Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

8Veeltermen

Veeltermen zijn de lievelingsfuncties van de algebraïcus — behalve dat ze hier niet als functies behandeld worden, maar als formele uitdrukkingen in een onbepaalde $X$ , opgeteld en vermenigvuldigd volgens de regels van een commutatieve ring. De theorie loopt opvallend parallel met Hoofdstuk 6: een euclidische deling, een ggd met betrekkingen van Bézout, irreducibele elementen en een unieke ontbinding. Overal noteert $K$ hetzij $\Q$ , hetzij $\R$ , hetzij $\C$ .

8.1 De ring $K[X]$

Definitie 8.1 (Veelterm, graad)

Een veelterm met coëfficiënten in $K$ is een formele som

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

met $a_k \in K$ die vanaf een zekere index alle nul zijn. Met de natuurlijke optelling en het product

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k

is de verzameling $K[X]$ een commutatieve ring. De graad $\deg P$ van $P \neq 0$ is de grootste $n$ met $a_n \neq 0$ ; $a_n$ is de kopcoëfficiënt ( $P$ heet monisch wanneer $a_n = 1$ ), en per afspraak is $\deg 0 = -\infty$ . Elke veelterm definieert door substitutie een functie $x \mapsto P(x)$ op $K$ .

Propositie 8.2 (Graadregels; integriteitsdomein)

Voor $P, Q \in K[X]$ geldt

\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q .

Bijgevolg is $K[X]$ een integriteitsdomein, en zijn de eenheden ervan de constanten ongelijk aan nul.

Bewijs. De somregel is duidelijk (voorbij het maximum verdwijnen de coëfficiënten). Voor het product: zij $a_m$ en $b_n$ de kopcoëfficiënten, dan is de coëfficiënt van $X^{m+n}$ in $PQ$ gelijk aan $a_m b_n \neq 0$ ( $K$ is een lichaam en dus een integriteitsdomein), en alle hogere coëfficiënten verdwijnen. Zijn $P, Q \neq 0$ , dan is $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$ , dus $PQ \neq 0$ : een integriteitsdomein. Is $PQ = 1$ , dan dwingt $\deg P + \deg Q = 0$ af dat $\deg P = \deg Q = 0$ : de inverteerbare elementen zijn de inverteerbare constanten, dus heel $K^*$ . ∎

Stelling 8.3 (Euclidische deling)

Zij $A, B \in K[X]$ met $B \neq 0$ . Er is precies één paar $(Q, R)$ veeltermen met

A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B .

Bewijs. Bestaan, met sterke inductie naar $\deg A$ . Is $\deg A < \deg B$ , neem dan $(Q, R) = (0, A)$ . Anders schrijf je $A = a X^m + \dots$ en $B = b X^n + \dots$ met $m \geq n$ ; de veelterm $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ heeft graad $< m$ (de kopterme heffen elkaar op), dus is volgens de inductie $A_1 = BQ_1 + R$ met $\deg R < \deg B$ , en $A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$ .

Uniciteit: is $BQ + R = BQ' + R'$ , dan is $B(Q - Q') = R' - R$ met $\deg(R' - R) < \deg B$ ; de graadregel dwingt dan $Q - Q' = 0$ af, waarna $R = R'$ . ∎

Voorbeeld 8.4

Deel $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ door $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(Reken na: trek $X^2 B$ af, dan $X B$ , dan $-B$ ; de rest $-3X + 2$ heeft graad $1 < 2$ .)

Methode 8.5 (Het schema van Horner)

Om $P = a_nX^n + \dots + a_0$ in $x$ te evalueren, of om $P$ door $X - x$ te delen, vermijd je het berekenen van machten: lees de coëfficiënten van links naar rechts en herhaal vermenigvuldig met $x$ , tel de volgende coëfficiënt op:

b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1} \quad (k = n-1, \dots, 0) .

Dan is $b_0 = P(x)$ , en de eerdere $b_k$ zijn de coëfficiënten van het quotiënt: $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (werk uit en vergelijk). Voorbeeld: $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ in $x = 2$ : de $b$ ’s zijn $1, -3, 0, 4, 0$ , dus $P(2) = 0$ en $P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — één regel in plaats van een staartdeling, en $n$ vermenigvuldigingen in plaats van de $\approx n^2/2$ van de naïeve evaluatie. Het schema in hetzelfde punt herhalen haalt de multipliciteiten naar boven (vergelijk Voorbeeld 8.12).

Opmerking 8.6 (De rekenkunde van $K[X]$ )

Met de euclidische deling in handen draagt de hele rekenkunde van Hoofdstuk 6 over naar $K[X]$ , met dezelfde bewijzen en met de graad in de rol van de absolute waarde: ggd (genormaliseerd tot een monische veelterm), uitgebreid algoritme van Euclides, identiteit van Bézout, lemma van Gauss, irreducibele veeltermen en unieke ontbinding. We gebruiken die overgedragen resultaten vrijelijk, en Oefening 8.6 oefent er één van in.

8.2 Wortels

Stelling 8.7 (Factorstelling)

Zij $P \in K[X]$ en $a \in K$ . De rest van $P$ bij deling door $X - a$ is de constante $P(a)$ . In het bijzonder geldt

P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P .

Algemener leveren verschillende wortels $a_1, \dots, a_r$ van $P$ de ontbinding $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$ op.

Bewijs. Deel: $P = (X - a) Q + R$ met $\deg R < 1$ , zodat $R$ een constante $c$ is; substitutie van $X = a$ (substitueren respecteert sommen en producten) geeft $P(a) = c$ . De equivalentie volgt. Voor meerdere wortels voer je inductie naar $r$ : het geval $r = 1$ is de zojuist bewezen equivalentie. Neem de uitspraak aan voor $r - 1$ wortels en zij $a_1, \dots, a_r$ verschillende wortels van $P$ . Schrijf $P = (X - a_1)Q_1$ ; substitutie van $a_i$ voor elke $i \geq 2$ geeft

0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i), \qquad a_i - a_1 \neq 0 ,

en omdat $K$ geen nuldelers heeft, is $Q_1(a_i) = 0$ : de $r - 1$ verschillende punten $a_2, \dots, a_r$ zijn wortels van $Q_1$ . De inductiehypothese ontbindt $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$ , en terugsubstitueren geeft de bewering. ∎

Gevolg 8.8 (Een veelterm van graad $n$ heeft hoogstens $n$ wortels)

Een $P \in K[X]$ ongelijk aan nul en van graad $n$ heeft hoogstens $n$ verschillende wortels in $K$ . Bijgevolg is een veelterm (van graad $\leq n$ ) die in $n + 1$ verschillende punten nul is, de nulveelterm, en zijn twee veeltermen van graad $\leq n$ die in $n+1$ punten overeenstemmen gelijk.

Bewijs. Zijn $a_1, \dots, a_r$ verschillende wortels, dan geeft Stelling 8.7 dat $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$ , zodat $n = \deg P \geq r$ . De twee gevolgen volgen uit het ongerijmde, respectievelijk door het verschil te beschouwen. ∎

Voorbeeld 8.9 (De truc met de hulpveelterm)

Zij $P$ de veelterm van graad $\leq n$ met

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

hij bestaat en is uniek wegens de Lagrange-interpolatie hieronder. Wat is $P(n+1)$ ? Werk de noemers weg: de veelterm $Q = (X+1)P - X$ heeft graad $\leq n + 1$ en is nul in de $n + 1$ punten $0, 1, \dots, n$ , dus volgens Stelling 8.7 is

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

voor een zekere constante $c$ . Evalueer waar $Q$ onafhankelijk bekend is: in $X = -1$ is $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , terwijl het product $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ oplevert; dus $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Evalueer nu in $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

zodat $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : gelijk aan $1$ voor oneven $n$ en aan $\frac{n}{n+2}$ voor even $n$ — de interpolerende veelterm zet het patroon $\frac{n+1}{n+2}$ dus niet voort. De truc om te onthouden: codeer de gegevens als wortels van een hulpveelterm, bepaal de onbekende constante in een punt buiten de gegevens, en oogst.

Definitie 8.10 (Afgeleide, multipliciteit)

De formele afgeleide van $P = \sum a_k X^k$ is $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$ ; ze voldoet aan de gewone regels $(P+Q)' = P' + Q'$ en $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (na te gaan op monomen en uit te breiden met de lineariteit). Een wortel $a$ van $P$ heeft multipliciteit $m \geq 1$ wanneer $(X-a)^m \mid P$ maar $(X-a)^{m+1} \nmid P$ ; de wortel heet enkelvoudig als $m = 1$ en meervoudig als $m \geq 2$ .

Propositie 8.11 (Multipliciteit via afgeleiden)

$a$ is een wortel van $P$ van multipliciteit $\geq m$ dan en slechts dan als

P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 .

In het bijzonder is $a$ een meervoudige wortel van $P$ dan en slechts dan als $P(a) = P'(a) = 0$ .

Bewijs. Schrijf $P = (X - a)^m Q + R$ , waarbij $R$ de rest van de deling door $(X-a)^m$ is, met $\deg R < m$ . Differentiëren we $k \leq m - 1$ maal en evalueren we in $a$ , dan draagt de eerste term $0$ bij (elke afgeleide houdt een factor $(X-a)$ over), zodat $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$ .

Nu ligt een veelterm $R$ van graad $< m$ vast door $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$ : schrijf $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ (dat kan: werk de machten van $X = (X - a) + a$ uit), dan vind je $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$ . Bijgevolg: alle $P^{(k)}(a) = 0$ voor $k < m$ $\iff$ alle $c_k = 0$ $\iff$ $R = 0$ $\iff$ $(X-a)^m \mid P$ . ∎

Voorbeeld 8.12 (Een multipliciteit berekenen)

Wat is de multipliciteit van de wortel $2$ in $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ ? Evalueer de opeenvolgende afgeleiden in $2$ :

P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0,

P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0

(met $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$ , $P'' = 12X^2 - 30X + 12$ en $P''' = 24X - 30$ ). Drie waarden nul en dan een waarde ongelijk aan nul: multipliciteit precies $3$ . Delen geeft $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — wat je nagaat door $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ uit te werken en met $X + 1$ te vermenigvuldigen. Het inzicht: multipliciteiten lees je af aan evaluaties, zonder ontbinding — en precies zo spoor je ze op wanneer de ontbinding buiten bereik ligt.

Voorbeeld 8.13 (Meervoudige wortels opsporen met een ggd)

Ook zonder één bekende wortel levert Propositie 8.11 nog een globale detector van meervoudige wortels: $a$ is een meervoudige wortel van $P$ precies wanneer het een gemeenschappelijke wortel van $P$ en $P'$ is, zodat $P$ een meervoudige wortel (in $\C$ ) heeft precies wanneer $\gcd(P, P') \neq 1$ — berekenbaar met het algoritme van Euclides zonder ook maar iets op te lossen. Voorbeeld: $P = X^3 - 3X + 2$ met $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . De wortels $\pm1$ van $P'$ in $P$ toetsen: $P(1) = 0$ maar $P(-1) = 4$ , dus

\gcd(P, P') = X - 1 :

de wortel $1$ is meervoudig; tweemaal delen geeft $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . De ggd meldt zelfs de volledige verzameling meervoudige wortels, elk met een multipliciteit die één lager ligt — het feit dat elk computeralgebrasysteem uitbuit om “kwadraatvrij te ontbinden” vóór er naar wortels gejaagd wordt, en de veeltermtegenhanger van de argumenten zonder meervoudige wortels in Oefening 8.9.

Stelling 8.14 (Hoofdstelling van de algebra)

Elke niet-constante veelterm van $\C[X]$ heeft een wortel in $\C$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 8.15

Ondanks haar naam is de stelling een uitspraak uit de analyse: elk bekend bewijs gebruikt de volledigheid van $\R$ in een of andere vorm, en geen enkel is zuiver algebraïsch — het eerlijke bewijs wordt gegeven in het volume van bachelorjaar 3, zodra ofwel complexe integratie ofwel compactheidsargumenten beschikbaar zijn. Wat dit hoofdstuk werkelijk bewijst, is de herleiding: gegeven één wortel voor elke niet-constante veelterm, volgen de volledige ontbindingen over $\C$ en $\R$ hieronder met zuivere algebra.

Gevolg 8.16 (Ontbinding over $\C$ en over $\R$ )

Elke $P \in \C[X]$ ongelijk aan nul ontbindt als

$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$

met $c$ de kopcoëfficiënt, $a_i$ de verschillende complexe wortels en $\sum m_i = \deg P$ : met multipliciteit geteld heeft een veelterm van graad $n$ precies $n$ complexe wortels.
Elke $P \in \R[X]$ ongelijk aan nul ontbindt over $\R$ als

$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j},$

waarbij de kwadratische factoren verschillend zijn met $p_j^2 - 4q_j < 0$ (geen reële wortels).

Bewijs. (1) Inductie naar de graad, waarbij je telkens één wortel afsplitst met Stelling 8.7; de graden kloppen bij elke stap.

(2) Zij $P$ met reële coëfficiënten. Is $z$ een complexe wortel van multipliciteit $m$ , dan is $\conj z$ dat ook: toevoegen in $P(z) = 0$ geeft $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ (de coëfficiënten zijn hun eigen toegevoegde), en hetzelfde geldt voor de afgeleiden (Propositie 8.11). Groepeer de niet-reële wortels in toegevoegde paren: elk paar draagt

(X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2

bij, een reële tweedegraadsveelterm met negatieve discriminant. De reële wortels leveren de lineaire factoren. ∎

Voorbeeld 8.17

$X^4 + 4$ werd in Oefening 3.5 over $\R$ ontbonden door de vier complexe wortels $\pm 1 \pm \iu$ te koppelen: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ . Geen van beide kwadratische factoren splitst over $\R$ (discriminanten $-4$ ). Merk op: een irreducibele reële veelterm heeft graad $1$ of $2$ — en dat is precies wat de ontbindingsstelling zegt. Hetzelfde koppelen van toegevoegde wortels toegepast op $X^4 + 1$ , waarvan de wortels $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ en $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ zijn: elk paar draagt $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ bij, dus

X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr) \bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) ,

een identiteit die onzichtbaar blijft voor naïeve ontbindingspogingen over $\Q$ — de prijs van het aandringen op reële (hier zelfs irrationale) coëfficiënten, en een standaardingrediënt voor het integreren van $\frac1{x^4 + 1}$ in Hoofdstuk 15.

De Tsjebysjev-veelterm T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X op ∈tcc-11: hij oscilleert precies tussen -1 en 1 en raakt de grenzen in zes punten (gemarkeerd). Die equi-oscillatie is wat van 2-4T_5 de monische vijfdegraadsveelterm met de kleinste supremumnorm op het interval maakt ( en de weekendopgave). — De Tsjebysjev-veelterm $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ op $\intcc{-1}1$ : hij oscilleert precies tussen $-1$ en $1$ en raakt de grenzen in zes punten (gemarkeerd). Die *equi-oscillatie* is wat van $2^{-4}T_5$ de monische vijfdegraadsveelterm met de kleinste supremumnorm op het interval maakt (Oefening 8.10 en de weekendopgave).

Opmerking 8.18 (Veelgemaakte fouten met veeltermen)

Veelterm tegenover functie. Over $K = \Q, \R, \C$ vallen beide begrippen samen (gelijke functies hebben gelijke coëfficiënten, wegens Gevolg 8.8 en de oneindigheid van $K$ ), maar begripsmatig is een veelterm zijn lijst coëfficiënten: over het lichaam $\Z/2\Z$ met twee elementen uit Hoofdstuk 7 is $X^2 + X$ nul in beide punten, en toch niet de nulveelterm.
Graden bij optelling. $\deg(P + Q)$ kan onder $\max(\deg P, \deg Q)$ zakken wanneer de koptermen elkaar opheffen; “ $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ ” schrijven is alleen veilig bij verschillende graden.
Wortels correct tellen. “ $n$ wortels” in Gevolg 8.16 betekent met multipliciteit, in $\C$ : $X^2 + 1$ heeft geen reële wortels, en $(X-1)^2$ heeft één verschillende wortel maar twee met multipliciteit. Uitspraken die de drie tellingen door elkaar halen zijn de meest voorkomende bron van valse bewijzen.
Irreducibiliteit hangt van het lichaam af. $X^2 - 2$ is irreducibel over $\Q$ en splitst over $\R$ ; $X^2 + 1$ is irreducibel over $\R$ en splitst over $\C$ . Het kale woord “irreducibel” betekent niets zolang het lichaam van de coëfficiënten niet genoemd is.

8.3 Coëfficiënten en wortels

Stelling 8.19 (Formules van Vieta)

Zij $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ monisch met wortels $a_1, \dots, a_n \in \C$ (met multipliciteit). Dan is

\sum_i a_i = -c_{n-1}, \qquad \sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2}, \qquad \dots, \qquad a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 ,

waarbij de $k$ -de symmetrische functie van de wortels gelijk is aan $(-1)^k c_{n-k}$ .

Bewijs. Volgens Gevolg 8.16 is $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ (monisch, alle wortels opgesomd). Het product distributief uitwerken levert één term per manier om in elke factor hetzij $X$ , hetzij de wortelterm $-a_i$ te kiezen: de wortels kiezen in de factoren met index $i_1 < \dots < i_k$ en $X$ in de $n - k$ andere draagt $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$ bij. Groeperen naar de macht van $X$ :

P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr) X^{n-k} ,

en gelijkstellen met $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ (de coëfficiënten zijn uniek, Definitie 8.1) geeft $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$ , oftewel $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$ , waarbij $\sigma_k$ de $k$ -de symmetrische functie hierboven noteert. De drie getoonde gevallen zijn $k = 1$ , $k = 2$ en $k = n$ . ∎

Voorbeeld 8.20

Voor de tweedegraadsveelterm $X^2 - sX + p$ : de som van de wortels is $s$ en het product $p$ — al herhaaldelijk gebruikt (Oefening 3.8). Voor een monische derdegraadsveelterm $X^3 + aX^2 + bX + c$ met wortels $\alpha, \beta, \gamma$ :

\alpha + \beta + \gamma = -a, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c ,

waarmee je symmetrische grootheden als $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ berekent zonder op te lossen.

Voorbeeld 8.21 (De wortels transformeren zonder ze te vinden)

Zij $\alpha, \beta$ de wortels van $X^2 - 3X + 1$ . Welke monische tweedegraadsveelterm heeft $\alpha^2, \beta^2$ als wortels? Volgens Vieta is $\alpha + \beta = 3$ en $\alpha\beta = 1$ , dus

\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7, \qquad \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 :

het antwoord is $X^2 - 7X + 1$ — verkregen zonder $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$ te berekenen. (Controle: $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$ , en inderdaad is $\alpha^2 + \beta^2 = 7$ .) Dezelfde strategie behandelt omgekeerden (transformaties van het type $X^2 - \frac ba X + \frac ca$ ), verschuivingen en alle symmetrische gegevens: Vieta zet vragen over onbekende wortels om in algebra op bekende coëfficiënten. Ze zal voortdurend van pas komen wanneer de wortels eigenwaarden zijn (Hoofdstuk 22).

Voorbeeld 8.22 (Palindromische vergelijkingen)

Los $X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$ op. De coëfficiënten lezen in beide richtingen hetzelfde, dus $0$ is geen wortel en delen door $X^2$ verliest geen oplossingen:

X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 .

Zet $y = X + \frac1X$ : dan is $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$ , en de vergelijking stort in tot

y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 .

Ontrol elke waarde via $X^2 - yX + 1 = 0$ : voor $y = 2$ geeft $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ de dubbele wortel $1$ ; voor $y = -3$ geeft $X^2 + 3X + 1 = 0$ de wortels $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$ . Vier wortels met multipliciteit voor een vierdegraadsveelterm, zoals Gevolg 8.16 eist — verkregen door twee tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. De truc werkt bij elke palindromische veelterm: hun wortels komen in omgekeerde paren $\{x, 1/x\}$ (vervang $X$ door $1/X$ en werk de noemers weg), en $y = X + \frac1X$ is juist de grootheid die op zulke paren constant is, wat de graad halveert.

Stelling 8.23 (Lagrange-interpolatie)

Zij $x_0, \dots, x_n$ verschillende punten van $K$ en $y_0, \dots, y_n \in K$ . Er is precies één $P \in K[X]$ van graad $\leq n$ met $P(x_i) = y_i$ voor alle $i$ , namelijk

P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i, \qquad L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} .

Bewijs. Elke $L_i$ heeft graad $n$ en voldoet aan $L_i(x_i) = 1$ en $L_i(x_j) = 0$ voor $j \neq i$ (telkens wordt één factor nul in het overeenkomstige $x_j$ ). De getoonde $P$ heeft dus graad $\leq n$ en interpoleert. Uniciteit: twee interpolerende veeltermen van graad $\leq n$ stemmen overeen in de $n+1$ punten $x_i$ en zijn dus gelijk (Gevolg 8.8). ∎

Opmerking 8.24 (Tussenspel: veeltermen zijn ook vectoren)

Een verandering van standpunt die Hoofdstuk 18 officieel zal maken: de veeltermen van graad $\leq n$ vormen een ruimte waarin optellen en schalen zich precies als bij coördinaten gedragen — een veelterm is zijn lijst van $n + 1$ coëfficiënten. Drie uitspraken van dit hoofdstuk zijn stiekem lineaire algebra. De Lagrange-interpolatie (Stelling 8.23) zegt dat de evaluatiegegevens $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ de veelterm $P$ ondubbelzinnig vastleggen: evalueren in $n + 1$ punten is een lineaire bijectie, en de $L_i$ vormen de basis die daarbij past. De ontwikkeling $R = \sum c_k(X - a)^k$ in het bewijs van Propositie 8.11 zegt dat de machten van $(X - a)$ een ander coördinatenstelsel vormen, met $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ als coördinaten. En Gevolg 8.8 — meer wortels dan de graad dwingt de nulveelterm af — is de motor van elke uniciteit: ze zal in Hoofdstuk 19 “een lineaire afbeelding die injectief is op een ruimte van dimensie $n + 1$ ” worden. Wanneer die hoofdstukken komen, zal de ruimte $K_n[X]$ hun lievelingsvoorbeeld zijn; het loont er al vloeiend in te zijn wanneer je er aankomt.

Opmerking 8.25 (Waar dit hoofdstuk gebruikt wordt)

De ontbinding over $\R$ en $\C$ (Gevolg 8.16) is de motor van de partieelbreuksplitsing in Hoofdstuk 9, en dus van een grote klasse integralen in Hoofdstuk 15. De ontwikkeling van een veelterm naar machten van $(X - a)$ , tegengekomen in het bewijs van Propositie 8.11, is de algebraïsche schaduw van de Taylorformules van Hoofdstuk 16. Karakteristieke veeltermen verschenen al bij de differentiaalvergelijkingen (Hoofdstuk 5) en keren terug bij matrices in Hoofdstuk 22; de Lagrange-interpolatie is de eerste bestaans- en uniciteitsstelling van de numerieke wiskunde, en de Tsjebysjev-veeltermen van Oefening 8.10 — waarvan de weekendopgave hieronder de optimaliteit vaststelt — vertellen die discipline waar je moet interpoleren. Ten slotte voedt de hele rekenkunde van $K[X]$ , gekopieerd van Hoofdstuk 6, de studie van $K[X]$ -idealen en quotiëntringen in het volume van bachelorjaar 2.

8.4 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Voer de euclidische delingen uit: $X^5 - 1$ door $X^2 + X + 1$ ; en vervolgens $2X^4 + X^3 - X + 3$ door $X^2 - 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

$X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$ . Stappen: trek $X^3 B$ af, dan $-X^2 B$ , dan $B$ ; de rest $-X - 2$ heeft graad $1 < 2$ . Controle in $X = 1$ : $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$ .

$2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$ . Controle in $X = 0$ : $\;3 = (-2)(4) + 11$ .

Oefening 8.2 ★

Voor welke $n \in \N$ deelt $X^2 + X + 1$ de veelterm $X^{2n} + X^n + 1$ ? Aanwijzing: de wortels van $X^2 + X + 1$ zijn $j$ en $j^2$ met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; bespreek $n$ modulo $3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

$X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ en $j^3 = 1$ . Hij deelt $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ precies wanneer $j$ en $j^2$ wortels van $Q_n$ zijn; omdat $Q_n$ reële coëfficiënten heeft, is $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$ , zodat de voorwaarde alleen $Q_n(j) = 0$ is. Nu hangt $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ af van $n$ modulo $3$ :

$n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ;
$n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ;
$n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ .

Dus $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ precies wanneer $3 \nmid n$ .

Oefening 8.3 ★

Bepaal de reële $a, b$ zó dat $(X-1)^2$ de veelterm $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$ deelt, en ontbind $P$ voor die waarden over $\R$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

Volgens Propositie 8.11 geldt $(X-1)^2 \mid P$ precies wanneer $P(1) = P'(1) = 0$ :

P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 .

Oplossen: $b = -a - 2$ en $4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$ , dus $a = 0$ en $b = -2$ : $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$ , en dat is de reële ontbinding.

Oefening 8.4 ★

Ontbind over $\C$ en over $\R$ : $X^3 - 1$ ; $\;X^4 + X^2 + 1$ ; $\;X^6 - 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

$X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ over $\C$ (met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ), en $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ over $\R$ .

$X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ over $\R$ (werk uit, of merk op dat $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$ ); over $\C$ splitst elke kwadratische factor: wortels $j, j^2$ en $-j, -j^2$ , dus $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ en $\eu^{\pm\iu\pi/3}$ .

$X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ over $\C$ , en over $\R$ :

X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1),

na groepering van de toegevoegde paren $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ en $\eu^{\pm \iu\pi/3}$ .

Oefening 8.5 ★★

Zij $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$ .

Bepaal de rationale wortels (een onvereenvoudigbare rationale wortel $p/q$ van een monische veelterm met gehele coëfficiënten is een geheel getal dat de constante term deelt — bewijs dat), en ontbind $P$ .
Bereken zonder op te lossen, via Vieta, de som van de kwadraten en de som van de omgekeerden van de wortels, en toets ze aan de ontbinding.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

Zij $p/q$ (onvereenvoudigbaar) een wortel van de monische veelterm $X^3 + \dots + c_0$ met gehele coëfficiënten: de noemers wegwerken in $P(p/q) = 0$ geeft $p^3 = -q\,(\text{geheel getal})$ , dus $q \mid p^3$ ; de onderlinge ondeelbaarheid dwingt $q = \pm 1$ af: de wortel is een geheel getal $p$ , en $p \mid c_0$ (isoleer $c_0$ ). Hier delen de kandidaten $6$ : toetsen geeft $P(1) = 0$ , $P(2) = 0$ , $P(3) = 0$ . Dus $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ .
Vieta: $s_1 = 6$ , $s_2 = 11$ , $s_3 = 6$ . Som van de kwadraten: $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ , zoals verwacht. Som van de omgekeerden: $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ , zoals verwacht.

Oefening 8.6 ★★

Bereken $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ met het algoritme van Euclides, en schrijf hem als een combinatie $AU + BV$ van de twee veeltermen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

De eerste delingsstap van het algoritme van Euclides:

(X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1) = X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 ,

zodat de deling van $X^4 - 1$ door $X^3 - X^2 + X - 1$ opgaat (quotiënt $X + 1$ , rest $0$ ) en het algoritme meteen stopt:

\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1

(al monisch). De betrekking van Bézout is de triviale: $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$ . Controle via ontbinding: $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$ , en dat is inderdaad het product van de gemeenschappelijke irreducibele factoren van $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ .

Oefening 8.7 ★★

Zij $P \in \R[X]$ met $P(x) \geq 0$ voor alle $x \in \R$ . Bewijs dat $P$ een som van twee kwadraten van reële veeltermen is: $P = A^2 + B^2$ . Aanwijzing: in de reële ontbinding hebben reële wortels een even multipliciteit; schrijf de kwadratische factoren als $(X - z)(X - \conj z)$ en gebruik $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 + (\Im)^2$ op het product van de $(X - z)$ ’s.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

Omdat $P \geq 0$ op $\R$ , hebben haar reële wortels een even multipliciteit (in een wortel van oneven multipliciteit wisselt $P$ van teken). Met Gevolg 8.16 en koppeling schrijf je

P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj z_j)\bigr)^{n_j},

met $c > 0$ (gedrag in $+\infty$ ). Zet

S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j} \in \C[X],

zodat $P = S\,\conj S$ , waarbij $\conj S$ de toegevoegde coëfficiënten heeft. Splits $S = A + \iu B$ met $A, B \in \R[X]$ : dan is

P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 .

Oefening 8.8 ★★

Bepaal de veelterm $P$ van graad $\leq 2$ met $P(0) = 1$ , $P(1) = 3$ en $P(2) = 2$ , eerst met de formule van Lagrange en daarna door het lineaire stelsel voor de coëfficiënten op te lossen. Ga na dat beide antwoorden overeenstemmen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

Lagrange (Stelling 8.23) met knooppunten $0, 1, 2$ :

P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)} + 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1).

Uitwerken: $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X = -\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$ .

Stelsel: $P = aX^2 + bX + c$ met $c = 1$ ; $a + b + 1 = 3$ ; $4a + 2b + 1 = 2$ . De tweede tweemaal van de derde aftrekken geeft $2a - 1 = -4$ , dus $a = -\frac32$ en $b = \frac72$ . Dezelfde veelterm: $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$ . (Controle: $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$ .)

Oefening 8.9 ★★

Bewijs dat $P = X^{2n+1} - 1$ precies één reële wortel heeft, en dat voor elke $n \geq 1$ de veelterm $1 + X + \frac{X^2}{2!} + \dots + \frac{X^n}{n!}$ geen meervoudige wortel heeft (vergelijk $P$ en $P'$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

$P = X^{2n+1} - 1$ : er is $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$ , zodat de veeltermfunctie stijgend is (strikt behalve in $0$ ), met limieten $\mp\infty$ : ze wordt precies één keer nul op $\R$ (in $x = 1$ ).

Zij $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$ . Dan is $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$ . Een meervoudige wortel $a$ zou voldoen aan $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ (Propositie 8.11), dus aan $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$ , waaruit $a = 0$ ; maar $E_n(0) = 1 \neq 0$ . Geen meervoudige wortel.

Oefening 8.10 ★★★

(Tsjebysjev-veeltermen) Definieer $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ en $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ .

Bewijs met inductie dat $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ voor alle $\theta$ .
Leid de $n$ wortels van $T_n$ en zijn kopcoëfficiënt af.
Bewijs dat $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ , en dat die waarde in $n + 1$ punten van $\intcc{-1}{1}$ bereikt wordt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

Inductie (de twee basisgevallen kloppen). Met $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ :

$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$
$T_n(\cos\theta) = 0$ precies wanneer $n\theta \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ : de getallen

$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$

zijn $n$ verschillende punten van $\intoo{-1}{1}$ (de hoeken liggen in $\intoo{0}{\pi}$ , waar $\cos$ injectief is) en alle wortels van $T_n$ ; omdat $\deg T_n = n$ (uit de recursie, met kopcoëfficiënt $2^{n-1}$ voor $n \geq 1$ , met inductie), zijn dat alle wortels, elk enkelvoudig.
Voor $x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ is $\abs{T_n(x)} = \abs{\cos n\theta} \leq 1$ , met gelijkheid precies wanneer $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ , dus in de $n+1$ punten $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ met $k = 0, \dots, n$ , waar $T_n(y_k) = (-1)^k$ . (Die equi-oscillatie maakt van $2^{1-n}T_n$ de monische veelterm van graad $n$ met de kleinste supremumnorm op $\intcc{-1}{1}$ — bewezen in de weekendopgave van dit hoofdstuk.)

Oefening 8.11 ★★★

Zij $P \in \C[X]$ niet-constant met verschillende wortels $a_1, \dots, a_r$ (multipliciteiten $m_1, \dots, m_r$ ). Bewijs de identiteit van rationale functies

\frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i},

en leid daaruit de stelling van Gauss–Lucas af: elke wortel van $P'$ ligt in het convexe omhulsel van de wortels van $P$ (evalueer de identiteit in een wortel $w$ van $P'$ die geen wortel van $P$ is, neem toegevoegden, en lees het resultaat als: $w$ is een gewogen gemiddelde van de $a_i$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

Schrijf $P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$ . De productregel (uitgebreid tot meerdere factoren) geeft

P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X - a_k)^{m_k},

en deling door $P$ levert $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (als rationale functies, dus buiten de wortels).

Zij $w$ een wortel van $P'$ . Is $w$ een van de $a_i$ , dan ligt hij triviaal in het convexe omhulsel. Anders geeft evalueren in $w$

0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i} = \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} .

Toevoegen geeft $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$ met $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$ . Bijgevolg is

w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} :

een convexe combinatie (positieve gewichten die na normalisatie tot $1$ optellen) van de wortels $a_i$ . Elke wortel van $P'$ ligt dus in het convexe omhulsel van de wortels van $P$ .

Oefening 8.12 ★★

(Filter met eenheidswortels) Zij $n \in \N^*$ en $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ . Bewijs, door $(1 + X)^n$ te evalueren in $1$ , $j$ en $j^2$ , dat

\sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} ,

en toets de formule voor $n = 3$ en $n = 6$ . Aanwijzing: $1 + j^m + j^{2m}$ is gelijk aan $3$ als $3 \mid m$ en anders aan $0$ ; en $1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

Tel de evaluaties van $(1 + X)^n$ in de drie derde eenheidswortels op:

2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr) = 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk ,

want $1 + j^k + j^{2k}$ is een meetkundige som die $3$ is wanneer $3 \mid k$ en anders $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$ . Nu is $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ en $1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$ , zodat $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ en

\sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} .

Controles: $n = 3$ geeft $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 + \binom33$ ; $n = 6$ geeft $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$ .

8.5 Opgave: Tsjebysjev-veeltermen en de vlakste veelterm

Probleem 8.1

Welke van alle monische veeltermen van graad $n$ blijft het dichtst bij nul op $\intcc{-1}1$ ? Het antwoord — de stelling van Tsjebysjev, de geboorteakte van de approximatietheorie — is $2^{1-n}T_n$ , met $T_n$ de Tsjebysjev-veelterm van Oefening 8.10, en geen enkele monische mededinger komt onder haar afwijking $2^{1-n}$ . Deze opgave ontwikkelt de algebra van de familie $(T_n)$ (samenstellingswet, expliciete coëfficiënten, de familie $U_n$ van de tweede soort, een differentiaalvergelijking), bewijst de extremaliteitsstelling met haar gelijkheidsgeval, en verzamelt toepassingen: optimale interpolatiepunten, de exacte waarde van $\cos 36^\circ$ , en een congruentie $T_p \equiv X^p \pmod p$ . Overal is $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ en $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ , en gebruiken we vrijelijk $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ uit Oefening 8.10.

Deel I — De familie $(T_n)$ .

Bereken $T_2, T_3, T_4, T_5$ met de recursie. (Vergelijk $T_3$ met de identiteit $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ van Voorbeeld 3.9.)
Bewijs met inductie: $\deg T_n = n$ met kopcoëfficiënt $2^{n-1}$ voor $n \geq 1$ , en $T_n$ heeft de pariteit van $n$ (er komen alleen even of alleen oneven machten in voor).
Bewijs het uniciteitsbeginsel: $T_n$ is de enige veelterm die aan $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ voldoet voor alle $\theta$ . (Twee veeltermen die op $\intcc{-1}1$ overeenstemmen, stemmen overal overeen: Gevolg 8.8.)
Leid de samenstellings- en de productwet af:

$T_m \circ T_n = T_{mn}, \qquad 2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$
Herinner uit Oefening 8.10 de wortels $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ en de equi-oscillatiepunten $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ met $T_n(y_k) = (-1)^k$ . Schrijf de volledige ontbinding van $T_n$ over $\R$ op, en verantwoord dat de $y_k$ ertussen liggen: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ .
Bewijs dat $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ voor alle $t \in \R$ (dezelfde inductie, met Propositie 4.18), en leid voor $x \geq 1$ de gesloten vorm

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2}$

af, zodat $T_n(x) > 1$ voor $x > 1$ : buiten $\intcc{-1}1$ ontsnapt de veelterm onmiddellijk.

Deel II — Coëfficiënten, de familie $U_n$ , een differentiaalvergelijking.

Bewijs met de formule van de Moivre (Gevolg 3.8) de expliciete uitdrukking

$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\, x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$

en ga haar na voor $n = 3$ .
Bereken $T_n(1)$ , $T_n(-1)$ en $T_n(0)$ voor alle $n$ .
Definieer $U_n$ (van de tweede soort) door $U_0 = 1$ , $U_1 = 2X$ en $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ . Bewijs dat $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ voor $\theta \notin \pi\Z$ , en dat $T_n' = n\,U_{n-1}$ voor $n \geq 1$ .
Bewijs dat $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ voor alle $\theta$ (inductie), en leid de afschatting van markovtype af:

$\abs{T_n'(x)} \leq n^2 \quad\text{op } \intcc{-1}1, \qquad\text{met } T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$
Toon aan dat $y = T_n$ voldoet aan de differentiaalvergelijking

$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$

door de identiteit $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ naar $\theta$ te differentiëren; ga dat rechtstreeks na voor $T_2$ .

Deel III — De extremaliteitsstelling van Tsjebysjev. Zij $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ (monisch wegens vraag 2) en schrijf $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$ .

Verantwoord $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ , bereikt met afwisselende tekens in de $n + 1$ punten $y_n < \dots < y_0$ .
Stel dat een monische $P$ van graad $n$ zou voldoen aan $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , en zet $D = \widetilde T_n - P$ . Toon aan dat $\deg D \leq n - 1$ , en dat $D(y_k)$ voor elke $k = 0, \dots, n$ strikt het teken van $(-1)^k$ heeft.
Leid af dat $D$ minstens $n$ verschillende reële wortels heeft (één in elk tussenstuk, wegens de tussenwaarde-eigenschap, hier gebruikt zoals bekend uit het bovenbouwvolume en bewezen in Hoofdstuk 13), en besluit met de stelling van Tsjebysjev: elke monische $P$ van graad $n$ voldoet aan

$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$
(Gelijkheidsgeval, eerste stap) Neem nu aan dat $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ precies, met $P$ monisch van graad $n$ , en zet $D = \widetilde T_n - P$ . Toon aan dat $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ voor alle $k$ , en dat uit $D(y_k) = 0$ voor een inwendig punt $y_k$ ( $0 < k < n$ ) ook $D'(y_k) = 0$ volgt. (In een inwendig punt $y_k$ bereiken zowel $\widetilde T_n$ als $P$ een extremum met absolute waarde $\norm{\cdot}_\infty$ ; een afleidbare functie heeft in een inwendig extremum afgeleide nul — hier gebruikt zoals bekend uit het bovenbouwvolume, bewezen in Hoofdstuk 14.)
(Gelijkheidsgeval, besluit) Tel de wortels van $D$ met multipliciteit om aan te tonen dat $D = 0$ : de minimaliserende veelterm is uniek, $P = \widetilde T_n$ .
Vervoer alles naar een willekeurig segment $\intcc ab$ : toon aan dat de minimale supremumnorm van een monische veelterm van graad $n$ op $\intcc ab$ gelijk is aan $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ , bereikt door een herschaalde Tsjebysjev-veelterm. (Substitueer $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ en volg de kopcoëfficiënt.)

Deel IV — Toepassingen.

Werk het geval $n = 3$ met de hand uit: lokaliseer de extrema van $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ op $\intcc{-1}1$ , ga de viervoudige equi-oscillatie met waarde $\frac14$ na, en besluit dat geen enkele monische derdegraadsveelterm het beter doet.
(Optimale interpolatiepunten) Voor $n + 1$ punten $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ wordt de interpolatiefout beheerst door $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ (zoals Hoofdstuk 16 zal kwantificeren). Bewijs dat de keuze die $\norm\omega_\infty$ minimaliseert bestaat uit de $n + 1$ wortels van $T_{n+1}$ , met $\norm\omega_\infty = 2^{-n}$ : de punten van Tsjebysjev zijn de juiste plaatsen om te interpoleren.
Bewijs met $T_5$ dat $c = \cos 36^\circ$ voldoet aan $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ , ontbind die veelterm als $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$ , en besluit

$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$

Ga de overeenstemming na met $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}4$ uit Oefening 3.8.
Schat $T_{10}(1.1)$ met de gesloten vorm van vraag 6 (twee beduidende cijfers volstaan) en duid het resultaat: een veelterm die op $\intcc{-1}1$ door $1$ begrensd is, kan in $x = 1.1$ al boven $40$ uitkomen. (Dat $T_n$ onder zulke veeltermen het snelst groeit, is nog een extremale eigenschap van de familie, buiten deze opgave.)
Bewijs de congruentie: voor elk oneven priemgetal $p$ zijn alle coëfficiënten van $T_p - X^p$ deelbaar door $p$ . (Gebruik vraag 7 en $p \mid \binom p{2j}$ voor $0 < 2j < p$ , uit het bewijs van Stelling 6.23.) Ga dat na op $T_3$ en $T_5$ .

Deel V — Synthese.

Bereken expliciet de monische tweedegraadsveelterm met de kleinste supremumnorm op $\intcc01$ , en haar afwijking. (Vraag 17 met $n = 2$ .)
Waar precies gebruikte de opgave: (i) de starheid van veeltermen (Gevolg 8.8); (ii) de goniometrie van Hoofdstuk 3 en Hoofdstuk 4; (iii) de rekenkunde van de binomiaalcoëfficiënten uit Hoofdstuk 6? Eén zin per onderdeel.
Synthese, in een korte alinea: de stelling zegt dat de vlakste monische veelterm die is welke equi-oscilleert, en het bewijs zet optimaliteit om in het tellen van wortels. Becommentarieer dat mechanisme, de rol van de substitutie $x = \cos\theta$ als brug tussen algebra en goniometrie, en noem de twee plaatsen waar de opgave feiten uit de analyse nodig had (tussenwaardestelling, inwendig extremum) die latere hoofdstukken bewijzen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. $T_2 = 2X^2 - 1$ ; $T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$ ; $T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ ; $T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ . De identiteit $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ is precies $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ uit Voorbeeld 3.9.

2. Waar voor $n = 1, 2$ . Hebben $T_{n-1}$ en $T_n$ graad $n-1$ en $n$ met kopcoëfficiënten $2^{n-2}$ en $2^{n-1}$ , dan heeft $2X\,T_n$ graad $n+1$ met kopcoëfficiënt $2^n$ , terwijl $T_{n-1}$ een lagere graad heeft: $T_{n+1}$ heeft graad $n + 1$ en kopcoëfficiënt $2^n$ . Pariteit: heeft $T_{n-1}$ de pariteit van $n - 1$ en $T_n$ die van $n$ , dan hebben $2X\,T_n$ en $T_{n-1}$ beide de pariteit van $n + 1$ , en dus ook $T_{n+1}$ .

3. Geldt $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ voor alle $\theta$ , dan stemmen $P$ en $T_n$ overeen in elk punt van $\intcc{-1}1$ — een oneindige verzameling — zodat $P - T_n$ oneindig veel wortels heeft en de nulveelterm is (Gevolg 8.8).

4. Voor $x = \cos\theta$ : $T_m(T_n(\cos\theta)) = T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$ , en $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos\abs{m - n}\theta$ . Beide identiteiten gelden op $\intcc{-1}1$ en dus als veeltermidentiteiten, met het argument van vraag 3.

5. De $x_k$ zijn $n$ verschillende enkelvoudige wortels en de kopcoëfficiënt is $2^{n-1}$ :

T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) .

Afwisseling: de hoeken $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n < \frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ wisselen tussen de $y$ -hoeken $\frac{k\pi}n$ en de $x$ -hoeken $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ; omdat $\cos$ strikt dalend is op $\intcc0\pi$ , liggen de waarden in de omgekeerde volgorde afwisselend: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ . Tussen twee opeenvolgende extrema ligt precies één wortel, zoals een tekening van $\cos n\theta$ suggereert.

6. Inductie met $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) + \cosh(a - b)$ (Propositie 4.18): $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$ . Voor $x \geq 1$ schrijf je $x = \cosh t$ met $t \geq 0$ ; dan is $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ en $\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$ , zodat

T_n(x) = \cosh(nt) = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 .

Voor $x > 1$ overtreft de eerste term $\frac12(1)^n$ strikt en groeit hij meetkundig: $T_n(x) > 1$ .

7. De Moivre: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j} \cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$ , en $(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$ . Substitutie van $x = \cos\theta$ en beroep op vraag 3 geven

T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j .

Voor $n = 3$ : $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x = 4x^3 - 3x$ , als in vraag 1.

8. $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$ ; $T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$ ; $T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$ , wat $0$ is voor oneven $n$ en $(-1)^{n/2}$ voor even $n$ .

9. Inductie voor $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ : waar voor $U_0 = 1$ en $U_1 = 2X$ ( $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ ); de stap is de identiteit $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta - \sin n\theta$ . Differentieer nu $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ naar $\theta$ : $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$ , dus voor $\theta \notin \pi\Z$ :

T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n\,U_{n-1}(\cos\theta) ,

en de veeltermen $T_n'$ en $nU_{n-1}$ , die op $\intoo{-1}1$ overeenstemmen, zijn gelijk.

10. $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$ , en inductie geeft $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$ . Bijgevolg is $\abs{U_{n-1}} \leq n$ op $\intoo{-1}1$ en $\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ daar; in $\pm1$ breidt de grens zich uit door limieten te nemen (of rechtstreeks: $U_{n-1}(1) = n$ uit de recursie, $U_n(1) = n + 1$ met inductie, en de pariteit geeft $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$ ). Dus is $T_n'(1) = n^2$ en $T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$ : de grens $n^2$ wordt in de randpunten bereikt.

11. Differentieer $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (vraag 9) naar $\theta$ :

\cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta) = n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) .

Met $x = \cos\theta$ en $\sin^2\theta = 1 - x^2$ : $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ op $\intcc{-1}1$ , en dus overal: $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ voor $y = T_n$ . Controle voor $T_2 = 2x^2 - 1$ : $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1) = 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$ .

12. $\widetilde T_n$ is monisch (vraag 2) en $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ op $\intcc{-1}1$ , met $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ in de $n + 1$ punten $y_k$ (Oefening 8.10): de norm is precies $2^{1-n}$ , bereikt met afwisselende tekens.

13. $\widetilde T_n$ en $P$ zijn allebei monisch van graad $n$ , zodat de koptermen elkaar opheffen: $\deg D \leq n - 1$ . In $y_k$ is $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$ , en $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ dwingt af dat het teken van $D(y_k)$ strikt dat van $(-1)^k2^{1-n}$ is.

14. $D$ wisselt van teken tussen $y_{k+1}$ en $y_k$ voor elke $k = 0, \dots, n-1$ : wegens de tussenwaarde-eigenschap heeft $D$ een wortel in elk van die $n$ twee aan twee disjuncte open intervallen — $n$ verschillende wortels voor een veelterm ongelijk aan nul van graad $\leq n - 1$ , wat onmogelijk is. En $D = 0$ is evenmin mogelijk (de normen verschillen). Tegenspraak: geen enkele monische $P$ van graad $n$ heeft $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , en dat is de stelling van Tsjebysjev.

15. Nu is $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$ zonder meer, dus $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)} \geq 0$ . Stel $D(y_k) = 0$ in een inwendig punt $y_k$ ( $0 < k < n$ ): dan is $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ , zodat $\abs P$ haar supremum $2^{1-n}$ bereikt in het inwendige punt $y_k$ , waaruit $P'(y_k) = 0$ volgt (inwendig extremum); en $T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$ omdat $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — dus ook $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ en $D'(y_k) = 0$ : $y_k$ is een wortel van $D$ van multipliciteit minstens $2$ .

16. Tel de wortels van $D$ met multipliciteit. Zij $z$ het aantal inwendige punten $y_k$ met $D(y_k) = 0$ (elk een dubbele wortel, wegens vraag 15) en $e \in \{0, 1, 2\}$ het aantal randpunten ( $y_0$ of $y_n$ ) met $D = 0$ (elk minstens een enkelvoudige wortel). Een tussenstuk $(y_{k+1}, y_k)$ waarvan beide uiteinden $D \neq 0$ hebben, draagt strikt afwisselende tekens en dus een inwendige wortel. Elk inwendig punt waar $D$ nul wordt bederft hoogstens zijn twee aangrenzende tussenstukken, en elk randpunt hoogstens één: minstens $n - 2z - e$ tussenstukken leveren nog elk één wortel, alle verschillend van de $y$ -wortels. In totaal: minstens $(n - 2z - e) + 2z + e = n$ wortels met multipliciteit, voor een veelterm van graad $\leq n - 1$ : dus $D = 0$ en $P = \widetilde T_n$ . De minimaliserende veelterm is uniek.

17. De affiene afbeelding $t \mapsto x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ is een bijectie $\intcc{-1}1 \to \intcc ab$ . Is $P$ monisch van graad $n$ , dan is $Q(t) = P(x(t))$ een veelterm in $t$ met kopcoëfficiënt $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ , en $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$ . De monische veelterm $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ heeft supremumnorm $\geq 2^{1-n}$ (vragen 13–14), zodat

\sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n} = 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n ,

met gelijkheid precies voor $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n \widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ (vraag 16).

18. $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$ ; en $\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ wordt nul in $\pm\frac12$ . Waarden: $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(-\tfrac12) = \frac14$ , $\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(1) = \frac14$ : vier afwisselende extrema met absolute waarde $\frac14$ — dus $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$ , en volgens de stelling van Tsjebysjev heeft geen enkele monische derdegraadsveelterm een kleinere supremumnorm op $\intcc{-1}1$ .

19. $\omega$ is monisch van graad $n + 1$ , dus $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ volgens de stelling van Tsjebysjev (graad $n+1$ ), met gelijkheid dan en slechts dan als $\omega = \widetilde T_{n+1} = 2^{-n}T_{n+1}$ (vraag 16), dus dan en slechts dan als de knooppunten de $n + 1$ wortels van $T_{n+1}$ zijn. Met de punten van Tsjebysjev is de foutfactor $\norm\omega_\infty$ gelijk aan $2^{-n}$ — het kleinst mogelijke.

20. $5 \times 36^\circ = 180^\circ$ , dus $T_5(c) = \cos180^\circ = -1$ : $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ . Toetsen van $x = -1$ : $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$ , en uitwerken bevestigt

16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 .

Omdat $c = \cos36^\circ \neq -1$ , is $c$ een wortel van $4x^2 - 2x - 1$ , waarvan de wortels $\frac{1 \pm \sqrt5}4$ zijn; omdat $c > 0$ , is

\cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .

Overeenstemming: $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 + \sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$ , de waarde uit Oefening 3.8.

21. $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$ , dus $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ en $(1.558)^{10} \approx 84.5$ , terwijl $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$ : $T_{10}(1.1) \approx \frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$ . Een veelterm die op het interval binnen $\intcc{-1}1$ opgesloten zit, is een tiende voorbij de rand al boven $40$ gegroeid: begrensdheid op een segment zegt niets over wat een duim ernaast gebeurt.

22. In de formule voor $T_p$ uit vraag 7 is de term $j = 0$ gelijk aan $X^p$ ; elke andere term draagt $\binom p{2j}$ met $0 < 2j < p$ (merk op dat $2j \neq p$ omdat $p$ oneven is), en dat is deelbaar door $p$ wegens de eerste stap van het bewijs van Stelling 6.23. Bijgevolg is elke coëfficiënt van $T_p - X^p$ een veelvoud van $p$ . Controles: $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$ en $T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$ .

23. Volgens vraag 17 met $\intcc ab = \intcc01$ en $n = 2$ : minimale afwijking $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$ , bereikt door $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) = \frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$ . De monische tweedegraadsveelterm die op $\intcc01$ het dichtst bij nul blijft is dus $x^2 - x + \frac18$ , met supremumnorm $\frac18$ .

24. (i) De starheid — een veelterm met meer wortels dan zijn graad is nul — dreef het uniciteitsbeginsel aan (vraag 3), de overdracht van goniometrische identiteiten naar veeltermidentiteiten (vragen 4, 7, 9 en 11), en beide telargumenten van het extremaliteitsbewijs (vragen 14 en 16). (ii) De goniometrie van Hoofdstuk 3 (de Moivre, som naar product) en de hyperbolische functies van Hoofdstuk 4 leverden elke identiteit achter de familie; de substitutie $x = \cos\theta$ is de brug. (iii) De deelbaarheid $p \mid \binom p{2j}$ uit Hoofdstuk 6 maakte van de formule voor de coëfficiënten de congruentie van vraag 22.

25. De stelling van Tsjebysjev zet een optimalisatie over een oneindigdimensionale familie (alle monische veeltermen) om in eindige combinatoriek: een mededinger die beter is dan $\widetilde T_n$ zou er een veelterm van lage graad van verschillen die $n$ keer van teken moet wisselen — één wortel meer dan zijn graad toestaat. Het patroon van de equi-oscillatie is dus geen curiositeit maar juist het bewijsstuk van de optimaliteit, en het gelijkheidsgeval verfijnt het tellen van wortels met multipliciteiten. De substitutie $x = \cos\theta$ verdient het laatste woord: ze vervoert de starre, discrete wereld van de veeltermen naar de periodieke wereld van de goniometrie, waar de wortels en de extrema van $T_n$ simpelweg het regelmatige rooster van $\cos n\theta$ zijn. De twee geleende feiten uit de analyse — de tussenwaarde-eigenschap (vraag 14; bewezen in Hoofdstuk 13) en de nul wordende afgeleide in een inwendig extremum (vraag 15; bewezen in Hoofdstuk 14) — zijn precies het gereedschap dat die latere hoofdstukken teruggeven, waarmee de kring gesloten is.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

8.1 De ring K[X]K[X]K[X]

8.2 Wortels

8.3 Coëfficiënten en wortels

8.4 Oefeningen

8.5 Opgave: Tsjebysjev-veeltermen en de vlakste veelterm

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

8.1 De ring $K[X]$