Wat is minimale veelterm? — Wiskunde

Definitie 3.11 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 3 — Reductie van endomorfismen

Zet voor $P = \sum a_k X^k \in K[X]$ de afbeelding $P(u) = \sum a_k u^k \in \mathcal{L}(E)$ . De afbeelding $P \mapsto P(u)$ is een morfisme van algebra’s $K[X] \to \mathcal{L}(E)$ (Definitie 1.33); haar kern $\{P : P(u) = 0\}$ is een ideaal van $K[X]$ , ongelijk aan nul (de familie $(\mathrm{id}, u, \dots, u^{n^2})$ is afhankelijk in het $n^2$ -dimensionale $\mathcal{L}(E)$ ), en wordt dus voortgebracht door een unieke monische veelterm $\mu_u$ : de minimale veelterm (Stelling 1.26).

Voorbeelden

Voorbeeld 3.13 (Minimale veeltermen met de hand gevonden)

De minimale veelterm wordt gevonden door achtereenvolgende graden te proberen. Voor de matrix $J \in \mathcal{M}_3(\R)$ vol enen: $J \neq \lambda I$ (graad $1$ valt af), en $J^2 = 3J$ , dus

\mu_J = X^2 - 3X = X(X - 3) :

graad $2$ , uiteenvallend, met enkelvoudige nulpunten — dus is $J$ diagonaliseerbaar met spectrum $\{0, 3\}$ (Gevolg 3.17 hieronder), wat Voorbeeld 2.19 bevestigt zonder ook maar één determinant. Voor de verwisselingsmatrix $A$ uit Voorbeeld 3.15: uit $A \neq \pm I$ en $A^2 = I$ volgt $\mu_A = X^2 - 1$ . In beide gevallen is het patroon hetzelfde: raad uit de structuur een identiteit van lage graad (rang één dwingt $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$ af; een involutie dwingt $A^2 = I$ af) en ga daarna na dat geen echte deler annihileert. Minimale veeltermen worden meestal gevonden, niet uit $\chi$ berekend.

Voorbeeld 3.15 (Het kernlemma met expliciete projectoren)

Zij $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (verwissel de eerste twee coördinaten). Dan is $A^2 = I$ : de veelterm $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ annihileert $A$ , haar factoren zijn onderling ondeelbaar, en Bézout is expliciet:

\frac{1}{2}(X + 1) - \frac12(X - 1) = 1 .

Volgens het bewijs van Stelling 3.14 zijn de projecties op $\ker(A - I)$ en $\ker(A + I)$ de veeltermen in $A$

\pi_+ = \frac{A + I}{2} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}, \qquad \pi_- = \frac{I - A}{2} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.

Controle: $\pi_+ + \pi_- = I$ , $\pi_+\pi_- = 0$ , $\pi_\pm^2 = \pi_\pm$ , en de beelden zijn het vlak $\{x = y\}$ (symmetrische vectoren, eigenwaarde $1$ ) en de rechte $\R(1, -1, 0)$ (antisymmetrisch, eigenwaarde $-1$ ). Het kernlemma is geen uitspraak over bestaan alleen: de coëfficiënten van Bézout zijn de formules voor de projectoren.

Voorbeeld 3.20 (Minimaal tegenover karakteristiek)

Voor $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ is $\chi_D = (X - 2)^2(X - 3)$ maar $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$ , want $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (ga het op de canonieke basis na), terwijl geen van beide factoren $D$ alleen doodt. Voor het verschuivingsblok $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$ , dat wil zeggen $N' = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right)$ , geldt $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ én $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — het dubbele nulpunt is hier werkelijk nodig, omdat $N'$ aan de kernkant niet diagonaliseerbaar is ( $N'e_2 = e_1 \neq 0$ ). Vuistregel: $\mu$ en $\chi$ hebben dezelfde nulpunten (Propositie 3.12); de multipliciteit in $\mu$ meet de grootte van het grootste nilpotente blok, die in $\chi$ de totale dimensie van de karakteristieke deelruimte.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen