Wat is kansruimte?

Voorbeeld 22.2

De standaardverdelingen en hun opmerkelijke transformaties: bernoulli $\mathcal B(p)$, binomiaal $\mathcal B(n, p)$, meetkundig, poisson $\mathcal P(\lambda)$ (discreet: de tabellen uit het volume van bachelorjaar 2 blijven geldig); uniform op $\intcc01$ (de lebesguemaat zelf); exponentieel $\mathcal E(\lambda)$ (dichtheid $\lambda\eu^{-\lambda x}\mathbf 1_{x>0}$); de gaussische verdeling $\mathcal N(m, \sigma^2)$ met dichtheid $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\bigl(-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ — een kansdichtheid volgens Probleem 10.1, met gemiddelde $m$ en variantie $\sigma^2$ (de gaussische momenten, Oefening 11.10).

Voorbeeld 22.14 (Wat de sterke wet oplevert)

(a) Frequenties: voor i.i.d. muntworpen convergeert de waargenomen frequentie van kop b.z. naar $p$ — de empirische rechtvaardiging van de kansrekening zelf. (b) Monte carlo: voor $g \in L^1(\intcc01)$ en $(U_n)$ i.i.d. uniform (Stelling 22.6) is $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$ b.z.: integralen door te bemonsteren, in elke dimensie, met de van de dimensie onafhankelijke snelheid $\sim n^{-1/2}$ die in Hoofdstuk 23 precies wordt gemaakt. (c) Normale getallen: bijna elk reëel getal heeft in zijn binaire ontwikkeling asymptotische frequentie $\frac12$ aan enen (pas de sterke wet toe op de cijferveranderlijken van Stelling 22.6) — de stelling van Borel, een uitspraak over de meest alledaagse getallen bewezen met maat: Probleem 22.1 maakt haar in alle bases af.