Wat is Ideaal?

Voorbeeld 1.27 (Een ggd van veeltermen, langs twee wegen)

Bereken $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ in $\Q[X]$. Via Euclides:

dus de ggd is $X - 1$, en terugsubstitueren geeft de Bézout-relatie

Via idealen: het ideaal $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ is een hoofdideaal (Stelling 1.26); het bevat $X - 1$ (zie de formule hierboven) en het ligt in $(X - 1)\Q[X]$ (beide voortbrengers verdwijnen in $1$ en zijn dus veelvouden van $X - 1$): de monische voortbrenger is $X - 1$. Het inzicht om te onthouden: het idealenstandpunt herkent de ggd zonder te delen — de gemeenschappelijke nulpunten lokaliseren het ideaal, en Euclides bevestigt het slechts.

Voorbeeld 1.34 (Een evaluatiemorfisme en zijn kern)

Neem $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ en de evaluatie $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$, $P \mapsto P(A)$. Omdat $A^2 = 0$ is

(alleen de constante en de lineaire term van $P$ overleven). Bijgevolg is $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$: een hoofdideaal, precies zoals Stelling 1.26 voorspelt, voortgebracht door de monische $X^2$ van kleinste graad in de kern — de minimale veelterm van $A$, hoofdrolspeler in Hoofdstuk 3. Het beeld is de tweedimensionale commutatieve algebra $\{aI + bA\}$: evaluatiemorfismen krimpen het oneindigdimensionale $\R[X]$ tot kleine, berekenbare algebra’s.

Voorbeeld 2.20 (Een ring zonder eenduidige ontbinding)

Geen van de implicaties euclidisch $\Rightarrow$ hoofdideaaldomein $\Rightarrow$ UFD is een gelijkwaardigheid, en het falen van de laatste is het waard om één keer helemaal uit te schrijven. In

is de norm multiplicatief en geldt $N(z) = 1$ precies wanneer $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Beschouw

Alle vier de factoren zijn irreducibel: hun normen zijn $4, 9, 6, 6$, en een echte ontbinding $z = z_1z_2$ zou $N(z_1) \in \{2, 3\}$ afdwingen — maar $a^2 + 5b^2$ is nooit $2$ of $3$ ($b = 0$ laat de niet-kwadraten $2, 3$ over; $\abs b \geq 1$ geeft $\geq 5$). En toch is $2$ met geen van beide $1 \pm \iu\sqrt5$ geassocieerd (normen $4 \neq 6$): twee werkelijk verschillende ontbindingen van $6$ in irreducibele factoren. Gelijkwaardig: hier is irreducibel $\neq$ priem, want $2$ deelt het product $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ maar geen van beide factoren (opnieuw de normen). De ideaaltheoretische reparatie van dit falen — idealen ontbinden in plaats van elementen — is de geboorte van de algebraïsche getaltheorie; op ons niveau ijkt het voorbeeld hoe bijzonder de euclidische ringen $\Z$, $K[X]$ en $\Z[\iu]$ van dit hoofdstuk werkelijk zijn.