21Differentiaalvormen en de stelling van Stokes

Bewijs. Genereren. Zij $\alpha \in \Lambda^kE^*$ en $\beta = \sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, waar $\alpha(e_I)$ $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$ afkort. Beide kanten zijn $k$-lineair en alternerend, dus komen zij overeen zodra zij overeenkomen op alle $k$-tupels $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ met $j_1 < \dots < j_k$ (multilineaireit reduceert tot tupels van basisvectoren, alternatie tot strikt stijgende). En $e_I^*(e_{j_1}, \dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: voor $I = J$ is de matrix de identiteit; voor $I \neq J$ is enige rij nul. Dus $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ voor alle $J$: $\beta = \alpha$. Vrijheid. Als $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, geeft evalueren op $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ $c_J = 0$. ∎

Bewijs. Beide eigenschappen worden gecontroleerd op basiselementen en uitgebreid door bilineaireit. Associativiteit: beide haakjes van $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ zijn gelijk aan de wedge van de geconcateneerde familie van $1$-vormen, via de determinantformule van Definitie 21.3 (Laplace-ontwikkeling in blokken). De tekenregel: elk van de $\ell$ factoren van $\beta$ voorbij de $k$ factoren van $\alpha$ bewegen kost een teken per aangrenzende transpositie (een verwisseling van twee rijen van de determinant), dus in totaal $(-1)^{k\ell}$. ∎

Bewijs. De functoriële identiteiten volgen onmiddellijk uit de definities (voor de productregel, controleer op wedges van $1$-vormen met de determinantformule — $\det(\ell_i(uv_j)) = \det((u^*\ell_i)(v_j))$ — en breid bilineair uit). (1) $u^*$ beeldt de eendimensionale $\Lambda^nE^*$ (Propositie 21.4) op zichzelf af, dus $u^*\alpha = c\,\alpha$ met $c$ onafhankelijk van $\alpha \neq 0$; testen op $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ en $(v_j) = (e_j)$ geeft $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Voor $v_1, \dots, v_k \in E$ liggen de vectoren $u(v_1), \dots, u(v_k)$ in het beeld van $u$, van dimensie $< k$: zij zijn lineair afhankelijk, en een alternerende vorm verdwijnt op een afhankelijke familie (ontwikkel de afhankelijke vector langs de anderen). ∎

Bewijs. (a) Door bilineaireit volstaat $\omega = a\,\dd x_I$, $\eta = b\,\dd x_J$. Dan $\omega \wedge \eta = ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ en

en de $1$-vorm $\dd b$ voorbij de $k$ factoren van $\dd x_I$ bewegen kost $(-1)^k$ (Definitie 21.5): de tweede term is $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Voor een functie: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j} \frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge \dd x_i$. De coëfficiënt is symmetrisch in $(i,j)$ door de stelling van Schwarz over gemengde partiëlen (bewezen in het volume Jaar 2; $a$ is $\mathcal C^\infty$), terwijl $\dd x_j \wedge \dd x_i$ antisymmetrisch is: de termen $(i,j)$ en $(j,i)$ paren, alles heft op. Voor een algemene $\omega = \sum a_I\dd x_I$: $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I) = \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ via (a), en beide termen verdwijnen ($\dd(\dd x_I) = 0$ omdat de coëfficiënt constant is). ∎

Bewijs. (a) Puntsgewijze uitspraken over lineaire pullbacks (Propositie 21.6), plus de kettingregel $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Voor een $0$-vorm $f$: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ is de kettingregel. Voor $\omega = a\,\dd y_I$: met (a), $\varphi^*\omega = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$, dus door de Leibniz-regel (Stelling 21.9(a)) en $\dd\dd\varphi_{i_r} = 0$:

(c) Puntsgewijs is dit precies $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ op topgraadvormen (Propositie 21.6(1) met $u = D\varphi(x)$). ∎

Bewijs. We bouwen een lineaire homotopie-operator $h\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ met

als $\dd\omega = 0$, dan $\omega = \dd(h\omega)$ en we zijn klaar. Voor $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$ stel

(de hat verwijdert een factor; de integralen zijn glad in $x$ door differentiatie onder de integraal, Stelling 10.15, alle afgeleiden gedomineerd op compacta). Controleren van (21.1) is een berekening die men één maal in een leven doet, dus doen we haar volledig. Fixeer $I$ en neem $\omega = a\,\dd x_I$ (lineariteit). Eerst,

de eerste groep verzamelt de termen waarin $\dd$ de factor $x_{i_r}$ raakt — de wedge $\dd x_{i_r}\wedge\dd x_{I\setminus i_r}$ herstelt $\dd x_I$ met een teken $(-1)^{r-1}$ dat de prefactor opheft, en de $k$ waarden van $r$ geven de factor $k$ — terwijl de tweede groep de termen verzamelt waar $\dd$ de integraal raakt (kettingregel brengt $t\,\partial_ja(tx)$). Vervolgens, $\dd\omega = \sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$, en de definitie van $h$ in graad $k+1$ toepassend, de index $j$ in het eerste slot:

De dubbele sommen heffen op in $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$, dat dus gelijk is aan

via de fundamentele stelling van de analyse. Stervormigheid kwam binnen waar zij moest: $tx \in U$ voor $t \in \intcc01$, zodat $a(tx)$ zin heeft. ∎

Bewijs. (a) Zij $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ directe parametriseringen waarvan de beelden $\operatorname{supp}\omega\cap M$ bevatten. De overgang $\tau = \delta^{-1}\circ\gamma$ is een diffeomorfisme tussen de relevante open deelverzamelingen van $V, V'$ (gladheid van overgangen: Stelling 20.3, via de lokale grafiekbeschrijving), en $\gamma = \delta\circ\tau$ daar, dus $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ (Stelling 21.11(a)). Schrijf $\delta^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$; dan (Stelling 21.11(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) = (g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Beide frames direct, beeldt $D\tau$ een positieve basis af op een positieve basis: $\det D\tau > 0$, dus $\det D\tau = \abs{\det D\tau}$ en de variabelensubstitutiestelling (Stelling 11.11) geeft $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$: de twee integralen komen overeen. Hier is de hele reden waarom oriëntatie bestaat: zonder tekencontrole verschillen de Jacobiaan en haar absolute waarde en is de integraal slecht gedefinieerd. (b) Als $(\chi_i)$ en $(\tilde\chi_j)$ twee toelaatbare partities zijn (overdekkingen inbegrepen), dan door (a) en eindige additiviteit $\sum_i\int\chi_i\omega = \sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega = \sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, elke dubbele term berekenbaar in elke kaart. De laatste uitspraak: als $\gamma$ over directe parametriseringen van $M$ loopt, loopt $\Phi\circ\gamma$ over directe parametriseringen van $M'$ (de oriëntatievergelijking is lokaal constant, en vast in één punt per component), en $(\Phi\circ\gamma)^*\omega = \gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

Bewijs. Elke $x \in K$ ligt in enige $W_{i(x)}$ met een gesloten bal $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; compactheid haalt $x_1, \dots, x_N$ eruit met de ballen $B(x_s, r_{x_s})$ die $K$ overdekken. Voor elke $s$ neem een bump $\theta_s \in \mathcal C^\infty$, $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\theta_s = 1$ op $\bar B(x_s, r_{x_s})$, $\operatorname{supp}\theta_s \subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (mollificeer de indicator van de bal van straal $\frac32r_{x_s}$, Stelling 12.9). Wijs elke $s$ toe aan één index $i(s)$ met $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ en stel $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. Op de open verzameling $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$ doen de functies $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ het werk maar zijn alleen daar gedefinieerd; om te globaliseren, laat $\rho \in \mathcal C^\infty(\R^n)$ voldoen aan $\rho = 0$ waar $\sum_j\Theta_j \geq 1$ en $\rho > 0$ waar $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (mollificeer een geschikte afsnijding van $1 - \sum_j\Theta_j$), en stel

De noemer is overal $> 0$ en gelijk aan $\sum_j\Theta_j$ op $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, een open omgeving van $K$ (elk punt van $K$ ligt in enige bal $B(x_s, r_{x_s})$ waar $\theta_s = 1$); daar $\sum_i\chi_i = 1$. Supports en grenzen zijn duidelijk. ∎

Bewijs. Eerst de oriëntatieboekhouding: de uitwaartse normaal langs $\partial H^k$ is $-e_k$, en

het frame $(e_1, \dots, e_{k-1})$ van $\partial H^k$ is positief voor de geïnduceerde oriëntatie precies wanneer $k$ even is, vandaar de gestelde vergelijking. Door lineariteit neem $\eta = f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$, $f \in \mathcal C^\infty_c(\R^k)$; dan $\dd\eta = (-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ ($\dd u_i$ naar haar slot bewegen kost $i - 1$ verwisselingen). Twee gevallen, beide via Tonelli–Fubini (Stelling 11.6) en de éénvariabele fundamentele stelling van de analyse.

Geval $i < k$. Eerst integreren in $u_i$ over $\R$: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (compacte support), dus $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. En de restrictie van $\eta$ tot $\{u_k = 0\}$ bevat de factor $\dd u_k$, die naar $0$ restrictieert ($u_k$ is daar constant): $\int_{\partial H^k}\eta = 0$ ook.

Geval $i = k$. Eerst integreren in $u_k$ over $\intco0\infty$:

Aan de randkant restrictieert $\eta$ tot $f(u', 0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$, en de geïnduceerde oriëntatie is $(-1)^k$ maal de standaard, $\int_{\partial H^k}\eta = (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. De twee kanten komen overeen. ∎

Bewijs. Overdek de compacte $M$ met eindig veel beelden van directe kaarten (inwendig of rand), en neem een partitie van de eenheid $(\chi_i)$ ondergeschikt aan de bijbehorende open verzamelingen $W_i$ van $\R^n$ (Lemma 21.20), met $\sum\chi_i = 1$ op een omgeving van $M$. Op die omgeving $\dd(\sum\chi_i) = 0$, dus

beide kanten zijn additief, en het volstaat de stelling te bewijzen voor een vorm met support in één kaartbeeld.

Inwendige kaart. Als $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ met $V$ open in $\R^k$: zet $\eta = \gamma^*\omega$ met nul voort naar $\R^k$ (glad, compacte support in $V$) en pas Lemma 21.22 toe met de support weg van $\partial H^k$ (transleer $V$ in de open bovenhalfruimte — of herhaal gewoon de berekening van geval $i < k$ over heel $\R^k$): $\int_M\dd\omega = \int_{\R^k}\dd\eta = 0$, en $\int_{\partial M}\omega = 0$ want $\omega$ verdwijnt nabij $\partial M$.

Randkaart. Als $\operatorname{supp}\omega\cap M \subseteq \gamma(V \cap H^k)$: met $\eta = \gamma^*\omega$ met nul voortgezet, $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ (Stelling 21.11(b)), dus via Definitie 21.18:

Het rest te identificeren van de rechterkant met $\int_{\partial M}\omega$. De rand is geparametriseerd door $\beta(u') = \gamma(u', 0)$, en $\beta^*\omega$ is de restrictie van $\eta$ tot $\{u_k = 0\}$ (pullback onder de inclusie $u' \mapsto (u', 0)$ samengesteld met $\gamma$). De oriëntatievergelijking is dezelfde $(-1)^k$ aan beide kanten: het frame $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ zit in de geïnduceerde oriëntatie van $\partial M$ met het teken $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ berekend in de kaart (de uitwaartse vector trekt terug naar $-e_k$), precies het teken dat de geïnduceerde oriëntatie van $\partial H^k$ relateert aan de standaard $\R^{k-1}$ (Lemma 21.22). De twee tekenconventies heffen op: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎