Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

3Modulen over een hoofdideaaldomein

Lineaire algebra over een ring in plaats van een lichaam: deze kleine hypothesewijziging produceert een van de grote unificatiestellingen van de algebra. Een module over $\Z$ is een abelse groep; een module over $K[X]$ is een vectorruimte uitgerust met een endomorfisme. De structuurstelling voor eindig voortgebrachte modulen over een PID classificeert dus in één slag alle eindig voortgebrachte abelse groepen en alle endomorfismen tot op similariteit — de reductie van Jordan, die Jaar 2 door delicate inducties verkreeg, valt eruit als gevolg, samen met haar subtielere broer, de rationale canonieke vorm, geldig over elk lichaam. De rekenmotor is de normaalvorm van Smith, een rekenkunde van matrices die Euclides waardig is.

Overal is $A$ een commutatieve ring, spoedig een PID; “module” betekent $A$ -module.

3.1 Modulen, vrije modulen

Definitie 3.1

Een $A$ -module is een abelse groep $(M, +)$ met een scalaire vermenigvuldiging $A \times M \to M$ die de vectorruimteaxioma’s vervult: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ , $1x = x$ . Submodulen, quotiënten $M/N$ , morfismen ( $A$ -lineaire afbeeldingen), directe sommen $\bigoplus_i M_i$ , en de isomorfiestellingen worden woord voor woord gedefinieerd en bewezen zoals voor vectorruimten en abelse groepen; in het bijzonder $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ voor een morfisme $f$ .

Voorbeeld 3.2

De drie motiverende gevallen.

$A = K$ een lichaam: modulen zijn vectorruimten.
$A = \Z$ : modulen zijn precies abelse groepen ( $nx$ is gedwongen $x + \dots + x$ ), submodulen zijn deelgroepen.
$A = K[X]$ : een module is een $K$ -vectorruimte $V$ samen met de $K$ -lineaire afbeelding $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — omgekeerd wordt elk paar $(V, u)$ met $u \in \mathcal L(V)$ een $K[X]$ -module door $P \cdot x = P(u)(x)$ . De submodulen zijn precies de $u$ -stabiele deelruimten.

Een ideaal van $A$ is precies een submodule van $A$ ; een quotiëntring $A/I$ is een $A$ -module. In tegenstelling tot vectorruimten kunnen modulen torsie hebben: in $\Z/6\Z$ wordt het element $\bar 3 \ne 0$ gedood door $2 \neq 0$ .

Definitie 3.3

$M$ is eindig voortgebracht als $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ voor enige $x_i$ . $M$ is vrij van rang $n$ als $M \cong A^n$ , d.w.z. als ze een basis heeft (een voortbrengende familie die $A$ -lineair onafhankelijk is). Elke eindig voortgebrachte $M$ is een quotiënt van een vrije module: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ beeldt $A^n$ op $M$ af.

Propositie 3.4 (Invariante van rang)

Als $A \neq 0$ en $A^m \cong A^n$ , dan $m = n$ .

Bewijs. Kies een maximaal ideaal $\mathfrak m$ van $A$ (Stelling 2.8) en stel $k = A/\mathfrak m$ , een lichaam. Een isomorfisme $f \colon A^m \to A^n$ beeldt $\mathfrak m A^m$ af in $\mathfrak m A^n$ (lineariteit), en induceert dus een isomorfisme van quotiënten

A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{d.w.z.}\qquad k^m \cong k^n

als $k$ -vectorruimten (het quotiënt $A^m/\mathfrak m A^m$ wordt gedood door $\mathfrak m$ , dus factoreert de $A$ -werking door $k$ ; de beelden van de standaardbasis vormen een $k$ -basis). Dimensietheorie over het lichaam $k$ geeft $m = n$ . ∎

Stelling 3.5 (Submodulen van vrije modulen)

Zij $A$ een PID en $M \subseteq A^n$ een submodule. Dan is $M$ vrij van rang $\leq n$ .

Bewijs. Inductie op $n$ . Voor $n = 1$ : $M$ is een ideaal, dus $M = (0)$ (vrij van rang $0$ ) of $M = dA \cong A$ ( $x \mapsto dx$ is injectief: domein). Voor $n > 1$ : zij $\pi \colon A^n \to A$ de laatste coördinaat. Dan is $\pi(M)$ een ideaal, $(0)$ of $dA$ . Als $(0)$ : $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ en inductie past. Anders kies $x_0 \in M$ met $\pi(x_0) = d$ . Elk $x \in M$ schrijft uniek

x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi

( $\pi(x) \in dA$ , dus is de coëfficiënt in $A$ ). Dus $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$ : de som is direct omdat $\pi(ax_0) = ad = 0$ $a = 0$ dwingt. Door inductie is $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ vrij van rang $\leq n - 1$ ; $x_0$ toevoegen (onafhankelijk van $\ker\pi$ zoals zojuist gezien) geeft een basis van $M$ van kardinaliteit $\leq n$ . ∎

Opmerking 3.6

Bijgevolg heeft over een PID elke eindig voortgebrachte module $M$ een eindige presentatie: een surjectie $\varphi\colon A^n \to M$ heeft vrije kern met basis $c_1, \dots, c_k$ ( $k \leq n$ ), en $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ waar $C \in M_{n,k}(A)$ de matrix is waarvan de kolommen de $c_j$ zijn. $M$ begrijpen betekent een matrix over $A$ begrijpen tot op basiswisseling in bron en doel — het onderwerp van de volgende sectie.

3.2 Normaalvorm van Smith

Definitie 3.7

Twee matrices $B, C \in M_{n,k}(A)$ zijn equivalent als $C = QBP$ met $Q \in GL_n(A)$ , $P \in GL_k(A)$ (inverteerbaar over $A$ : determinant in $A^\times$ ). Equivalente presentatiematrices definiëren isomorfe modulen $A^n/ \operatorname{im}$ (wissel basissen in $A^n$ en $A^k$ ).

Stelling 3.8 (Normaalvorm van Smith)

Zij $A$ een PID en $B \in M_{n,k}(A)$ . Dan is $B$ equivalent met een diagonale matrix

\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,

en de $d_i$ zijn uniek tot op geassocieerden: $d_1 \cdots d_i$ is een ggd van de $i \times i$ -minoren van $B$ (in het bijzonder is die ggd een invariant van equivalentie). De $d_i$ zijn de invariante factoren van $B$ .

Bewijs. Bestaan. Als $B = 0$ , klaar. Anders, beschouw de verzameling van idealen $(b)$ voortgebracht door entries van matrices equivalent met $B$ ; omdat $A$ Noethers is, kies een matrix $B'$ equivalent met $B$ en een entry $d$ van $B'$ met $(d)$ maximaal in deze verzameling. Verplaats $d$ naar positie $(1,1)$ door rij- en kolomverwisselingen.

Bewering: $d$ deelt elke entry van $B'$ . Eerst kolom 1: als $b_{i1}$ geen veelvoud van $d$ is, zij $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (Bézout), dus $(e) \supsetneq (d)$ . De $2 \times 2$ -matrixtruc: op rijen $1$ en $i$ werken met

\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)

produceert een equivalente matrix met entry $e$ in positie $(1,1)$ : dit spreekt de maximaliteit van $(d)$ tegen. Dus deelt $d$ kolom $1$ , en symmetrisch rij $1$ . Veelvouden van rij 1 en kolom 1 aftrekken ruimt ze op: $B'$ is equivalent met $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$ . Vervolgens deelt $d$ elke entry $b$ van $B''$ : voeg de rij van $b$ toe aan rij 1 (een elementaire operatie; de nieuwe eerste rij bevat $d$ en $b$ -entries), en herhaal het kolom-opruimargument: een niet-veelvoud zou $(d)$ opnieuw verbeteren. Inducteer nu op de grootte: $B''$ , waarvan alle entries deelbaar door $d$ zijn, heeft een Smithvorm $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ waarvan de entries deelbaar door $d$ blijven (elke entry van enige $QB''P$ is een $A$ -combinatie van entries van $B''$ ); stel $d_1 = d$ .

Uniciteit. Zij $D_i(B)$ een ggd van alle $i \times i$ -minoren. Rij- en kolomoperaties, en algemener vermenigvuldiging met elke matrix, kunnen de ggd niet verkleinen: de $i \times i$ -minoren van $QB$ zijn $A$ -combinaties van die van $B$ (Cauchy–Binet-ontwikkeling; of direct: elke rij van $QB$ is een combinatie van rijen van $B$ , en minoren zijn multilineair in rijen). Dus delen $D_i(QBP)$ en $D_i(B)$ elkaar: $D_i$ is een equivalentie-invariant. Op de diagonale vorm zijn de niet-nulle $i \times i$ -minoren de producten van $i$ van de $d_j$ ’s, en deelbaarheid $d_1 \mid \dots \mid d_r$ maakt $d_1 \cdots d_i$ de ggd. Dus $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ tot op eenheden, en $d_i = D_i/D_{i-1}$ is bepaald. ∎

Methode 3.9

Over een Euclidisch domein ( $\Z$ , $K[X]$ ) is Smithreductie een algoritme — geen maximaliteitsargument nodig: breng de entry van kleinste Euclidische grootte naar positie $(1,1)$ ; als ze enige entry van haar rij of kolom niet deelt, laat een Euclidische deling een strikt kleinere rest daar — wissel hem in en herstart (terminatie: groottes dalen); wanneer ze haar hele rij en kolom deelt, ruim ze op; als ze een binnenste entry niet deelt, voeg die rij toe aan rij $1$ en herstart; recureer op het binnenste blok. In de praktijk op gehele matrices: bereken $D_1 = \gcd$ van entries, $D_2$ , … via minoren voor kleine groottes, of voer het algoritme uit.

Voorbeeld 3.10 (Een Smithreductie, volledig)

Reduceer $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ over $\Z$ . De hoek $1$ deelt alles: ruim haar rij en kolom op ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ , dan $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ , $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

In het binnenste blok deelt de hoek $-3$ alle entries: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ en $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ ruimen hem op tot $\operatorname{diag}(-3, 0)$ . Tekens bijstellen (vermenigvuldig een rij met $-1$ , een legale operatie):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

Kruiscontrole via determinanten-delers: $D_1 = \gcd(\text{entries}) = 1$ ; elke $2\times2$ -minor van $M$ is een veelvoud van $3$ (bijv. $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) en één is gelijk aan $-3$ : $D_2 = 3$ ; $D_3 = \det M = 0$ . Dus $d_1 = 1$ , $d_2 = 3$ , $d_3 = 0$ : hetzelfde antwoord. Twee lessen: een nulle invariante factor registreert de rangdaling (de cokern pikt een vrije $\Z$ -sommand op), en de deelbaarheidsketen $1 \mid 3 \mid 0$ is het Smithcertificaat — een diagonale reductie die de keten schendt (zeg $\operatorname{diag}(2, 3)$ , die de onzorgvuldige kan produceren uit $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ door te vroeg te stoppen: correcte Smithvorm $\operatorname{diag}(1, 6)$ , omdat $D_1 = 1$ hier!) is niet af.

Het subrooster L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) van ℤ2 (rode punten). De normaalvorm van Smith van ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) is diag(1, 6): in de aangepaste basis f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) van ℤ2 heeft men L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, dus ℤ2/L ℤ/6ℤ — de index is gelijk aan | | = 6, de oppervlakte van het gearceerde fundamentaal domein. — Het subrooster $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ van $\Z^2$ (rode punten). De normaalvorm van Smith van $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ is $\operatorname{diag}(1, 6)$ : in de aangepaste basis $f_1 = (1,3)$ , $f_2 = (0,1)$ van $\Z^2$ heeft men $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$ , dus $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — de index is gelijk aan $\abs{\det} = 6$ , de oppervlakte van het gearceerde fundamentaal domein.

3.3 De structuurstelling

Definitie 3.11

Zij $A$ een domein en $M$ een $A$ -module. De torsiesubmodule is

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ voor enige } a \neq 0\}

(een submodule: als $ax = by = 0$ dan $ab(x + y) = 0$ , $ab \ne 0$ ). $M$ is torsievrij als $T(M) = 0$ , een torsiemodule als $T(M) = M$ .

Stelling 3.12 (Structuur van eindig voortgebrachte modulen over een PID)

Zij $A$ een PID en $M$ een eindig voortgebrachte $A$ -module. Er bestaan een unieke $r \in \N$ en niet-nulle niet-eenheden $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ , uniek tot op geassocieerden, met

M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).

Bovendien $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ en $M/T(M) \cong A^r$ : een eindig voortgebrachte torsievrije module over een PID is vrij.

Bewijs. Bestaan. Presenteer $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ (Opmerking 3.6) en breng $C$ in Smithvorm: na de twee basiswisselingen, $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$ . Verwerp de factoren waar $d_i$ een eenheid is ( $A/(d_i) = 0$ ); de deelbaarheidsketen overleeft.

De torsie-identificatie. In de ontbinding is $A^r$ torsievrij (een domein heeft geen nuldelers) en is elke $A/(d_i)$ torsie (gedood door $d_i \ne 0$ ); een directe som splitst torsie dienovereenkomstig: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ en $M/T(M) \cong A^r$ .

Uniciteit van $r$ : $M/T(M) \cong A^r$ hangt alleen van $M$ af, en Propositie 3.4 pinnt $r$ vast.

Uniciteit van de $d_i$ : het volstaat de torsiemodule $T = T(M)$ te behandelen. Ontbind elke $d_i$ in priemen en splits via de Chinese reststelling (Stelling 2.9; onderscheiden priemen brengen comaximale idealen voort):

A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),

de elementaire delers $p^{k_{p,j}}$ . Omgekeerd worden de $d_i$ gereconstrueerd uit de multiset van elementaire delers ( $d_s$ = product van de hoogste macht van elk priem, enz.), dus volstaat te bewijzen dat de multiset $\{k_{p,j}\}_j$ door $T$ bepaald is, voor elk priem $p$ . Fixeer $p$ ; voor $j \geq 1$ beschouw de $A/(p)$ -vectorruimten $p^{j-1}T/p^jT$ . Op een cyclische factor $A/(p^k)$ :

p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{als } j \leq k,\\ 0 & \text{als } j > k, \end{cases}

en op een factor $A/(q^k)$ , $q \neq p$ : vermenigvuldiging met $p$ is daar bijectief ( $p$ inverteerbaar mod $q^k$ : Bézout), dus is het quotiënt $0$ . Directe sommen gaan door: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$ . Deze intrinsieke dimensies bepalen de multiset van exponenten. ∎

Gevolg 3.13 (Eindig voortgebrachte abelse groepen)

Elke eindig voortgebrachte abelse groep is $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ met $d_1 \mid \dots \mid d_s$ , uniek. Elke eindige abelse groep is een product van cyclische groepen van priemmachtorde, uniek als multiset.

Voorbeeld 3.14

De abelse groepen van orde $p^n$ corresponderen met partities van $n$ : voor $p^4$ : $\Z/p^4$ , $\Z/p^3\times\Z/p$ , $(\Z/p^2)^2$ , $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ , $(\Z/p)^4$ — vijf groepen, omdat $4$ vijf partities heeft. Gemengde ordes vermenigvuldigen de tellingen priem voor priem (CRT): er zijn $5 \times 2$ abelse groepen van orde $2^4 \cdot 3^2 = 144$ .

3.4 Toepassing: canonieke vormen van endomorfismen

Zij $K$ een lichaam, $V$ een $K$ -vectorruimte van eindige dimensie $n$ , en $u \in \mathcal L(V)$ ; maak $V$ tot een $K[X]$ -module via $P \cdot x = P(u)(x)$ (Voorbeeld 3.2). Deze module is eindig voortgebracht (een $K$ -basis brengt voort) en torsie: voor elke $x$ zijn de $n+1$ vectoren $x, u(x), \dots, u^n(x)$ $K$ -afhankelijk, wat een niet-nulle annulerende veelterm levert.

Definitie 3.15

Voor $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ monisch is de begeleidende matrix

C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} :

de matrix van “vermenigvuldiging met $X$ ” op $K[X]/(P)$ in de basis $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$ .

Stelling 3.16 (Frobenius: rationale canonieke vorm)

Er is een unieke rij monische niet-constante veeltermen $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (de similariteitsinvarianten van $u$ ) zodanig dat, als $K[X]$ -modulen,

V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):

in een geschikte basis heeft $u$ blokdiagonale matrix $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$ . Bovendien:

$P_s = \mu_u$ (minimale veelterm) en $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (karakteristieke veelterm); in het bijzonder $\mu_u \mid \chi_u$ (Cayley–Hamilton opnieuw bewezen) en $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , dus hebben $\chi_u$ en $\mu_u$ dezelfde irreducibele factoren.
Twee endomorfismen (of vierkante matrices) zijn gelijksoortig desda ze dezelfde similariteitsinvarianten hebben.

Bewijs. De structuurstelling (Stelling 3.12) toegepast op de PID $K[X]$ : de torsiemodule $V$ ontbindt met invariante factoren $P_i$ , genormaliseerd monisch (eenheden van $K[X]$ zijn $K^\times$ ); geen vrij deel treedt op ( $V$ is torsie). Op elke cyclische factor $K[X]/(P_i)$ heeft vermenigvuldiging met $X$ matrix $C_{P_i}$ in de basis van machten van $\bar X$ : basissen aaneenschakelen geeft de blokvorm.

(1) De annihilator van $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ is $(P_1)\cap\dots\cap(P_s) = (P_s)$ (deelbaarheidsketen: $P_s$ is een gemeenschappelijk veelvoud, en de klasse van $1$ in de laatste factor wordt precies door $(P_s)$ gedood): $\mu_u = P_s$ . Voor $\chi_u$ : op een cyclische factor, $\chi_{C_P} = P$ , door inductie op $m = \deg P$ . Ontwikkel $\det(XI_m - C_P)$ langs de eerste rij (waarvan de entries $X$ zijn, dan nullen, dan $a_0$ in de laatste kolom):

\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,

waar $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (zelfde vorm, één maat kleiner) en $L$ driehoekig is met diagonaal $(-1, \dots, -1)$ , dus $\det L = (-1)^{m-1}$ . Door inductie is de eerste term $X\tilde P$ , en de tweede is $a_0$ : het totaal is $X\tilde P + a_0 = P$ (basisgeval $m=1$ : $\det(X + a_0) = P$ ). Determinanten vermenigvuldigen over blokken: $\chi_u = \prod P_i$ . Cayley–Hamilton: $\chi_u \in (\mu_u)$ omdat $P_s$ elke… deelt; omgekeerd deelt elke $P_i$ $P_s$ , dus deelt $\chi_u = \prod P_i$ $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ ; en $\mu_u = P_s$ deelt $\chi_u$ als één van haar factoren.

(2) Gelijksoortige endomorfismen zijn geconjugeerde modulestructuren, hebben dus gelijke invarianten (uniciteit in Stelling 3.12); omgekeerd geven gelijke invarianten isomorfe $K[X]$ -modulen, en een module-isomorfisme is precies een lineaire bijectie die de twee endomorfismen vervlecht: een similariteit. ∎

Gevolg 3.17 (Similariteit is ongevoelig voor lichaamsuitbreiding)

Zij $K \subseteq L$ lichamen en $M, N \in M_n(K)$ . Als $M$ en $N$ gelijksoortig over $L$ zijn, zijn ze dat over $K$ .

Bewijs. De similariteitsinvarianten van $M$ worden berekend door de minorformule van Smith (Stelling 3.8) toegepast op de presentatiematrix $XI_n - M$ over $K[X]$ — immers de $K[X]$ -module $V_M = K^n$ heeft presentatie $XI_n - M$ : de afbeelding $K[X]^n \to V_M$ , $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$ , is surjectief met kern voortgebracht door de kolommen van $XI_n - M$ (directe verificatie: modulo die kolommen reduceert elk element van $K[X]^n$ tot een constante vector, en constante vectoren beelden bijectief af; het weekendprobleem werkt dit uit). Ggd’s van veeltermen veranderen niet onder lichaamsuitbreiding: als $d$ de monische ggd in $K[X]$ is van een familie $(f_j)$ , geeft Bézout $d = \sum u_jf_j$ met $u_j \in K[X]$ , dus deelt elke gemeenschappelijke deler van de $f_j$ in $L[X]$ $d$ ; omdat $d$ zelf een gemeenschappelijke deler is, is ze de ggd in $L[X]$ ook. Dus zijn de invariante factoren van $XI_n - M$ , quotiënten van opeenvolgende minor-ggd’s, dezelfde over $K$ en over $L$ : $M, N$ hebben dezelfde similariteitsinvarianten over $L$ desda over $K$ ; besluit door Stelling 3.16(2). ∎

Stelling 3.18 (Jordaanse vorm, opnieuw afgeleid)

Stel dat $\chi_u$ over $K$ splitst (bijv. $K = \C$ ). Op $V$ de elementaire-delers-ontbinding toepassen (bewijs van Stelling 3.12) in plaats van invariante factoren:

V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),

en in de basis $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ van elke factor werkt $u$ als het Jordaanse blok $J_k(\lambda)$ : elk endomorfisme met gesplitste karakteristieke veelterm heeft een Jordaanse basis, en de multiset van blokken $(\lambda, k)$ is uniek.

Bewijs. De elementaire delers van de torsiemodule $V$ zijn de $(X - \lambda)^k$ met $X - \lambda$ lopend over de irreducibele factoren van $\mu_u$ (die splitst, omdat $\chi_u$ dat doet en beide dezelfde irreducibele factoren hebben, Stelling 3.16). In $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ , stel $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ voor $j = 1, \dots, k$ : dan $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (met $f_0 = 0$ ), d.w.z. $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$ : de matrix van $u$ op $(f_1, \dots, f_k)$ is precies $J_k(\lambda)$ (enen boven de diagonaal). Uniciteit van de multiset van elementaire delers is Stelling 3.12. ∎

Opmerking 3.19

De hiërarchie van canonieke vormen is nu doorzichtig: de rationale vorm bestaat over elk lichaam en detecteert similariteit absoluut (Gevolg 3.17); de Jordaanse vorm is haar verfijning wanneer $\chi_u$ splitst. De dimensietellende bewijzen van de stelling van Jordan uit Jaar 2 zijn ondergebracht: alle combinatoriek was de rekenkunde van de PID $K[X]$ .

3.5 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

(a) Toon dat $\Q$ niet eindig voortgebracht is als $\Z$ -module. (b) Toon dat $\Q$ torsievrij maar niet vrij is. (c) Waarom spreekt geen van beide uitspraken Stelling 3.12 tegen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

(a) Als $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$ , zij $d$ een gemeenschappelijke noemer van de $q_i$ : elke combinatie ligt in $\frac1d\Z$ , maar $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$ . Tegenspraak.

(b) Torsievrij: $nq = 0$ met $n \neq 0$ dwingt $q = 0$ in $\Q$ . Niet vrij: twee niet-nulle rationalen $\frac ab, \frac cd$ vervullen de niet-triviale relatie $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$ , dus heeft een basis hoogstens één element; $\Q \cong \Z$ zou $\Q = \Z q$ cyclisch maken, maar $\frac q2 \notin \Z q$ . (En $\Q \neq 0$ .)

(c) Stelling 3.12 neemt eindige voortbrenging aan, die (a) ontkent: geen tegenspraak — eerder toont $\Q$ dat de hypothese noodzakelijk is in de uitspraak “torsievrij $\Rightarrow$ vrij”.

Oefening 3.2 ★

Som de abelse groepen van orde $360$ op tot op isomorfie, in zowel elementaire-delers- als invariante-factoren-vorm. Hoeveel abelse groepen van orde $p^5$ zijn er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$ . Partities: van $3$ : $(3), (2,1), (1,1,1)$ ; van $2$ : $(2), (1,1)$ ; van $1$ : $(1)$ . Dus $3 \times 2 \times 1 = 6$ groepen. Elementaire delers $\to$ invariante factoren:

$\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/360$
$\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/3 \times \Z/120$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/180$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/6 \times \Z/60$
$(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$
$(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$

(Om naar invariante factoren te gaan: de grootste $d_s$ verzamelt de hoogste priemmacht van elk priem, enzovoort naar beneden.) Van orde $p^5$ : evenveel als partities van $5$ , namelijk $7$ .

Oefening 3.3 ★

Bereken de normaalvorm van Smith over $\Z$ van

B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix},

en identificeer de abelse groepen $\Z^2/B\Z^2$ en $\Z^3/C\Z^3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

$B$ : $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ ; $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$ . Invariante factoren $d_1 = 2$ , $d_2 = 8/2 = 4$ : Smithvorm $\operatorname{diag}(2, 4)$ , en $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$ .

$C$ : diagonaal maar niet Smith ( $2 \nmid 3$ ). $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$ ; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$ ; $D_3 = 72$ . Dus $d = (1, 6, 12)$ en $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — consistent met de CRT: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$ .

Oefening 3.4 ★★

Zij $L \subseteq \Z^n$ een deelgroep van rang $n$ met basis de kolommen van $B \in M_n(\Z)$ , $\det B \neq 0$ . Toon dat $\Z^n/L$ eindig is van kardinaliteit $\abs{\det B}$ , en dat $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ voor de invariante factoren $d_i$ van $B$ . Illustreer met $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

Schrijf $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ met $Q, P \in GL_n(\Z)$ (Stelling 3.8; geen nulle $d_i$ omdat $\det B \neq 0$ ). Dan $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (het samengestelde isomorfisme $x \mapsto Q^{-1}x$ van $\Z^n$ beeldt $B\Z^n$ op $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$ af). Haar kardinaliteit is $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$ , omdat $\det Q, \det P = \pm 1$ . Voor $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ : $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ , $D_1 = 1$ , $D_2 = 6$ : $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ , van kardinaliteit $\abs{\det B} = 6$ .

Oefening 3.5 ★★

Zij $A$ een domein. (a) Verifieer dat $T(M)$ een submodule is en dat $M/T(M)$ torsievrij is. (b) Toon dat het ideaal $(X, Y)$ van $K[X,Y]$ , als $K[X,Y]$ -module, torsievrij maar niet vrij is: de structuurstelling heeft de PID-hypothese echt nodig.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

(a) Submodule: gedaan in Definitie 3.11. Als $a(x + T(M)) = 0$ in $M/T(M)$ met $a \neq 0$ , dan $ax \in T(M)$ : $bax = 0$ voor enige $b \neq 0$ , en $ba \neq 0$ (domein), dus $x \in T(M)$ : de klasse is nul. $M/T(M)$ is torsievrij.

(b) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ is torsievrij (een submodule van het domein $K[X,Y]$ werkend op zichzelf). Stel ze was vrij; twee elementen $P, Q$ vervullen $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$ , een niet-triviale relatie wanneer $P \ne Q$ niet-nul zijn, dus heeft een basis één element: $(X, Y) = (P)$ hoofdideaal — in strijd met Oefening 2.6(a). Torsievrij en eindig voortgebracht ( $X, Y$ brengen voort), maar niet vrij: over de non-PID $K[X,Y]$ faalt de structuurstelling.

Oefening 3.6 ★★

(a) Toon dat $2\Z$ geen direct complement in de $\Z$ -module $\Z$ heeft: submodulen van vrije modulen zijn vrij (Stelling 3.5), maar directe sommanden hoeven dat niet te zijn. (b) Toon dat als $M \subseteq A^n$ ( $A$ een PID) vervult: $A^n/M$ is torsievrij, dan is $M$ een directe sommand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

(a) Als $\Z = 2\Z \oplus C$ , beperkt de projectie $\Z \to \Z/2\Z$ tot een isomorfisme $C \cong \Z/2\Z$ : $C$ zou een deelgroep van $\Z$ zijn waarvan het niet-nulle element $x$ $2x \in C \cap 2\Z = 0$ vervult. Maar $\Z$ is torsievrij: $C = 0$ , wat $\Z = 2\Z$ dwingt — vals.

(b) $A^n/M$ is eindig voortgebracht en torsievrij, dus vrij (Stelling 3.12): $A^n/M \cong A^r$ met basis $f_1, \dots, f_r$ . Kies originelen $y_i \in A^n$ van de $f_i$ en stel $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$ . Elk $x \in A^n$ heeft klasse $\sum a_i f_i$ , dus $x - \sum a_i y_i \in M$ : $A^n = M + F$ . De som is direct: als $\sum a_i y_i \in M$ , is de klasse nul, dus alle $a_i = 0$ . Dus $A^n = M \oplus F$ .

Oefening 3.7 ★★

Los in $\Z^2$ het stelsel

\begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases}

op voor welke paren $(b_1, b_2)$ oplossingen bestaan, met de Smithvorm van Oefening 3.3 (inverteerbare variabelenwisselingen aan beide kanten).

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

Met Oefening 3.3: $B$ heeft Smithvorm $\operatorname{diag}(2,4) = Q^{-1}BP^{-1}$ (of equivalent). Het stelsel is $B\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix} \pmod{20}$ , d.w.z. $B \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} - 20\begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}$ . Na basiswisseling $\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix} = P^{-1}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$ en $\begin{pmatrix}b_1'\\ b_2'\end{pmatrix} = Q^{-1}\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}$ wordt het diagonaal: $2x' \equiv b_1' \pmod{20}$ , $4y' \equiv b_2' \pmod{20}$ . Oplosbaar desda $2 \mid b_1'$ en $4 \mid b_2'$ , d.w.z. $\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}$ ligt in $B\Z^2 + 20\Z^2$ . Concreet met $B = \begin{pmatrix}2 & 4\\ 6 & 8\end{pmatrix}$ : de ggd van de $2\times2$ -minoren met $20$ beperkt; oplosbaarheid is equivalent met $2 \mid \gcd(b_1, b_2, 20)$ in de passende zin na Smith — of direct: de rijen van $B$ zijn $(2,4)$ en $(6,8) = 3(2,4) + (0,-4)$ , dus de voorwaarde reduceert tot congruenties op lineaire combinaties van $b_1, b_2$ . Uit Smith $d_1=2, d_2=4$ : na coördinaatwisseling $2 \mid b_1'$ en $4 \mid b_2'$ .

Oefening 3.8 ★★

(a) Bepaal alle similariteitsinvarianten en mogelijke Jordaanse vormen van een nilpotente $4 \times 4$ -matrix, gesorteerd naar de partitie van $4$ die ze realiseren. (b) Vertoon twee $4\times4$ complexe matrices met dezelfde karakteristieke en minimale veeltermen die niet gelijksoortig zijn, en bewijs dat voor $n \leq 3$ dit niet kan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

(a) Nilpotente $4\times4$ : $\chi_u = X^4$ , $\mu_u = X^k$ met $k \leq 4$ . Partities van $4$ en hun invariante factoren / Jordaanse vormen:

$(4)$ : $\mu = X^4$ , één blok $J_4(0)$ ; invarianten $P_1 = X^4$ .
$(3,1)$ : $\mu = X^3$ , blokken $J_3, J_1$ ; invarianten $X \mid X^3$ .
$(2,2)$ : $\mu = X^2$ , twee $J_2$ ; invarianten $X^2 \mid X^2$ .
$(2,1,1)$ : $\mu = X^2$ , één $J_2$ en twee $J_1$ ; invarianten $X \mid X \mid X^2$ .
$(1,1,1,1)$ : $\mu = X$ , vier $J_1$ (nulmatrix); invarianten $X \mid X \mid X \mid X$ .

(b) Over $\C$ , $\chi = X^4$ , $\mu = X^2$ : mogelijke partities $(2,2)$ en $(2,1,1)$ — twee niet-gelijksoortige klassen met dezelfde $\chi$ en $\mu$ . Voor $n \leq 3$ : de partities van $n$ met gegeven grootste deel $k = \deg\mu$ en som $n$ zijn uniek bepaald wanneer $n \leq 3$ (voor $n=3$ , $\mu=X^2$ : alleen $(2,1)$ ; voor $\mu=X^3$ : alleen $(3)$ ; voor $\mu=X$ : alleen $(1,1,1)$ ).

Oefening 3.9 ★★★

Zij $u \in \mathcal L(V)$ , $\dim V = n$ . Toon dat de volgende equivalent zijn: (i) $V$ is een cyclische $K[X]$ -module (er is $x$ met $V = K[u]x$ , een cyclische vector); (ii) $\mu_u = \chi_u$ ; (iii) $s = 1$ in Stelling 3.16. Leid af dat een begeleidende matrix een cyclische vector heeft, en bepaal wanneer een diagonale matrix er één heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

(i) $\Rightarrow$ (iii): $V \cong K[X]/(P)$ cyclisch dwingt $s=1$ in de structuurstelling. (iii) $\Rightarrow$ (ii): met $s=1$ , $P_1 = \mu_u = \chi_u$ . (ii) $\Rightarrow$ (i): $\deg\mu_u = n = \dim V$ dwingt dat de cyclische deelruimte $K[u]x$ voor een vector met annihilator $(\mu_u)$ dimensie $n$ heeft: $V = K[u]x$ . Begeleidende matrix: per constructie cyclisch (basis $1, \bar X, \dots$ ). Diagonaal: cyclisch desda $\mu = \chi$ , d.w.z. alle diagonaalentries onderscheiden (minimale veelterm is product $(X-\lambda_i)$ zonder herhaling, karakteristieke is hetzelfde).

Oefening 3.10 ★★★

Voor $M \in M_n(\Z)$ gezien als endomorfisme van $\Z^n$ , bewijs de indexformule: als $\det M \ne 0$ , dan $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$ , en leid af dat $M \in GL_n(\Z)$ desda $\det M = \pm 1$ . Toepassing: de groep $\Z^2$ heeft precies $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ deelgroepen van index $m$ . (Tel matrices in Hermitevorm $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ , $ad = m$ , $0 \leq b < d$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

Smith: $M = Q\,\operatorname{diag}(d_i)\,P$ met $Q,P \in GL_n(\Z)$ ; $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$ (Oefening 3.4). Dus $M \in GL_n(\Z)$ desda de index $1$ is desda $\abs{\det M} = 1$ .

Deelgroepen van index $m$ in $\Z^2$ : equivalent met surjecties $\Z^2 \to \Z/m\Z$ tot op automorfismen, of Hermitevorm: matrices $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ met $ad = m$ , $a > 0$ , $d > 0$ , $0 \leq b < d$ . Voor elke deler $d \mid m$ , $a = m/d$ , en $b$ heeft $d$ keuzes: totaal $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$ .

Oefening 3.11 ★★

(Vergelijkingen $x^k = e$ in abelse groepen) Zij $G$ een eindige abelse groep met invariante factoren $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$ . (a) Toon dat voor elke $k \geq 1$ ,

\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .

(b) Leid af: een eindige abelse groep is cyclisch desda voor elke $k$ de vergelijking $x^k = e$ hoogstens $k$ oplossingen heeft. (c) Herwin de cycliciteit van eindige deelgroepen van $K^\times$ ( $K$ een lichaam, Hoofdstuk 4): waarom garandeert de veelterm $X^k - 1$ het criterium van (b)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.11.

(a) $G \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ ; $x^k = e$ componentgewijs: in $\Z/d_i\Z$ heeft $kx \equiv 0 \pmod{d_i}$ precies $\gcd(k, d_i)$ oplossingen. Product over $i$ .

(b) Als $G$ cyclisch van orde $n$ : $\#\{x : x^k = e\} = \gcd(k,n) \leq k$ . Omgekeerd, als $G$ niet cyclisch is, heeft ze minstens twee invariante factoren $d_1 \mid d_2$ met $d_1 > 1$ ; neem $k = d_1$ : dan $\prod \gcd(d_1, d_i) \geq d_1 \cdot d_1 = d_1^2 > d_1 = k$ (omdat $d_1 \mid d_i$ voor alle $i$ , en $s \geq 2$ ).

(c) In $K^\times$ heeft $X^k - 1$ hoogstens $k$ wortels: de vergelijking $x^k = 1$ heeft $\leq k$ oplossingen in elke deelgroep. Door (b) is elke eindige deelgroep cyclisch.

Oefening 3.12 ★★★

(Elementaire matrices brengen voort) (a) Toon dat $M \in M_n(\Z)$ inverteerbaar is in $M_n(\Z)$ desda $\det M = \pm1$ . (b) Toon dat $SL_2(\Z)$ wordt voortgebracht door de twee elementaire matrices $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ en $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . (Voer het Euclidische algoritme uit op de eerste kolom van $M \in SL_2(\Z)$ door linkervermenigvuldigingen met machten van $E, F$ , bereikend $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ ; maak af met de hand — noteer $-I = (EF^{-1}E)^2$ .) (c) Verklaar het verband met Smithreductie: over $\Z$ volstaan rij- en kolomoperaties van determinant $1$ om te diagonaliseren, tot op tekens.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.12.

(a) Als $M$ inverteerbaar is in $M_n(\Z)$ , is $\det M \in \Z^\times = \{\pm1\}$ . Omgekeerd, als $\det M = \pm1$ , is de adjunctmatrix geheeltallig en $M^{-1} = (\det M)^{-1} \operatorname{adj} M \in M_n(\Z)$ .

(b) Zij $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$ . Euclidisch algoritme op $(a,c)$ : linkervermenigvuldiging met $E^{\pm1}$ of $F^{\pm1}$ vervangt $a \leftarrow a \pm c$ of $c \leftarrow c \pm a$ . Herhalen tot $c = 0$ : dan $ad = 1$ , dus $a = d = \pm1$ . Als $a = -1$ : $-I = (EF^{-1}E)^2$ corrigeert. Dan is $M$ van de vorm $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr) = \pm E^{*}$ .

(c) Smithreductie over $\Z$ gebruikt elementaire operaties (rijen/kolommen optellen, verwisselen, teken wisselen) van determinant $\pm1$ : precies $GL_n(\Z)$ -actie, voortgebracht voor $n=2$ door $E, F$ en diagonalen $\pm1$ .

3.6 Probleem: de commutant en de dubbele commutant

Probleem 3.1

Weekendprobleem — rationale vorm, commutant, bicommutant

Zij $K$ een lichaam, $V$ een $K$ -vectorruimte van dimensie $n \geq 1$ , en $u \in \mathcal L(V)$ . We bestuderen de commutant

\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},

een subalgebra van $\mathcal L(V)$ die $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$ bevat, en bewijzen de dimensieformule van Frobenius en de dubbele-commutantstelling: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ . Overal is $V$ de $K[X]$ -module gedefinieerd door $u$ , met invariante factoren $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ en cyclische ontbinding $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$ , $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$ , $n_i = \deg P_i$ (Stelling 3.16).

Deel I — De presentatiematrix $XI - M$ , en opwarmingen.

Zij $M \in M_n(K)$ en zij $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ de afbeelding die $(Q_1, \dots, Q_n)$ naar $\sum_i Q_i(M)e_i$ stuurt. Toon dat $\varphi$ een surjectief morfisme van $K[X]$ -modulen is en dat elke kolom van $XI_n - M$ in $\ker\varphi$ ligt.
Toon dat, modulo de kolommen van $XI_n - M$ , elk element van $K[X]^n$ congruent is met een constante vector (reduceer graden met $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$ ), en leid af $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : de module $V_M$ heeft presentatiematrix $XI_n - M$ . Herwin het startpunt van Gevolg 3.17: de similariteitsinvarianten van $M$ zijn de niet-eenheids invariante factoren van $XI_n - M$ .
Bereken de similariteitsinvarianten van: een scalaire matrix $\lambda I_n$ ; een diagonale matrix met onderscheiden diagonaalentries; het $n \times n$ Jordaanse blok $J_n(0)$ ; $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ voor $n = 3$ .
Toon dat $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ .

Deel II — Morfismen tussen cyclische modulen.

Zij $P, Q$ monisch niet-constant. Toon dat een $K[X]$ -morfisme $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ bepaald is door $f(\bar 1)$ , en dat $\bar c \in K[X]/(Q)$ als $f(\bar 1)$ kan dienen desda $P\bar c = 0$ in $K[X]/(Q)$ .
Leid af

$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$

van dimensie $\deg \gcd(P, Q)$ over $K$ . (Toon dat de oplossingen $\bar c$ van $P\bar c = 0$ in $K[X]/(Q)$ de cyclische submodule voortgebracht door $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ vormen.)
Bewijs de formule van Frobenius:

$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$

(Een commuterende $v$ is precies een $K[X]$ -endomorfisme van $V$ ; ontbind $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ als matrices van morfismen $V_j \to V_i$ en gebruik de deelbaarheidsketen.)
Leid af $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , met gelijkheid desda $u$ cyclisch is ( $s = 1$ ), en bereken $\dim\mathcal C(u)$ voor $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : beide extremen van de formule.
Verifieer de formule van Frobenius direct voor $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ door de commutant expliciet als $3\times3$ -matrices te berekenen.

Deel III — De dubbele-commutantstelling. Zij $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ ; we bewijzen $w \in K[u]$ .

Toon $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ , en dat elke $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ met $u$ commuteert — dus is de te bewijzen inclusie, $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , een echte verscherping van $w \in \mathcal C(u)$ .
Stel eerst dat $u$ cyclisch is, $V = K[u]x$ . Toon direct dat $\mathcal C(u) = K[u]$ (evalueer een commuterende $v$ op $x$ : $v(x) = P(u)x$ voor enige $P$ , en vergelijk $v$ met $P(u)$ op de basis $u^k x$ ), en concludeer de stelling in dit geval.
Terug naar het algemene geval. Voor elke $i$ , zij $\pi_i\colon V \to V_i$ de projectie langs de andere sommanden. Toon $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , en leid af dat $w$ elke $V_i$ bewaart en commuteert met $u_i = u\restriction_{V_i}$ ; concludeer via vraag 11 toegepast op de cyclische $u_i$ : er zijn veeltermen $Q_i$ met $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ .
Het blijft de $Q_i$ tot één veelterm te lijmen. Voor $i \leq j$ (dus $P_i \mid P_j$ ), toon dat $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , een welgedefinieerd $K[X]$ -morfisme is (wat gecontroleerd moet worden is dat $R(u)x_j = 0$ $R(u)x_i = 0$ impliceert), en dat $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , uitgebreid met $0$ op de andere sommanden, in $\mathcal C(u)$ ligt.
Met $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ , toon $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ voor $i \leq j$ . Leid af dat $Q = Q_s$ $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ voor alle $i$ vervult, dus $w = Q(u)$ op elke $V_i$ , dus op $V$ :

$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$
(Coda) Leid uit de stelling af: als $v$ commuteert met elke matrix die met $u$ commuteert, en $u$ cyclisch is, dan is $v$ een veelterm in $u$ ; en geef een voorbeeld dat $\mathcal C(u) = K[u]$ faalt voor $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ — waar precies treedt cycliciteit binnen?

Deel IV — Dividenden van de similariteitsinvarianten. De rationale canonieke vorm is een machine; hier zijn vijf van haar klassieke outputs.

(Getransponeerde) Toon dat elke $M \in M_n(K)$ gelijksoortig is met haar getransponeerde ${}^tM$ . (De operaties die $XI - M$ naar Smithvorm brengen, getransponeerd, brengen $XI - {}^tM$ naar dezelfde Smithvorm: gelijke similariteitsinvarianten.)
(Daling van similariteit) Zij $K \subseteq L$ een lichaamsuitbreiding en $M, N \in M_n(K)$ . Toon dat als $M$ en $N$ gelijksoortig over $L$ zijn, ze dat over $K$ zijn. (De Smithvorm van $XI - M$ berekend in $K[X]$ is nog een Smithvorm in $L[X]$ — waarom veranderen de invariante factoren niet?) Gevolg om te onthouden: twee reële matrices geconjugeerd in $GL_n(\C)$ zijn geconjugeerd in $GL_n(\R)$ .
(Nilpotente classificatie) Zij $u$ nilpotent. Toon dat het aantal blokken van grootte $\geq k$ in haar ontbinding in nilpotente Jordaanse blokken gelijk is aan $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , en leid af: nilpotente klassen van $M_n(K)$ , voor elk lichaam $K$ , zijn in bijectie met de partities van $n$ . Hoeveel nilpotente klassen in $M_5(K)$ ?
(Een concreet paar) Bepaal de similariteitsinvarianten van de afgeleide $D\colon P \mapsto P'$ werkend op de ruimte $K_{n-1}[X]$ van veeltermen van graad $< n$ : (a) voor $K = \Q$ ; (b) voor $K = \mathbb F_p$ met $p < n$ (in karakteristiek $p$ , $(X^p)' = 0$ : bereken $\ker D^k$ en gebruik vraag 18).
(Conjugatieklassen van $GL_2(\mathbb F_q)$ ) Toon met invariante factoren dat elke klasse van $GL_2(\mathbb F_q)$ precies van één van vier types is: centraal $aI$ ; diagonaliseerbaar met twee onderscheiden eigenwaarden $a \neq b$ in $\mathbb F_q^\times$ ; niet-semisimple met minimale veelterm $(X - a)^2$ ; cyclisch met irreducibele karakteristieke veelterm.
Tel de klassen van elk type en concludeer: $GL_2(\mathbb F_q)$ heeft precies $q^2 - 1$ conjugatieklassen. (Tel monische irreducibele kwadratische over $\mathbb F_q$ ; ongeordende paren $\{a, b\}$ ; onthoud dat inverteerbaarheid constante termen beperkt.)
(Cyclisch is generiek) Toon dat $M \in M_2(\mathbb F_q)$ faalt cyclisch te zijn desda $M$ scalair is, en leid af dat een uniform willekeurige $2\times2$ -matrix over $\mathbb F_q$ cyclisch is met waarschijnlijkheid $1 - q^{-3}$ . Formuleer de analoge heuristiek voor $M_n$ en grote $q$ (geen bewijs vereist): niet-cyclische matrices zijn zeldzaam — daarom had Deel III van Probleem 3.1 echt werk alleen nodig voorbij het generieke geval.

Deel V — Complementen.

(Centrum van de commutant) Toon dat het centrum van de algebra $\mathcal C(u)$ precies $K[u]$ is (combineer de twee inclusies van Deel III). Leid af dat $\mathcal C(u)$ commutatief is desda $u$ cyclisch is — het gelijkheidsgeval van vraag 8 herwinnend via een puur structurele route.
(Welke dimensies komen voor?) Leid uit de formule van Frobenius af dat $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ voor elke $u$ . Bepaal dan de exacte verzameling van waarden die $\dim \mathcal C(u)$ aanneemt als $u$ over $\mathcal L(V)$ met $\dim V = 4$ loopt: toon dat ze $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ is (enumereer de graadsequenties $n_1 \leq \dots \leq n_s$ die tot $4$ sommeren en realiseer elk door een nilpotente). In het bijzonder worden $12$ en $14$ , hoewel van de juiste pariteit, niet bereikt: de pariteitsbeperking is noodzakelijk maar niet voldoende.
(Klassevergelijking van $GL_2(\mathbb F_3)$ ) Voor $q = 3$ , bereken de grootte van elke conjugatieklasse van vraag 20 via baan–stabilisator: de centralisator van een cyclische $M$ in $GL_2(\mathbb F_q)$ is de eenheidsgroep van $K[M]$ (vraag 11). Identificeer $K[M]$ in de drie niet-centrale types, som de drie monische irreducibele kwadratische over $\mathbb F_3$ op, en verifieer de klassevergelijking

$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$

met $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ klassen, zoals voorspeld door vraag 21.

Oplossing

Oplossing van Probleem 3.1.

1. $\varphi$ is additief, en $K[X]$ -lineair: $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$ , de modulestructuur van $V_M$ zijnde $X \cdot v = Mv$ . Ze is surjectief: constante vectoren geven heel $K^n$ . Kolom $j$ van $XI - M$ is $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$ , waarvan het beeld $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$ is.

2. Modulo de kolommen, $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$ : elke vector van veeltermen reduceert, door inductie op de topgraad, tot een constante vector $c \in K^n$ . Als de oorspronkelijke vector in $\ker\varphi$ zit, dan $\varphi(c) = c = 0$ (op constanten is $\varphi$ de identificatie $K^n = V_M$ ), dus ligt de vector in de kolomspan: $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$ . Dus $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$ , en Smith over $K[X]$ (alle invariante factoren niet-nul, hun product is $\det(XI - M) = \chi_M$ ) geeft $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$ : de niet-constante $f_i$ zijn de similariteitsinvarianten, berekenbaar als quotiënten van minor-ggd’s (Stelling 3.8).

3. $\lambda I_n$ : $XI - \lambda I$ is al Smith: invarianten $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$ , $n$ ervan. Onderscheiden diagonaalentries: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ met paarsgewijs comaximale moduli, dus comprimeert CRT tot de unieke cyclische $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ : één invariant, $\chi$ . $J_n(0)$ : $\mu = X^n = \chi$ dwingt één invariant $X^n$ . $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ : elementaire delers $X^2, X$ : invarianten $P_1 = X \mid P_2 = X^2$ .

4. $P \mapsto P(u)$ beeldt $K[X]$ op $K[u]$ af, met kern $(\mu_u)$ per definitie van de minimale veelterm: $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$ , van dimensie $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$ .

5. $K[X]$ -lineariteit dwingt $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$ . De klasse $\bar 1$ vervult $P \bar 1 = 0$ , dus is $P f(\bar 1) = 0$ noodzakelijk. Omgekeerd, als $P\bar c = 0$ , dan is $f(\bar Q) = Q\bar c$ welgedefinieerd ( $Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ veelvouden van $P\bar c = 0$ ) en $K[X]$ -lineair.

6. Zij $g = \gcd(P, Q)$ , $P = gP'$ , $Q = gQ'$ met $\gcd(P', Q') = 1$ . In $K[X]/(Q)$ : $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (Euclides, $\gcd(P', Q') = 1$ ). Dus vormen de toelaatbare $\bar c$ de submodule voortgebracht door $\bar{Q'}$ , waarvan de annihilator $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ is: die submodule is $\cong K[X]/(g)$ . Met vraag 5, $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$ , van dimensie $\deg\gcd(P,Q)$ .

7. $v$ commuteert met $u$ desda $v$ commuteert met elke $P(u)$ , desda $v$ $K[X]$ -lineair is: $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$ . Morfismen van $V = \bigoplus_j V_j$ schrijvend als matrices $(f_{ij})$ , $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (samenstellen met injecties en projecties), geeft vraag 6

\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,

met de deelbaarheidsketen ( $\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$ ) en, voor de laatste stap, dat $\min(i,j) = k$ precies voor $2(s - k) + 1$ paren $(i, j)$ voorkomt.

8. Omdat $2(s-k)+1 \geq 1$ , $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$ , met gelijkheid desda $s = 1$ , d.w.z. desda $u$ cyclisch is (Oefening 3.9). Voor $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : $s = n$ , alle $n_k = 1$ : $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — correct, want $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$ .

9. Formule: invarianten $(X, X^2)$ , dus $s = 2$ , $n_1 = 1$ , $n_2 = 2$ : $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$ . Direct: in de basis $(e_1, e_2, e_3)$ met $u e_2 = e_1$ , $ue_1 = ue_3 = 0$ , levert $Au = uA$ voor $A = (a_{ij})$ de voorwaarden $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ en $a_{11} = a_{22}$ : vijf vrije parameters $a_{11}{=} a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$ .

10. Een veelterm $P(u)$ commuteert met alles wat met $u$ commuteert (ze is een som van machten van $u$ ): $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ . En $u \in \mathcal C(u)$ , dus commuteert elke $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ met $u$ .

11. Zij $V = K[u]x$ en $v \in \mathcal C(u)$ . Schrijf $v(x) = P(u)x$ (cycliciteit). Voor $y = Q(u)x$ willekeurig: $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$ . Dus $v = P(u)$ : $\mathcal C(u) = K[u]$ . Dan $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (commutereren met heel $K[u]$ is hetzelfde als commutereren met $u$ ). De stelling geldt in het cyclische geval.

12. $\pi_i$ is $K[X]$ -lineair (de ontbinding is een directe som van submodulen), dus $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , en $w$ commuteert ermee: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$ . De beperking $w_i = w\restriction_{V_i}$ commuteert met de cyclische $u_i = u\restriction_{V_i}$ (vraag 10), en $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (vraag 11): $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ voor enige $Q_i \in K[X]$ .

13. Welgedefinieerdheid van $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ : als $R(u)x_j = 0$ dan $P_j \mid R$ , en $P_i \mid P_j$ geeft $P_i \mid R$ , dus $R(u)x_i = 0$ ( $\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$ ). $\eta_{ij}$ is dan $K[X]$ -lineair per constructie, en $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ is een samenstelling van $K[X]$ -morfismen $V \to V$ : $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$ .

14. Evalueer $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ in $x_j$ : de linkerkant is $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ ; de rechterkant is $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$ . Dus $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$ : $P_i \mid Q_i - Q_j$ voor alle $i \leq j$ . In het bijzonder, met $Q = Q_s$ : $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$ , dus stemmen $Q(u)$ en $Q_i(u)$ overeen op $V_i$ (die $P_i(u)$ doodt). Daarom $w = Q(u)$ op elke $V_i$ , dus op $V$ : $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , en met vraag 10, $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ .

15. De eerste bewering is vragen 10–14 (of, voor cyclische $u$ , alleen vraag 11). Voor $u = \mathrm{id}$ , $n \geq 2$ : $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ heeft dimensie $n^2$ , terwijl $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$ . Dus faalt $\mathcal C(u) = K[u]$ hard; toch geldt de bicommutantstelling ( $\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$ : het centrum van de matrixalgebra is de scalairen). Cycliciteit is wat de enkele commutant al veeltermig maakt; de dubbele commutant is altijd veeltermig.

16. Als $P(XI - M)Q = S$ een Smithreductie is ( $P, Q$ inverteerbaar over $K[X]$ ), geeft transponeren ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$ : dezelfde Smithvorm, dus hebben $XI - M$ en $XI - {}^tM$ dezelfde invariante factoren, d.w.z. $M$ en ${}^tM$ hebben dezelfde similariteitsinvarianten (Gevolg 3.17): ze zijn gelijksoortig.

17. De similariteitsinvarianten van $M$ over $L$ zijn de invariante factoren van $XI - M$ in $L[X]$ . Een Smithreductie van $XI - M$ over $K[X]$ — inverteerbare $P, Q$ over $K[X]$ , diagonaal met de deelbaarheidsketen — is ook een geldige Smithreductie over $L[X]$ ( $P, Q$ blijven inverteerbaar: hun determinanten zijn niet-nulle constanten), en monische invariante factoren zijn uniek: de over $K$ en over $L$ berekende invariante factoren vallen samen. Dus $M \sim_L N$ desda ze dezelfde invariante factoren hebben desda $M \sim_K N$ . In het bijzonder zijn $\C$ -geconjugeerde reële matrices $\R$ -geconjugeerd — een uitspraak vaak analytisch bewezen (specialiseer een inverteerbare $P + \iu Q$ ), hier structureel.

18. Ontbind $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ in nilpotente Jordaanse blokken. In één blok van grootte $m$ , $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$ , dus $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ als $m \geq k$ , $0$ anders. Sommeren over blokken: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$ . De rangsequentie bepaalt dus de multiset $(m_t)$ — een partitie van $n$ — en omgekeerd wordt elke partitie gerealiseerd: nilpotente klassen $\leftrightarrow$ partities van $n$ , over elk lichaam. $M_5$ : $p(5) = 7$ klassen ( $5$ ; $4{+}1$ ; $3{+}2$ ; $3{+}1{+}1$ ; $2{+}2{+}1$ ; $2{+}1{+}1{+}1$ ; $1^5$ ).

19. (a) Over $\Q$ (of elk lichaam van karakteristiek $0$ ), $D^n = 0$ , $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$ : $D$ is nilpotent van index $n$ op een $n$ -dimensionale ruimte, dus cyclisch met enkele invariant $X^n$ ( $x = X^{n-1}$ brengt voort: haar geïtereerde afgeleiden spannen). (b) Over $\mathbb F_p$ met $p < n$ : $D^p = 0$ , omdat de $p$ -de afgeleide van elke monoom $X^m$ de factor $m(m-1)\cdots(m-p+1)$ draagt, een product van $p$ opeenvolgende gehele getallen, dus $\equiv 0 \bmod p$ . Schrijf $n = ap + r$ , $0 \leq r < p$ . Dan wordt $\ker D^k$ opgespannen door de monomen $X^m$ met $D^kX^m = 0$ ; exponenten $m < n$ tellend naar hun rest mod $p$ : $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ voor $0 \leq k \leq p$ , dus $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$ . Door vraag 18 heeft de partitie $a$ blokken van grootte precies $p$ en (als $r > 0$ ) één blok van grootte $r$ : similariteitsinvarianten $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$ . Karakteristiek verandert de canonieke vorm van de meest vertrouwde operator in de wiskunde.

20. $M \in GL_2$ heeft $s \in \{1, 2\}$ invariante factoren. Als $s = 2$ : $P_1 = P_2 = X - a$ ( $a \neq 0$ : inverteerbaarheid), d.w.z. $M = aI$ , centraal. Als $s = 1$ : $M$ is cyclisch met karakteristieke $=$ minimale veelterm $\chi$ van graad $2$ , en de klassen corresponderen met de mogelijke $\chi$ met $\chi(0) \neq 0$ : $\chi$ gesplitst met onderscheiden wortels $a \neq b$ (begeleidende $\sim$ diagonaal); $\chi = (X - a)^2$ (begeleidende, niet-semisimple); $\chi$ irreducibel. Precies één type elk — de invariante factoren zijn een complete invariant.

21. Centraal: $q - 1$ keuzes van $a$ . Onderscheiden gesplitste eigenwaarden: ongeordende paren $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ , $a \neq b$ : $\binom{q-1}2$ klassen. Minimale $(X-a)^2$ : $q - 1$ klassen. Irreducibele kwadratische met niet-nulle constante term: alle irreducibele kwadratische kwalificeren (hun wortels zijn niet-nul), en er zijn $\frac{q^2 - q}2$ monische irreducibele kwadratische (de $q^2$ monische kwadratische minus de $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ gesplitste). Totaal:

(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 .

22. Als $M$ niet cyclisch is, $s = 2$ en $M$ is scalair (de dichotomie van vraag 20 geldt in $M_2$ , inverteerbaar of niet: twee invariante factoren van graad $1$ met $P_1 \mid P_2$ en $P_1 = P_2$ dwingt $M = aI$ ). Scalairen tellen $q$ onder de $q^4$ matrices: cyclische kans $1 - q^{-3}$ . In het algemeen is de niet-cyclische locus van $M_n$ waar de $(n-1)\times(n-1)$ -minoren van $XI - M$ een factor delen — een eigenlijke algebraïsche voorwaarde — dus is haar proportie $O(1/q)$ -klein voor grote $q$ : matrices met $\chi = \mu$ zijn de regel, en het lijmargument van Deel III is de prijs voor de uitzonderingen.

23. Een element van het centrum van $\mathcal C(u)$ ligt in $\mathcal C(u)$ en commuteert met elk element van $\mathcal C(u)$ , d.w.z. ligt in $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (vraag 14). Omgekeerd $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$ , en elke $P(u)$ commuteert met elke $v \in \mathcal C(u)$ (zo’n $v$ commuteert met $u$ , dus met elke macht van $u$ ): $K[u]$ is centraal in $\mathcal C(u)$ . Dus $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ . Bijgevolg is $\mathcal C(u)$ commutatief desda $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ ; in dat geval $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$ , terwijl vraag 8 $\dim\mathcal C(u) \geq n$ geeft: dus $n_s = n$ en $s = 1$ , d.w.z. $u$ is cyclisch. Omgekeerd, voor cyclische $u$ geeft vraag 11 $\mathcal C(u) = K[u]$ , commutatief. Structureel: een matrixalgebra gelijk aan haar eigen centrum is precies een veeltermalgebra $K[u]$ van een cyclische $u$ .

24. Elke coëfficiënt $2s - 2i + 1$ in de formule van Frobenius is oneven, dus

\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .

Voor $n = 4$ zijn de mogelijke graadsequenties $n_1 \leq \dots \leq n_s$ van de invariante factoren, sommerend tot $4$ , gelijk aan $(4)$ , $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(1, 1, 2)$ , $(1, 1, 1, 1)$ ; elke wordt gerealiseerd, bijv. door de nilpotente met $P_i = X^{n_i}$ (de deelbaarheidsketen geldt automatisch). De formule geeft, respectievelijk,

1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .

Dus is de waardenverzameling $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ : even getallen van de juiste pariteit, maar $12$ en $14$ komen nooit voor — tussen de bijna-cyclische sequenties en de $n^2$ van de scalair zit een gat.

25. $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$ . Centraal type: $I$ en $2I$ , twee klassen van grootte $1$ . In de drie andere types is $M$ cyclisch (vraag 20), dus is haar centralisator in $GL_2$ de groep van inverteerbare elementen van $\mathcal C(M) = K[M]$ (vraag 11), en klassegrootte $=48/\abs{K[M]^\times}$ door baan–stabilisator. Onderscheiden gesplitste eigenwaarden: alleen het paar $\{1, 2\}$ , één klasse; $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (CRT op $\chi = (X-1)(X-2)$ ), eenheden $2 \cdot 2 = 4$ , grootte $48/4 = 12$ . Minimale $(X - a)^2$ , $a \in \{1, 2\}$ : twee klassen; $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$ , eenheden $q^2 - q = 6$ (constante term van de eenheid $\neq 0$ na centreren), grootte $48/6 = 8$ . Irreducibele $\chi$ : de monische irreducibele kwadratische over $\mathbb F_3$ tellen $(9 - 3)/2 = 3$ , namelijk

X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,

(geen wortels in $\mathbb F_3$ : controleer $0, 1, 2$ ); drie klassen, $K[M] \cong \mathbb F_9$ , eenheden $q^2 - 1 = 8$ , grootte $48/8 = 6$ . Klassevergelijking: $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$ ; en $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ klassen, overeenstemmend met vraag 21.