7Algebraïsche structuren

Voorbeeld 7.4

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (eenheidswortels, Definitie 3.17); de verzameling $\mathfrak{S}(E)$ van bijecties van een verzameling $E$ op zichzelf, onder samenstelling — de symmetrische groep van $E$, niet-abels zodra $\abs E \geq 3$. Geen groepen: $(\N, +)$ (geen inversen), $(\Z, \times)$ (enkel $\pm 1$ inverteerbaar).

Voorbeeld 7.6 (De symmetrieën van een rechthoek)

Een (niet-vierkante) rechthoek laat precies vier isometrieën op zichzelf toe: de identiteit $e$, de spiegeling $h$ om de horizontale as, de spiegeling $v$ om de verticale as, en de halve draai $r$ om het middelpunt. Samenstelling maakt van deze verzameling met vier elementen een groep: elk element is zijn eigen inverse ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), en het product van twee verschillende niet-neutrale elementen is het derde ($hv = vh = r$: spiegelen om beide assen is de halve draai). De volledige tabel is symmetrisch, dus de groep is abels — toch is het niet dezelfde groep als de rotaties $\mathbb U_4$ uit Voorbeeld 7.15: daar heeft $\iu$ orde $4$, terwijl hier elk element orde $\leq 2$ heeft. Twee groepen van dezelfde grootte kunnen dus werkelijk verschillende vermenigvuldigingsstructuren hebben — de figuur hieronder toont beide tabellen naast elkaar. Deze groep met vier elementen keert terug als $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, en Oefening 7.7 verklaart waarom elke groep waarin alle kwadraten triviaal zijn, net als deze, abels moet zijn.

Voorbeeld 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: niet-leeg, en voor $z, w \in \mathbb{U}_n$ geldt $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. De deelgroepen van $(\Z, +)$ zijn precies de $n\Z$ (bewezen in Stelling 6.4). Een doorsnede van deelgroepen is altijd een deelgroep, maar een unie bijna nooit (Oefening 7.6).

Voorbeeld 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ is een morfisme ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$), bijectief (Propositie 4.1): de additieve en multiplicatieve structuren zijn isomorf — de historische raison d’être van de logaritmen. Een ander morfisme: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ van $(\R, +)$ op de eenheidscirkel $(\mathbb{U}, \times)$, met kern $2\pi\Z$.

Voorbeeld 7.13 (Het tekenmorfisme)

De afbeelding $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ die $x$ naar zijn teken stuurt, is een morfisme: het teken van een product is het product van de tekens. De kern is $\intoo0{+\infty}$ (een deelgroep, zoals Definitie 7.10 belooft), het beeld heel $\{\pm1\}$: surjectief, massaal niet-injectief. Twee algemene lessen in het klein. Ten eerste kan een morfisme informatie pletten: $s$ onthoudt van $x$ niets dan één bit, en dat is zijn deugd — tekenargumenten zijn precies de berekeningen die door $s$ factoriseren. Ten tweede zijn morfismen naar $\{\pm1\}$ de eenvoudigste “invarianten”: de signatuur van permutaties, opgebouwd in het weekendprobleem van dit hoofdstuk, is hetzelfde fenomeen op de groep $\mathfrak S_n$, en de pariteitsargumenten die ze aandrijft, dalen allemaal af via zo’n tweewaardig morfisme.

Voorbeeld 7.15

In $(\C^*, \times)$: $\iu$ heeft orde $4$, met $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; algemener heeft $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ orde $n$ en $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. In $(\Z, +)$ heeft elke $x \neq 0$ oneindige orde. Waarom de beweringen in de definitie gelden: als $x$ orde $m$ heeft, deel dan een willekeurige $k$ door $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, Stelling 6.2): $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, dus de machten doorlopen een cyclus met periode $m$, de opgesomde elementen zijn paarsgewijs verschillend wegens de minimaliteit van $m$, en $x^k = e$ dwingt $r = 0$ af. Orden van permutaties worden berekend in het weekendprobleem hieronder.

Voorbeeld 7.16 (Orden binnen $\mathbb U_{12}$)

Wat is de orde van $\omega^k$ in $\mathbb U_n$, voor $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$? Men heeft $(\omega^k)^m = 1$ als en slechts als $n \mid km$, en met $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ met $\gcd(n', k') = 1$: $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (lemma van Gauss, Stelling 6.8). De kleinste zulke $m \geq 1$ is $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. In $\mathbb U_{12}$ bijvoorbeeld heeft $\omega^8$ orde $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (inderdaad $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), terwijl $\omega^5$ orde $12$ heeft: ze brengt de hele groep voort, hoewel ze niet de “standaard” voortbrenger is. Het tellen van de voortbrengers — de $k$ met $\gcd(k, n) = 1$ — geeft de tellingen van relatief priemen uit Voorbeeld 2.25 terug: groepentheorie en tellen ontmoeten elkaar.

Voorbeeld 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ zijn commutatieve ringen; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Later: veeltermringen $K[X]$ (Hoofdstuk 8), matrixringen (niet-commutatief, Hoofdstuk 21), en $\Z/n\Z$ hieronder. In elke ring geldt $0 \times a = 0$ (uit de distributiviteit: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$), en $(-1)a = -a$.

Voorbeeld 7.19 (Idempotenten: nieuwe fenomenen in nieuwe ringen)

In $\Z$ heeft de vergelijking $x^2 = x$, d.w.z. $x(x - 1) = 0$, enkel de oplossingen $0$ en $1$. In $\Z/6\Z$, met alle klassen getest: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ en $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — vier idempotenten. De twee exotische komen van nuldelers: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ zonder dat een van beide factoren nul is. Zulke berekeningen ijken de intuïtie: vertrouwde feiten over vergelijkingen overleven in integriteitsdomeinen en lichamen, maar een algemene ring kan zich anders gedragen, en doet dat ook — zie ook de Booleaanse ringen van Oefening 7.10, waar elk element idempotent is.

Voorbeeld 7.21 (Het binomium van Newton in een onvertrouwde ring)

Twee snelle opbrengsten van de algemeenheid. In $\Z/p\Z$ ($p$ priem) verdwijnen de middelste binomiaalcoëfficiënten (de eerste stap van Stelling 6.23), zodat de stelling ineenstort tot de freshman’s dream

daar een echte identiteit, hoe misdadig ze ook oogt over $\R$. En in elke commutatieve ring die een element $\varepsilon$ met $\varepsilon^2 = 0$ bevat, wordt de stelling afgekapt: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, waarbij alle hogere termen een factor $\varepsilon^2 = 0$ dragen. De coëfficiënt $n\,a^{n-1}$ van $\varepsilon$ is de afgeleide van $x^n$ — geen toeval, en een eerste hint dat afgeleiden evenzeer algebra als analyse zijn (vergelijk de formele afgeleide van Hoofdstuk 8).

Voorbeeld 7.23

$\Q$, $\R$, $\C$ zijn lichamen; $\Z$ is een integriteitsdomein maar geen lichaam. In een integriteitsdomein geldt de schrappingsregel voor $\times$: $ab = ac$ en $a \neq 0$ impliceren $b = c$.

Voorbeeld 7.26 (Hoeveel vierkantswortels van $1$?)

Los $x^2 = \overline 1$ op in $\Z/8\Z$ en in $\Z/7\Z$. Met de acht klassen mod $8$ getest: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — vier oplossingen $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, hoewel de veelterm $X^2 - 1$ graad $2$ heeft. In het lichaam $\Z/7\Z$ daarentegen betekent $x^2 = \overline1$ dat $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, en een lichaam heeft geen nuldelers: $x = \pm\overline1$, slechts twee oplossingen. Het falen mod $8$ is naspeurbaar: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ zonder dat een van beide factoren verdwijnt. Moraal: de vertrouwde regel “een vergelijking van graad $d$ heeft hoogstens $d$ wortels” is een stelling over integriteitsdomeinen (Gevolg 8.8 bewijst ze over lichamen); in ringen met nuldelers faalt ze stilzwijgend — wat precies de reden is waarom het koppelingsbewijs van de stelling van Wilson (Oefening 6.11) $p$ priem nodig had.

Voorbeeld 7.27 (Rekenen in $\Z/n\Z$)

In $\Z/12\Z$: de eenheden zijn $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}$ (de klassen relatief priem met $12$), en elk is zijn eigen inverse ($5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$, $11^2 = 121 \equiv 1$). De vergelijking $\overline 3\, x = \overline 6$ heeft drie oplossingen ($x \in \{\overline 2, \overline 6, \overline{10}\}$): zonder inverteerbaarheid geen schrapping. In $\Z/11\Z$ daarentegen heeft elke vergelijking $\overline a x = \overline b$ met $\overline a \neq \overline 0$ precies één oplossing.

Voorbeeld 7.28 (Groepsaxioma’s als vergunning om op te lossen)

In de groep $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$, los $\overline 3\,x = \overline 5$ op. Volgens Propositie 7.5 (3) bestaat de oplossing, is ze uniek, en gelijk aan $\overline3^{-1}\, \overline5$; omdat $\overline3 \times \overline5 = \overline{15} = \overline1$, is de inverse van $\overline 3$ gelijk aan $\overline 5$, dus

Het gaat minder om het antwoord dan om de garantie: in een groep is elke zulke vergelijking uniek oplosbaar voordat men iets berekent, zodat een oplossingsprocedure nooit op “geen oplossing” of “verscheidene” kan stuiten. Vergelijk $\overline3\,x = \overline6$ in $\Z/12\Z$ hierboven, waar de garantie faalt — weten in welke structuur men zich bevindt, is weten wat men als vanzelfsprekend mag aannemen.

Voorbeeld 7.29 (Directe producten)

Als $G$ en $H$ groepen zijn, is de productverzameling $G \times H$ met de componentsgewijze bewerking $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ een groep: de axioma’s worden coördinaat per coördinaat nagegaan, met neutraal element $(e_G, e_H)$ en inversen $(g^{-1}, h^{-1})$. Orden combineren via het kgv: $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ is het neutrale element als en slechts als de orde van $g$ en de orde van $h$ beide $m$ delen. Zo heeft in $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ (additief) elk niet-nul element orde $2$ — dit is precies de rechthoekgroep van Voorbeeld 7.6 in coördinaten — terwijl $\Z/4\Z$ een element van orde $4$ heeft: een tweede, berekeningsvrij bewijs dat de twee groepen van grootte $4$ niet isomorf zijn (een isomorfisme bewaart orden). Producten zijn de eenvoudigste manier om nieuwe groepen uit oude te vervaardigen, en het vlak $\R^2 = \R \times \R$ uit Hoofdstuk 18 is het belangrijkste voorbeeld van deze constructie.