwendig extremum van $T_n$ : $Q_n'(\eta_k) = 0$ . Dus $D'(\eta_k) = 0$ : $\eta_k$ is een nulpunt van multipliciteit $\geq 2$ , dat het gedeelde interval compenseert. In alle gevallen heeft $D$ minstens $n$ nulpunten geteld met multipliciteit, graad $\leq n - 1$ , dus $D = 0$ : $P = Q_n$ . De extremale stelling van Chebyshev is bewezen: de unieke monische minimizer is $2^{1-n}T_n$ , van sup-norm $2^{1-n}$ .

13. Monische polynomen van graad $n$ zijn precies de $X^n - R$ met $R \in \R_{n-1}[X]$ , dus

d_\infty\bigl(X^n, \R_{n-1}[X]\bigr) = \min_{P \text{ monisch}}\ \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n},

uniek in $R^* = X^n - Q_n$ . Substitutie $x = \frac{1+t}2$ : als $P$ monisch van graad $n$ is op $\intcc01$ , dan is $t \mapsto 2^nP\bigl(\frac{1+t}2\bigr)$ monisch op $\intcc{-1}{1}$ met sup gelijk aan $2^n\sup_{\intcc01}\abs P$ : dus $\sup_{\intcc01}\abs P \geq 2^{-n}\cdot2^{1-n} = 2^{1-2n}$ , met gelijkheid precies voor $P^*(x) = 2^{-n}Q_n(2x - 1)$ : op $\intcc{0}{1}$ is de afstand $2^{1-2n}$ .

14. $\omega$ is monisch van graad $n$ , dus $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ met gelijkheid iff $\omega = Q_n = 2^{1-n}T_n$ , d.w.z. iff de knopen de $n$ wortels van $T_n$ zijn: $x_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ — de Chebyshevknopen. Minimale waarde: $2^{1-n}$ . Equidistante knopen zijn strikt slechter; de interpolatiefoutfactor wordt geminimaliseerd door knopen nabij de eindpunten te clusteren.

15. $n = 2$ met de hand: $x^2$ loopt over $\intcc01$ , dus $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c} = \max(\abs c, \abs{1 - c}) \geq \frac12$ , geminimaliseerd in $c = \frac12$ : minimale monische kwadratische $x^2 - \frac12 = \frac12(2x^2 - 1) = Q_2$ , waarde $\frac12 = 2^{1-2}$ . Voor $n = 10$ op $\intcc{0}{1}$ : $2^{1-20} = 2^{-19} \approx 1.9\cdot10^{-6}$ . Zeker polynoom van graad $9$ blijft binnen twee miljoensten van $x^{10}$ op heel $\intcc01$ : op deze schaal zijn de twee grafieken niet te onderscheiden — de vlakheid van $x^{10}$ nabij $0$ laat lagere graden al het werk doen.

16. $\norm{g_k}_\infty = g_k(1) = 1$ . Voor $j > k$ stel $a = 2^k$ , $b = 2^j \geq 2a$ , en evalueer in $x_0 = 2^{-1/a}$ (zodat $x_0^a = \frac12$ ):

g_k(x_0) - g_j(x_0) = \frac12 - \Bigl(\frac12\Bigr)^{b/a} \geq \frac12 - \frac14 = \frac14 .

Dus $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ voor alle $j \neq k$ : geen deelrij is Cauchy, geen convergeert. De gesloten eenheidsbol van $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ is niet compact.

17. $F$ is gesloten (Gevolg 5.14) en echt: kies $y \notin F$ , dus $\delta = d(y, F) > 0$ . Door vraag 1 wordt de afstand bereikt in zekere $f^* \in F$ . Stel $x = \frac{y - f^*}{\delta}$ , een eenheidsvector ( $\norm{y - f^*} = \delta$ ). Voor elke $g \in F$ :

\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f^* + \delta g)}}{\delta} \geq \frac{\delta}{\delta} = 1 ,

aangezien $f^* + \delta g \in F$ . Dus $d(x, F) \geq 1$ ; en $d(x, F) \leq \norm{x - 0} = 1$ : precies $1$ .

18. In een oneindigdimensionale $E$ , bouw eenheidsvectoren inductief: $x_1$ willekeurig; gegeven $x_1, \dots, x_k$ , is de deelruimte $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ eindigdimensionaal, dus echt, en vraag 17 levert een eenheid $x_{k+1}$ met $d(x_{k+1}, F_k) = 1$ : in het bijzonder $\norm{x_{k+1} - x_i} \geq 1$ voor $i \leq k$ . De rij heeft paarsgewijze afstanden $\geq 1$ : de eenheidsbol bevat een rij zonder convergente deelrij, is dus niet compact — de stelling van Riesz, met de scherpe constante $1$ .

19. Zij $h_n$ affien op elke helft van $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ , van $0$ omhoog tot $1$ in het middenpunt en terug naar $0$ , en nul elders: continu, $\norm{h_n}_\infty = 1$ . Voor $n \neq m$ ontmoeten de steunen hoogstens in een gemeenschappelijk eindpunt, waar beide verdwijnen; in de piek van $h_n$ is $h_m = 0$ : $\norm{h_n - h_m}_\infty = 1$ precies. Voor vaste $x > 0$ : $h_n(x) = 0$ zodra $\frac1n < x$ , en $h_n(0) = 0$ altijd: $h_n \to 0$ puntgewijs; maar $\norm{h_n - 0}_\infty = 1$ : niet uniform. Een expliciete constellatie op onderlinge afstand $1$ binnen de eenheidsbol.

20. Een bol van straal $\frac13$ heeft diameter $\leq \frac23 < 1$ , dus bevat ten hoogste één van de $h_n$ (twee liggen op afstand $1$ ). Eindig veel zulke bollen bevatten eindig veel van de oneindig veel $h_n$ : zij kunnen de eenheidsbol niet overdekken. Totale begrensdheid — die compacte metrische ruimten genieten, door het bewijs van Stelling 4.20 — faalt zo erg als maar kan.

21. Als $Ax = \lambda x$ met $x \neq 0$ : $\abs\lambda\,\norm x = \norm{Ax} \leq \vertiii A\,\norm x$ , dus $\abs\lambda \leq \vertiii A$ . Voor $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A_\infty = \max(1 + 2,\ 3 + 1) = 4$ (Oefening 5.4), dus heeft elke eigenwaarde modulus $\leq 4$ ; in feite geeft $\chi_A = X^2 - 2X + 7$ $\lambda = 1 \pm \iu\sqrt6$ van modulus $\sqrt7 \approx 2.65$ : de grens is geldig, niet scherp.

22. $N_P$ is een norm: $N_P(x) = 0$ forceert $P^{-1}x = 0$ , dus $x = 0$ ; homogeniteit en driehoeksongelijkheid worden geërfd van $\norm\cdot_\infty$ via de lineaire $P^{-1}$ . Operatornorm: met $y = P^{-1}x$ en $D = \mathrm{diag}(\lambda_i)$ ,

N_P(Ax) = \norm{P^{-1}AP\,y}_\infty = \norm{Dy}_\infty,

dus is $\vertiii A_{N_P}$ de $\norm\cdot_\infty$ -operatornorm van $D$ , die haar grootste absolute rijsom is (Oefening 5.4): $\max_i\abs{\lambda_i}$ .

23. Als alle $\abs{\lambda_i} < 1$ : $N_P(A^kx) \leq \rho^kN_P(x)$ met $\rho = \max\abs{\lambda_i} < 1$ , dus $A^kx \to 0$ voor elke $x$ , en $A^k \to 0$ in elke norm op $\mathcal{M}_n$ (alle equivalent in eindige dimensie, Stelling 5.13; convergentie van $A^ke_j$ voor elke $j$ is entrygewijze convergentie). Als zekere $\abs{\lambda} \geq 1$ met eigenvector $x$ : $\norm{A^kx} = \abs\lambda^k\norm x \not\to 0$ . Voor $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : eigenwaarden $\frac14(1 \pm 2) = \frac34, -\frac14$ , beide van modulus $< 1$ : $A^k \to 0$ .

24. Beide zijn normen op de eindigdimensionale $\R_n[X]$ , dus equivalent voor elke $n$ . Neem de minimale monische $P^*_n$ van vraag 13 op $\intcc01$ : haar coëfficiënt van $X^n$ is $1$ , dus $N_c(P^*_n) \geq 1$ , terwijl $\norm{P^*_n}_{\intcc01} = 2^{1-2n}$ . Dus

C_n \geq \frac{N_c(P^*_n)}{\norm{P^*_n}_{\intcc01}} \geq 2^{2n-1} .

De equivalentieconstanten exploderen met de dimensie: op de unie $\R[X]$ dient geen enkele constante, precies de niet-equivalentie gezien in Oefening 5.12 — “alle normen zijn equivalent” is een stelling over één dimensie tegelijk, en oneindige dimensie is waar zij sterft.

25. Compactheid van gesloten begrensde verzamelingen in eindige dimensie produceerde bestaan van beste benaderingen (vraag 1) en voedde de nulpuntstelling in de $n + 1$ extremale punten (vragen 11–12, via bereikte sups). Strikte convexiteit bestuurt uniciteit van beste benadering — ronde bollen geven één minimizer, plat-zijdige bollen geven segmenten ervan (vragen 2–4). De constellatie van eenheidsvectoren op onderlinge afstand $1$ (vragen 17–19) vernietigt compactheid van de eenheidsbol en totale begrensdheid mee (vraag 20). Vraag 24 kwantificeert de ineenstorting: de constanten die twee normen op $\R_n[X]$ relateren groeien als $4^n$ , dus overleeft geen uniforme vergelijking de overgang naar $\R[X]$ . De top is de extremale stelling van Chebyshev (vragen 11–12): de unieke monische minimizer $2^{1-n}T_n$ . Beste benadering vindt haar moderne thuis in Hilbertruimten, waar de projectiestelling compactheid vervangt door volledigheid plus de parallellogramidentiteit — eerlijk bewijs in het volume van Jaar 3.