11Productmaten, Fubini, variabelensubstitutie

Bewijs. (a) Goede verzamelingen: $\{E : E_x \in \mathcal B\ \forall x\}$ is een $\sigma$-algebra (secties verdragen zich met complementen en aftelbare verenigingen) die de rechthoeken bevat. En voor $f$: $(f_x)^{-1}(B) = (f^{-1}(B))_x$. (b) ($\subseteq$) Rechthoeken van borelverzamelingen: het volstaat dat blokken open$\times$open borel zijn in $\R^{m+n}$ (ze zijn open) en dat algemene borelrechthoeken limieten zijn — opnieuw goede verzamelingen: $\{A : A\times\R^n \in \mathcal B(\R^{m+n})\}$ is een $\sigma$-algebra die de open verzamelingen bevat; snijd er twee van dat type. ($\supseteq$) Elke open verzameling van $\R^{m+n}$ is een aftelbare vereniging van rationale open blokken $U\times V$: dus bevat in de product-$\sigma$-algebra. ∎

Bewijs. Meetbaarheid van $x \mapsto \nu(E_x)$. Zij $\nu$ eerst eindig. De klasse $\mathcal D$ van de $E$ waarvoor de afbeelding meetbaar is, bevat de rechthoeken ($\nu((A\times B)_x) = \nu(B)\mathbf 1_A(x)$) en is een $\lambda$-systeem: voor $E \subseteq F$ in $\mathcal D$ is $\nu((F\setminus E)_x) = \nu(F_x) - \nu(E_x)$ (eindigheid); en voor $E_n \uparrow E$ is $\nu((E_n)_x) \uparrow \nu(E_x)$ (continuïteit van onderen), terwijl monotone limieten van meetbare functies meetbaar zijn. De rechthoeken vormen een $\pi$-systeem: Dynkin (Stelling 9.4) geeft $\mathcal D = \mathcal A\otimes\mathcal B$. Is $\nu$ $\sigma$-eindig, schrijf dan $Y = \bigcup Y_k$ met $Y_k \uparrow$ en $\nu(Y_k) < \infty$: dan is $\nu(E_x) = \lim_k\nu_k(E_x)$ met $\nu_k = \nu(\cdot\cap Y_k)$ eindig.

Maat. De $\sigma$-additiviteit van $E \mapsto \int\nu(E_x)\dd\mu$ volgt uit Gevolg 10.7 (secties van disjuncte verzamelingen zijn disjunct). Op rechthoeken geeft ze $\mu(A)\nu(B)$. Eenduidigheid: twee kandidaten vallen samen op het $\pi$-systeem van de rechthoeken; en de $\sigma$-eindigheid levert rechthoeken $X_k\times Y_k \uparrow X\times Y$ van eindige maat: Stelling 9.7. Symmetrie: de constructie in de andere volgorde is eveneens een maat die op de rechthoeken samenvalt — uniek, dus dezelfde. ∎

Bewijs. De standaardmachine. Voor $f = \mathbf 1_E$ is dit Stelling 11.3 (met haar symmetrische vorm). Door de lineariteit geldt het voor elementaire $f \geq 0$. En voor algemene $f \geq 0$: neem elementaire $s_n \nearrow f$ (Stelling 10.4); dan is $\int_Y(s_n)_x \dd\nu \nearrow \int_Y f_x\dd\nu$ voor elke $x$ (monotone convergentie in $Y$), zodat de linkerleden met de monotone convergentie in $X$ convergeren, terwijl $\int s_n\, \dd(\mu\otimes\nu) \nearrow \int f$ door de monotone convergentie op het product. ∎

Bewijs. Tonelli toegepast op $\abs f$ laat zien dat $\varphi(x) = \int\abs{f_x} \dd\nu$ een eindige integraal heeft en dus bijna overal eindig is: $f_x \in L^1(\nu)$ voor bijna elke $x$. Splits $f = f^+ - f^-$ (reëel geval; complex per component): Tonelli berekent elke herhaalde integraal van $f^\pm$ als $\int f^\pm\dd(\mu\otimes\nu) < \infty$, en het bijna overal gedefinieerde verschil integreert tot het verschil. Symmetrisch voor de andere volgorde. ∎

Bewijs. Pas Tonelli toe op $\mathbf 1_{\{(x,t) : 0 < t < f(x)\}}$ op $X \times \intoo0{+\infty}$ (meetbaar: het is $\{(x,t): f(x) - t > 0\}\cap\{t > 0\}$, een borelachtige combinatie van de meetbare $(x,t)\mapsto f(x) - t$): eerst in $t$ integreren geeft $\int f\,\dd\mu$; eerst in $x$ geeft $\int_0^\infty\mu(f > t)\dd t$. Voor $f^p$: substitueer $t = s^p$ in $\int\mu(f^p > t)\dd t$, dat wil zeggen pas de eerste formule toe op $f^p$ en substitueer in de eendimensionale integraal ($\{f^p > s^p\} = \{f > s\}$). ∎

Bewijs. $(x, y) \mapsto f(x-y)g(y)$ is meetbaar ($(x,y)\mapsto x - y$ is continu; stel samen en vermenigvuldig). Tonelli:

(de translatie-invariantie van $\lambda_d$ in de binnenste integraal). De dubbele integraal is dus eindig; Fubini geeft de absolute convergentie voor bijna elke $x$ en de normgrens $\norm{f*g}_1 \leq \norm f_1\norm g_1$. Commutativiteit: substitueer $y \mapsto x - y$ (invariantie onder translatie en spiegeling — de spiegelingsinvariantie geldt op blokken en dus overal wegens de eenduidigheid). Associativiteit: Tonelli–Fubini op een drievoudige integraal. ∎

Bewijs. De maat $\mu_T(A) = \lambda_d(T(A))$ is een borelmaat (homeomorfismen bewaren borelverzamelingen, Probleem 9.1), translatie-invariant ($T(A + x) = T(A) + Tx$) en eindig op het eenheidsblok: volgens de karakterisering van de lebesguemaat (Oefening 9.6, waarvan het bewijs letterlijk in $\R^d$ werkt met dyadische kubussen) is $\mu_T = c(T)\lambda_d$ met $c(T) = \lambda_d(T(\intco01^d))$. De afbeelding $T \mapsto c(T)$ is multiplicatief ($c(ST) = c(S)c(T)$, door samen te stellen), dus volstaat het $c$ op voortbrengers van $GL_d$ te berekenen: de elementaire matrices. Diagonaal $\operatorname{diag}(a, 1, \dots, 1)$: beeldt de eenheidskubus af op een blok van volume $\abs a$, dus $c = \abs a = \abs\det$. Verwisseling van coördinaten: permuteert de kubus, dus $c = 1 = \abs\det$. Transvectie $T(x) = x + \alpha x_2e_1$: het beeld van de eenheidskubus is een scheefgetrokken prisma; volgens Tonelli is de maat ervan $\int\lambda_1(\text{sectie})\dd x_2 \cdots \dd x_d = 1$, want elke $x_1$-sectie is een interval van lengte $1$: dus $c = 1 = \abs{\det}$. Elke inverteerbare matrix is een product van deze (gauss-eliminatie), en zowel $c$ als $\abs\det$ is multiplicatief: dus $c(T) = \abs{\det T}$. De integraalformule volgt met de standaardmachine (indicatoren, elementaire functies, monotone convergentie). ∎

Bewijs. Schrijf $J(x) = \abs{\det D\Phi(x)}$. Het hart van het bewijs is de ongelijkheid

stap 4 hieronder tilt $(*)$ — toegepast op zowel $\Phi$ als $\Phi^{-1}$ — op tot de gelijkheid van de stelling. Merk op dat $\Phi^{-1}$ zelf een $\mathcal C^1$-diffeomorfisme is met jacobiaan $\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = J(\Phi^{-1}y)^{-1}$ (kettingregel op $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$).

Stap 1: $(*)$ voor kubussen, met een vervormingsfactor. Leg een gesloten kubus $Q \subseteq U$ vast met middelpunt $x_0$ en zijde $2r$ (een bal voor de supnorm). Bewering: voor elke $\varepsilon > 0$ geldt, als $\Phi$ differentieerbaar is op $Q$ met $\norm{D\Phi(x) - D\Phi(x_0)} \leq \varepsilon$ op $Q$ (operatornorm voor de supnorm), dat

want voor $x \in Q$ geeft de middelwaardeongelijkheid toegepast op $\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x - x_0)$ dat $\norm{\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x-x_0)}_\infty \leq \varepsilon\norm{x - x_0}_\infty \leq \varepsilon r$, en trekt $D\Phi(x_0)^{-1}$ dat gebrek terug tot een vergroting van de kubus met $\varepsilon\norm{D\Phi(x_0)^{-1}}\,r$. Volgens Stelling 11.10 is dan

Stap 2: $(*)$ voor compacte kubussen, door onderverdeling. Zij $Q \subseteq U$ een compacte kubus en $\varepsilon > 0$. Op $Q$ is $D\Phi$ uniform continu en is $\norm{D\Phi^{-1}}$ begrensd (compactheid); verdeel $Q$ in $2^{kd}$ deelkubussen $Q_i$ die klein genoeg zijn opdat de oscillatie van $D\Phi$ op elk ervan $\leq \varepsilon$ is. Stap 1 op elke deelkubus (met middelpunt $x_i$) geeft

waarbij de laatste stap geldt omdat $\sum_i\abs{\det D\Phi(x_i)}\mathbf 1_{Q_i} \to J$ uniform op $Q$ (continuïteit van $\det D\Phi$) — een vergelijking met riemannsommen. Laat $\varepsilon \to 0$ gaan: $(*)$ geldt voor compacte kubussen.

Stap 3: $(*)$ voor alle borelverzamelingen $A$. De verzamelingsfunctie $A \mapsto \lambda_d(\Phi(A))$ op de borel-deelverzamelingen van $U$ is een maat ($\Phi$ is een bijectie op $V$ die borelverzamelingen en aftelbare disjunctheid bewaart), en $A \mapsto \int_AJ$ ook. Elke open deelverzameling van $U$ is een aftelbare vereniging van bijna disjuncte dyadische compacte kubussen (de standaard dyadische ontbinding: neem de maximale dyadische kubussen binnen de open verzameling), en beide maten zijn daarover additief (de randen van kubussen zijn $\lambda_d$-nul, en hun $\Phi$-beelden zijn nul volgens stap 2, toegepast op dunne kubusoverdekkingen van de zijvlakken): $(*)$ gaat dus van kubussen over op open verzamelingen. Algemene borelverzameling $A$: put $U$ uit met compacte $K_m \uparrow U$ waarbij $K_m \subseteq \mathring K_{m+1}$, en leg $m$ vast; op $\mathring K_{m+1}$ is $J$ begrensd door zekere $M_m$. Kies met de uitwendige regulariteit van $\lambda_d$ (bewijs als in Stelling 9.13, met blokken) open verzamelingen $O_n$ met $A \cap K_m \subseteq O_n \subseteq \mathring K_{m+1}$ en $\lambda_d\bigl(O_n \setminus (A\cap K_m)\bigr) \to 0$. Dan is

Laat $m \to \infty$ gaan: links de continuïteit van onderen, rechts de monotone convergentie. Daarmee is $(*)$ vastgesteld.

Stap 4: gelijkheid en de integraalformule. Breid $(*)$ eerst uit van verzamelingen naar integralen: voor elke meetbare $g \geq 0$ op $V$ is

Immers, voor $g = \mathbf 1_B$ is dat $(*)$ met $A = \Phi^{-1}(B)$; de lineariteit breidt het uit tot elementaire $g$, en de monotone convergentie tot alle $g \geq 0$ (de standaardmachine). Pas nu $(**)$ tweemaal toe: eerst op $g$, en daarna — voor het diffeomorfisme $\Phi^{-1}$ — op de functie $x \mapsto g(\Phi(x))J(x)$:

want $J(\Phi^{-1}y)\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = \abs{\det\bigl( D\Phi(\Phi^{-1}y)\,D\Phi^{-1}(y)\bigr)} = 1$ (kettingregel op $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$). Alle ongelijkheden zijn dus gelijkheden: de formule geldt voor $g \geq 0$, en voor $L^1$-functies door ontbinding. ∎

Bewijs. Bereken $I = \int_{\R^d}\eu^{-\norm x_2^2}\dd\lambda_d$ op twee manieren. Volgens Tonelli valt hij uiteen: $I = G^d = \pi^{d/2}$. En volgens de laagjesformule (Propositie 11.8) met $f = \eu^{-\norm x^2}$, waarvan de niveauverzamelingen ballen zijn: $\{f > t\} = B\bigl(0, \sqrt{-\ln t}\bigr)$ voor $0 < t < 1$, van maat $v_d(-\ln t)^{d/2}$ (uitrekken met $\rho$ schaalt $\lambda_d$ met $\rho^d$: Stelling 11.10), dus

Stel gelijk. (De waarden: $\Gamma(\frac32) = \frac{\sqrt\pi}2$, $\Gamma(2) = 1$, enzovoort.) Merk op dat $v_d \to 0$ als $d \to \infty$ — de weekendopgave kwantificeert hoe snel, via Stirling. ∎