21Differentiaalvormen en de stelling van Stokes

Bewijs. Voortbrengend. Zij $\alpha \in \Lambda^kE^*$ en $\beta = \sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, waarbij $\alpha(e_I)$ afkort voor $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. Beide leden zijn $k$-lineair en alternerend, dus vallen ze samen zodra ze samenvallen op alle $k$-tallen $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ met $j_1 < \dots < j_k$ (de multilineariteit herleidt tot $k$-tallen basisvectoren, de alternantie tot strikt stijgende). En $e_I^*(e_{j_1}, \dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$: voor $I = J$ is de matrix de identiteit; voor $I \neq J$ is een rij nul. Dus $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ voor alle $J$: $\beta = \alpha$. Vrijheid. Is $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, dan geeft evalueren op $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ dat $c_J = 0$. ∎

Bewijs. Beide eigenschappen worden op basiselementen nagegaan en met de bilineariteit uitgebreid. Associativiteit: beide manieren om $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ te haken zijn gelijk aan het uitwendig product van de aaneengeschakelde familie $1$-vormen, volgens de determinantformule van Definitie 21.3 (ontwikkeling van Laplace per blok). De tekenregel: elk van de $\ell$ factoren van $\beta$ langs de $k$ factoren van $\alpha$ verplaatsen kost een teken per naburige verwisseling (het omwisselen van twee rijen van de determinant), dus in totaal $(-1)^{k\ell}$. ∎

Bewijs. De functoriële identiteiten volgen onmiddellijk uit de definities (controleer voor de productregel op uitwendige producten van $1$-vormen met de determinantformule — $\det(\ell_i(uv_j)) = \det((u^*\ell_i)(v_j))$ — en breid bilineair uit). (1) $u^*$ beeldt de eendimensionale $\Lambda^nE^*$ (Propositie 21.4) in zichzelf af, dus is $u^*\alpha = c\,\alpha$ met $c$ onafhankelijk van $\alpha \neq 0$; testen op $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ en $(v_j) = (e_j)$ geeft $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Voor $v_1, \dots, v_k \in E$ liggen de vectoren $u(v_1), \dots, u(v_k)$ in het beeld van $u$, van dimensie $< k$: ze zijn lineair afhankelijk, en een alternerende vorm verdwijnt op een afhankelijke familie (ontwikkel de afhankelijke vector langs de andere). ∎

Bewijs. (a) Wegens de bilineariteit volstaat het $\omega = a\,\dd x_I$ en $\eta = b\,\dd x_J$ te behandelen. Dan is $\omega \wedge \eta = ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ en

en de $1$-vorm $\dd b$ langs de $k$ factoren van $\dd x_I$ verplaatsen kost $(-1)^k$ (Definitie 21.5): de tweede term is $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Voor een functie: $\dd(\dd a) = \sum_{i,j} \frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge \dd x_i$. De coëfficiënt is symmetrisch in $(i,j)$ volgens de stelling van Schwarz over gemengde partiële afgeleiden (bewezen in het volume van bachelorjaar 2; $a$ is $\mathcal C^\infty$), terwijl $\dd x_j \wedge \dd x_i$ antisymmetrisch is: de termen $(i,j)$ en $(j,i)$ paren en alles valt weg. Voor een algemene $\omega = \sum a_I\dd x_I$: $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I) = \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ volgens (a), en beide termen verdwijnen ($\dd(\dd x_I) = 0$ omdat de coëfficiënt constant is). ∎

Bewijs. (a) Puntsgewijze uitspraken over lineaire terugtrekkingen (Propositie 21.6), plus de kettingregel $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Voor een $0$-vorm $f$: $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ is de kettingregel. Voor $\omega = a\,\dd y_I$: met (a) is $\varphi^*\omega = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$, dus geven de regel van Leibniz (Stelling 21.9(a)) en $\dd\dd\varphi_{i_r} = 0$

(c) Puntsgewijs is dat precies $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ op vormen van topgraad (Propositie 21.6(1) met $u = D\varphi(x)$). ∎

Bewijs. We bouwen een lineaire homotopie-operator $h\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ met

is $\dd\omega = 0$, dan is $\omega = \dd(h\omega)$ en zijn we klaar. Stel voor $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$

(het dakje schrapt een factor; de integralen zijn glad in $x$ wegens het differentiëren onder de integraal, Stelling 10.15, waarbij alle afgeleiden op compacte verzamelingen gedomineerd worden). (21.1) nagaan is een berekening die je één keer in je leven doet, dus we doen ze voluit. Leg $I$ vast en neem $\omega = a\,\dd x_I$ (lineariteit). Eerst is

de eerste groep verzamelt de termen waarin $\dd$ de factor $x_{i_r}$ raakt — het uitwendig product $\dd x_{i_r}\wedge\dd x_{I\setminus i_r}$ stelt $\dd x_I$ opnieuw samen met een teken $(-1)^{r-1}$ dat de voorfactor opheft, en de $k$ waarden van $r$ geven de factor $k$ — terwijl de tweede groep de termen verzamelt waar $\dd$ de integraal raakt (de kettingregel brengt $t\,\partial_ja(tx)$ naar buiten). Vervolgens is $\dd\omega = \sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$, en de definitie van $h$ in graad $k+1$ toepassen, waarbij de index $j$ de eerste plaats inneemt, geeft

De dubbele sommen heffen elkaar op in $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$, dat dus gelijk is aan

volgens de hoofdstelling van de integraalrekening. De stervormigheid kwam binnen waar ze moest: $tx \in U$ voor $t \in \intcc01$, zodat $a(tx)$ zin heeft. ∎

Bewijs. (a) Zij $\gamma\colon V \to M$ en $\delta\colon V' \to M$ directe parametriseringen waarvan de beelden $\operatorname{supp}\omega \cap M$ bevatten. De overgang $\tau = \delta^{-1}\circ\gamma$ is een diffeomorfisme tussen de betrokken open delen van $V$ en $V'$ (de gladheid van de overgangen: Stelling 20.3, via de lokale beschrijving met grafieken), en daar is $\gamma = \delta\circ\tau$, dus $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ (Stelling 21.11(a)). Schrijf $\delta^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$; dan is (Stelling 21.11(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) = (g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Omdat beide frames direct zijn, beeldt $D\tau$ een positieve basis op een positieve basis af: $\det D\tau > 0$, dus $\det D\tau = \abs{\det D\tau}$, en de stelling over de variabelensubstitutie (Stelling 11.11) geeft $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$: de twee integralen vallen samen. Hier ligt de hele reden waarom oriëntatie bestaat: zonder controle over het teken verschillen de jacobiaan en haar absolute waarde, en is de integraal slecht gedefinieerd. (b) Zijn $(\chi_i)$ en $(\tilde\chi_j)$ twee toelaatbare partities (overdekkingen inbegrepen), dan is volgens (a) en de eindige additiviteit $\sum_i\int\chi_i\omega = \sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega = \sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, waarbij elke dubbele term in beide kaarten berekend kan worden. De laatste uitspraak: doorloopt $\gamma$ de directe parametriseringen van $M$, dan doorloopt $\Phi\circ\gamma$ de directe parametriseringen van $M'$ (de vergelijking van de oriëntaties is lokaal constant en in één punt per component vastgelegd), en is $(\Phi\circ\gamma)^*\omega = \gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

Bewijs. Elke $x \in K$ ligt in een $W_{i(x)}$ met een gesloten bal $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$; de compactheid haalt er $x_1, \dots, x_N$ uit waarvoor de ballen $B(x_s, r_{x_s})$ $K$ overdekken. Neem voor elke $s$ een bult $\theta_s \in \mathcal C^\infty$ met $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\theta_s = 1$ op $\bar B(x_s, r_{x_s})$ en $\operatorname{supp}\theta_s \subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (strijk de indicator van de bal met straal $\frac32r_{x_s}$ glad, Stelling 12.9). Wijs elke $s$ toe aan één index $i(s)$ met $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ en stel $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. Op de open verzameling $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$ doen de functies $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ hun werk, maar ze zijn enkel daar gedefinieerd; om te globaliseren, zij $\rho \in \mathcal C^\infty(\R^n)$ met $\rho = 0$ waar $\sum_j\Theta_j \geq 1$ en $\rho > 0$ waar $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (strijk een geschikte afknotting van $1 - \sum_j\Theta_j$ glad), en stel

De noemer is overal $> 0$ en gelijk aan $\sum_j\Theta_j$ op $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, een open omgeving van $K$ (elk punt van $K$ ligt in een bal $B(x_s, r_{x_s})$ waar $\theta_s = 1$); daar is $\sum_i\chi_i = 1$. De dragers en de grenzen zijn duidelijk. ∎

Bewijs. Eerst de boekhouding van de oriëntatie: de buitenwaartse normaal langs $\partial H^k$ is $-e_k$, en

het frame $(e_1, \dots, e_{k-1})$ van $\partial H^k$ is precies positief voor de geïnduceerde oriëntatie wanneer $k$ even is, vandaar de vermelde vergelijking. Neem wegens de lineariteit $\eta = f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$ met $f \in \mathcal C^\infty_c(\R^k)$; dan is $\dd\eta = (-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ ($\dd u_i$ naar haar plaats verhuizen kost $i - 1$ verwisselingen). Twee gevallen, beide met Tonelli–Fubini (Stelling 11.6) en de hoofdstelling van de integraalrekening in één veranderlijke.

Geval $i < k$. Eerst in $u_i$ over $\R$ integreren: $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (compacte drager), dus $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. En de beperking van $\eta$ tot $\{u_k = 0\}$ bevat de factor $\dd u_k$, die tot $0$ beperkt ($u_k$ is daar constant): dus ook $\int_{\partial H^k}\eta = 0$.

Geval $i = k$. Eerst in $u_k$ over $\intco0\infty$ integreren:

Aan de randkant beperkt $\eta$ tot $f(u', 0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$, en omdat de geïnduceerde oriëntatie $(-1)^k$ maal de standaardoriëntatie is, is $\int_{\partial H^k}\eta = (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. De twee leden vallen samen. ∎

Bewijs. Overdek de compacte $M$ met eindig veel beelden van directe kaarten (inwendig of rand), en neem een partitie van de eenheid $(\chi_i)$ ondergeschikt aan de bijbehorende open verzamelingen $W_i$ van $\R^n$ (Lemma 21.20), met $\sum\chi_i = 1$ op een omgeving van $M$. Op die omgeving is $\dd(\sum\chi_i) = 0$, dus

beide leden zijn additief, en het volstaat de stelling te bewijzen voor een vorm met drager in het beeld van één kaart.

Inwendige kaart. Is $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ met $V$ open in $\R^k$: breid $\eta = \gamma^*\omega$ met nul uit tot $\R^k$ (glad, met compacte drager in $V$) en pas Lemma 21.22 toe met de drager weg van $\partial H^k$ (verschuif $V$ het open bovenste halfvlak in — of herhaal eenvoudig de berekening van het geval $i < k$ over heel $\R^k$): dan is $\int_M\dd\omega = \int_{\R^k}\dd\eta = 0$, en $\int_{\partial M}\omega = 0$ omdat $\omega$ nabij $\partial M$ verdwijnt.

Randkaart. Is $\operatorname{supp}\omega\cap M \subseteq \gamma(V \cap H^k)$: met $\eta = \gamma^*\omega$ met nul uitgebreid is $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ (Stelling 21.11(b)), dus volgens Definitie 21.18:

Rest nog het rechterlid met $\int_{\partial M}\omega$ te identificeren. De rand wordt geparametriseerd door $\beta(u') = \gamma(u', 0)$, en $\beta^*\omega$ is de beperking van $\eta$ tot $\{u_k = 0\}$ (de terugtrekking onder de inclusie $u' \mapsto (u', 0)$, samengesteld met $\gamma$). De vergelijking van de oriëntaties geeft aan beide kanten dezelfde $(-1)^k$: het frame $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ zit in de geïnduceerde oriëntatie van $\partial M$ met het teken $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$, in de kaart berekend (de buitenwaartse vector trekt terug naar $-e_k$), en dat is precies het teken dat de geïnduceerde oriëntatie van $\partial H^k$ met de standaard van $\R^{k-1}$ verbindt (Lemma 21.22). De twee tekenafspraken heffen elkaar op: $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎