Wat is Karakteristieke veelterm? — Wiskunde

Definitie 3.3 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 3 — Reductie van endomorfismen

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ — in elke basis berekend als $\det(XI_n - A)$ , een monische veelterm van graad $n$ , invariant onder gelijkvormigheid (Stelling 2.17). Haar nulpunten in $K$ zijn precies de eigenwaarden ( $\lambda$ eigenwaarde $\iff u - \lambda\,\mathrm{id}$ niet injectief $\iff \chi_u(\lambda) = 0$ ), en

\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det u .

De algebraïsche multipliciteit $m_\lambda$ van een eigenwaarde is haar multipliciteit als nulpunt van $\chi_u$ ; de meetkundige multipliciteit is $\dim E_\lambda$ , en er geldt $1 \leq \dim E_\lambda \leq m_\lambda$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 3.4 (Dezelfde $\chi$ , andere meetkunde)

De matrices

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{en}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

hebben dezelfde karakteristieke veelterm $(X - 2)^2$ , hetzelfde spoor, dezelfde determinant en hetzelfde spectrum — en toch zijn zij niet gelijkvormig: bij de eerste heeft $E_2$ dimensie $2$ (meetkundige multipliciteit $2$ ), bij de tweede dimensie $1$ . De karakteristieke veelterm ziet alleen de algebraïsche multipliciteiten; de dimensies van de eigenruimten zijn de fijnere invariant, en de minimale veelterm beslist ( $X - 2$ tegenover $(X - 2)^2$ ). Moraal voor elke bespreking van diagonaliseerbaarheid: $\chi$ stelt de kandidatenlijst op, maar de kernen brengen de stemmen uit.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen