4Lichaamsuitbreidingen en Galoistheorie

Bewijs. Voortbrengend: een $x \in M$ schrijft zich als $x = \sum_j \lambda_jf_j$ met $\lambda_j \in L$, en elke $\lambda_j = \sum_i \mu_{ij}e_i$ met $\mu_{ij} \in K$: dus $x = \sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j$. Onafhankelijk: $\sum_{i,j}\mu_{ij} e_if_j = 0$ herschrijft zich als $\sum_j (\sum_i \mu_{ij}e_i)f_j = 0$; de binnenste sommen liggen in $L$ en verdwijnen dus (de $f_j$ zijn onafhankelijk over $L$); daarna zijn alle $\mu_{ij} = 0$ (de $e_i$ zijn onafhankelijk over $K$). ∎

Bewijs. De evaluatie $K[X] \to L$, $P \mapsto P(\alpha)$, heeft beeld $K[\alpha]$ en kern $(\pi_\alpha)$; omdat $\pi_\alpha$ irreducibel is, is $K[X]/(\pi_\alpha)$ een lichaam (Propositie 2.4: in het hoofdideaaldomein $K[X]$ brengt een irreducibel element een maximaal ideaal voort), dus is $K[\alpha]$ een lichaam dat $K$ en $\alpha$ bevat: het is gelijk aan $K(\alpha)$. De klassen van $1, X, \dots, X^{d-1}$ vormen een basis van het quotiënt (euclidische deling), waaruit de basis en de graad volgen. Omgekeerd, is $[L:K] = n < \infty$, dan zijn $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ afhankelijk, wat een annihilerende veelterm levert; en dan deelt $[K(\alpha):K] = \deg\pi_\alpha$ het getal $n$ volgens de torenwet. ∎

Bewijs. $K(\alpha, \beta) = (K(\alpha))(\beta)$ is eindig over $K(\alpha)$ ($\beta$ is algebraïsch over $K \subseteq K(\alpha)$) en $K(\alpha)/K$ is eindig: volgens de torenwet is $[K(\alpha,\beta):K] < \infty$, en is elk element van $K(\alpha, \beta)$ — de vier genoemde inbegrepen — algebraïsch (Stelling 4.4). Transitiviteit: is $\beta$ algebraïsch over $L$ en $L/K$ algebraïsch, dan brengen de coëfficiënten $c_0, \dots, c_{m-1}$ van $\pi_{\beta/L}$ een eindige uitbreiding $F = K(c_0, \dots, c_{m-1})$ van $K$ voort (torenwet, herhaald), en $F(\beta)/F$ is eindig: dus $[F(\beta):K] < \infty$ en is $\beta$ algebraïsch over $K$. ∎

Bewijs. Bestaan, met inductie naar $\deg P$: kies een irreducibele factor $Q$ van $P$; het lichaam $K_1 = K[X]/(Q)$ bevat de wortel $\alpha_1 = \bar X$ van $Q$, en dus van $P$; schrijf $P = (X - \alpha_1)P_1$ over $K_1$ en pas de inductiehypothese toe op $P_1$ over $K_1$; de graden vermenigvuldigen tot hoogstens $n(n-1)\cdots = n!$.

Eenduidigheid volgt uit het sterkere lemma over het voortzetten van isomorfismen: zij $\sigma \colon K \to K'$ een isomorfisme, $P \in K[X]$, $P^\sigma$ de veelterm met de afgebeelde coëfficiënten, en $L, L'$ splitsingslichamen van $P$ respectievelijk $P^\sigma$; dan zet $\sigma$ zich voort tot een isomorfisme $L \to L'$. Inductie naar $[L:K]$: valt $P$ al in $K$ uiteen, dan is $L = K$ en $L' = K'$ ($P^\sigma$ valt uiteen in $K'$, en $L'$ wordt door haar wortels voortgebracht). Kies anders een wortel $\alpha \in L \setminus K$ van een irreducibele factor $Q$ van $P$ met $\deg Q \geq 2$; dan is $Q^\sigma$ een irreducibele factor van $P^\sigma$, met een wortel $\beta \in L'$, en

zet $\sigma$ voort met $\alpha \mapsto \beta$. Nu is $L$ een splitsingslichaam van $P$ over $K(\alpha)$ en $L'$ er een van $P^\sigma$ over $K'(\beta)$, met $[L : K(\alpha)] < [L:K]$: de inductie zet verder voort tot $L \to L'$. ∎

Bewijs. Bestaan (de constructie van Artin). Zij $R = K[(X_f)_f]$ de veeltermring met één veranderlijke $X_f$ per niet-constante monische $f \in K[X]$, en $I$ het ideaal voortgebracht door alle $f(X_f)$. $I$ is een echt ideaal: een betrekking $1 = \sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ betreft eindig veel veeltermen; kies in een gemeenschappelijk splitsingslichaam $E$ van $f_1\cdots f_r$ wortels $\alpha_i$ van $f_i$ en evalueer $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ (de overige veranderlijken $\mapsto 0$): dan is $1 = 0$, absurd. Zij $\mathfrak m \supseteq I$ maximaal (Stelling 2.8; Zorn) en $K_1 = R/\mathfrak m$: een lichaamsuitbreiding van $K$ waarin elke niet-constante $f \in K[X]$ een wortel heeft, namelijk $\bar X_f$, en die algebraïsch is over $K$ (ze wordt voortgebracht door de $\bar X_f$, elk algebraïsch). Herhaal: $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, waarbij $K_{n+1}$ met $K_n$ doet wat $K_1$ met $K$ deed, en stel $\Omega = \bigcup_n K_n$, een lichaam. Een niet-constante $g \in \Omega[X]$ heeft haar eindig veel coëfficiënten in een zekere $K_n$; een irreducibele factor van $g$ over $K_n$ heeft een wortel in $K_{n+1} \subseteq \Omega$: dus is $\Omega$ algebraïsch gesloten, en algebraïsch over $K$ (elke $K_n$ is dat, en dan transitiviteit, Gevolg 4.5): $\Omega$ is een algebraïsche afsluiting.

Eenduidigheid. Zij $\Omega, \Omega'$ twee algebraïsche afsluitingen. Beschouw de verzameling paren $(E, \tau)$ met $K \subseteq E \subseteq \Omega$ en $\tau\colon E \to \Omega'$ een $K$-inbedding, geordend naar voortzetting; ze is niet leeg ($(K, \mathrm{id})$) en inductief (vereniging van een keten), zodat Zorn een maximale $(E_0, \tau_0)$ levert. Was $E_0 \neq \Omega$, kies dan $\alpha \in \Omega\setminus E_0$: $\pi_{\alpha/E_0}$ gaat over in een veelterm over $\tau_0(E_0)$ die in het algebraïsch gesloten $\Omega'$ een wortel $\beta$ heeft, en $\tau_0$ zet zich voort tot $E_0(\alpha) \to \Omega'$ ($\alpha \mapsto \beta$), in strijd met de maximaliteit. Er is dus een $K$-inbedding $\tau \colon \Omega \to \Omega'$; haar beeld, isomorf met $\Omega$, is algebraïsch gesloten, en $\Omega'$ is er algebraïsch over: voor $x \in \Omega'$ valt $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ over $\tau(\Omega)$ uiteen, dus $x \in \tau(\Omega)$. Bijgevolg is $\tau$ surjectief: een isomorfisme. ∎

Bewijs. (1) Een eindig lichaam $E$ heeft karakteristiek $p > 0$ en is een eindigdimensionale $\mathbb F_p$-vectorruimte: $\abs E = p^n$. Haar multiplicatieve groep heeft orde $q - 1$, dus voldoet elke $x \in E$ aan $x^q = x$: $E$ bestaat uit $q$ wortels van $X^q - X$ en is er dus een splitsingslichaam van over $\mathbb F_p$ — wat $E$ op isomorfie na vastlegt (Stelling 4.7). Omgekeerd is in een splitsingslichaam $L$ van $X^q - X$ de verzameling $E$ van haar wortels een deellichaam: $(x + y)^q = x^q + y^q$ door de droom van de eerstejaars $(a+b)^p = a^p + b^p$ te herhalen ($p \mid \binom pk$), en $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$; het heeft precies $q$ elementen omdat $X^q - X$ separabel is: haar afgeleide is $qX^{q-1} - 1 = -1$ (want $p \mid q$), onderling ondeelbaar met haar, dus zijn er geen meervoudige wortels. Bijgevolg heeft $L = E$ precies $q$ elementen.

(2) $F$ is een lichaamsmorfisme (droom van de eerstejaars) en injectief (lichamen), dus bijectief op het eindige $\mathbb F_q$. Er geldt $F^n = \mathrm{id}$ (want $x^q = x$), en geen kleinere macht is de identiteit: $F^m = \mathrm{id}$ zou betekenen dat alle $q$ elementen wortels van $X^{p^m} - X$ zijn, wat $p^m \geq q$ afdwingt. Dus is $\langle F\rangle$ cyclisch van orde $n$; en er zijn geen andere automorfismen, wegens de hieronder bewezen grens $\abs{\operatorname{Aut}} \leq [\,\mathbb F_q : \mathbb F_p\,] = n$ (Propositie 4.16 met $L = \mathbb F_q$ en $K = \mathbb F_p$: automorfismen houden het priemlichaam vast).

(3) Is $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$, dan geeft de torenwet $p^n = (p^m)^d$: dus $m \mid n$. Is omgekeerd $m \mid n$, dan is $p^m - 1 \mid p^n - 1$ (meetkundige som), zodat $X^{p^m} - X$ de veelterm $X^{p^n} - X$ deelt (hetzelfde argument op de exponenten: $X^{a} - 1 \mid X^{b} - 1$ zodra $a \mid b$), en vormen de wortels van de eerste binnen $\mathbb F_{p^n}$ het gevraagde deellichaam, van kardinaliteit $p^m$ (separabiliteit als in (1)). ∎

Bewijs. Zij $G \leq K^\times$ eindig. Volgens de structuurstelling (Gevolg 3.13) is $G \cong \Z/d_1 \times \dots \times \Z/d_s$ met $d_1 \mid \dots \mid d_s$. Elke $x \in G$ voldoet dan aan $x^{d_s} = 1$; maar $X^{d_s} - 1$ heeft hoogstens $d_s$ wortels in het lichaam $K$: dus $\abs G = d_1\cdots d_s \leq d_s$, wat $s = 1$ afdwingt: $G$ is cyclisch. ∎

Bewijs. $\gcd(P, P')$ deelt $P$; is die niet $1$, dan dwingt de irreducibiliteit $\gcd = P$ af (op een constante na), dus $P \mid P'$ met $\deg P' < \deg P$: bijgevolg $P' = 0$. Schrijf $P = \sum a_kX^k$: dan is $ka_k = 0$ voor alle $k$, zodat $P$ in karakteristiek $0$ constant is (uitgesloten), en in karakteristiek $p$ geldt $a_k = 0$ tenzij $p \mid k$: dus $P = Q(X^p)$. Over een eindig lichaam is elk element een $p$-de macht (Frobenius is surjectief), zodat $Q(X^p) = \sum b_k^p X^{pk} = (\sum b_kX^k)^p$ niet irreducibel is: ook daar kan $P' = 0$ voor irreducibele $P$ niet voorkomen. ∎

Bewijs. Inductie naar $[L:K]$ via enkelvoudige stappen. Voor $L = K(\alpha)$ ligt een voortzetting $\tau$ vast door $\tau(\alpha)$, dat een wortel in $\Omega$ van $\pi_\alpha^\sigma$ moet zijn; en omgekeerd geeft elke zulke wortel één voortzetting ($K(\alpha) \cong K[X]/(\pi_\alpha)$). Het aantal voortzettingen is dus het aantal verschillende wortels van $\pi_\alpha^\sigma$ in $\Omega$: hoogstens $\deg\pi_\alpha = [K(\alpha):K]$, met gelijkheid precies wanneer $\pi_\alpha$ separabel is (de separabiliteit van $\pi^\sigma$ en van $\pi$ komen overeen: $\sigma$ bewaart de grootste gemene deler met de afgeleide). In het algemeen splitsen we $L = K(\alpha_1)(\alpha_2, \dots)$: er zijn $\leq [K(\alpha_1):K]$ voortzettingen van $\sigma$ tot $K(\alpha_1)$, en elk daarvan zet zich per inductie op $\leq [L : K(\alpha_1)]$ manieren voort; vermenigvuldig (torenwet). In het separabele geval zijn beide tellingen gelijkheden: de minimaalveeltermen over het grotere lichaam $K(\alpha_1)$ delen die over $K$ en blijven dus separabel. ∎

Bewijs. Is $K$ eindig, dan is $L$ dat ook, en volstaat een voortbrenger $\gamma$ van de cyclische groep $L^\times$ (Stelling 4.12). Zij $K$ oneindig; per inductie volstaat het geval $L = K(\alpha, \beta)$. Zij $n = [L:K]$; volgens Propositie 4.16 zijn er $n$ verschillende $K$-inbeddingen $\sigma_1, \dots, \sigma_n \colon L \to \Omega$ (met $\Omega$ een algebraïsche afsluiting). De veelterm

is niet identiek nul: een factor verdwijnt identiek alleen als $\sigma_i$ en $\sigma_j$ zowel op $\alpha$ als op $\beta$ samenvallen, en dus op $L$ — uitgesloten voor $i \neq j$. Omdat $K$ oneindig is, kies $c \in K$ met $D(c) \ne 0$: dan zijn de $n$ elementen $\sigma_i(\alpha + c\beta)$ paarsgewijs verschillend, zodat $\gamma = \alpha + c\beta$ minstens $n$ verschillende toegevoegden in $\Omega$ heeft, dat wil zeggen $\deg \pi_\gamma \geq n$: en $[K(\gamma):K] \geq n = [L:K]$ dwingt $L = K(\gamma)$ af. ∎

Bewijs. Zij $L$ het splitsingslichaam van de separabele $P$ over $K$, en leg een algebraïsche afsluiting $\Omega \supseteq L$ vast. $L/K$ is separabel: ze wordt voortgebracht door wortels van $P$; de separabiliteit van elk element volgt uit het gelijkheidsgeval hieronder, maar laten we rechtstreeks redeneren — Propositie 4.16, toegepast op de voortbrengers (wortels van de separabele $P$, waarvan de minimaalveeltermen $P$ delen), levert precies $[L:K]$ voortzettingen van $K \hookrightarrow \Omega$ (in de inductiestap deelt de minimaalveelterm van een wortel van $P$ over een tussenliggend lichaam nog steeds $P$ en is ze dus separabel). Elke zulke inbedding $\tau \colon L \to \Omega$ permuteert de wortels van $P$ ($\tau$ houdt de coëfficiënten vast), en $L$ wordt door die wortels voortgebracht: dus $\tau(L) = L$. Inbeddingen zijn bijgevolg automorfismen: $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} = [L:K]$. Voor een tussenliggend $F$: $L$ is ook het splitsingslichaam van $P$ over $F$, en $P$ blijft separabel, dus is $L/F$ Galois; hetzelfde argument geeft de normaliteit over $F$. ∎

Bewijs. Zij $n = \abs G$ en $G = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$, en stel dat $x_1, \dots, x_{n+1} \in L$ lineair onafhankelijk zijn over $K$. Het homogene lineaire stelsel van $n$ vergelijkingen in $n+1$ onbekenden $(c_j)$ over $L$,

heeft een oplossing $\neq 0$; kies er een met de minste ingangen $\neq 0$, zeg $c_1, \dots, c_r \neq 0$ (na hernummering), met $r \geq 2$ (één enkele $c_j\sigma_i(x_j) = 0$ is onmogelijk) en genormaliseerd tot $c_r = 1$. Niet alle $c_j$ liggen in $K$: de vergelijking voor $\sigma_i = \mathrm{id}$ zou de onafhankelijkheid tegenspreken; zeg $c_1 \notin K$, zodat $\tau(c_1) \ne c_1$ voor zekere $\tau \in G$. Pas $\tau$ toe op alle vergelijkingen: omdat $\tau\sigma_i$ heel $G$ doorloopt, is de vector $(\tau(c_j))_j$ opnieuw een oplossing; door af te trekken is $(c_j - \tau(c_j))_j$ een oplossing met minder ingangen $\neq 0$ (de $r$-de ingang $1 - 1 = 0$ verdwijnt, de eerste niet) en niet nul: tegenspraak. Elke $n+1$ elementen zijn dus afhankelijk: $[L:K] \leq n$. ∎

Bewijs. (1) Uiteraard is $K \subseteq L^G$. Zij omgekeerd $\alpha \in L \setminus K$; we geven een $\sigma \in G$ met $\sigma(\alpha) \ne \alpha$. De minimaalveelterm $\pi_\alpha$ over $K$ heeft graad $\geq 2$ en is separabel ($L/K$ is separabel, Propositie 4.19), dus heeft ze in een algebraïsche afsluiting $\Omega \supseteq L$ nog een wortel $\beta \neq \alpha$. Zet de $K$-inbedding $K(\alpha) \to \Omega$, $\alpha \mapsto \beta$, voort tot een inbedding $\tau\colon L \to \Omega$ (Propositie 4.16); wegens de normaliteit (Propositie 4.19) is $\tau(L) = L$, dus $\tau \in G$, $\beta = \tau(\alpha) \in L$ en $\tau(\alpha) \neq \alpha$.

(2) Voor een deelgroep $H$: $L/L^H$ is Galois (Propositie 4.19), en $\operatorname{Gal}(L/L^H) \supseteq H$ is triviaal, dus $[L:L^H] = \abs{\operatorname{Gal}(L/L^H)} \geq \abs H$; het lemma van Artin geeft $[L:L^H] \leq \abs H$: dus gelijkheid, en $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$. Voor een tussenliggend lichaam $F$ geeft “$L/F$ Galois” dat $L^{\operatorname{Gal}(L/F)} = F$, via (1) toegepast op $L/F$. De twee afbeeldingen zijn dus elkaars inverse; dat ze inclusies omkeren is evident. Graden: $[L:L^H] = \abs H$ is zojuist bewezen, en $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = \abs G/\abs H$.

(3) Voor $\sigma \in G$ en $H \leq G$ is $\sigma(L^H) = L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ (rechtstreeks na te gaan). Wegens de bijectie geldt $\sigma(L^H) = L^H$ voor alle $\sigma$ dan en slechts dan als $H \trianglelefteq G$. Is nu $H \trianglelefteq G$, stel dan $F = L^H$: elke $\sigma \in G$ beperkt zich tot een automorfisme van $F$, wat een morfisme $\rho \colon G \to \operatorname{Aut}_K(F)$ geeft met kern $\{\sigma : \sigma\restriction_F = \mathrm{id}\} = \operatorname{Gal}(L/F) = H$. Dus bedt $G/H$ zich in $\operatorname{Aut}_K(F)$ in, waaruit $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} \geq [G:H] = [F:K]$; de omgekeerde ongelijkheid geldt altijd (Propositie 4.16): dus $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} = [F:K]$ en is $\rho$ surjectief. Rest nog dat $F/K$ Galois is: $F$ is separabel over $K$ (het ligt binnen de separabele $L/K$) en $F = K(\gamma)$ (Stelling 4.17); de veelterm $\prod_{\sigma \in G/H}\bigl(X - \sigma(\gamma)\bigr)$ (product over de verschillende beelden, die in $F$ liggen: $\sigma(F) = L^{\sigma H\sigma^{-1}} = L^H = F$ wegens de normaliteit van $H$) heeft coëfficiënten die door $G$ worden vastgehouden en dus volgens (1) in $K$ liggen: het is een separabele veelterm van $K[X]$ die door $F$ wordt gesplitst, en haar wortels brengen $F$ voort: $F/K$ is Galois. Is omgekeerd $F = L^H$ met $F/K$ Galois, dan geeft de normaliteit van $F$ (Propositie 4.19, toegepast op inbeddingen $F \to \Omega$ die van elementen van $G$ afkomstig zijn) dat $\sigma(F) = F$ voor alle $\sigma \in G$, dat wil zeggen $H \trianglelefteq G$. ∎

Bewijs. Zij $f = \pi_{\zeta_n}$, zodat $\Phi_n = fg$ met $f, g \in \Z[X]$ monisch (het lemma van Gauss, Lemma 2.23: de inhouden vermenigvuldigen, alle veeltermen zijn monisch). Bewering: is $\zeta$ een wortel van $f$ en $p \nmid n$ priem, dan is $\zeta^p$ een wortel van $f$. Anders is $\zeta^p$ een wortel van $g$ (het is een primitieve $n$-de eenheidswortel), dus is $\zeta$ een wortel van $g(X^p)$ en $f \mid g(X^p)$ in $\Z[X]$ (minimaalveelterm, en dan opnieuw Gauss). Reduceer modulo $p$: $\bar g(X^p) = \bar g(X)^p$ (Frobenius op $\mathbb F_p[X]$: per coëfficiënt is $a^p = a$, plus de droom van de eerstejaars), dus $\bar f \mid \bar g^{\,p}$: $\bar f$ en $\bar g$ delen een irreducibele factor, en $\bar\Phi_n = \bar f\bar g$ heeft dus een meervoudige factor. Dan geldt dat ook voor $X^n - \bar 1$; maar de afgeleide $\bar nX^{n-1}$ is er onderling ondeelbaar mee ($p \nmid n$, en $0$ is geen wortel): tegenspraak.

Elke primitieve wortel $\zeta_n^k$ (met $\gcd(k, n) = 1$) wordt uit $\zeta_n$ verkregen door achtereenvolgens priemmachten te nemen die $n$ niet delen (ontbind $k$): de bewering plant zich voort, dus is elke primitieve wortel een wortel van $f$, waaruit $f = \Phi_n$, irreducibel. Bijgevolg is $[\Q(\zeta_n):\Q] = \varphi(n)$, en is $\Q(\zeta_n)$ het splitsingslichaam van de separabele $X^n - 1$ (alle wortels zijn machten van $\zeta_n$): Galois. Een automorfisme $\sigma$ stuurt $\zeta_n$ naar een andere primitieve wortel $\zeta_n^{a(\sigma)}$, en $\sigma \mapsto a(\sigma)$ is een injectief morfisme naar $(\Z/n\Z)^\times$; beide groepen hebben orde $\varphi(n)$: dus een isomorfisme. ∎

Bewijs. ($\Rightarrow$) De coördinaten van het snijpunt van twee rechten door punten met coördinaten in een deellichaam $F \subseteq \R$ lossen een lineair stelsel over $F$ op: ze blijven in $F$. Snijdingen rechte–cirkel en cirkel–cirkel leiden, na eliminatie van het lineaire deel (de twee cirkelvergelijkingen van elkaar aftrekken geeft een rechte), tot een kwadratische vergelijking over $F$: de nieuwe coördinaten liggen in $F$ of in $F(\sqrt d)$ voor zekere $d \in F$ met $d > 0$. Per inductie heeft elk geconstrueerd punt coördinaten in een toren van kwadratische uitbreidingen van $\Q$; en ook $z = x + \iu y$ ligt in zo’n toren (voeg $\iu$ toe: nog één kwadratische stap). Het gevolg voor de graad: $[\Q(z):\Q]$ deelt $[F_r : \Q] = 2^r$ (torenwet).

($\Leftarrow$) De construeerbare getallen vormen een lichaam: sommen en verschillen met parallellogrammen (parallellen zijn construeerbaar: laat tweemaal een loodlijn neer en richt ze weer op — de klassieke loodlijn door een punt gebruikt één cirkel en twee bogen); producten en quotiënten met de configuraties van Thales (construeer bij gegeven lengten $a, b$ de lengten $ab$ en $a/b$ met gelijkvormige driehoeken op twee halfrechten). En het lichaam is gesloten onder worteltrekking: voor $a > 0$ snijden de cirkel met diameter $1 + a$ en de loodlijn in het aansluitpunt elkaar op hoogte $\sqrt a$ (de hoogtestelling in een rechthoekige driehoek); en voor een complexe $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ construeer je $\sqrt\rho$ en deel je $\theta$ in tweeën (een hoek halveren is een passerconstructie). Reële en imaginaire delen van elementen van een kwadratische toren zijn dus per inductie op de toren construeerbaar: elke stap voegt wortels van een kwadratische vergelijking toe, uit te drukken met lichaamsbewerkingen en één vierkantswortel van een reeds geconstrueerd getal (de abc-formule; in karakteristiek $0$). ∎