compacte ruimte কী?

Voorbeeld 6.11

Het quotiënt $\R/\Z$ (vereenzelvig $x$ met $x + n$) is homeomorf met de cirkel $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$: de afbeelding $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ gaat over op een continue bijectie $\R/\Z \to S^1$ (Propositie 6.10(b)); haar inverse is continu wegens het compactheidsargument van Gevolg 6.14 hieronder (Oefening 6.5 werkt alles uit, ook waarom $\R/\Z$ Hausdorff en compact is). Net zo is $[0,1]$ met verlijmde eindpunten gelijk aan $S^1$ en is het vierkant met verlijmde overstaande zijden de torus, en is verlijmen eindelijk een stelling in plaats van een plaatje.