Injectief, surjectief, bijectief কী?

Voorbeeld 1.25 (Een inverse in de praktijk berekenen)

Zij $f \colon \R \to \intoo0{+\infty}$, $f(x) = \eu^{2x+1}$. Om te inverteren los je $y = f(x)$ op naar $x$, voor gegeven $y > 0$:

en elke stap is omkeerbaar op de aangekondigde domeinen. De berekening levert alles tegelijk: bij elke $y$ in het codomein hoort precies één oplossing $x$, dus $f$ is bijectief, en

Een snelle controle van beide samenstellingen ($f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1) - 1}2 = x$ en $f(f^{-1}(y)) = \eu^{\ln y} = y$) bevestigt het criterium van Stelling 1.24. Het inzicht: “los op naar $x$ en houd de equivalenties in het oog” is tegelijk het bestaansbewijs, het uniciteitsbewijs en de formule — maar het werkt alleen als het codomein correct is aangekondigd ($f$ is niet surjectief op $\R$).

Voorbeeld 1.27 (Punt (2) is scherp)

In Propositie 1.26 (2) kunnen de conclusies niet versterkt worden: dat $g \circ f$ bijectief is, dwingt $f$ niet surjectief of $g$ injectief te zijn. Neem $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, met $f(1) = 1$ en $g(1) = g(2) = 1$: dan is $g \circ f = \mathrm{id}_E$ bijectief, terwijl $f$ het element $2$ mist en $g$ beide elementen op elkaar plakt. De moraal is een nauwkeurige boekhoudregel: informatie over de samenstelling stroomt voor injectiviteit naar de binnenste afbeelding en voor surjectiviteit naar de buitenste, nooit andersom. (Oefening 1.9 bouwt hetzelfde verschijnsel op oneindige verzamelingen, waar het de motor is achter eenzijdige inversen.)

Voorbeeld 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ is injectief noch surjectief ($f(-1) = f(1)$, en $-1$ heeft geen origineel). Beperken we domein en codomein, dan is $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ bijectief, met inverse $y \mapsto \sqrt y$. Of een afbeelding injectief of surjectief is, hangt dus af van het aangekondigde domein en codomein, niet alleen van het voorschrift.