4Lichaamsuitbreidingen en Galoistheorie

Bewijs. Voortbrengend: $x \in M$ schrijft $x = \sum_j \lambda_jf_j$ ($\lambda_j \in L$), elke $\lambda_j = \sum_i \mu_{ij}e_i$ ($\mu_{ij} \in K$): $x = \sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j$. Onafhankelijk: $\sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j = 0$ herschrijft $\sum_j (\sum_i \mu_{ij}e_i)f_j = 0$; de binnensommen liggen in $L$, dus verdwijnen ($f_j$ onafhankelijk over $L$); dan alle $\mu_{ij} = 0$ ($e_i$ onafhankelijk over $K$). ∎

Bewijs. Evaluatie $K[X] \to L$, $P \mapsto P(\alpha)$, heeft beeld $K[\alpha]$ en kern $(\pi_\alpha)$; omdat $\pi_\alpha$ irreducibel is, is $K[X]/(\pi_\alpha)$ een lichaam (Propositie 2.4: in de PID $K[X]$ brengt irreducibel een maximaal ideaal voort), dus is $K[\alpha]$ een lichaam dat $K$ en $\alpha$ bevat: ze is gelijk aan $K(\alpha)$. De klassen van $1, X, \dots, X^{d-1}$ vormen een basis van het quotiënt (Euclidische deling), vandaar de basis en de graad. Omgekeerd als $[L:K] = n < \infty$: $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ zijn afhankelijk, wat een annulerende veelterm geeft; dan deelt $[K(\alpha):K] = \deg\pi_\alpha$ $n$ door de torenwet. ∎

Bewijs. $K(\alpha, \beta) = (K(\alpha))(\beta)$ is eindig over $K(\alpha)$ ($\beta$ algebraïsch over $K \subseteq K(\alpha)$) en $K(\alpha)/K$ is eindig: door de torenwet $[K(\alpha,\beta):K] < \infty$, en elk element van $K(\alpha, \beta)$ — inclusief de vier genoemde — is algebraïsch (Stelling 4.4). Transitiviteit: als $\beta$ algebraïsch over $L$ is en $L/K$ algebraïsch, brengen de coëfficiënten $c_0, \dots, c_{m-1}$ van $\pi_{\beta/L}$ een eindige uitbreiding $F = K(c_0, \dots, c_{m-1})$ van $K$ voort (herhaalde torenwet), en $F(\beta)/F$ is eindig: $[F(\beta):K] < \infty$, dus is $\beta$ algebraïsch over $K$. ∎

Bewijs. Bestaan, door inductie op $\deg P$: kies een irreducibele factor $Q$ van $P$; het lichaam $K_1 = K[X]/(Q)$ bevat de wortel $\alpha_1 = \bar X$ van $Q$, dus van $P$; schrijf $P = (X - \alpha_1)P_1$ over $K_1$ en pas inductie toe op $P_1$ over $K_1$; graden vermenigvuldigen tot hoogstens $n(n-1)\cdots = n!$.

Uniciteit volgt uit het sterkere isomorfisme-uitbreidingslemma: zij $\sigma \colon K \to K'$ een isomorfisme, $P \in K[X]$, $P^\sigma$ de veelterm met afgebeelde coëfficiënten, $L, L'$ splitsingslichamen van $P, P^\sigma$; dan breidt $\sigma$ uit tot een isomorfisme $L \to L'$. Inductie op $[L:K]$: als $P$ in $K$ splitst, dan $L = K$, en $L' = K'$ ($P^\sigma$ splitst in $K'$, en $L'$ wordt voortgebracht door haar wortels). Anders kies een wortel $\alpha \in L \setminus K$ van een irreducibele factor $Q$ van $P$ met $\deg Q \geq 2$; $Q^\sigma$ is een irreducibele factor van $P^\sigma$, met een wortel $\beta \in L'$; dan

breidt $\sigma$ uit met $\alpha \mapsto \beta$. Nu is $L$ een splitsingslichaam van $P$ over $K(\alpha)$, en $L'$ van $P^\sigma$ over $K'(\beta)$, met $[L : K(\alpha)] < [L:K]$: inductie breidt verder uit tot $L \to L'$. ∎

Bewijs. Bestaan (constructie van Artin). Zij $R = K[(X_f)_f]$ de veeltermring met één variabele $X_f$ per niet-constante monische $f \in K[X]$, en $I$ het ideaal voortgebracht door alle $f(X_f)$. $I$ is eigenlijk: een relatie $1 = \sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ betrekt eindig veel veeltermen; in een gemeenschappelijk splitsingslichaam $E$ van $f_1\cdots f_r$ kies wortels $\alpha_i$ van $f_i$ en evalueer $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ (andere variabelen $\mapsto 0$): $1 = 0$, absurd. Zij $\mathfrak m \supseteq I$ maximaal (Stelling 2.8; Zorn) en $K_1 = R/\mathfrak m$: een lichaamsuitbreiding van $K$ waarin elke niet-constante $f \in K[X]$ een wortel heeft, namelijk $\bar X_f$, en die algebraïsch over $K$ is (ze wordt voortgebracht door de $\bar X_f$, elk algebraïsch). Itereer: $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, waar $K_{n+1}$ met $K_n$ doet wat $K_1$ met $K$ deed, en zij $\Omega = \bigcup_n K_n$, een lichaam. Elke niet-constante $g \in \Omega[X]$ heeft haar eindig veel coëfficiënten in enige $K_n$; een irreducibele factor van $g$ over $K_n$ heeft een wortel in $K_{n+1} \subseteq \Omega$: $\Omega$ is algebraïsch gesloten, en algebraïsch over $K$ (elke $K_n$ is dat, door transitiviteit, Gevolg 4.5): $\Omega$ is een algebraïsche afsluiting.

Uniciteit. Zij $\Omega, \Omega'$ twee algebraïsche afsluitingen. Beschouw de verzameling van paren $(E, \tau)$ waar $K \subseteq E \subseteq \Omega$ en $\tau\colon E \to \Omega'$ een $K$-inbedding is, geordend door uitbreiding; ze is niet-leeg ($(K, \mathrm{id})$) en inductief (unie van een keten), dus levert Zorn een maximale $(E_0, \tau_0)$. Als $E_0 \neq \Omega$, kies $\alpha \in \Omega\setminus E_0$: $\pi_{\alpha/E_0}$ beeldt af op een veelterm over $\tau_0(E_0)$ die een wortel $\beta$ in het algebraïsch gesloten $\Omega'$ heeft, en $\tau_0$ breidt uit tot $E_0(\alpha) \to \Omega'$ ($\alpha \mapsto \beta$), in strijd met maximaliteit. Dus is er een $K$-inbedding $\tau \colon \Omega \to \Omega'$; haar beeld, isomorf met $\Omega$, is algebraïsch gesloten, en $\Omega'$ is algebraïsch erover: voor $x \in \Omega'$ splitst $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ over $\tau(\Omega)$, dus $x \in \tau(\Omega)$. Dus is $\tau$ surjectief: een isomorfisme. ∎

Bewijs. (1) Een eindig lichaam $E$ heeft karakteristiek $p > 0$ en is een eindigdimensionale $\mathbb F_p$-vectorruimte: $\abs E = p^n$. Haar multiplicatieve groep heeft orde $q - 1$, dus vervult elk $x \in E$ $x^q = x$: $E$ bestaat uit $q$ wortels van $X^q - X$, is dus een splitsingslichaam ervan over $\mathbb F_p$ — wat $E$ tot op isomorfie bepaalt (Stelling 4.7). Omgekeerd, in een splitsingslichaam $L$ van $X^q - X$ is de verzameling $E$ van haar wortels een deellichaam: $(x + y)^q = x^q + y^q$ door de beginnelingsdroom $(a+b)^p = a^p + b^p$ te itereren ($p \mid \binom pk$), en $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$; ze heeft precies $q$ elementen omdat $X^q - X$ separabel is: haar afgeleide is $qX^{q-1} - 1 = -1$ (omdat $p \mid q$), copriem ermee, dus geen herhaalde wortels. Dus $L = E$ heeft $q$ elementen.

(2) $F$ is een lichaamsmorfisme (beginnelingsdroom), injectief (lichamen), dus bijectief op de eindige $\mathbb F_q$. $F^n = \mathrm{id}$ ($x^q = x$), en geen kleinere macht is de identiteit: $F^m = \mathrm{id}$ betekent dat alle $q$ elementen wortels van $X^{p^m} - X$ zijn, wat $p^m \geq q$ dwingt. Dus is $\langle F\rangle$ cyclisch van orde $n$; en er zijn geen andere automorfismen, door de grens $\abs{\operatorname{Aut}} \leq [\,\mathbb F_q : \mathbb F_p\,] = n$ hieronder bewezen (Propositie 4.16 met $L = \mathbb F_q$, $K = \mathbb F_p$: automorfismen fixeren het priemlichaam).

(3) Als $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$, geeft de torenwet $p^n = (p^m)^d$: $m \mid n$. Omgekeerd, als $m \mid n$, dan $p^m - 1 \mid p^n - 1$ (geometrische som), dus deelt $X^{p^m} - X$ $X^{p^n} - X$ (zelfde argument op exponenten: $X^{a} - 1 \mid X^{b} - 1$ wanneer $a \mid b$), en de wortels van de eerste binnen $\mathbb F_{p^n}$ vormen het vereiste deellichaam, van kardinaliteit $p^m$ (separabiliteit als in (1)). ∎

Bewijs. Zij $G \leq K^\times$ eindig. Door de structuurstelling (Gevolg 3.13), $G \cong \Z/d_1 \times \dots \times \Z/d_s$ met $d_1 \mid \dots \mid d_s$. Elk $x \in G$ vervult dan $x^{d_s} = 1$; maar $X^{d_s} - 1$ heeft hoogstens $d_s$ wortels in het lichaam $K$: $\abs G = d_1\cdots d_s \leq d_s$, wat $s = 1$ dwingt: $G$ is cyclisch. ∎

Bewijs. $\gcd(P, P')$ deelt $P$; als ze niet $1$ is, dwingt irreducibiliteit $\gcd = P$ (tot op een constante), dus $P \mid P'$ met $\deg P' < \deg P$: $P' = 0$. Schrijvend $P = \sum a_kX^k$: $ka_k = 0$ voor alle $k$, dus in karakteristiek $0$ is $P$ constant (uitgesloten); in karakteristiek $p$, $a_k = 0$ tenzij $p \mid k$: $P = Q(X^p)$. Over een eindig lichaam is elk element een $p$-de macht (Frobenius is surjectief), dus is $Q(X^p) = \sum b_k^p X^{pk} = (\sum b_kX^k)^p$ niet irreducibel: $P' = 0$ kan daar ook niet voor irreducibele $P$. ∎

Bewijs. Inductie op $[L:K]$ via eenvoudige stappen. Voor $L = K(\alpha)$: een uitbreiding $\tau$ is bepaald door $\tau(\alpha)$, die een wortel in $\Omega$ van $\pi_\alpha^\sigma$ moet zijn; omgekeerd geeft elke zo’n wortel één uitbreiding ($K(\alpha) \cong K[X]/(\pi_\alpha)$). Het aantal uitbreidingen is het aantal onderscheiden wortels van $\pi_\alpha^\sigma$ in $\Omega$: hoogstens $\deg\pi_\alpha = [K(\alpha):K]$, met gelijkheid desda $\pi_\alpha$ separabel is (separabiliteit van $\pi^\sigma$ en $\pi$ stemmen overeen: ggd met de afgeleide wordt door $\sigma$ bewaard). In het algemeen, factoriseer $L = K(\alpha_1)(\alpha_2, \dots)$: uitbreidingen van $\sigma$ tot $K(\alpha_1)$ tellen $\leq [K(\alpha_1):K]$, en elk breidt in $\leq [L : K(\alpha_1)]$ manieren uit door inductie; vermenigvuldig (torenwet). In het separabele geval zijn beide tellingen gelijkheden: minimale veeltermen over het grotere lichaam $K(\alpha_1)$ delen die over $K$, blijven dus separabel. ∎

Bewijs. Als $K$ eindig is, is $L$ dat ook, en een voortbrenger $\gamma$ van de cyclische groep $L^\times$ (Stelling 4.12) doet het. Zij $K$ oneindig; door inductie volstaat $L = K(\alpha, \beta)$ te behandelen. Zij $n = [L:K]$; door Propositie 4.16 zijn er $n$ onderscheiden $K$-inbeddingen $\sigma_1, \dots, \sigma_n \colon L \to \Omega$ ($\Omega$ een algebraïsche afsluiting). De veelterm

is niet identiek nul: een factor verdwijnt identiek alleen als $\sigma_i, \sigma_j$ op zowel $\alpha$ als $\beta$ overeenstemmen, dus op $L$ — uitgesloten voor $i \neq j$. Omdat $K$ oneindig is, kies $c \in K$ met $D(c) \ne 0$: dan zijn de $n$ elementen $\sigma_i(\alpha + c\beta)$ paarsgewijs onderscheiden, dus heeft $\gamma = \alpha + c\beta$ minstens $n$ onderscheiden conjugaten in $\Omega$, d.w.z. $\deg \pi_\gamma \geq n$: $[K(\gamma):K] \geq n = [L:K]$ dwingt $L = K(\gamma)$. ∎

Bewijs. Zij $L$ de splitsing van de separabele $P$ over $K$, en fixeer een algebraïsche afsluiting $\Omega \supseteq L$. $L/K$ is separabel: ze wordt voortgebracht door wortels van $P$; separabiliteit van elk element volgt uit het gelijkheidsgeval hieronder, maar argumenteer direct — Propositie 4.16 toegepast op de voortbrengers (wortels van de separabele $P$, waarvan de minimale veeltermen $P$ delen) levert precies $[L:K]$ uitbreidingen van $K \hookrightarrow \Omega$ (in de inductiestap deelt de minimale veelterm van een wortel van $P$ over een tussenlichaam nog steeds $P$, is dus separabel). Elke zo’n inbedding $\tau \colon L \to \Omega$ permuteert de wortels van $P$ ($\tau$ fixeert de coëfficiënten), en $L$ wordt erdoor voortgebracht: $\tau(L) = L$. Dus inbeddingen $=$ automorfismen: $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} = [L:K]$. Voor tussenliggende $F$: $L$ is ook het splitsingslichaam van $P$ over $F$, en $P$ blijft separabel: $L/F$ is Galoïsch; hetzelfde argument geeft normaliteit over $F$. ∎

Bewijs. Zij $n = \abs G$, $G = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$, en stel dat $x_1, \dots, x_{n+1} \in L$ lineair onafhankelijk over $K$ zijn. Het homogene lineaire stelsel van $n$ vergelijkingen in $n+1$ onbekenden $(c_j)$ over $L$,

heeft een niet-nulle oplossing; kies er één met de minste niet-nulle entries, zeg $c_1, \dots, c_r \neq 0$ (hernummering), $r \geq 2$ (een enkele $c_j\sigma_i(x_j) = 0$ is onmogelijk), genormaliseerd $c_r = 1$. Niet alle $c_j$ liggen in $K$: de vergelijking voor $\sigma_i = \mathrm{id}$ zou onafhankelijkheid tegenspreken; zeg $c_1 \notin K$, dus $\tau(c_1) \ne c_1$ voor enige $\tau \in G$. Pas $\tau$ toe op alle vergelijkingen: omdat $\tau\sigma_i$ over $G$ loopt, is de vector $(\tau(c_j))_j$ een andere oplossing; aftrekken, $(c_j - \tau(c_j))_j$ is een oplossing met minder niet-nulle entries (de $r$-de entry $1 - 1 = 0$ verdwijnt, de eerste niet) en niet nul: tegenspraak. Dus zijn $n+1$ elementen afhankelijk: $[L:K] \leq n$. ∎

Bewijs. (1) Duidelijk $K \subseteq L^G$. Omgekeerd zij $\alpha \in L \setminus K$; we vertonen $\sigma \in G$ met $\sigma(\alpha) \ne \alpha$. De minimale veelterm $\pi_\alpha$ over $K$ heeft graad $\geq 2$ en is separabel ($L/K$ separabel, Propositie 4.19), dus heeft ze een andere wortel $\beta \neq \alpha$ in een algebraïsche afsluiting $\Omega \supseteq L$. Breid de $K$-inbedding $K(\alpha) \to \Omega$, $\alpha \mapsto \beta$, uit tot een inbedding $\tau\colon L \to \Omega$ (Propositie 4.16); door normaliteit (Propositie 4.19) $\tau(L) = L$, dus $\tau \in G$, $\beta = \tau(\alpha) \in L$, en $\tau(\alpha) \neq \alpha$.

(2) Voor een deelgroep $H$: $L/L^H$ is Galoïsch (Propositie 4.19), en $\operatorname{Gal}(L/L^H) \supseteq H$ triviaal, dus $[L:L^H] = \abs{\operatorname{Gal}(L/L^H)} \geq \abs H$; het lemma van Artin geeft $[L:L^H] \leq \abs H$: gelijkheid, en $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$. Voor een tussenlichaam $F$: $L/F$ Galoïsch geeft $L^{\operatorname{Gal}(L/F)} = F$ door (1) toegepast op $L/F$. De twee afbeeldingen zijn elkaars inverse; ze keren inclusies evident om. Graden: $[L:L^H] = \abs H$ zojuist bewijs, en $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = \abs G/\abs H$.

(3) Voor $\sigma \in G$ en $H \leq G$: $\sigma(L^H) = L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ (directe controle). Door de bijectie, $\sigma(L^H) = L^H$ voor alle $\sigma$ desda $H \trianglelefteq G$. Nu als $H \trianglelefteq G$, stel $F = L^H$: elke $\sigma \in G$ beperkt tot een automorfisme van $F$, wat een morfisme $\rho \colon G \to \operatorname{Aut}_K(F)$ geeft met kern $\{\sigma : \sigma\restriction_F = \mathrm{id}\} = \operatorname{Gal}(L/F) = H$. Dus injecteert $G/H$ in $\operatorname{Aut}_K(F)$, vandaar $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} \geq [G:H] = [F:K]$; de omgekeerde ongelijkheid geldt altijd (Propositie 4.16): $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} = [F:K]$ en $\rho$ is surjectief. Het blijft te zien dat $F/K$ Galoïsch is: $F$ is separabel over $K$ (binnen de separabele $L/K$), en $F = K(\gamma)$ (Stelling 4.17); de veelterm $\prod_{\sigma \in G/H}\bigl(X - \sigma(\gamma)\bigr)$ (product over de onderscheiden beelden, die in $F$ liggen: $\sigma(F) = L^{\sigma H\sigma^{-1}} = L^H = F$ door normaliteit van $H$) heeft coëfficiënten vast onder $G$, dus in $K$ door (1): ze is een separabele veelterm van $K[X]$ gesplitst door $F$, en haar wortels brengen $F$ voort: $F/K$ is Galoïsch. Omgekeerd, als $F = L^H$ met $F/K$ Galoïsch, geeft normaliteit van $F$ (Propositie 4.19, toegepast op inbeddingen $F \to \Omega$ beperkt van elementen van $G$) $\sigma(F) = F$ voor alle $\sigma \in G$, d.w.z. $H \trianglelefteq G$. ∎

Bewijs. Zij $f = \pi_{\zeta_n}$, dus $\Phi_n = fg$ met $f, g \in \Z[X]$ monisch (lemma van Gauss Lemma 2.23: inhouden vermenigvuldigen, alle veeltermen monisch). Bewering: als $\zeta$ een wortel van $f$ is en $p \nmid n$ priem, dan is $\zeta^p$ een wortel van $f$. Anders is $\zeta^p$ een wortel van $g$ (ze is een primitieve $n$-de eenheidswortel), dus is $\zeta$ een wortel van $g(X^p)$, en $f \mid g(X^p)$ in $\Z[X]$ (minimale veelterm, dan opnieuw Gauss). Reduceer mod $p$: $\bar g(X^p) = \bar g(X)^p$ (Frobenius op $\mathbb F_p[X]$: coëfficiëntgewijs $a^p = a$, en beginnelingsdroom), dus $\bar f \mid \bar g^{\,p}$: $\bar f$ en $\bar g$ delen een irreducibele factor, en $\bar\Phi_n = \bar f\bar g$ heeft een herhaalde factor. Dan heeft $X^n - \bar 1$ dat ook; maar haar afgeleide $\bar nX^{n-1}$ is copriem ermee ($p \nmid n$, en $0$ is geen wortel): tegenspraak.

Elke primitieve wortel $\zeta_n^k$ ($\gcd(k, n) = 1$) wordt uit $\zeta_n$ verkregen door opeenvolgende priemmachten die $n$ niet delen (factoriseer $k$): de bewering propageert, dus is elke primitieve wortel een wortel van $f$: $f = \Phi_n$, irreducibel. Bijgevolg $[\Q(\zeta_n):\Q] = \varphi(n)$, en $\Q(\zeta_n)$ is het splitsingslichaam van de separabele $X^n - 1$ (alle wortels zijn machten van $\zeta_n$): Galoïsch. Een automorfisme $\sigma$ stuurt $\zeta_n$ naar een andere primitieve wortel $\zeta_n^{a(\sigma)}$, en $\sigma \mapsto a(\sigma)$ is een injectief morfisme naar $(\Z/n\Z)^\times$; beide groepen hebben orde $\varphi(n)$: isomorfisme. ∎

Bewijs. ($\Rightarrow$) De coördinaten van de doorsnijding van twee lijnen door punten met coördinaten in een deellichaam $F \subseteq \R$ lossen een lineair stelsel over $F$ op: ze blijven in $F$. Lijn–cirkel- en cirkel–cirkeldoorsnijdingen leiden, na eliminatie van het lineaire deel (aftrekken van de twee cirkelvergelijkingen geeft een lijn), tot een kwadratische vergelijking over $F$: de nieuwe coördinaten liggen in $F$ of in $F(\sqrt d)$ voor enige $d \in F$, $d > 0$. Door inductie heeft elk geconstrueerd punt coördinaten in een toren van kwadratische uitbreidingen van $\Q$; en $z = x + \iu y$ zit ook in een kwadratische toren (adjointeer $\iu$: één extra kwadratische stap). Het graadgevolg: $[\Q(z):\Q]$ deelt $[F_r : \Q] = 2^r$ (torenwet).

($\Leftarrow$) De construeerbare getallen vormen een lichaam: sommen en verschillen door parallellogrammen (parallellen zijn construeerbaar: laat loodlijnen vallen en oprichten — de klassieke loodlijn door een punt gebruikt één cirkel en twee bogen); producten en quotiënten door Thales-configuraties (gegeven lengtes $a, b$ construeer $ab$ en $a/b$ met gelijkvormige driehoeken op twee stralen). En het lichaam is gesloten onder vierkantswortels: voor $a > 0$ snijden de cirkel van diameter $1 + a$ en de loodlijn in het verbindingspunt op hoogte $\sqrt a$ (hoogte-meetkundig-gemiddelde-relatie in een rechthoekige driehoek); voor complex $w = \rho\eu^{\iu\theta}$, construeer $\sqrt\rho$ en deel $\theta$ in tweeën (hoekdeling is een passerconstructie). Reële en imaginaire delen van leden van een kwadratische toren zijn dus construeerbaar door inductie op de toren: elke stap adjointeert wortels van een kwadratische, uitdrukbaar door lichaamsoperaties en één vierkantswortel van een reeds geconstrueerd getal (de kwadratische formule; in karakteristiek $0$). ∎