Wat is Verwachtingswaarde? — Wiskunde

Definitie 18.8 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 18 — Kansrekening en toevalsvariabelen

De verwachtingswaarde (of het gemiddelde) van $X$ is het gemiddelde van haar waarden, gewogen met hun kansen:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Voorbeelden

Voorbeeld 18.10

Voor het spel van Voorbeeld 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

Gemiddeld verliest de speler ongeveer $17$ cent per spel: het spel is ongunstig. Een spel heet eerlijk wanneer de verwachte winst $0$ is.

Voorbeeld 18.15

Voor het spel van Voorbeeld 18.6 is $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , dus

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

Het gemiddelde verlies van $0.17$ per spel gaat gepaard met schommelingen van typische grootte $2.6$ euro — een verwachtingswaarde zonder standaardafwijking vertelt maar de helft van het verhaal.

Lees in het hoofdstuk →

Definitie 22.6 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 22 — Discrete toevalsveranderlijken

Een reële toevalsveranderlijke $X$ op $(\Omega, \P)$ heeft een verwachtingswaarde wanneer de familie $\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega}$ sommeerbaar is (Hoofdstuk 7); haar verwachtingswaarde is dan

\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) .

Voorbeelden

Voorbeeld 22.10 (Overdracht in actie)

Bereken voor $X \sim \mathcal P(\lambda)$ de waarde $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — de verdeling van $\frac1{1+X}$ zelf is onhandig, maar de overdracht vraagt er nooit naar:

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

Twee lessen. Rekenkundig: een verschoven exponentiële reeks herkennen is het hele werk — de overdracht herleidt verwachtingswaarden van $f(X)$ tot het hanteren van reeksen. Structureel: de naïeve invulwaarde zou $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ zijn, en het echte antwoord is groter,

\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

precies zoals de ongelijkheid van Jensen voor de convexe functie $t \mapsto \frac1{1+t}$ eist. Verwachtingswaarden van convexe beelden liggen boven de naïeve invulwaarde, en de overdracht plus een reekscontrole maakt de abstracte ongelijkheid concreet.

Voorbeeld 22.12 (Producten, met en zonder onafhankelijkheid)

Gooi met twee eerlijke dobbelstenen. Is $Y$ de tweede dobbelsteen (onafhankelijk van de eerste), dan is $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$ . Is daarentegen $Y = X$ (het “product” van een dobbelsteen met zichzelf), dan is

\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

dezelfde marginale verdelingen in beide scenario’s, verschillende gezamenlijke verdelingen, verschillende verwachtingswaarden van het product. De moraal, het onthouden waard: $\E(XY)$ is een functionaal van het paar, niet van de twee marginalen — en het gat $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ is volgens König–Huygens precies de variantie $\frac{35}{12}$ van de dobbelsteen.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Voorbeelden

Verwante begrippen