Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

3Modulen over een hoofdideaaldomein

Lineaire algebra over een ring in plaats van over een lichaam: die kleine wijziging in de hypothesen levert een van de grote unificatiestellingen van de algebra op. Een moduul over $\Z$ is een abelse groep; een moduul over $K[X]$ is een vectorruimte met een endomorfisme erop. De structuurstelling voor eindig voortgebrachte modulen over een hoofdideaaldomein classificeert dus in één klap alle eindig voortgebrachte abelse groepen en alle endomorfismen op gelijkvormigheid na — de reductie van Jordan, die in bachelorjaar 2 nog via delicate inducties werd verkregen, valt eruit als gevolg, samen met haar subtielere tegenhanger, de rationale normaalvorm, geldig over elk lichaam. De rekenmotor is de normaalvorm van Smith, een matrixrekenkunde die Euclides waardig is.

Overal is $A$ een commutatieve ring, weldra een hoofdideaaldomein; “moduul” betekent $A$ -moduul.

3.1 Modulen, vrije modulen

Definitie 3.1

Een $A$ -moduul is een abelse groep $(M, +)$ met een scalaire vermenigvuldiging $A \times M \to M$ die aan de axioma’s van een vectorruimte voldoet: $a(x + y) = ax + ay$ , $(a + b)x = ax + bx$ , $(ab)x = a(bx)$ en $1x = x$ . Deelmodulen, quotiënten $M/N$ , morfismen ( $A$ -lineaire afbeeldingen), directe sommen $\bigoplus_i M_i$ en de isomorfiestellingen worden woord voor woord gedefinieerd en bewezen zoals voor vectorruimten en abelse groepen; in het bijzonder is $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ voor een morfisme $f$ .

Voorbeeld 3.2

De drie motiverende gevallen.

$A = K$ een lichaam: modulen zijn vectorruimten.
$A = \Z$ : modulen zijn precies de abelse groepen ( $nx$ is gedwongen $x + \dots + x$ ), deelmodulen zijn deelgroepen.
$A = K[X]$ : een moduul is een $K$ -vectorruimte $V$ samen met de $K$ -lineaire afbeelding $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — en omgekeerd wordt elk paar $(V, u)$ met $u \in \mathcal L(V)$ een $K[X]$ -moduul via $P \cdot x = P(u)(x)$ . De deelmodulen zijn precies de $u$ -invariante deelruimten.

Een ideaal van $A$ is precies een deelmoduul van $A$ ; een quotiëntring $A/I$ is een $A$ -moduul. Anders dan vectorruimten kunnen modulen torsie hebben: in $\Z/6\Z$ wordt het element $\bar 3 \ne 0$ vernietigd door $2 \neq 0$ .

Definitie 3.3

$M$ heet eindig voortgebracht als $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ voor zekere $x_i$ . En $M$ heet vrij van rang $n$ als $M \cong A^n$ , dat wil zeggen als het een basis heeft (een voortbrengende familie die $A$ -lineair onafhankelijk is). Elk eindig voortgebracht $M$ is een quotiënt van een vrij moduul: $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ beeldt $A^n$ af op $M$ .

Propositie 3.4 (Invariantie van de rang)

Is $A \neq 0$ en $A^m \cong A^n$ , dan is $m = n$ .

Bewijs. Kies een maximaal ideaal $\mathfrak m$ van $A$ (Stelling 2.8) en stel $k = A/\mathfrak m$ , een lichaam. Een isomorfisme $f \colon A^m \to A^n$ beeldt $\mathfrak m A^m$ in $\mathfrak m A^n$ af (lineariteit) en induceert dus een isomorfisme van de quotiënten

A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad k^m \cong k^n

als $k$ -vectorruimten (het quotiënt $A^m/\mathfrak m A^m$ wordt door $\mathfrak m$ vernietigd, dus factoriseert de $A$ -werking over $k$ ; de beelden van de standaardbasis vormen een $k$ -basis). De dimensietheorie over het lichaam $k$ geeft $m = n$ . ∎

Stelling 3.5 (Deelmodulen van vrije modulen)

Zij $A$ een hoofdideaaldomein en $M \subseteq A^n$ een deelmoduul. Dan is $M$ vrij van rang $\leq n$ .

Bewijs. Inductie naar $n$ . Voor $n = 1$ is $M$ een ideaal, dus $M = (0)$ (vrij van rang $0$ ) of $M = dA \cong A$ ( $x \mapsto dx$ is injectief: het is een domein). Voor $n > 1$ : zij $\pi \colon A^n \to A$ de laatste coördinaat. Dan is $\pi(M)$ een ideaal, dus $(0)$ of $dA$ . Is het $(0)$ , dan is $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ en past de inductiehypothese. Kies anders $x_0 \in M$ met $\pi(x_0) = d$ . Elke $x \in M$ schrijft zich op precies één manier als

x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi

( $\pi(x) \in dA$ , dus de coëfficiënt ligt in $A$ ). Bijgevolg is $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$ : de som is direct, want $\pi(ax_0) = ad = 0$ dwingt $a = 0$ af. Per inductie is $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ vrij van rang $\leq n - 1$ ; $x_0$ toevoegen (onafhankelijk van $\ker\pi$ , zoals net gezien) geeft een basis van $M$ met hoogstens $n$ elementen. ∎

Opmerking 3.6

Bijgevolg heeft over een hoofdideaaldomein elk eindig voortgebracht moduul $M$ een eindige presentatie: een surjectie $\varphi\colon A^n \to M$ heeft een vrije kern met basis $c_1, \dots, c_k$ ( $k \leq n$ ), en $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ met $C \in M_{n,k}(A)$ de matrix waarvan de kolommen de $c_j$ zijn. $M$ begrijpen betekent dus een matrix over $A$ begrijpen, op basiswisselingen in bron en doel na — het onderwerp van de volgende paragraaf.

3.2 De normaalvorm van Smith

Definitie 3.7

Twee matrices $B, C \in M_{n,k}(A)$ heten equivalent als $C = QBP$ met $Q \in GL_n(A)$ en $P \in GL_k(A)$ (inverteerbaar over $A$ : determinant in $A^\times$ ). Equivalente presentatiematrices definiëren isomorfe modulen $A^n/ \operatorname{im}$ (wissel van basis in $A^n$ en $A^k$ ).

Stelling 3.8 (Normaalvorm van Smith)

Zij $A$ een hoofdideaaldomein en $B \in M_{n,k}(A)$ . Dan is $B$ equivalent met een diagonaalmatrix

\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,

en de $d_i$ zijn op associatie na uniek: $d_1 \cdots d_i$ is een grootste gemene deler van de $i \times i$ -minoren van $B$ (in het bijzonder is die grootste gemene deler een invariant van de equivalentie). De $d_i$ heten de invariante factoren van $B$ .

Bewijs. Bestaan. Is $B = 0$ , dan zijn we klaar. Beschouw anders de verzameling idealen $(b)$ voortgebracht door de ingangen van matrices die equivalent zijn met $B$ ; omdat $A$ noethers is, kunnen we een met $B$ equivalente matrix $B'$ kiezen en een ingang $d$ van $B'$ waarvoor $(d)$ in die verzameling maximaal is. Breng $d$ met rij- en kolomverwisselingen naar plaats $(1,1)$ .

Bewering: $d$ deelt elke ingang van $B'$ . Eerst kolom 1: is $b_{i1}$ geen veelvoud van $d$ , stel dan $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (Bézout), zodat $(e) \supsetneq (d)$ . De truc met de $2 \times 2$ -matrix: op de rijen $1$ en $i$ werken met

\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)

levert een equivalente matrix met ingang $e$ op plaats $(1,1)$ : in strijd met de maximaliteit van $(d)$ . Dus deelt $d$ kolom $1$ , en symmetrisch rij $1$ . Veelvouden van rij 1 en kolom 1 aftrekken veegt die schoon: $B'$ is equivalent met $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$ . Vervolgens deelt $d$ elke ingang $b$ van $B''$ : tel de rij van $b$ op bij rij 1 (een elementaire bewerking; de nieuwe eerste rij bevat $d$ en $b$ -ingangen) en herhaal het kolomveegargument: een niet-veelvoud zou $(d)$ opnieuw verbeteren. Nu inductie naar de afmeting: $B''$ , waarvan alle ingangen door $d$ deelbaar zijn, heeft een Smith-vorm $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ waarvan de ingangen door $d$ deelbaar blijven (elke ingang van een $QB''P$ is een $A$ -combinatie van ingangen van $B''$ ); stel $d_1 = d$ .

Eenduidigheid. Noteer met $D_i(B)$ een grootste gemene deler van alle $i \times i$ -minoren. Rij- en kolombewerkingen, en algemener vermenigvuldiging met een willekeurige matrix, kunnen die grootste gemene deler niet verkleinen: de $i \times i$ -minoren van $QB$ zijn $A$ -combinaties van die van $B$ (ontwikkeling van Cauchy–Binet; of rechtstreeks: elke rij van $QB$ is een combinatie van rijen van $B$ , en minoren zijn multilineair in de rijen). Dus delen $D_i(QBP)$ en $D_i(B)$ elkaar: $D_i$ is een invariant van de equivalentie. Op de diagonaalvorm zijn de $i \times i$ -minoren $\neq 0$ de producten van $i$ van de $d_j$ , en maakt de deelbaarheid $d_1 \mid \dots \mid d_r$ van $d_1 \cdots d_i$ de grootste gemene deler. Bijgevolg is $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ op eenheden na, en ligt $d_i = D_i/D_{i-1}$ vast. ∎

Methode 3.9

Over een euclidisch domein ( $\Z$ , $K[X]$ ) is de Smith-reductie een algoritme — geen maximaliteitsargument nodig: breng de ingang met de kleinste euclidische grootte naar plaats $(1,1)$ ; deelt ze een ingang van haar rij of kolom niet, dan laat een euclidische deling daar een strikt kleinere rest achter — wissel die naar binnen en begin opnieuw (terminatie: de groottes dalen); deelt ze haar hele rij en kolom, veeg die dan schoon; deelt ze een inwendige ingang niet, tel die rij dan op bij rij $1$ en begin opnieuw; en werk recursief verder op het inwendige blok. In de praktijk, bij gehele matrices: bereken $D_1 = \gcd$ van de ingangen, dan $D_2$ , … via de minoren voor kleine afmetingen, of laat het algoritme lopen.

Voorbeeld 3.10 (Een volledig uitgewerkte Smith-reductie)

Reduceer $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ over $\Z$ . De hoekingang $1$ deelt alles: veeg haar rij en kolom schoon ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ , daarna $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ , $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

In het inwendige blok deelt de hoekingang $-3$ alle ingangen: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ en $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ vegen het schoon tot $\operatorname{diag}(-3, 0)$ . Na aanpassing van de tekens (een rij met $-1$ vermenigvuldigen is een geoorloofde bewerking):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

Controle via de determinantdelers: $D_1 = \gcd(\text{ingangen}) = 1$ ; elke $2\times2$ -minor van $M$ is een veelvoud van $3$ (bijvoorbeeld $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) en één ervan is $-3$ : $D_2 = 3$ ; en $D_3 = \det M = 0$ . Dus $d_1 = 1$ , $d_2 = 3$ , $d_3 = 0$ : hetzelfde antwoord. Twee lessen: een invariante factor $0$ legt de rangval vast (de cokern krijgt een vrije $\Z$ -summand erbij), en de deelbaarheidsketen $1 \mid 3 \mid 0$ is het Smith-certificaat — een diagonaalreductie die de keten schendt (zeg $\operatorname{diag}(2, 3)$ , die de onachtzame lezer uit $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ haalt door te vroeg te stoppen: de juiste Smith-vorm is $\operatorname{diag}(1, 6)$ , want hier is $D_1 = 1$ !) is niet af.

Het deelrooster L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) van ℤ2 (de rode punten). De normaalvorm van Smith van ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) is diag(1, 6): in de aangepaste basis f_1 = (1,3), f_2 = (0,1) van ℤ2 geldt L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2, zodat ℤ2/L ℤ/6ℤ — de index is gelijk aan | | = 6, de oppervlakte van het gearceerde fundamentaaldomein. — Het deelrooster $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ van $\Z^2$ (de rode punten). De normaalvorm van Smith van $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ is $\operatorname{diag}(1, 6)$ : in de aangepaste basis $f_1 = (1,3)$ , $f_2 = (0,1)$ van $\Z^2$ geldt $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$ , zodat $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — de index is gelijk aan $\abs{\det} = 6$ , de oppervlakte van het gearceerde fundamentaaldomein.

3.3 De structuurstelling

Definitie 3.11

Zij $A$ een domein en $M$ een $A$ -moduul. Het torsiedeelmoduul is

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ voor zekere } a \neq 0\}

(een deelmoduul: uit $ax = by = 0$ volgt $ab(x + y) = 0$ met $ab \ne 0$ ). $M$ heet torsievrij als $T(M) = 0$ , en een torsiemoduul als $T(M) = M$ .

Stelling 3.12 (Structuur van eindig voortgebrachte modulen over een hoofdideaaldomein)

Zij $A$ een hoofdideaaldomein en $M$ een eindig voortgebracht $A$ -moduul. Dan bestaan er een unieke $r \in \N$ en elementen $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ , alle $\neq 0$ en geen eenheden, op associatie na uniek, met

M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).

Bovendien is $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ en $M/T(M) \cong A^r$ : een eindig voortgebracht torsievrij moduul over een hoofdideaaldomein is vrij.

Bewijs. Bestaan. Presenteer $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ (Opmerking 3.6) en breng $C$ in Smith-vorm: na de twee basiswisselingen is $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$ . Laat de factoren weg waarin $d_i$ een eenheid is ( $A/(d_i) = 0$ ); de deelbaarheidsketen overleeft dat.

Het herkennen van de torsie. In de ontbinding is $A^r$ torsievrij (een domein heeft geen nuldelers) en is elke $A/(d_i)$ torsie (vernietigd door $d_i \ne 0$ ); een directe som splitst de torsie dienovereenkomstig: $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ en $M/T(M) \cong A^r$ .

Eenduidigheid van $r$ : $M/T(M) \cong A^r$ hangt alleen van $M$ af, en Propositie 3.4 legt $r$ vast.

Eenduidigheid van de $d_i$ : het volstaat het torsiemoduul $T = T(M)$ te behandelen. Ontbind elke $d_i$ in priemelementen en splits met de Chinese reststelling (Stelling 2.9; verschillende priemelementen brengen comaximale idealen voort):

A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),

met de elementaire delers $p^{k_{p,j}}$ . Omgekeerd worden de $d_i$ uit de multiverzameling elementaire delers gereconstrueerd ( $d_s$ = product van de hoogste macht van elk priemelement, enzovoort), zodat het volstaat te bewijzen dat de multiverzameling $\{k_{p,j}\}_j$ voor elk priemelement $p$ door $T$ is bepaald. Leg $p$ vast en beschouw voor $j \geq 1$ de $A/(p)$ -vectorruimten $p^{j-1}T/p^jT$ . Op een cyclische factor $A/(p^k)$ geldt

p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{als } j \leq k,\\ 0 & \text{als } j > k, \end{cases}

en op een factor $A/(q^k)$ met $q \neq p$ is de vermenigvuldiging met $p$ bijectief ( $p$ is inverteerbaar modulo $q^k$ : Bézout), zodat het quotiënt $0$ is. Directe sommen gaan er doorheen: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$ . Die intrinsieke dimensies leggen de multiverzameling exponenten vast. ∎

Gevolg 3.13 (Eindig voortgebrachte abelse groepen)

Elke eindig voortgebrachte abelse groep is $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ met $d_1 \mid \dots \mid d_s$ , en dat op precies één manier. Elke eindige abelse groep is een product van cyclische groepen van priemmachtorde, als multiverzameling uniek.

Voorbeeld 3.14

De abelse groepen van orde $p^n$ komen overeen met de partities van $n$ : voor $p^4$ zijn dat $\Z/p^4$ , $\Z/p^3\times\Z/p$ , $(\Z/p^2)^2$ , $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ en $(\Z/p)^4$ — vijf groepen, want $4$ heeft vijf partities. Bij gemengde ordes vermenigvuldigen de aantallen zich priemgetal per priemgetal (Chinese reststelling): er zijn $5 \times 2$ abelse groepen van orde $2^4 \cdot 3^2 = 144$ .

3.4 Toepassing: normaalvormen van endomorfismen

Zij $K$ een lichaam, $V$ een $K$ -vectorruimte van eindige dimensie $n$ , en $u \in \mathcal L(V)$ ; maak van $V$ een $K[X]$ -moduul via $P \cdot x = P(u)(x)$ (Voorbeeld 3.2). Dat moduul is eindig voortgebracht (een $K$ -basis brengt het voort) en torsie: voor elke $x$ zijn de $n+1$ vectoren $x, u(x), \dots, u^n(x)$ $K$ -afhankelijk, wat een annihilerende veelterm $\neq 0$ oplevert.

Definitie 3.15

Voor een monische $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ is de begeleidende matrix

C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} :

de matrix van “vermenigvuldigen met $X$ ” op $K[X]/(P)$ in de basis $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$ .

Stelling 3.16 (Frobenius: de rationale normaalvorm)

Er bestaat precies één rij monische niet-constante veeltermen $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (de gelijkvormigheidsinvarianten van $u$ ) zodanig dat, als $K[X]$ -modulen,

V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):

in een geschikte basis heeft $u$ de blokdiagonale matrix $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$ . Bovendien geldt:

$P_s = \mu_u$ (de minimaalveelterm) en $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (de karakteristieke veelterm); in het bijzonder is $\mu_u \mid \chi_u$ (Cayley–Hamilton opnieuw bewezen) en $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ , zodat $\chi_u$ en $\mu_u$ dezelfde irreducibele factoren hebben.
Twee endomorfismen (of vierkante matrices) zijn gelijkvormig dan en slechts dan als ze dezelfde gelijkvormigheidsinvarianten hebben.

Bewijs. Pas de structuurstelling (Stelling 3.12) toe op het hoofdideaaldomein $K[X]$ : het torsiemoduul $V$ ontbindt met invariante factoren $P_i$ , monisch genormaliseerd (de eenheden van $K[X]$ zijn $K^\times$ ); een vrij deel treedt niet op ( $V$ is torsie). Op elke cyclische factor $K[X]/(P_i)$ heeft vermenigvuldigen met $X$ de matrix $C_{P_i}$ in de basis van de machten van $\bar X$ : de bases achter elkaar zetten geeft de blokvorm.

(1) De annihilator van $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ is $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (deelbaarheidsketen: $P_s$ is een gemeenschappelijk veelvoud, en de klasse van $1$ in de laatste factor wordt precies door $(P_s)$ vernietigd): dus $\mu_u = P_s$ . Voor $\chi_u$ : op een cyclische factor is $\chi_{C_P} = P$ , met inductie naar $m = \deg P$ . Ontwikkel $\det(XI_m - C_P)$ naar de eerste rij (met als ingangen $X$ , dan nullen, en $a_0$ in de laatste kolom):

\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,

waarbij $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (dezelfde vorm, één maat kleiner) en $L$ driehoekig is met diagonaal $(-1, \dots, -1)$ , zodat $\det L = (-1)^{m-1}$ . Per inductie is de eerste term $X\tilde P$ en de tweede $a_0$ : samen $X\tilde P + a_0 = P$ (basisgeval $m=1$ : $\det(X + a_0) = P$ ). Determinanten vermenigvuldigen over de blokken: $\chi_u = \prod P_i$ . Cayley–Hamilton: elke $P_i \mid P_s$ , dus deelt $\chi_u = \prod P_i$ de veelterm $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ ; en $\mu_u = P_s$ deelt $\chi_u$ als een van haar factoren.

(2) Gelijkvormige endomorfismen zijn geconjugeerde moduulstructuren en hebben dus dezelfde invarianten (de eenduidigheid in Stelling 3.12); omgekeerd geven gelijke invarianten isomorfe $K[X]$ -modulen, en een moduulisomorfisme is precies een lineaire bijectie die de twee endomorfismen verweeft: een gelijkvormigheid. ∎

Gevolg 3.17 (Gelijkvormigheid is ongevoelig voor lichaamsuitbreiding)

Zij $K \subseteq L$ lichamen en $M, N \in M_n(K)$ . Zijn $M$ en $N$ gelijkvormig over $L$ , dan zijn ze het over $K$ .

Bewijs. De gelijkvormigheidsinvarianten van $M$ worden berekend met de minorenformule van Smith (Stelling 3.8), toegepast op de presentatiematrix $XI_n - M$ over $K[X]$ — het $K[X]$ -moduul $V_M = K^n$ heeft immers presentatiematrix $XI_n - M$ : de afbeelding $K[X]^n \to V_M$ , $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$ , is surjectief met een kern voortgebracht door de kolommen van $XI_n - M$ (een rechtstreekse verificatie: modulo die kolommen reduceert elk element van $K[X]^n$ tot een constante vector, en constante vectoren worden bijectief afgebeeld; de weekendopgave werkt dit uit). Grootste gemene delers van veeltermen veranderen niet onder lichaamsuitbreiding: is $d$ de monische grootste gemene deler in $K[X]$ van een familie $(f_j)$ , dan geeft Bézout dat $d = \sum u_jf_j$ met $u_j \in K[X]$ , zodat elke gemeenschappelijke deler van de $f_j$ in $L[X]$ de veelterm $d$ deelt; en omdat $d$ zelf een gemeenschappelijke deler is, is het ook in $L[X]$ de grootste gemene deler. De invariante factoren van $XI_n - M$ , quotiënten van opeenvolgende grootste gemene delers van minoren, zijn dus dezelfde over $K$ als over $L$ : $M$ en $N$ hebben dezelfde gelijkvormigheidsinvarianten over $L$ precies wanneer over $K$ ; besluit met Stelling 3.16(2). ∎

Stelling 3.18 (De jordanvorm, opnieuw afgeleid)

Stel dat $\chi_u$ over $K$ in lineaire factoren uiteenvalt (bijvoorbeeld $K = \C$ ). Passen we op $V$ de ontbinding in elementaire delers toe (uit het bewijs van Stelling 3.12) in plaats van die in invariante factoren, dan is

V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),

en in de basis $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ van elke factor werkt $u$ als het jordanblok $J_k(\lambda)$ : elk endomorfisme waarvan de karakteristieke veelterm uiteenvalt, heeft een jordanbasis, en de multiverzameling blokken $(\lambda, k)$ is uniek.

Bewijs. De elementaire delers van het torsiemoduul $V$ zijn de $(X - \lambda)^k$ , waarbij $X - \lambda$ de irreducibele factoren van $\mu_u$ doorloopt (die uiteenvalt, want $\chi_u$ doet dat en beide hebben dezelfde irreducibele factoren, Stelling 3.16). Stel in $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ de vectoren $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ voor $j = 1, \dots, k$ : dan is $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (met $f_0 = 0$ ), dat wil zeggen $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$ : de matrix van $u$ op $(f_1, \dots, f_k)$ is precies $J_k(\lambda)$ (enen boven de diagonaal). De eenduidigheid van de multiverzameling elementaire delers is Stelling 3.12. ∎

Opmerking 3.19

De hiërarchie van de normaalvormen is nu doorzichtig: de rationale vorm bestaat over elk lichaam en herkent gelijkvormigheid absoluut (Gevolg 3.17); de jordanvorm is haar verfijning zodra $\chi_u$ uiteenvalt. De bewijzen van de stelling van Jordan uit bachelorjaar 2, met hun dimensietellingen, zijn hiermee opgeslokt: al die combinatoriek was de rekenkunde van het hoofdideaaldomein $K[X]$ .

3.5 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

(a) Toon aan dat $\Q$ als $\Z$ -moduul niet eindig voortgebracht is. (b) Toon aan dat $\Q$ torsievrij maar niet vrij is. (c) Waarom spreekt geen van beide uitspraken Stelling 3.12 tegen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

(a) Was $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$ , zij dan $d$ een gemeenschappelijke noemer van de $q_i$ : elke combinatie ligt in $\frac1d\Z$ , maar $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$ . Tegenspraak.

(b) Torsievrij: uit $nq = 0$ met $n \neq 0$ volgt $q = 0$ in $\Q$ . Niet vrij: twee rationale getallen $\frac ab, \frac cd \neq 0$ voldoen aan de niet-triviale betrekking $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$ , dus heeft een basis hoogstens één element; en $\Q \cong \Z$ zou $\Q = \Z q$ cyclisch maken, terwijl $\frac q2 \notin \Z q$ . (En $\Q \neq 0$ .)

(c) Stelling 3.12 veronderstelt eindige voortbrenging, en die ontkent (a): geen tegenspraak dus — $\Q$ laat juist zien dat die hypothese in de uitspraak “torsievrij $\Rightarrow$ vrij” nodig is.

Oefening 3.2 ★

Geef de abelse groepen van orde $360$ op isomorfie na, zowel in de vorm met elementaire delers als in die met invariante factoren. Hoeveel abelse groepen van orde $p^5$ zijn er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

$360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$ . Partities: van $3$ : $(3), (2,1), (1,1,1)$ ; van $2$ : $(2), (1,1)$ ; van $1$ : $(1)$ . Dus $3 \times 2 \times 1 = 6$ groepen. Elementaire delers $\to$ invariante factoren:

$\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/360$
$\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/3 \times \Z/120$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/180$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/6 \times \Z/60$
$(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$
$(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$

(Om naar de invariante factoren over te gaan: de grootste $d_s$ verzamelt van elk priemgetal de hoogste macht, enzovoort naar beneden.) Van orde $p^5$ : even veel als er partities van $5$ zijn, namelijk $7$ .

Oefening 3.3 ★

Bereken de normaalvorm van Smith over $\Z$ van

B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix},

en herken de abelse groepen $\Z^2/B\Z^2$ en $\Z^3/C\Z^3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

Voor $B$ : $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ en $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$ . Invariante factoren $d_1 = 2$ en $d_2 = 8/2 = 4$ : Smith-vorm $\operatorname{diag}(2, 4)$ , en $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$ .

Voor $C$ : diagonaal, maar niet in Smith-vorm ( $2 \nmid 3$ ). $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$ ; $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$ ; $D_3 = 72$ . Dus $d = (1, 6, 12)$ en $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — in overeenstemming met de Chinese reststelling: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$ .

Oefening 3.4 ★★

Zij $L \subseteq \Z^n$ een deelgroep van rang $n$ met als basis de kolommen van $B \in M_n(\Z)$ , $\det B \neq 0$ . Toon aan dat $\Z^n/L$ eindig is van kardinaliteit $\abs{\det B}$ , en dat $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ voor de invariante factoren $d_i$ van $B$ . Illustreer dit met $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

Schrijf $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ met $Q, P \in GL_n(\Z)$ (Stelling 3.8; geen enkele $d_i$ is $0$ , want $\det B \neq 0$ ). Dan is $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (het samengestelde isomorfisme $x \mapsto Q^{-1}x$ van $\Z^n$ beeldt $B\Z^n$ af op $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$ ). De kardinaliteit is $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$ , want $\det Q$ en $\det P$ zijn $\pm 1$ . Voor $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ is $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ met $D_1 = 1$ en $D_2 = 6$ : $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ , van kardinaliteit $\abs{\det B} = 6$ .

Oefening 3.5 ★★

Zij $A$ een domein. (a) Ga na dat $T(M)$ een deelmoduul is en dat $M/T(M)$ torsievrij is. (b) Toon aan dat het ideaal $(X, Y)$ van $K[X,Y]$ , opgevat als $K[X,Y]$ -moduul, torsievrij maar niet vrij is: de structuurstelling heeft de hypothese van een hoofdideaaldomein werkelijk nodig.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

(a) Dat het een deelmoduul is, staat al in Definitie 3.11. Is $a(x + T(M)) = 0$ in $M/T(M)$ met $a \neq 0$ , dan is $ax \in T(M)$ , dus $bax = 0$ voor zekere $b \neq 0$ ; en $ba \neq 0$ (domein), zodat $x \in T(M)$ : de klasse is nul. Dus is $M/T(M)$ torsievrij.

(b) $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ is torsievrij (een deelmoduul van het domein $K[X,Y]$ dat op zichzelf werkt). Stel dat het vrij was; twee elementen $P, Q$ voldoen aan $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$ , een niet-triviale betrekking zodra $P \ne Q$ en beide $\neq 0$ , dus heeft een basis één element: $(X, Y) = (P)$ , een hoofdideaal — in strijd met Oefening 2.6(a). Torsievrij en eindig voortgebracht ( $X$ en $Y$ brengen het voort), en toch niet vrij: over het niet-hoofdideaaldomein $K[X,Y]$ faalt de structuurstelling.

Oefening 3.6 ★★

(a) Toon aan dat $2\Z$ geen direct complement heeft in het $\Z$ -moduul $\Z$ : deelmodulen van vrije modulen zijn vrij (Stelling 3.5), maar hoeven geen directe summanden te zijn. (b) Toon aan dat een $M \subseteq A^n$ ( $A$ een hoofdideaaldomein) waarvoor $A^n/M$ torsievrij is, wél een directe summand is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

(a) Was $\Z = 2\Z \oplus C$ , dan beperkt de projectie $\Z \to \Z/2\Z$ tot een isomorfisme $C \cong \Z/2\Z$ : $C$ zou een deelgroep van $\Z$ zijn waarvan het element $x \neq 0$ voldoet aan $2x \in C \cap 2\Z = 0$ . Maar $\Z$ is torsievrij: dus $C = 0$ , wat $\Z = 2\Z$ afdwingt — onjuist.

(b) $A^n/M$ is eindig voortgebracht en torsievrij, dus vrij (Stelling 3.12): $A^n/M \cong A^r$ met basis $f_1, \dots, f_r$ . Kies originelen $y_i \in A^n$ van de $f_i$ en stel $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$ . Voor elke $x \in A^n$ is $\pi(x) = \sum a_if_i$ , dus $x - \sum a_iy_i \in M$ : bijgevolg $A^n = M + F$ . Ligt $\sum a_iy_i$ in $M$ , dan geeft toepassen van $\pi$ dat $\sum a_if_i = 0$ , dus zijn alle $a_i = 0$ (basis): $M \cap F = 0$ . Bijgevolg is $A^n = M \oplus F$ .

Oefening 3.7 ★★

Los in $\Z^2$ het stelsel

\begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases}

op, en bepaal voor welke paren $(b_1, b_2)$ er oplossingen zijn; gebruik de Smith-vorm uit Oefening 3.3 (inverteerbare variabelenwisselingen aan beide kanten).

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

De reductie uit Oefening 3.3 was effectief: met

L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}

(rijbewerking $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ , kolombewerkingen $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ en daarna $C_2 \leftarrow -C_2$ ). Stel $y = R^{-1}x$ (een bijectie van $(\Z/20\Z)^2$ , want $R$ is inverteerbaar over $\Z$ ); dan is het stelsel $Bx \equiv b \pmod{20}$ gelijkwaardig met

2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.

De congruentie $ky \equiv c \pmod{20}$ is oplosbaar dan en slechts dan als $\gcd(k, 20) \mid c$ : er zijn dus oplossingen precies wanneer $2 \mid b_1$ en $4 \mid b_2 - 3b_1$ , dat wil zeggen $b_1$ even en $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$ . In dat geval zijn er $2 \times 4 = 8$ oplossingen modulo $20$ .

Oefening 3.8 ★★

(a) Bepaal alle gelijkvormigheidsinvarianten en mogelijke jordanvormen van een nilpotente $4 \times 4$ -matrix, gesorteerd naar de partitie van $4$ die ze realiseren. (b) Geef twee complexe $4\times4$ -matrices met dezelfde karakteristieke en minimaalveelterm die niet gelijkvormig zijn, en bewijs dat dit voor $n \leq 3$ niet kan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

(a) Een nilpotente $u$ heeft $\mu_u = X^k$ ; de elementaire delers zijn $X^{k_1} \geq \dots$ , met één jordanblok $J_{k_i}(0)$ per deel van een partitie van $4$ :

partitie	jordanvorm	invariante factoren
$(4)$	$J_4$	$X^4$
$(3,1)$	$J_3 \oplus J_1$	$X,\ X^3$
$(2,2)$	$J_2 \oplus J_2$	$X^2,\ X^2$
$(2,1,1)$	$J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$	$X,\ X,\ X^2$
$(1,1,1,1)$	$0$	$X, X, X, X$

(b) Neem $u = J_2\oplus J_2$ en $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ : beide hebben $\chi = X^4$ en $\mu = X^2$ , maar verschillende invariante factoren — dus niet gelijkvormig (Stelling 3.16); men kan ook de rangen vergelijken: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$ . Voor $n \leq 3$ bepalen $\chi$ en $\mu$ voor elke eigenwaarde $\lambda$ (over een splitsingslichaam) de totale grootte $m_\lambda \leq 3$ van de $\lambda$ -blokken en het grootste blok $r_\lambda$ ; en een partitie van $m \leq 3$ ligt vast door haar grootste deel ( $m = 3$ met $r = 2$ dwingt $(2,1)$ af, enzovoort). De elementaire delers vallen dus samen, en Gevolg 3.17 laat de gelijkvormigheid afdalen naar het grondlichaam.

Oefening 3.9 ★★★

Zij $u \in \mathcal L(V)$ met $\dim V = n$ . Toon aan dat het volgende gelijkwaardig is: (i) $V$ is een cyclisch $K[X]$ -moduul (er is een $x$ met $V = K[u]x$ , een cyclische vector); (ii) $\mu_u = \chi_u$ ; (iii) $s = 1$ in Stelling 3.16. Leid af dat een begeleidende matrix een cyclische vector heeft, en bepaal wanneer een diagonaalmatrix er een heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

(i) $\Rightarrow$ (ii): is $V = K[u]x$ , dan is $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ met $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (een veelterm vernietigt $x$ precies wanneer ze heel $V = K[u]x$ vernietigt, want $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$ ). Dus $n = \dim V = \deg \mu_u$ ; en omdat $\mu_u \mid \chi_u$ met $\deg\chi_u = n$ , geeft het monisch zijn $\mu_u = \chi_u$ .

(ii) $\Rightarrow$ (iii): $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ en $\mu_u = P_s$ (Stelling 3.16); gelijkheid van de graden dwingt $s = 1$ af.

(iii) $\Rightarrow$ (i): $V \cong K[X]/(P_1)$ is cyclisch, voortgebracht door het origineel van $\bar 1$ .

Een begeleidende matrix is het geval $V = K[X]/(P)$ zelf: $x = \bar 1$ , dus $e_1$ , is cyclisch. Voor een diagonaalmatrix $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ is $\chi = \prod (X - \lambda_i)$ en $\mu = \prod_{\lambda \text{ verschillend}} (X - \lambda)$ ; die vallen samen dan en slechts dan als de $\lambda_i$ paarsgewijs verschillend zijn: een diagonaalmatrix heeft een cyclische vector precies wanneer haar diagonaalingangen paarsgewijs verschillen (dan voldoet $x = (1, \dots, 1)$ : Vandermonde).

Oefening 3.10 ★★★

Bewijs voor $M \in M_n(\Z)$ , opgevat als endomorfisme van $\Z^n$ , de indexformule: is $\det M \ne 0$ , dan is $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$ ; leid af dat $M \in GL_n(\Z)$ dan en slechts dan als $\det M = \pm 1$ . Toepassing: de groep $\Z^2$ heeft precies $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ deelgroepen van index $m$ . (Tel de matrices in Hermite-vorm $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ met $ad = m$ en $0 \leq b < d$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

Smith: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$ , en Oefening 3.4 geeft $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$ . Is $\det M = \pm 1$ , dan heeft de formule met de geadjugeerde matrix, $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ , gehele ingangen, dus $M \in GL_n(\Z)$ ; omgekeerd geeft $MM^{-1} = I$ dat $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ in $\Z$ , dus $\det M = \pm1$ .

Deelgroepen van index $m$ in $\Z^2$ : zo’n deelgroep $L$ heeft rang $2$ (eindige index) en een unieke basis in Hermite-vorm $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ : $d$ wordt gekenmerkt door $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$ , $a$ door $\pi_1(L) = a\Z$ (de eerste coördinaten), en $b$ is dan uniek modulo $d$ ; normaliseer $a, d > 0$ en $0 \leq b < d$ . De index is $ad = m$ . Tellen: voor elke deler $d \mid m$ (met $a = m/d$ ) zijn er $d$ keuzen voor $b$ , samen $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$ .

Oefening 3.11 ★★

(Vergelijkingen $x^k = e$ in abelse groepen) Zij $G$ een eindige abelse groep met invariante factoren $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$ . (a) Toon aan dat voor elke $k \geq 1$

\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .

(b) Leid af: een eindige abelse groep is cyclisch dan en slechts dan als voor elke $k$ de vergelijking $x^k = e$ hoogstens $k$ oplossingen heeft. (c) Vind zo de cycliciteit terug van eindige deelgroepen van $K^\times$ ( $K$ een lichaam, Hoofdstuk 4): waarom garandeert de veelterm $X^k - 1$ het criterium uit (b)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.11.

(a) Volgens de structuurstelling is $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$ , en $x^k = e$ ontkoppelt per coördinaat. In $\Z/d\Z$ heeft $kx \equiv 0 \pmod d$ precies $\gcd(k, d)$ oplossingen ( $x$ moet een veelvoud van $d/\gcd(k,d)$ zijn, en daarvan zijn er $\gcd(k, d)$ ). Vermenigvuldig over de factoren.

(b) Is $G = \Z/d_s\Z$ cyclisch ( $s = 1$ ), dan is het aantal $\gcd(k, d_s) \leq k$ . Is $s \geq 2$ , neem dan $k = d_1$ : het aantal is $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (elke $\gcd$ is $d_1$ wegens de deelbaarheidsketen), zodat de vergelijking $x^{d_1} = e$ meer dan $d_1$ oplossingen heeft.

(c) In een lichaam heeft $X^k - 1$ hoogstens $k$ wortels (Hoofdstuk 2: een veelterm $\neq 0$ van graad $k$ over een domein), dus voldoet elke eindige deelgroep $G \leq K^\times$ aan het criterium van (b): $G$ is cyclisch — het structurele bewijs van één regel voor de cycliciteit van $\mathbb F_q^\times$ , naast het telbewijs van Hoofdstuk 4.

Oefening 3.12 ★★★

(Elementaire matrices brengen voort) (a) Toon aan dat $M \in M_n(\Z)$ inverteerbaar is in $M_n(\Z)$ dan en slechts dan als $\det M = \pm1$ . (b) Toon aan dat $SL_2(\Z)$ wordt voortgebracht door de twee elementaire matrices $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ en $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . (Voer het algoritme van Euclides uit op de eerste kolom van $M \in SL_2(\Z)$ door links met machten van $E$ en $F$ te vermenigvuldigen, tot je $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ bereikt; maak het met de hand af — merk op dat $-I = (EF^{-1}E)^2$ .) (c) Leg het verband met de Smith-reductie uit: over $\Z$ volstaan rij- en kolombewerkingen met determinant $1$ om te diagonaliseren, op tekens na.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.12.

(a) Is $MN = I$ met $N$ geheel, dan is $\det M\det N = 1$ met beide geheel, dus $\det M = \pm1$ . Omgekeerd heeft bij $\det M = \pm1$ de cofactorformule $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ gehele ingangen.

(b) Links vermenigvuldigen met $E^{-k}$ trekt $k$ maal rij $2$ van rij $1$ af; met $F^{-k}$ trekt het $k$ maal rij $1$ van rij $2$ af. Is $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$ , dan is de eerste kolom $(a, c)$ een unimodulaire vector ( $\gcd(a, c) = 1$ : hij deelt $\det M = 1$ ). Voer met deze rijbewerkingen Euclides uit op $(a, c)$ : na eindig veel stappen wordt de kolom $(\pm1, 0)$ . De matrix is dan $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix} \bigr) = \pm E^{b}$ (de determinant bleef $1$ ). Rest nog $-I$ in de voortbrengers te schrijven: $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (ga het kwadraat van die rotatiematrix na). Terugrollend is $M$ een woord in $E^{\pm1}$ en $F^{\pm1}$ .

(c) Het algoritme van Smith (Methode 3.9) gebruikt precies zulke rij- en kolombewerkingen (plus verwisselingen en tekenwissels, die zelf op het teken van de determinant na producten van elementaire bewerkingen zijn): over $\Z$ is elke matrix van de vorm $U\,D\,V$ met $U, V$ producten van elementaire matrices en $D$ de Smith-vorm — en (b) is het geval $2\times2$ met determinant $1$ van het algemene feit dat matrices van $E$ -type $SL_n(\Z)$ voortbrengen.

3.6 Probleem: de commutant en de bicommutant

Probleem 3.1

Weekendopgave — rationale vorm, commutant, bicommutant

Zij $K$ een lichaam, $V$ een $K$ -vectorruimte van dimensie $n \geq 1$ , en $u \in \mathcal L(V)$ . We bestuderen de commutant

\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},

een deelalgebra van $\mathcal L(V)$ die $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$ bevat, en we bewijzen de dimensieformule van Frobenius en de bicommutantstelling: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ . Overal is $V$ het $K[X]$ -moduul dat door $u$ wordt bepaald, met gelijkvormigheidsinvarianten $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ en cyclische ontbinding $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$ , waarbij $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$ en $n_i = \deg P_i$ (Stelling 3.16).

Deel I — De presentatiematrix $XI - M$ , en opwarmers.

Zij $M \in M_n(K)$ en zij $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ de afbeelding die $(Q_1, \dots, Q_n)$ naar $\sum_i Q_i(M)e_i$ stuurt. Toon aan dat $\varphi$ een surjectief morfisme van $K[X]$ -modulen is en dat elke kolom van $XI_n - M$ in $\ker\varphi$ ligt.
Toon aan dat modulo de kolommen van $XI_n - M$ elk element van $K[X]^n$ congruent is met een constante vector (verlaag de graden met $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$ ), en leid af dat $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : het moduul $V_M$ heeft presentatiematrix $XI_n - M$ . Vind zo het vertrekpunt van Gevolg 3.17 terug: de gelijkvormigheidsinvarianten van $M$ zijn de invariante factoren van $XI_n - M$ die geen eenheid zijn.
Bereken de gelijkvormigheidsinvarianten van: een scalaire matrix $\lambda I_n$ ; een diagonaalmatrix met verschillende diagonaalingangen; het $n \times n$ -jordanblok $J_n(0)$ ; en $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ voor $n = 3$ .
Toon aan dat $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ .

Deel II — Morfismen tussen cyclische modulen.

Zij $P, Q$ monisch en niet-constant. Toon aan dat een $K[X]$ -morfisme $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ vastligt door $f(\bar 1)$ , en dat een $\bar c \in K[X]/(Q)$ als $f(\bar 1)$ kan dienen dan en slechts dan als $P\bar c = 0$ in $K[X]/(Q)$ .
Leid af dat

$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$

van dimensie $\deg \gcd(P, Q)$ over $K$ . (Toon aan dat de oplossingen $\bar c$ van $P\bar c = 0$ in $K[X]/(Q)$ het cyclische deelmoduul vormen dat door $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ wordt voortgebracht.)
Bewijs de formule van Frobenius:

$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$

(Een $v$ die commuteert is precies een $K[X]$ -endomorfisme van $V$ ; ontbind $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ in matrices van morfismen $V_j \to V_i$ en gebruik de deelbaarheidsketen.)
Leid af dat $\dim \mathcal C(u) \geq n$ , met gelijkheid precies wanneer $u$ cyclisch is ( $s = 1$ ), en bereken $\dim\mathcal C(u)$ voor $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : de twee uitersten van de formule.
Controleer de formule van Frobenius rechtstreeks voor $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ door de commutant expliciet als $3\times3$ -matrices te berekenen.

Deel III — De bicommutantstelling. Zij $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ ; we bewijzen dat $w \in K[u]$ .

Toon aan dat $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ en dat elke $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ met $u$ commuteert — zodat de te bewijzen inclusie $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ een echte verscherping van $w \in \mathcal C(u)$ is.
Stel eerst dat $u$ cyclisch is, $V = K[u]x$ . Toon rechtstreeks aan dat $\mathcal C(u) = K[u]$ (evalueer een commuterende $v$ in $x$ : $v(x) = P(u)x$ voor zekere $P$ , en vergelijk $v$ met $P(u)$ op de basis $u^k x$ ), en besluit de stelling in dit geval.
Terug naar het algemene geval. Zij voor elke $i$ de afbeelding $\pi_i\colon V \to V_i$ de projectie langs de andere summanden. Toon aan dat $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , en leid af dat $w$ elke $V_i$ invariant laat en met $u_i = u\restriction_{V_i}$ commuteert; besluit met vraag 11, toegepast op de cyclische $u_i$ : er zijn veeltermen $Q_i$ met $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ .
Nu moeten de $Q_i$ nog tot één veelterm worden verlijmd. Toon voor $i \leq j$ (zodat $P_i \mid P_j$ ) aan dat $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ , $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ , een goed gedefinieerd $K[X]$ -morfisme is (wat moet worden nagegaan, is dat uit $R(u)x_j = 0$ volgt dat $R(u)x_i = 0$ ), en dat $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ , met $0$ voortgezet op de andere summanden, in $\mathcal C(u)$ ligt.
Toon met $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ aan dat $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ voor $i \leq j$ . Leid af dat $Q = Q_s$ voldoet aan $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ voor alle $i$ , zodat $w = Q(u)$ op elke $V_i$ , en dus op $V$ :

$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$
(Slot) Leid uit de stelling af: commuteert $v$ met elke matrix die met $u$ commuteert en is $u$ cyclisch, dan is $v$ een veelterm in $u$ ; en geef een voorbeeld dat laat zien dat $\mathcal C(u) = K[u]$ faalt voor $u = \mathrm{id}$ met $n \geq 2$ — waar precies komt de cycliciteit binnen?

Deel IV — Wat de gelijkvormigheidsinvarianten opleveren. De rationale normaalvorm is een machine; hier zijn vijf van haar klassieke producten.

(Getransponeerde) Toon aan dat elke $M \in M_n(K)$ gelijkvormig is met haar getransponeerde ${}^tM$ . (De bewerkingen die $XI - M$ in Smith-vorm brengen, brengen getransponeerd $XI - {}^tM$ in dezelfde Smith-vorm: gelijke gelijkvormigheidsinvarianten.)
(Afdaling van gelijkvormigheid) Zij $K \subseteq L$ een lichaamsuitbreiding en $M, N \in M_n(K)$ . Toon aan dat $M$ en $N$ gelijkvormig zijn over $K$ zodra ze het zijn over $L$ . (De Smith-vorm van $XI - M$ berekend in $K[X]$ is nog steeds een Smith-vorm in $L[X]$ — waarom veranderen de invariante factoren niet?) Een gevolg om te onthouden: twee reële matrices die in $GL_n(\C)$ geconjugeerd zijn, zijn dat ook in $GL_n(\R)$ .
(Classificatie van nilpotente endomorfismen) Zij $u$ nilpotent. Toon aan dat het aantal blokken van grootte $\geq k$ in haar ontbinding in nilpotente jordanblokken gelijk is aan $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ , en leid af: de nilpotente klassen van $M_n(K)$ staan, voor elk lichaam $K$ , in bijectie met de partities van $n$ . Hoeveel nilpotente klassen telt $M_5(K)$ ?
(Een concreet paar) Bepaal de gelijkvormigheidsinvarianten van de afgeleide $D\colon P \mapsto P'$ op de ruimte $K_{n-1}[X]$ van veeltermen van graad $< n$ : (a) voor $K = \Q$ ; (b) voor $K = \mathbb F_p$ met $p < n$ (in karakteristiek $p$ is $(X^p)' = 0$ : bereken $\ker D^k$ en gebruik vraag 18).
(Conjugatieklassen van $GL_2(\mathbb F_q)$ ) Toon met invariante factoren aan dat elke klasse van $GL_2(\mathbb F_q)$ van precies één van vier types is: centraal $aI$ ; diagonaliseerbaar met twee verschillende eigenwaarden $a \neq b$ in $\mathbb F_q^\times$ ; niet-halfenkelvoudig met minimaalveelterm $(X - a)^2$ ; of cyclisch met irreducibele karakteristieke veelterm.
Tel de klassen van elk type en besluit: $GL_2(\mathbb F_q)$ heeft precies $q^2 - 1$ conjugatieklassen. (Tel de monische irreducibele kwadratische veeltermen over $\mathbb F_q$ ; de ongeordende paren $\{a, b\}$ ; en denk eraan dat de inverteerbaarheid de constante termen beperkt.)
(Cyclisch is generiek) Toon aan dat $M \in M_2(\mathbb F_q)$ niet cyclisch is dan en slechts dan als $M$ scalair is, en leid af dat een uniform toevallig gekozen $2\times2$ -matrix over $\mathbb F_q$ cyclisch is met kans $1 - q^{-3}$ . Formuleer de overeenkomstige heuristiek voor $M_n$ en grote $q$ (geen bewijs nodig): niet-cyclische matrices zijn zeldzaam — en juist daarom vergde Deel III van Probleem 3.1 pas voorbij het generieke geval echt werk.

Deel V — Aanvullingen.

(Centrum van de commutant) Toon aan dat het centrum van de algebra $\mathcal C(u)$ precies $K[u]$ is (combineer de twee inclusies uit Deel III). Leid af dat $\mathcal C(u)$ commutatief is dan en slechts dan als $u$ cyclisch is — waarmee het gelijkheidsgeval van vraag 8 langs een zuiver structurele weg wordt teruggevonden.
(Welke dimensies komen voor?) Leid uit de formule van Frobenius af dat $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ voor elke $u$ . Bepaal vervolgens de precieze verzameling waarden die $\dim \mathcal C(u)$ aanneemt wanneer $u$ heel $\mathcal L(V)$ doorloopt met $\dim V = 4$ : toon aan dat die $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ is (loop de rijen graden $n_1 \leq \dots \leq n_s$ met som $4$ af en realiseer elke rij door een nilpotent endomorfisme). In het bijzonder worden $12$ en $14$ , hoewel van de juiste pariteit, niet bereikt: de pariteitsvoorwaarde is nodig maar niet voldoende.
(Klassevergelijking van $GL_2(\mathbb F_3)$ ) Bereken voor $q = 3$ de grootte van elke conjugatieklasse uit vraag 20 met baan en stabilisator: de centralisator van een cyclische $M$ in $GL_2(\mathbb F_q)$ is de eenhedengroep van $K[M]$ (vraag 11). Herken $K[M]$ in de drie niet-centrale types, geef de drie monische irreducibele kwadratische veeltermen over $\mathbb F_3$ , en controleer de klassevergelijking

$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$

met $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ klassen, zoals vraag 21 voorspelt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 3.1.

1. $\varphi$ is additief en $K[X]$ -lineair: $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$ , want de moduulstructuur van $V_M$ is $X \cdot v = Mv$ . Ze is surjectief: de constante vectoren geven heel $K^n$ . Kolom $j$ van $XI - M$ is $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$ , met beeld $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$ .

2. Modulo de kolommen is $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$ : elke vector van veeltermen reduceert, met inductie naar de hoogste graad, tot een constante vector $c \in K^n$ . Ligt de oorspronkelijke vector in $\ker\varphi$ , dan is $\varphi(c) = c = 0$ (op constanten is $\varphi$ de identificatie $K^n = V_M$ ), zodat de vector in het kolomopspansel ligt: $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$ . Bijgevolg is $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$ , en Smith over $K[X]$ (alle invariante factoren $\neq 0$ , want hun product is $\det(XI - M) = \chi_M$ ) geeft $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$ : de niet-constante $f_i$ zijn de gelijkvormigheidsinvarianten, te berekenen als quotiënten van grootste gemene delers van minoren (Stelling 3.8).

3. $\lambda I_n$ : $XI - \lambda I$ is al in Smith-vorm: de invarianten zijn $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$ , $n$ stuks. Verschillende diagonaalingangen: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ met paarsgewijs comaximale moduli, dus perst de Chinese reststelling dat samen tot de ene cyclische $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ : één invariant, $\chi$ . $J_n(0)$ : $\mu = X^n = \chi$ dwingt één invariant $X^n$ af. En $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ : elementaire delers $X^2, X$ , dus invarianten $P_1 = X \mid P_2 = X^2$ .

4. $P \mapsto P(u)$ beeldt $K[X]$ af op $K[u]$ , met kern $(\mu_u)$ per definitie van de minimaalveelterm: $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$ , van dimensie $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$ .

5. De $K[X]$ -lineariteit dwingt $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$ af. De klasse $\bar 1$ voldoet aan $P \bar 1 = 0$ , dus is $P f(\bar 1) = 0$ noodzakelijk. Is omgekeerd $P\bar c = 0$ , dan is $f(\bar Q) = Q\bar c$ goed gedefinieerd (uit $Q \equiv Q' \bmod P$ volgt dat $(Q - Q')\bar c$ een veelvoud is van $P\bar c = 0$ ) en $K[X]$ -lineair.

6. Zij $g = \gcd(P, Q)$ , $P = gP'$ en $Q = gQ'$ met $\gcd(P', Q') = 1$ . In $K[X]/(Q)$ geldt $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (Euclides, want $\gcd(P', Q') = 1$ ). De toegelaten $\bar c$ vormen dus het deelmoduul voortgebracht door $\bar{Q'}$ , waarvan de annihilator $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ is: dat deelmoduul is $\cong K[X]/(g)$ . Met vraag 5 volgt $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$ , van dimensie $\deg\gcd(P,Q)$ .

7. $v$ commuteert met $u$ dan en slechts dan als $v$ met elke $P(u)$ commuteert, dan en slechts dan als $v$ $K[X]$ -lineair is: $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$ . Schrijven we morfismen van $V = \bigoplus_j V_j$ als matrices $(f_{ij})$ met $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (stel samen met de injecties en projecties), dan geeft vraag 6

\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,

waarbij we de deelbaarheidsketen gebruiken ( $\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$ ) en, voor de laatste stap, dat $\min(i,j) = k$ optreedt voor precies $2(s - k) + 1$ paren $(i, j)$ .

8. Omdat $2(s-k)+1 \geq 1$ , is $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$ , met gelijkheid precies wanneer $s = 1$ , dat wil zeggen wanneer $u$ cyclisch is (Oefening 3.9). Voor $u = \lambda\,\mathrm{id}$ is $s = n$ en zijn alle $n_k = 1$ : $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — klopt, want $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$ .

9. Volgens de formule: invarianten $(X, X^2)$ , dus $s = 2$ , $n_1 = 1$ en $n_2 = 2$ , waaruit $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$ . Rechtstreeks: in de basis $(e_1, e_2, e_3)$ met $u e_2 = e_1$ en $ue_1 = ue_3 = 0$ levert $Au = uA$ voor $A = (a_{ij})$ de voorwaarden $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ en $a_{11} = a_{22}$ : vijf vrije parameters $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$ .

10. Een veelterm $P(u)$ commuteert met alles wat met $u$ commuteert (het is een som van machten van $u$ ): dus $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ . En $u \in \mathcal C(u)$ , zodat elke $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ met $u$ commuteert.

11. Zij $V = K[u]x$ en $v \in \mathcal C(u)$ . Schrijf $v(x) = P(u)x$ (cycliciteit). Voor een willekeurige $y = Q(u)x$ is dan $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$ . Dus $v = P(u)$ : $\mathcal C(u) = K[u]$ . En dan is $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (met heel $K[u]$ commuteren is hetzelfde als met $u$ commuteren). De stelling geldt dus in het cyclische geval.

12. $\pi_i$ is $K[X]$ -lineair (de ontbinding is een directe som van deelmodulen), dus $\pi_i \in \mathcal C(u)$ , en $w$ commuteert ermee: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$ . De beperking $w_i = w\restriction_{V_i}$ commuteert met de cyclische $u_i = u\restriction_{V_i}$ (vraag 10), dus $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (vraag 11): $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ voor zekere $Q_i \in K[X]$ .

13. Dat $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ goed gedefinieerd is: uit $R(u)x_j = 0$ volgt $P_j \mid R$ , en $P_i \mid P_j$ geeft $P_i \mid R$ , dus $R(u)x_i = 0$ (want $\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$ ). $\eta_{ij}$ is dan per constructie $K[X]$ -lineair, en $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ is een samenstelling van $K[X]$ -morfismen $V \to V$ : dus $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$ .

14. Evalueer $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ in $x_j$ : links staat $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ , rechts $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$ . Bijgevolg is $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$ , dus $P_i \mid Q_i - Q_j$ voor alle $i \leq j$ . In het bijzonder is, met $Q = Q_s$ , $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$ , zodat $Q(u)$ en $Q_i(u)$ op $V_i$ samenvallen (dat $P_i(u)$ vernietigt). Daarom is $w = Q(u)$ op elke $V_i$ , en dus op $V$ : $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ , en met vraag 10 volgt $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ .

15. De eerste bewering zijn de vragen 10–14 (of, voor cyclische $u$ , vraag 11 alleen). Voor $u = \mathrm{id}$ met $n \geq 2$ heeft $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ dimensie $n^2$ , terwijl $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$ . Daar faalt $\mathcal C(u) = K[u]$ dus grondig; en toch geldt de bicommutantstelling ( $\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$ : het centrum van de matrixalgebra bestaat uit de scalairen). De cycliciteit zorgt ervoor dat de enkele commutant al polynomiaal is; de dubbele commutant is dat altijd.

16. Is $P(XI - M)Q = S$ een Smith-reductie ( $P, Q$ inverteerbaar over $K[X]$ ), dan geeft transponeren ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$ : dezelfde Smith-vorm, dus hebben $XI - M$ en $XI - {}^tM$ dezelfde invariante factoren, oftewel $M$ en ${}^tM$ hebben dezelfde gelijkvormigheidsinvarianten (Gevolg 3.17): ze zijn gelijkvormig.

17. De gelijkvormigheidsinvarianten van $M$ over $L$ zijn de invariante factoren van $XI - M$ in $L[X]$ . Een Smith-reductie van $XI - M$ over $K[X]$ — met $P, Q$ inverteerbaar over $K[X]$ , diagonaal en met de deelbaarheidsketen — is ook een geldige Smith-reductie over $L[X]$ ( $P$ en $Q$ blijven inverteerbaar: hun determinanten zijn constanten $\neq 0$ ), en monische invariante factoren zijn uniek: de invariante factoren berekend over $K$ en over $L$ vallen dus samen. Bijgevolg is $M \sim_L N$ precies wanneer ze dezelfde invariante factoren hebben, en dus precies wanneer $M \sim_K N$ . In het bijzonder zijn reële matrices die over $\C$ geconjugeerd zijn, dat ook over $\R$ — een uitspraak die vaak analytisch wordt bewezen (specialiseer een inverteerbare $P + \iu Q$ ), hier structureel.

18. Ontbind $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ in nilpotente jordanblokken. In één blok van grootte $m$ is $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$ , dus $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ als $m \geq k$ en anders $0$ . Sommeren over de blokken geeft $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$ . De rangenrij legt dus de multiverzameling $(m_t)$ vast — een partitie van $n$ — en omgekeerd wordt elke partitie gerealiseerd: nilpotente klassen $\leftrightarrow$ partities van $n$ , over elk lichaam. Voor $M_5$ : $p(5) = 7$ klassen ( $5$ ; $4{+}1$ ; $3{+}2$ ; $3{+}1{+}1$ ; $2{+}2{+}1$ ; $2{+}1{+}1{+}1$ ; $1^5$ ).

19. (a) Over $\Q$ (of over elk lichaam van karakteristiek $0$ ) is $D^n = 0$ en $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)! \neq 0$ : $D$ is nilpotent van index $n$ op een $n$ -dimensionale ruimte, dus cyclisch met de ene invariant $X^n$ ( $x = X^{n-1}$ brengt voort: haar herhaalde afgeleiden spannen alles op). (b) Over $\mathbb F_p$ met $p < n$ is $D^p = 0$ , want de $p$ -de afgeleide van elk monoom $X^m$ draagt de factor $m(m-1)\cdots(m-p +1)$ , een product van $p$ opeenvolgende gehele getallen, dus $\equiv 0 \bmod p$ . Schrijf $n = ap + r$ met $0 \leq r < p$ . Dan wordt $\ker D^k$ opgespannen door de monomen $X^m$ met $D^kX^m = 0$ ; tellen we de exponenten $m < n$ naar hun rest modulo $p$ , dan is $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ voor $0 \leq k \leq p$ , zodat $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$ . Volgens vraag 18 heeft de partitie $a$ blokken van grootte precies $p$ en (als $r > 0$ ) één blok van grootte $r$ : gelijkvormigheidsinvarianten $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$ . De karakteristiek verandert dus de normaalvorm van de vertrouwdste operator uit de wiskunde.

20. Een $M \in GL_2$ heeft $s \in \{1, 2\}$ invariante factoren. Is $s = 2$ , dan is $P_1 = P_2 = X - a$ (met $a \neq 0$ wegens de inverteerbaarheid), dus $M = aI$ , centraal. Is $s = 1$ , dan is $M$ cyclisch met karakteristieke veelterm $=$ minimaalveelterm $\chi$ van graad $2$ , en corresponderen de klassen met de mogelijke $\chi$ met $\chi(0) \neq 0$ : $\chi$ valt uiteen met verschillende wortels $a \neq b$ (begeleidende matrix $\sim$ diagonaal); $\chi = (X - a)^2$ (begeleidende matrix, niet halfenkelvoudig); of $\chi$ irreducibel. Van elk type precies één — de invariante factoren zijn een volledige invariant.

21. Centraal: $q - 1$ keuzen voor $a$ . Verschillende uiteenvallende eigenwaarden: de ongeordende paren $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ met $a \neq b$ , dus $\binom{q-1}2$ klassen. Minimaalveelterm $(X-a)^2$ : $q - 1$ klassen. Irreducibele kwadratische veeltermen met constante term $\neq 0$ : alle irreducibele kwadratische veeltermen komen in aanmerking (hun wortels zijn $\neq 0$ ), en er zijn $\frac{q^2 - q}2$ monische irreducibele kwadratische veeltermen (de $q^2$ monische kwadratische veeltermen min de $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ die uiteenvallen). Totaal:

(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 .

22. Is $M$ niet cyclisch, dan is $s = 2$ en is $M$ scalair (de tweedeling van vraag 20 geldt in $M_2$ , inverteerbaar of niet: twee invariante factoren van graad $1$ met $P_1 \mid P_2$ en $P_1 = P_2$ dwingen $M = aI$ af). De scalaire matrices zijn met $q$ onder de $q^4$ matrices: cyclisch met kans $1 - q^{-3}$ . In het algemeen is de niet-cyclische deelverzameling van $M_n$ die waar de $(n-1)\times(n-1)$ -minoren van $XI - M$ een gemeenschappelijke factor hebben — een echte algebraïsche voorwaarde — zodat haar aandeel voor grote $q$ klein is, van orde $O(1/q)$ : matrices met $\chi = \mu$ zijn de regel, en het lijmargument uit Deel III is de prijs voor de uitzonderingen.

23. Een element van het centrum van $\mathcal C(u)$ ligt in $\mathcal C(u)$ en commuteert met elk element van $\mathcal C(u)$ , dus ligt het in $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (vraag 14). Omgekeerd is $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$ , en commuteert elke $P(u)$ met elke $v \in \mathcal C(u)$ (zo’n $v$ commuteert met $u$ en dus met elke macht van $u$ ): $K[u]$ is centraal in $\mathcal C(u)$ . Bijgevolg is $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ . Daaruit volgt dat $\mathcal C(u)$ commutatief is dan en slechts dan als $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ ; in dat geval is $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$ , terwijl vraag 8 $\dim\mathcal C(u) \geq n$ geeft: dus $n_s = n$ en $s = 1$ , dat wil zeggen $u$ is cyclisch. Omgekeerd geeft vraag 11 voor cyclische $u$ dat $\mathcal C(u) = K[u]$ , commutatief. Structureel gezegd: een matrixalgebra die gelijk is aan haar eigen centrum is precies een veeltermalgebra $K[u]$ van een cyclische $u$ .

24. Elke coëfficiënt $2s - 2i + 1$ in de formule van Frobenius is oneven, dus

\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .

Voor $n = 4$ zijn de mogelijke rijen graden $n_1 \leq \dots \leq n_s$ van de invariante factoren met som $4$ : $(4)$ , $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(1, 1, 2)$ en $(1, 1, 1, 1)$ ; elk daarvan wordt gerealiseerd, bijvoorbeeld door het nilpotente endomorfisme met $P_i = X^{n_i}$ (de deelbaarheidsketen geldt dan vanzelf). De formule geeft respectievelijk

1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .

De verzameling waarden is dus $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ : even getallen van de juiste pariteit, maar $12$ en $14$ komen nooit voor — tussen de bijna-cyclische rijen en de $n^2$ van de scalaire matrix gaapt een gat.

25. Er geldt $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$ . Het centrale type: $I$ en $2I$ , twee klassen van grootte $1$ . In de drie andere types is $M$ cyclisch (vraag 20), zodat haar centralisator in $GL_2$ de groep eenheden van $\mathcal C(M) = K[M]$ is (vraag 11), en de klassegrootte volgens baan en stabilisator gelijk is aan $48/\abs{K[M]^\times}$ . Verschillende uiteenvallende eigenwaarden: alleen het paar $\{1, 2\}$ , dus één klasse; $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (Chinese reststelling op $\chi = (X-1)(X-2)$ ), met $2 \cdot 2 = 4$ eenheden, dus grootte $48/4 = 12$ . Minimaalveelterm $(X - a)^2$ met $a \in \{1, 2\}$ : twee klassen; $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$ , met $q^2 - q = 6$ eenheden (na centreren moet de constante term $\neq 0$ zijn), dus grootte $48/6 = 8$ . Irreducibele $\chi$ : er zijn $(9 - 3)/2 = 3$ monische irreducibele kwadratische veeltermen over $\mathbb F_3$ , namelijk

X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,

(geen wortels in $\mathbb F_3$ : controleer $0, 1, 2$ ); dat geeft drie klassen met $K[M] \cong \mathbb F_9$ , $q^2 - 1 = 8$ eenheden, dus grootte $48/8 = 6$ . Klassevergelijking: $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$ ; en $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ klassen, in overeenstemming met vraag 21.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst