Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

19Oppervlakken

Na de krommen, de oppervlakken: tweeparameterobjecten in $\R^3$ . De differentiaalrekening van Hoofdstuk 15 levert alles wat we nodig hebben — partiële afgeleiden geven raakvectoren, het kruisproduct de normaal, determinanten de oppervlakten. We definiëren reguliere geparametriseerde oppervlakken, hun raakvlakken, en de eerste fundamentaalvorm, die alle lengte- en oppervlaktemetingen op het oppervlak codeert. Oppervlakken ontstaan ook als niveauverzamelingen $f(x, y, z) = c$ ; de gradiënt richt dan de normaal.

19.1 Geparametriseerde oppervlakken

Definitie 19.1 (Regulier geparametriseerd oppervlak)

Zij $U \subseteq \R^2$ open. Een geparametriseerd oppervlak van klasse $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) is een afbeelding $\sigma \colon U \to \R^3$ , $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$ , van klasse $\mathcal{C}^k$ . Een punt is regulier als de partiële afgeleidevectoren

\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v), \qquad \sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)

lineair onafhankelijk zijn, d.w.z. $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$ ; het oppervlak is regulier als elk punt dat is.

Voorbeeld 19.2 (De drie standaardbeschrijvingen)

Grafiek: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ voor $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Altijd regulier: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ en $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ zijn onafhankelijk.
Bol (sferische coördinaten): voor de bol van straal $R$ ,

$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$

met $\theta$ de lengte en $\varphi$ de breedte. Men controleert $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : regulier weg van de polen (die deze kaart weglaat).
Niveauverzameling: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ waar $f$ $\mathcal{C}^1$ is en $\nabla f \neq 0$ op $S$ . Nabij elk punt kan één coördinaat als functie van de andere twee worden uitgedrukt door de impliciete-functiestelling (Hoofdstuk 15), dus is $S$ lokaal een grafiek.

Voorbeeld 19.3 (Van niveauverzameling naar grafiek)

De impliciete-functiestelling in item 3 verdient één expliciete run. Neem de bol $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ nabij haar noordpool $(0, 0, R)$ : daar $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$ , en oplossen naar $z$ geeft de grafiekkaart

z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}, \qquad x^2 + y^2 < R^2 ,

regulier overal op haar (open) domein — inclusief de pool die de sferische kaart miste. Nabij een equatoriaalpunt zoals $(R, 0, 0)$ lost dezelfde stelling naar $x$ op ( $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$ ). De vuistregel: een niveauoppervlak is een grafiek over het coördinaatvlak orthogonaal op de grootste component van de gradiënt, en door de bol met zes zulke grafiekkaarten te bedekken controleert men haar gladheid overal zonder enige trigonometrie.

19.2 Raakvlak en normaal

Definitie 19.4 (Raakvlak)

Zij $\sigma$ regulier in $(u_0, v_0)$ , $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . Het raakvlak $T_{M_0}S$ is het vlak door $M_0$ gericht door $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (partiëlen in $(u_0, v_0)$ ). De eenheidsnormaal is

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

Propositie 19.5 (Raakvectoren zijn snelheidsvectoren)

De richting van $T_{M_0}S$ is precies de verzameling vectoren $\gamma'(0)$ , waar $\gamma = \sigma \circ c$ loopt over de $\mathcal{C}^1$ -krommen op het oppervlak getekend door $M_0$ (d.w.z. $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ is $\mathcal{C}^1$ met $c(0) = (u_0, v_0)$ ).

Bewijs. Als $c(t) = (u(t), v(t))$ , geeft de kettingregel (Hoofdstuk 15)

\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v \in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).

Omgekeerd wordt de vector $a\sigma_u + b\sigma_v$ bereikt door de kromme $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$ , die voor $\abs t$ klein in de open verzameling $U$ blijft. ∎

Voorbeeld 19.6 (Het raakvlak van de helicoïde)

Voor de helicoïde $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , in het punt $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

dus is het raakvlak $a\,y = z$ . Het bevat de hele horizontale regellijn $\{(t, 0, 0)\}$ (richting $\sigma_v$ ): zoals voor de kegel van Oefening 19.1 heeft een oppervlak geregeerd door rechte lijnen elke regellijn binnen het raakvlak erlangs. De andere raakrichting $\sigma_u$ is de snelheid van de schroeflijn $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : één kaart, twee getekende krommen, en het hele raakvlak is opgespannen — Propositie 19.5 in actie.

Propositie 19.7 (Normaal van een niveauoppervlak)

Zij $S = \{f = c\}$ met $f$ van klasse $\mathcal{C}^1$ en $\nabla f(M_0) \neq 0$ . Dan is het raakvlak van $S$ in $M_0$ het vlak door $M_0$ orthogonaal op $\nabla f(M_0)$ :

T_{M_0}S :\quad \langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .

Bewijs. Voor elke kromme $\gamma$ op $S$ getekend door $M_0$ , $f(\gamma(t)) = c$ identiek, dus geeft de kettingregel $\langle \nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$ : alle snelheidsvectoren zijn orthogonaal op de gradiënt, dus is de raakrichting bevat in het vlak $\nabla f(M_0)^\perp$ . Beide zijn $2$ -dimensionale deelruimten — de raakrichting omdat $S$ lokaal een reguliere grafiek is (Voorbeeld 19.2), het orthogonaal complement omdat $\nabla f(M_0) \neq 0$ — dus zijn ze gelijk. ∎

Voorbeeld 19.8

Voor de bol $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : $\nabla f = 2(x, y, z)$ , dus is het raakvlak in $M_0$ orthogonaal op de straal $\vect{OM_0}$ — het klassieke feit dat straal en raakvlak loodrecht staan, met vergelijking $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

Voorbeeld 19.9 (Raakvlak van een grafiek)

Voor $z = f(x, y)$ in $(x_0, y_0)$ : toepassen van Propositie 19.7 op $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ,

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

het affiene deel van de eerste-orde Taylorontwikkeling — het raakvlak is de grafiek van de differentiaal, zoals het moet.

Voorbeeld 19.10 (Het dichtstbijzijnde punt van een oppervlak)

Welk punt van de paraboloïde $z = x^2 + y^2$ is het dichtst bij $P = (0, 0, 1)$ ? Minimaliseer de gekwadrateerde afstand langs het oppervlak: met $\rho^2 = x^2 + y^2$ ,

g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2, \qquad g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0 \iff \rho^2 = \tfrac12 ,

wat de cirkel van punten op hoogte $z = \frac12$ en afstand $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$ geeft. De meetkundige handtekening van minimaliteit: in zo’n punt $M$ moet de vector $\vect{MP}$ normaal op het oppervlak zijn — anders zou glijden langs een getekende kromme met snelheid die een component naar $P$ heeft de afstand verkleinen. Controle: $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ in $M = (x, y, \tfrac12)$ , terwijl $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) = \tfrac12(-2x, -2y, 1)$ : evenwijdig, zoals voorspeld. De eerste-ordevoorwaarde “voet van de loodlijn” is dezelfde die extrema op niveauverzamelingen zal sturen in Oefening 19.12.

Voorbeeld 19.11 (Raakvlakken van kwadrieken: de polarisatieregel)

Zij $S : xy + yz + zx = 1$ en $M_0 = (1, 1, 0) \in S$ . Hier $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$ , dus $\nabla f(M_0) = (1, 1, 2)$ en het raakvlak is

(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0, \qquad\text{d.w.z.}\qquad x + y + 2z = 2 .

Hetzelfde antwoord komt uit de polarisatieregel die Voorbeeld 19.8 en Oefening 19.2 generaliseert: in de kwadriekvergelijking, vervang $x^2$ door $x_0x$ , en elk product $xy$ door $\frac{x_0y + y_0x}2$ (en cyclisch):

\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x + x_0z}2 = 1 \;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\; \frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,

wat opnieuw $x + y + 2z = 2$ is. De regel werkt omdat $\nabla$ van een kwadratische vorm de geassocieerde bilineaire vorm geëvalueerd tegen het baspunt is — raakheid aan een kwadriek is polarisatie, nog een gezicht van Hoofdstuk 12.

19.3 De eerste fundamentaalvorm

Definitie 19.12 (Eerste fundamentaalvorm)

Zij $\sigma \colon U \to \R^3$ een regulier $\mathcal{C}^1$ -oppervlak. Haar eerste fundamentaalvorm in $(u,v)$ is de positief definiete kwadratische vorm op $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

waar

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

Opmerking 19.13

$I$ is de beperking van het omgevende euclidische inwendig product tot het raakvlak, gelezen in de basis $(\sigma_u, \sigma_v)$ : ze is positief definiet precies omdat $\sigma_u, \sigma_v$ onafhankelijk zijn (Hoofdstuk 12). Elke metrische grootheid op het oppervlak — lengten van getekende krommen, hoeken ertussen, oppervlakten — wordt alleen uit $E, F, G$ berekend. Twee oppervlakken met dezelfde $E, F, G$ in geschikte parameters zijn isometrisch zelfs als ze verschillend in de ruimte zitten: dit is het startpunt van intrinsieke meetkunde.

Voorbeeld 19.14 (Hoeken tussen coördinaatkrommen)

De eerste fundamentaalvorm meet ook hoeken: de coördinaatkrommen $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ en $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ snijden onder de hoek $\theta$ met

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

de enige coëfficiënt $F$ beslist orthogonaliteit van het parameternet. Voor de bolkaart en de helicoïde, $F = 0$ : meridianen snijden parallelcirkels, en schroeflijnen snijden de horizontale regellijnen, loodrecht — daarom stortten hun oppervlakte-integranden in tot $\sqrt{EG}$ . Voor een grafiekkaart verdwijnt $F = f_xf_y$ alleen waar een partiële afgeleide dat doet: het coördinaatnet van een gekantelde grafiek is niet orthogonaal, hoewel het $(x, y)$ -net beneden dat is. Wanneer berekeningen op een oppervlak zwaar lijken, is de eerste zet een kaart met $F = 0$ te zoeken.

Voorbeeld 19.15 (De zadelkaart)

Voor het zadel $z = xy$ met kaart $\sigma(u, v) = (u, v, uv)$ :

\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u), \qquad E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,

en $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$ : regulier overal. De twee coördinaatkrommen door een punt zijn rechte lijnen van $\R^3$ (fixeer $u$ of fixeer $v$ : de regellijnen van het dubbel geregeerde zadel), maar $F \neq 0$ buiten de assen: regellijnen door een generiek punt zijn niet orthogonaal. Beide regellijnen liggen in het raakvlak, dat ze opspannen — dus snijdt het raakvlak het oppervlak langs twee hele lijnen, het extreme tegendeel van de bol, waarvan de raakvlakken slechts in één punt raken. Het teken van het “tweede-ordecontact” tussen een oppervlak en haar raakvlakken is een krommingsverhaal, opgepakt in het volume van Jaar 3.

Propositie 19.16 (Lengte van een kromme op een oppervlak)

Als $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ , $t \in [a, b]$ , $\mathcal{C}^1$ is, dan

L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,

met $E, F, G$ geëvalueerd in $(u(t), v(t))$ .

Bewijs. $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ door de kettingregel, dus $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$ ; integreer $\norm{\gamma'}$ (Definitie 18.6). ∎

Voorbeeld 19.17 (Waarom vliegtuigen over de pool vliegen)

Twee luchthavens liggen op breedte $\varphi_0$ en overstaande lengten: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ en $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ op de bol van straal $R$ . Langs de parallel ( $\varphi \equiv \varphi_0$ ) is de lengte $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . Langs de route over de pool (omhoog de meridiaan $\theta = 0$ , omlaag de meridiaan $\theta = \pi$ ) is ze $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . Op breedte $\varphi_0 = \frac\pi3$ (zestig graden): parallelroute $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , poolroute $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — een derde korter. In feite $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ op $\intcc0{\pi/2}$ (de functie $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ verdwijnt in beide einden en haar afgeleide $2 - \pi\sin\varphi$ wisselt één keer van teken, dus is ze eerst stijgend dan dalend, dus niet-negatief): de poolroute verliest nooit. De eerste fundamentaalvorm maakte van een navigatievraag twee éénregels-integralen; Oefening 19.6 duwt het idee door naar een echt minimaliteitsbewijs voor meridianen.

Lemma 19.18 (Identiteit van Lagrange)

Voor alle $a, b \in \R^3$ : $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$ . In het bijzonder

\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.

Bewijs. Beide zijden blijven onveranderd als we $b$ vervangen door haar component $b_\perp = b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ orthogonaal op $a$ (voor $a \neq 0$ ; het geval $a = 0$ is triviaal): de linkerkant omdat $a \wedge a = 0$ , de rechterkant door ontwikkelen van $\norm{b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ en $\langle a, b_\perp\rangle = 0$ . Dus volstaat de identiteit voor orthogonale $a, b$ , waar ze leest $\norm{a \wedge b} = \norm a \norm b$ : waar, omdat voor orthogonale vectoren het kruisproduct norm $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$ heeft. De weergegeven formule is het geval $a = \sigma_u$ , $b = \sigma_v$ . ∎

Opmerking 19.19

De Lagrange-identiteit zegt dat $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix} E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ de Gram-determinant van $(\sigma_u, \sigma_v)$ is: de gekadrateerde oppervlakte van het parallellogram dat ze opspannen. Regulariteit, positieve definietheid van de eerste fundamentaalvorm, en positiviteit van de Gram-determinant zijn drie formuleringen van één voorwaarde — daarom verdwijnt de oppervlakte-integrand hieronder nooit op een reguliere kaart.

Definitie 19.20 (Oppervlakte)

Zij $\sigma \colon U \to \R^3$ een regulier injectief $\mathcal{C}^1$ -oppervlak en $K \subseteq U$ een compact domein waarop dubbelintegralen zin hebben (Hoofdstuk 20). De oppervlakte van het stuk $\sigma(K)$ is

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

Opmerking 19.21 (Waarom deze formule)

Het rechthoek $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ wordt, tot eerste orde, afgebeeld op het parallellogram opgespannen door $\sigma_u\,\dd u$ en $\sigma_v\,\dd v$ , waarvan de oppervlakte $\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ is: de definitie integreert de lokale oppervlakte-vervormingsfactor, precies zoals booglengte de lokale snelheid integreert. Consistentie met parameterwisseling is Oefening 19.8; consistentie met de variabelensubstitutieformule voor dubbelintegralen wordt besproken in Hoofdstuk 20.

Voorbeeld 19.22 (Twee verschillende grafieken, één oppervlakte)

Over de eenheidsschijf, vergelijk de kom $z = \frac12(x^2 + y^2)$ en het zadel $z = xy$ . Hun oppervlakte-integranden (Oefening 19.5) zijn

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{en}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

identiek. De twee oppervlakken — één die in alle richtingen dezelfde kant op buigt, de andere zadelvormig — hebben precies gelijke oppervlakten over elk domein, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ over de eenheidsschijf. Het oppervlakte-element ziet alleen de lengte van de gradiënt, niet de schikking van de buiging; de kom van het zadel onderscheiden vereist tweede-ordegegevens (de tekenstructuur vertoond in Figuur 19.1), die geen enkele oppervlaktemeting detecteert. Eerste fundamentaalvorm: metrisch, blind voor vorm; de vorm-ziende tweede vorm hoort bij Jaar 3.

Voorbeeld 19.23 (Oppervlakte van de bol)

Voor de sferische kaart van Voorbeeld 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

dus $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ en $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . Vandaar

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Voorbeeld 19.24 (De kegel, gecontroleerd tegen de schoolformule)

Voor de kegel $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ over de annulus $a \leq \rho \leq b$ geeft de grafiekformule van Oefening 19.5 $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (bereken $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), dus

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Consistentiecontrole met de schuine-hoogteformule $\pi\rho\ell$ van Voorbeeld 19.26: de volle kegels van basisstralen $b$ en $a$ hebben laterale oppervlakten $\pi b\cdot b\sqrt2$ en $\pi a\cdot a\sqrt2$ , waarvan het verschil precies $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ is. Twee kaarten, twee formules, één oppervlakte — de invariantie bewijzen in Oefening 19.8, gezien in het wild.

Opmerking 19.25 (Gezondheidscontroles voor oppervlakten)

Drie instantcontroles vangen de meeste fouten in een oppervlakteberekening. Schaling: dilateren van een oppervlak met $\lambda$ vermenigvuldigt $E, F, G$ met $\lambda^2$ en de oppervlakte met $\lambda^2$ — een antwoord waarvan de afhankelijkheid van $R$ niet kwadratisch is (zoals $4\pi R^2$ ) is fout. Positiviteit van het element: $\sqrt{EG - F^2}$ moet strikt positief zijn op het inwendige van de kaart; een verdwijnende waarde signaleert een kaartdegeneratie, te exciseren zoals bij de polen van de bol. Symmetrie: een berekening over een symmetrisch stuk moet consistent zijn met het sommeren van haar congruente delen — het halfrond moet $2\pi R^2$ geven.

Voorbeeld 19.26 (Omwentelingsoppervlak)

Roteer de kromme $z \mapsto (r(z), 0, z)$ , $r > 0$ van klasse $\mathcal{C}^1$ , om de $z$ -as:

\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).

Dan $E = r(z)^2$ , $F = 0$ , $G = 1 + r'(z)^2$ , dus

\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi} r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z = 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,

de klassieke formule (omtrek $2\pi r$ maal het schuine lengte-element). Voor de kegel $r(z) = kz$ , $z \in [0, h]$ : $\mathcal A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ met $\rho = kh$ de basisstraal en $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ de schuine hoogte — de schoolformule, nu afgeleid in plaats van aangenomen.

Voorbeeld 19.27 (De catenoïde)

Roteer de kettinglijn $r(z) = \cosh z$ , $z \in \intcc{-1}{1}$ , om haar as: de resulterende catenoïde heeft, door de omwentelingsformule en $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$ ,

\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\, \dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z = \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},

dat is

\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .

De schuine factor $\sqrt{1 + r'^2}$ smolt met de straal tot een perfect kwadraat — dezelfde identiteit die de booglengte van de kettinglijn elementair maakte in het krommenhoofdstuk. Dit is geen toeval van algebra: onder alle omwentelingsoppervlakken die de twee randcirkels overspannen, minimaliseert de catenoïde de oppervlakte (het is de vorm van een zeepvlies tussen twee ringen), en deze variatie-eigenschap is precies wat $\cosh$ uitkiest; het volume van Jaar 3 bewijst het met de variatierekening.

Het zadel z = x2 - y2 nabij de oorsprong, met haar coördinaatkrommen (u-krommen in blauw, v-krommen in groen), het raakvlak in M_0 = (0,0,0) (gestippeld) en de eenheidsnormaal n. Het oppervlak kruist haar raakvlak — het tweedimensionale analogon van een buigpunt. — **Figuur 19.1.** Het zadel $z = x^2 - y^2$ nabij de oorsprong, met haar coördinaatkrommen ( $u$ -krommen in blauw, $v$ -krommen in groen), het raakvlak in $M_0 = (0,0,0)$ (gestippeld) en de eenheidsnormaal $n$ . Het oppervlak kruist haar raakvlak — het tweedimensionale analogon van een buigpunt.

Opmerking 19.28 (Klassieke valkuilen)

(i) Kaartsingulariteiten zijn geen oppervlaksingulariteiten: de sferische kaart ontaardt in de polen ( $\cos\varphi = 0$ ), maar de bol is daar perfect glad — een andere kaart (verwissel de rollen van de assen) is regulier in de polen. Voor je een punt singulier verklaart, probeer een tweede parametrisatie. (ii) Regulariteit van $\sigma$ betreft de parametrisatie, niet het beeld: $\sigma(u, v) = (u^3, v, 0)$ is niet-regulier langs $u = 0$ hoewel haar beeld een vlak is. (iii) De oppervlakteformule vereist dat $\sigma$ injectief is op $K$ : een kaart die een stuk tweemaal bedekt telt het tweemaal ( $\theta$ lopend over $\intcc0{4\pi}$ verdubbelt de oppervlakte van de bol). (iv) De eenheidsnormaal is op teken na door het oppervlak gedefinieerd maar wordt door de kaart gekozen (volgorde van $u, v$ ); uitspraken over oriëntatie moeten die keuze vastleggen. (v) Ten slotte is $EG - F^2 > 0$ geen extra hypothese: het is precies regulariteit, door de Lagrange-identiteit — als ze ergens verdwijnt, is het probleem de kaart, en geen oppervlakte- of raakvlakformule is daar van toepassing.

Opmerking 19.29 (Perspectieven binnen dit volume)

Voorwaartse schakels vanaf hier. Het oppervlakte-element $\sqrt{EG - F^2}\,\dd u\,\dd v$ is een tweedimensionale Jacobiaan in vermomming, en Hoofdstuk 20 maakt de analogie exact met de variabelensubstitutiestelling — de oppervlakintegralen daar zijn de oppervlakten van dit hoofdstuk met een integrand aan boord. De eerste fundamentaalvorm is een veld van positieve kwadratische vormen, puntsgewijs behandeld met de tools van Hoofdstuk 12, waarvan de spectrale stelling ook de weekendclassificatie van kwadrieken van dit hoofdstuk voedt. En de normaallijn stuurt extremumproblemen op constraintverzamelingen (Voorbeeld 19.10), de meetkundige kiem van de Lagrange-multipliermethode geschetst met Stelling 15.11.

Vier van de negen kwadriekoppervlakken geclassificeerd in het weekendprobleem, geschetst door hun silhouetten en een niveaukromme (rood): de begrensde ellipsoïde, de dubbel geregeerde éénbladige hyperboloïde met haar taille, de kom van de elliptische paraboloïde, en het zadel, waarvan de twee parabolische sneden in overstaande richtingen buigen.

Opmerking 19.30 (Waar dit wordt gebruikt)

Het oppervlakte-element $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ is de oppervlakintegraalmaat van Hoofdstuk 20, waar ze de formule van Green ontmoet; de eerste fundamentaalvorm is het prototype van een veld van kwadratische vormen, puntsgewijs bestudeerd met de tools van Hoofdstuk 12; en het weekendprobleem van dit hoofdstuk classificeert alle kwadriekoppervlakken met de spectrale stelling. Het volume van Jaar 3 keert terug naar oppervlakken met differentiaalvormen en de divergentstelling, en intrinsieke kromming — wat $E, F, G$ weten over buiging — is de toegangspoort tot de differentiaalmeetkunde proper.

19.4 Oefeningen

Oefening 19.1 ★

Toon dat de raakvlakken van de kegel $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (min haar top) allemaal door de top gaan. (Parametriseer door $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$ , $r > 0$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.1.

Met $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$ :

\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0), \qquad \sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),

onafhankelijk voor $r > 0$ . Het raakvlak in $M_0 = \sigma(\theta_0, r_0)$ gaat door $M_0$ met richtingen $\sigma_\theta, \sigma_r$ . Nu is $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ zelf een raakrichting: de top $O$ ligt in het raakvlak. (Dit is het algemene gedrag van kegels: ze worden geregeerd door lijnen door de top, en een raakvlak bevat de regellijn door het raakpunt.)

Oefening 19.2 ★

Vind het raakvlak van de ellipsoïde $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ in een punt $(x_0, y_0, z_0)$ van het oppervlak.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.2.

Pas Propositie 19.7 toe op $f(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$ : $\nabla f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ op het oppervlak. Het raakvlak is

\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0) + \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0, \qquad\text{d.w.z.}\qquad \frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,

gebruikend dat $(x_0, y_0, z_0)$ aan de ellipsoïdevergelijking voldoet — de “splits de kwadraten”-regel die $\langle M_0, M \rangle = R^2$ van de bol generaliseert.

Oefening 19.3 ★

Bereken $E, F, G$ voor de helicoïde $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , $a > 0$ , en de oppervlakte van het stuk $0 \leq u \leq 2\pi$ , $0 \leq v \leq 1$ , als integraal (evalueer haar met $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} + a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.3.

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ en $\sigma_v = (\cos u,\ \sin u,\ 0)$ , dus

E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1, \qquad \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0

(de helicoïde is overal regulier, ook op haar as $v = 0$ ). Oppervlakte van het stuk:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u = 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2} + a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,

d.w.z. $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} + a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$ .

Oefening 19.4 ★★

(Torus) Parametriseer de torus verkregen door de cirkel van centrum $(R, 0, 0)$ en straal $r < R$ in het $xz$ -vlak om de $z$ -as te roteren:

\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\ (R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).

Bereken $E, F, G$ , controleer regulariteit, en toon dat de oppervlakte $4\pi^2 R r$ is (Pappus: gemiddelde omtrek $2\pi R$ maal cirkellengte $2\pi r$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.4.

Afgeleiden:

\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ (R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr), \qquad \sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\ -r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).

Dan

E = (R + r\cos\psi)^2, \qquad F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi) \bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0, \qquad G = r^2 ,

dus $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$ : regulier overal. Oppervlakte:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi) \,\dd\theta\,\dd\psi = 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr) = 4\pi^2 R r ,

de $\cos\psi$ -term integreert tot nul — de stelling van Pappus: oppervlakte $=$ (lengte van de geroteerde cirkel) $\times$ (afstand afgelegd door haar centrum).

Oefening 19.5 ★★

Toon dat de oppervlakte van de grafiek van $f \in \mathcal{C}^1(K)$ gelijk is aan $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$ , en bereken haar voor het paraboloïdestuk $z = \frac12(x^2 + y^2)$ over de schijf $x^2 + y^2 \leq 1$ (poolcoördinaten, Hoofdstuk 20).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.5.

Voor $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$ : $\sigma_x = (1, 0, f_x)$ , $\sigma_y = (0, 1, f_y)$ , dus $E = 1 + f_x^2$ , $F = f_xf_y$ , $G = 1 + f_y^2$ en

EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2 = 1 + f_x^2 + f_y^2 ,

wat de geclaimde formule geeft. Voor $f = \frac12(x^2 + y^2)$ : $f_x = x$ , $f_y = y$ , dus

\mathcal{A} = \iint_{x^2+y^2\leq 1}\sqrt{1 + x^2 + y^2}\, \dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \rho\sqrt{1 + \rho^2}\,\dd\rho\, \dd\theta = 2\pi\cdot\frac13\bigl[(1+\rho^2)^{3/2}\bigr]_0^1 = \frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1) .

Oefening 19.6 ★★

Een getekende kromme $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ op de bol van straal $R$ (sferische kaart) heeft $u = \theta(t)$ , $v = \varphi(t)$ . Schrijf haar lengte als integraal in $\theta, \varphi$ en bewijs dat onder krommen die twee punten van dezelfde meridiaan $\theta = \theta_0$ verbinden, de meridiaanboog de kortste is. (Grenz de integrand van onder door $R\abs{\varphi'}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.6.

Met $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ (Voorbeeld 19.23):

L(\gamma) = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi\,\theta'^2 + \varphi'^2}\,\dd t \geq \int_a^b R\abs{\varphi'}\,\dd t \geq R\bigl|\varphi(b) - \varphi(a)\bigr|,

met gelijkheid dan en slechts dan als $\theta' \equiv 0$ en $\varphi'$ van constant teken: de kromme loopt monotoon langs een meridiaan. Voor twee punten op $\theta = \theta_0$ is de meridiaanboog dus strikt korter dan elke niet-meridionale concurrent.

Oefening 19.7 ★★★

(Normaallijnen van een bol) Zij $S$ een regulier niveauoppervlak $\{f = c\}$ , samenhangend, waarvan alle normaallijnen door een vast punt $\Omega$ gaan. Toon dat $S$ bevat is in een bol gecentreerd in $\Omega$ . (Toon dat $\norm{M - \Omega}^2$ afgeleide nul heeft langs elke op $S$ getekende kromme.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.7.

Voor elke op $S$ getekende kromme $\gamma$ is $\gamma'(t) \perp \nabla f(\gamma(t))$ (Propositie 19.7). De hypothese zegt dat de normaal, dus $\nabla f(M)$ , evenwijdig is aan $M - \Omega$ voor elke $M \in S$ : $\nabla f(M) = \lambda(M)\,(M - \Omega)$ . Dus $\langle \gamma', \gamma - \Omega\rangle = 0$ langs elke getekende kromme, d.w.z. $\frac{\dd}{\dd t}\norm{\gamma - \Omega}^2 = 0$ . Omdat $S$ samenhangend is, is $\norm{M - \Omega}$ constant op $S$ : $S$ ligt op een bol met centrum $\Omega$ .

Oefening 19.8 ★★★

(Oppervlakte is meetkundig) Zij $\Phi \colon U' \to U$ een $\mathcal{C}^1$ -diffeomorfisme tussen open verzamelingen van $\R^2$ en $\tilde\sigma = \sigma \circ \Phi$ . Toon dat

\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} = \abs{\det J_\Phi}\, \norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,

en leid, met de variabelensubstitutieformule van Hoofdstuk 20, af dat de oppervlakte van Definitie 19.20 niet van de gekozen reguliere parametrisatie afhangt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.8.

Schrijf $\Phi(u', v') = (u(u',v'), v(u',v'))$ . De kettingregel geeft $\tilde\sigma_{u'} = u_{u'}\sigma_u + v_{u'}\sigma_v$ en $\tilde\sigma_{v'} = u_{v'}\sigma_u + v_{v'}\sigma_v$ , dus

\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'} = (u_{u'}v_{v'} - u_{v'}v_{u'})\,(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi = (\det J_\Phi)\,(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .

Normen nemen levert de claim. Voor de oppervlakte: als $K' = \Phi^{-1}(K)$ , dan

\iint_{K'}\norm{\tilde\sigma_{u'}\wedge\tilde\sigma_{v'}}\, \dd u'\,\dd v' = \iint_{K'}\abs{\det J_\Phi}\,\norm{\sigma_u\wedge \sigma_v}\circ\Phi\,\dd u'\,\dd v' = \iint_K\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v

door de variabelensubstitutieformule (Stelling 20.14): de oppervlakte hangt niet van de kaart af.

Oefening 19.9 ★

(De hoedendoosstelling van Archimedes) Op de bol van straal $R$ heeft de zone tussen de breedten met $z_1 \leq z \leq z_2$ ( $-R \leq z_1 < z_2 \leq R$ ) oppervlakte $2\pi R\,(z_2 - z_1)$ : bewijs het met de sferische kaart, en concludeer dat de oppervlakte van een zone alleen van haar hoogte afhangt — een sinaasappel in schijven van gelijke dikte snijden geeft gelijke hoeveelheden schil.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.9.

Met de sferische kaart, $z = R\sin\varphi$ , dus $\varphi = \arcsin(z/R)$ en $\dd\varphi = \dd z/(R\cos\varphi)$ . Het oppervlakte-element $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ wordt $R\,\dd\theta\,\dd z$ :

\mathcal{A} = \int_{z_1}^{z_2}\!\!\int_0^{2\pi} R\,\dd\theta\,\dd z = 2\pi R(z_2 - z_1) .

De breedten zelf verdwijnen: alleen de hoogte telt. Gelijke hoogteschijven van een sinaasappel geven dus gelijke schiloppervlakten.

Oefening 19.10 ★★

Toon dat elke normaallijn van een omwentelingsoppervlak $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ ( $r > 0$ van klasse $\mathcal C^1$ ) de omwentelingsas snijdt, en lokaliseer het snijpunt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.10.

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ , $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$ , dus

\sigma_\theta \wedge \sigma_z = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -rr') ,

en de normaallijn in $M = \sigma(\theta, z)$ is $M + t\,(\sigma_\theta \wedge \sigma_z)$ . Haar snijpunt met de $z$ -as ( $x = y = 0$ ) eist

r\cos\theta + t\,r\cos\theta = 0, \qquad r\sin\theta + t\,r\sin\theta = 0 ,

d.w.z. $t = -1$ (omdat $r > 0$ ); de $z$ -coördinaat is dan $z - rr'(-1)\cdot\frac{-rr'}{\norm{\cdots}}$ wacht — eenvoudiger: met $n = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -rr')$ , $M + t n$ heeft $x = r\cos\theta(1+t)$ , $y = r\sin\theta(1+t)$ , nul wanneer $t = -1$ , en $z$ -coördinaat $z + (-1)(-rr') = z + rr'$ . Het snijpunt is $(0,0, z + r(z)r'(z))$ .

Oefening 19.11 ★★

(De cilinder afrollen) De kaart $\sigma(u, v) = (\cos u,\ \sin u,\ v)$ van de eenheidscilinder heeft $E = G = 1$ , $F = 0$ : verifieer dit, en verklaar waarom elke getekende kromme $t \mapsto \sigma(u(t), v(t))$ dezelfde lengte heeft als de vlakke kromme $t \mapsto (u(t), v(t))$ . Leid af dat de schroeflijn van $(1, 0, 0)$ naar $(1, 0, 2\pi c)$ met één omwenteling lengte $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ heeft, en dat geen getekende kromme met dezelfde eindpunten en één volle omwenteling korter is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.11.

$\sigma_u = (-\sin u,\ \cos u,\ 0)$ , $\sigma_v = (0,0,1)$ : $E = 1$ , $F = 0$ , $G = 1$ . Voor $\gamma(t) = \sigma(u(t),v(t))$ is $\norm{\gamma'}^2 = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2 = u'^2 + v'^2$ , precies de snelheid van de vlakke kromme $(u,v)$ : lengten komen overeen (de cilinder “afrollen” is een isometrie). De schroeflijn van één omwenteling met stijging $2\pi c$ is $u(t) = t$ , $v(t) = ct$ op $[0, 2\pi]$ : lengte $\int_0^{2\pi}\sqrt{1+c^2}\,\dd t = 2\pi\sqrt{1+c^2}$ . Elke andere kromme met dezelfde eindpunten en $\Delta u = 2\pi$ voldoet aan

L = \int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t \geq \int\abs{u'}\,\dd t \geq 2\pi ,

maar strenger: door Cauchy–Schwarz of door $v' = c u'$ voor de schroeflijn te vergelijken, is de rechte lijn in het $(u,v)$ -vlak van $(0,0)$ naar $(2\pi, 2\pi c)$ de kortste, van lengte $2\pi\sqrt{1+c^2}$ , en elke afwijking is strikt langer.

Oefening 19.12 ★★★

Zij $S = \{f = c\}$ een compact regulier niveauoppervlak en $M_0 \in S$ een punt op maximale afstand van de oorsprong. Toon dat $\nabla f(M_0)$ collineair is met $\vect{OM_0}$ — de normaal in het verste punt is radiaal. Pas toe op de ellipsoïde $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ( $a > b > c > 0$ ): vind alle punten waar de normaal radiaal is, en identificeer de verste.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.12.

Maximaliseer $g(M) = \norm{M}^2$ op $S = \{f = c\}$ . In een maximum $M_0$ is $\nabla g(M_0) = 2M_0$ orthogonaal op $T_{M_0}S$ , dus evenwijdig aan $\nabla f(M_0)$ (Propositie 19.7): $\nabla f(M_0)$ is collineair met $\vect{OM_0}$ . Voor de ellipsoïde, $\nabla f = 2\bigl(\frac{x}{a^2}, \frac{y}{b^2}, \frac{z}{c^2}\bigr)$ evenwijdig aan $(x,y,z)$ dwingt, componentgewijs, ofwel de coördinaat nul ofwel $\frac1{a^2} = \frac1{b^2} = \frac1{c^2}$ (onmogelijk omdat $a > b > c$ ). Dus liggen de kandidaten op de assen: $(\pm a, 0, 0)$ , $(0, \pm b, 0)$ , $(0, 0, \pm c)$ . De verste zijn $(\pm a, 0, 0)$ , van afstand $a$ .

19.5 Probleem: de classificatie van kwadrieken van $\R^3$

Probleem 19.1

Weekendprobleem — elk kwadriekoppervlak, gesorteerd door de spectrale stelling

Een kwadriek is de nulverzameling in $\R^3$ van een tweedegraadspolynoom

q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c, \qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\ c \in \R .

De oppervlakken van de figuren van dit hoofdstuk — bollen, ellipsoïden, zadels, kegels, cilinders — zijn allemaal kwadrieken. Dit probleem classificeert ze alle: de spectrale stelling (Stelling 12.13) recht de kwadratische deel, affiene translaties (Hoofdstuk 17) absorberen het lineaire deel, en wat overblijft is een korte, complete lijst van normaalvormen.

Deel I — De reductiemachine.

Zij $X = PY + t$ met $P \in O(3)$ en $t \in \R^3$ (een starre coördinatenwisseling). Toon dat $q(PY + t) = Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ met

$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad c' = q(t) .$

Leid af dat het spectrum van $A$ (dus haar rang en signatuur) een starre invariant van de vergelijking is, en verklaar waarom de vergelijking van een gegeven kwadriek alleen op een niet-nulle scalaire factor na bepaald is.
Met de spectrale stelling, toon dat na een rotatie de vergelijking $\sum_i \lambda_i y_i^2 + 2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ wordt met $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ de eigenwaarden van $A$ .
Voor elke $i$ met $\lambda_i \neq 0$ , absorbeer $\beta_iy_i$ door een translatie ( $y_i \mapsto y_i - \beta_i/\lambda_i$ ). Schrijf de gereduceerde vergelijking wanneer $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
Een centrum van de kwadriek van vergelijking $q = 0$ is een punt $\Omega$ met $q(2\Omega - X) = q(X)$ voor alle $X$ : de puntsymmetrie in $\Omega$ behoudt de vergelijking, dus het oppervlak. Toon dat $q(2\Omega - X) - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle A\Omega + b, \Omega\rangle$ , en leid af: de centra zijn precies de oplossingen van $A\Omega = -b$ ; ze bestaan dan en slechts dan als $b \in \operatorname{im}A$ , en het centrum is uniek dan en slechts dan als $A$ inverteerbaar is.

Deel II — Centrale kwadrieken ( $\operatorname{rank}A = 3$ ). Hier is de gereduceerde vergelijking $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$ .

Vermenigvuldigend met $-1$ indien nodig, neem aan dat ten minste twee $\lambda_i > 0$ zijn. Enumereer de mogelijkheden: signatuur $(3, 0)$ met $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ , en signatuur $(2, 1)$ met $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ ; noem de zes resulterende verzamelingen (ellipsoïde, punt, lege verzameling, éénbladige hyperboloïde, kegel, tweeladige hyperboloïde) en breng elk in haar euclidische normaalvorm ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ , enz.).
Classificeer $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : toon $A = 2J - I$ met $J$ de all-ones-matrix, bereken het spectrum $\{5, -1, -1\}$ , en identificeer een tweeladige hyperboloïde van omwenteling om de as $\R(1,1,1)$ .
(Regellijnen) Voor de éénbladige hyperboloïde $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , factoriseer

$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$

en produceer twee éénparameterfamilies van rechte lijnen liggend op het oppervlak.
Toon dat door elk punt van de éénbladige hyperboloïde precies één lijn van elke familie gaat: het oppervlak is dubbel geregeerd.
De asymptotische kegel van de éénbladige hyperboloïde is $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Met $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ , toon dat elk punt van de hyperboloïde op afstand ten hoogste $c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}}$ van $C$ ligt, zodat het oppervlak haar kegel op oneindig omhelst. Wat zijn de sneden van de hyperboloïde met de vlakken $x = \pm a$ ?

Deel III — Rang $2$ en rang $1$ : paraboloïden, cilinders, vlakken.

Stel $\operatorname{rank}A = 2$ , zeg $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$ . Startend van vraag 3, splits in twee gevallen naargelang $\beta_3 \neq 0$ (geen centrum, door vraag 4) of $\beta_3 = 0$ (een lijn van centra), en reduceer tot

$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0 \qquad\text{of}\qquad \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$

elliptische/hyperbolische paraboloïden in het eerste geval, cilinders over centrale kegelsneden (of paren snijdende vlakken, een lijn, de lege verzameling) in het tweede.
Toon dat het zadel $z = xy$ een hyperbolische paraboloïde is: roteer over $\pi/4$ in het $xy$ -vlak om $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ te bereiken, het oppervlak van Figuur 19.1 op schaal na.
Toon dat het zadel $z = xy$ de twee lijnfamilies $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ en $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ draagt, met precies één lijn van elke door elk punt: de tweede dubbel geregeerde kwadriek.
Classificeer $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ in $\R^3$ (maak de kwadraten af; identificeer een rechte circulaire cilinder, en geef haar as en straal).
Zij nu $\operatorname{rank}A = 1$ , zeg $\lambda_1 \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$ . Roteren binnen het kernvlak en transleren, reduceer tot

$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0) \qquad\text{of}\qquad \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$

een parabolische cilinder, of een paar evenwijdige vlakken, een dubbel vlak, of de lege verzameling. Classificeer $(x + y)^2 = z$ volledig (normaalvorm, as van translatie-invariantie).

Deel IV — De classificatiestelling.

Assembleer Delen I–III tot een stelling: elke kwadriek van $\R^3$ wordt door een starre beweging op precies één normaalvorm afgebeeld. Lijst de zeventien affiene types (tel de lege varianten en ontaarde verzamelingen), en licht de negen kwadriek-oppervlakken eruit: ellipsoïde, één- en tweeladige hyperboloïden, kegel, elliptische en hyperbolische paraboloïden, elliptische, hyperbolische en parabolische cilinders.
Schrijf het classificatie-algoritme: gegeven $(A, b, c)$ , welke grootheden bereken je, in welke volgorde, en welke tak beslist welk type? Rechtvaardig dat elke stap effectief is (eigenwaarden van een symmetrische $3\times3$ -matrix, rang, oplosbaarheid van $A\Omega = -b$ ).
Draai het algoritme op $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 1$ : toon dat $A = 2I - J$ spectrum $\{2, 2, -1\}$ heeft en concludeer: een éénbladige hyperboloïde van omwenteling om $\R(1,1,1)$ .
Draai het op $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : vind het centrum en identificeer de kwadriek.
Draai het op $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonaliseer het $xy$ -blok ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) en identificeer de kwadriek.
Euclidisch versus affien. Toon dat twee centrale kwadrieken in normaalvorm star equivalent zijn dan en slechts dan als ze dezelfde coëfficiëntenlijsten hebben (op permutatie en een gemeenschappelijke positieve scalar op de vergelijking na), terwijl affien alleen de signatuurgegevens overleven: elke ellipsoïde is een affien beeld van de ronde bol. Welke stelling garandeert dat de signatuur onderweg niet kan veranderen (Stelling 12.6)?

Deel V — Dividenden.

Toon dat elke snede van een kwadriek met een affien vlak een kegelsnede is (mogelijk ontaard) van dat vlak. Identificeer de sneden van het zadel $z = xy$ met de vlakken $z = c$ ( $c \neq 0$ en $c = 0$ ).
Welke kwadriekoppervlakken bevatten rechte lijnen? Toon dat de ellipsoïde, de tweeladige hyperboloïde en de elliptische paraboloïde er geen bevatten (beperk $q$ tot een lijn en gebruik de Cauchy–Schwarz-ongelijkheid voor het tweeladige geval); dat kegel en cilinders door één familie geregeerd worden; en concludeer dat de dubbel geregeerde kwadriekoppervlakken precies de éénbladige hyperboloïde en de hyperbolische paraboloïde zijn.
Wanneer alleen het affiene type gewenst is, is de Gauss-reductie (Stelling 12.5) goedkoper dan diagonaliseren. Doe vraag 17 opnieuw met het Gauss-algoritme en controleer de signatuur $(2, 1)$ ; welke euclidische informatie verliest Gauss?
Alle eigenwaarden van een symmetrische matrix zijn reëel; toon dat bijgevolg de tekens van de eigenwaarden van $A$ van het karakteristieke polynoom kunnen worden afgelezen met de tekenregel van Descartes, en verifieer het op vraag 6: $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ heeft precies één tekenwisseling, dus signatuur $(1, 2)$ .
Synthese. Vat het algoritme in enkele regels samen; formuleer de exacte rol gespeeld door (i) de spectrale stelling, (ii) de centrumvergelijking $A\Omega = -b$ , (iii) de inertiestelling van Sylvester, (iv) de Gauss-reductie. Wat levert dezelfde machine in $\R^2$ , en wat verandert in $\R^n$ ?

Oplossing

Oplossing van Probleem 19.1.

1. Ontwikkelen, en met de symmetrie van $A$ ( $t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$ ):

q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY + 2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At + 2b^{\mathsf T}t + c\bigr),

wat het weergegeven triple is. $A' = P^{\mathsf T}\!AP = P^{-1}AP$ is gelijksoortig met $A$ : zelfde karakteristieke polynoom, spectrum, rang, signatuur. Ten slotte $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ voor $s \neq 0$ , dus is alleen de vergelijking op een scalar na aan de verzameling gehecht; schalen met $s$ vermenigvuldigt alle eigenwaarden met $s$ .

2. De spectrale stelling levert $P \in O(3)$ met $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ ; vraag 1 met $t = 0$ maakt van de vergelijking $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$ , waar $\beta = P^{\mathsf T}b$ .

3. Voor $\lambda_i \neq 0$ : $\lambda_iy_i^2 + 2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i + \frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 - \frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$ ; de translatie $z_i = y_i + \beta_i/\lambda_i$ (en $z_i = y_i$ voor $i > r$ ) geeft

\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0, \qquad c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.

4. $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T} A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$ ; ontwikkelen en $q(X)$ aftrekken, de kwadratische termen heffen op en

q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle + 4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .

Als $A\Omega + b = 0$ verdwijnt dit identiek: de puntsymmetrie behoudt $q$ , dus de kwadriek. Omgekeerd zegt “ $q(2\Omega - X) = q(X)$ voor alle $X$ ” dat de affiene functie hierboven op heel $\R^3$ verdwijnt, wat haar lineaire deel $A\Omega + b$ tot nul dwingt. Dus centra $=$ oplossingen van $A\Omega = -b$ : een niet-lege verzameling dan en slechts dan als $b \in \operatorname{im}A$ (een affiene deelruimte gericht door $\ker A$ ), en een enkel punt dan en slechts dan als $A$ inverteerbaar is.

5. Signatuur $(3,0)$ (alle $\lambda_i > 0$ ): $\delta > 0$ geeft $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ met $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$ , enz. — een ellipsoïde; $\delta = 0$ : het enkele punt $O$ ; $\delta < 0$ : leeg. Signatuur $(2,1)$ ( $\lambda_1, \lambda_2 > 0 > \lambda_3$ ): $\delta > 0$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , de éénbladige hyperboloïde; $\delta = 0$ : de kegel $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ ; $\delta < 0$ : $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , de tweeladige hyperboloïde ( $\abs z \geq c$ : twee componenten).

6. Het kwadratische deel heeft matrix $A$ met diagonaal $1$ en buiten-diagonaal $2$ : $A = 2J - I$ . Omdat $J$ spectrum $\{3, 0, 0\}$ heeft (eigenvector $(1,1,1)$ voor $3$ ), heeft $A$ spectrum $\{5, -1, -1\}$ , de eigenwaarde $5$ gedragen door $\R(1,1,1)$ . In de geroteerde coördinaten: $5u^2 - v^2 - w^2 = 1$ , d.w.z. $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$ : een tweeladige hyperboloïde, van omwenteling (gelijke eigenwaarden $-1$ ) om de as $\R(1,1,1)$ .

7. Het oppervlak is $\bigl(\frac xa - \frac zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$ . Voor $(\lambda : \mu) \neq (0:0)$ definieer de lijn

D_{\lambda:\mu} :\quad \lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac yb\Bigr), \qquad \mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)

(twee onafhankelijke affiene vergelijkingen: een lijn). Vermenigvuldigen van de twee vergelijkingen toont dat elk punt van $D_{\lambda:\mu}$ op het oppervlak ligt wanneer $\lambda\mu \neq 0$ ; de gevallen $\lambda = 0$ of $\mu = 0$ worden direct gecontroleerd (bijv. $\lambda = 0$ : $y = b$ , $\frac xa = -\frac zc$ , wat aan de vergelijking voldoet). De tweede familie $D'_{\lambda:\mu}$ verwisselt de twee rechterfactoren.

8. Fixeer $M$ op het oppervlak. De voorwaarden voor $M \in D_{\lambda:\mu}$ vormen een $2\times2$ homogeen lineair stelsel in $(\lambda, \mu)$ waarvan de determinant

\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 - \frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0

is precies omdat $M$ op de kwadriek ligt: een niet-triviale oplossing $(\lambda : \mu)$ bestaat. De coëfficiëntenmatrix is nooit nul (dat zou $1 - \frac yb = 1 + \frac yb = 0$ dwingen), dus is haar rang $1$ en de oplossing uniek op schaal na: precies één lijn van de familie gaat door $M$ . Hetzelfde geldt voor de tweede familie, en de twee lijnen zijn onderscheiden (in $(a, 0, 0)$ zijn ze $\{x = a,\ \frac zc = \frac yb\}$ en $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$ ): de éénbladige hyperboloïde is dubbel geregeerd.

9. Zij $M = (x, y, z)$ op de hyperboloïde, $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq 1$ . Het punt $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ met $\varepsilon$ het teken van $z$ voldoet aan $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$ : $N \in C$ , en

d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho} = c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .

Als $\norm M \to \infty$ dan $\rho \to \infty$ (alle drie de coördinaten zijn begrensd door veelvouden van $\rho$ ), dus $d(M, C) \to 0$ . De snede $x = a$ : $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ , het paar kruisende lijnen van vraag 8 — en evenzo in $x = -a$ .

10. Met $\lambda_3 = 0$ laat vraag 3 $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ over. In de eigenbasis, $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , dus bestaan centra door vraag 4 dan en slechts dan als $\beta_3 = 0$ . Als $\beta_3 \neq 0$ : de translatie $z_3 \mapsto z_3 - c''/(2\beta_3)$ verwijdert de constante, en laat $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$ over, d.w.z. $z_3 = px^2 + qy^2$ na hernoemen: een elliptische paraboloïde als $\lambda_1\lambda_2 > 0$ , een hyperbolische paraboloïde als $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — en inderdaad geen centrum. Als $\beta_3 = 0$ : de vergelijking $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0$ betrekt $z_3$ niet: de kwadriek is een cilinder over de corresponderende vlakke kegelsnede — elliptische cilinder, lijn, of lege verzameling wanneer $\lambda_1\lambda_2 > 0$ ; hyperbolische cilinder of paar snijdende vlakken wanneer $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — met een hele lijn van centra $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$ .

11. $xy - z = 0$ . Substitueren $x = \frac{u + v}{\sqrt2}$ , $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (rotatie over $\pi/4$ ): $xy = \frac{u^2 - v^2}2$ , dus wordt de vergelijking $z = \frac12(u^2 - v^2)$ : een hyperbolische paraboloïde — het zadel van de figuur, op de factor $\frac12$ na.

12. De lijn $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (geparametriseerd door $y$ ) ligt duidelijk op $z = xy$ , evenals $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ ; door $(x_0, y_0, x_0y_0)$ gaan de twee ervan. Uniciteit: als $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 + tv_3)$ op het oppervlak blijft, geeft de coëfficiënt van $t^2$ in $(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ $v_1v_2 = 0$ , dus $v_1 = 0$ of $v_2 = 0$ , landend in één van de twee families: één lijn van elke door elk punt — de tweede dubbel geregeerde kwadriek.

13. Kwadraten afmaken: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ , zonder voorwaarde op $z$ : een rechte circulaire cilinder van straal $\sqrt2$ en as de verticale lijn $\{(1, -2, z) : z \in \R\}$ — een lijn van centra, zoals vraag 10 voorspelt.

14. Met $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ is de gereduceerde vergelijking $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . Een rotatie van het kernvlak $(z_2, z_3)$ richt de lineaire vorm: $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ met $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$ . Als $\beta \neq 0$ , translateren van $w$ om $c''$ te absorberen: $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w = 0$ , een parabolische cilinder; als $\beta = 0$ : $\lambda_1z_1^2 = -c''$ geeft twee evenwijdige vlakken ( $c'' \lambda_1 < 0$ ), een dubbel vlak ( $c'' = 0$ ), of de lege verzameling. Voor $(x + y)^2 = z$ : met $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ leest de vergelijking $z = 2u^2$ : een parabolische cilinder, invariant onder translaties langs $(1, -1, 0)$ .

15. Elke kwadriek wordt door een rotatie plus translaties op één van de volgende afgebeeld: (rang 3) ellipsoïde, punt, lege verzameling, éénbladige hyperboloïde, kegel, tweeladige hyperboloïde; (rang 2) elliptische paraboloïde, hyperbolische paraboloïde, elliptische cilinder, lijn, lege verzameling, hyperbolische cilinder, paar snijdende vlakken; (rang 1) parabolische cilinder, paar evenwijdige vlakken, dubbel vlak, lege verzameling. De drie lege varianten als onderscheiden affiene types van vergelijkingen identificerend, is het aantal zeventien; onder hen zijn er negen eerlijke oppervlakken: ellipsoïde, de twee hyperboloïden, de kegel, de twee paraboloïden, en de drie cilinders.

16. Algoritme. (i) Lees $(A, b, c)$ af; bereken het karakteristieke polynoom van $A$ , haar eigenwaarden (reëel, door de spectrale stelling) en $r = \operatorname{rank}A$ . (ii) Los $A\Omega = -b$ op (Gauss-eliminatie): oplosbaar of niet — centra of niet. (iii) Als oplosbaar, translateren naar een centrum: de vergelijking wordt $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ met $c'' = c + \langle b, \Omega\rangle$ ; sorteer op $r$ , de signatuur, en het teken van $c''$ met vragen 5, 10, 14. (iv) Als niet oplosbaar ( $r \leq 2$ ), roteer en reduceer zoals in vragen 10 en 14: paraboloïde ( $r = 2$ ) of parabolische cilinder ( $r = 1$ ), elliptisch/hyperbolisch naargelang het teken van $\lambda_1\lambda_2$ . Elke stap is een eindige berekening: wortels van een kubische met reële wortels, rangen, lineaire stelsels.

17. $A$ heeft diagonaal $1$ , buiten-diagonaal $-1$ : $A = 2I - J$ , spectrum $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ met $-1$ op $\R(1,1,1)$ . Signatuur $(2,1)$ , $b = 0$ , rechterlid $\delta = 1 > 0$ : $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$ , een éénbladige hyperboloïde van omwenteling om de as $\R(1,1,1)$ .

18. Kwadraten afmaken: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 + (-1 - 4 + 1 + 4) = 0$ , d.w.z.

(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :

de constante verdween — een rechte circulaire kegel met top (en uniek centrum) $(1, -2, 1)$ en as evenwijdig aan $Oz$ .

19. Het kwadratische deel $x^2 + 4xy + y^2$ heeft matrix $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (in het $xy$ -vlak), eigenwaarden $3$ (op $(1,1)$ ) en $-1$ (op $(1,-1)$ ): met $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ is ze $3u^2 - v^2$ , en de kwadriek is

z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :

een hyperbolische paraboloïde ( $A$ heeft rang $2$ en $b$ heeft een component langs $\ker A = \R e_z$ : geen centrum).

20. Een starre beweging transformeert de gegevens van de vergelijking door $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (zelfde eigenwaarden) en de normaalvormen hebben geen restvrijheid behalve permuteren van coördinaten en vermenigvuldigen van de hele vergelijking met een scalar ( $> 0$ om de schrijfwijze te behouden): twee centrale normaalvormen vallen op isometrie na samen dan en slechts dan als de coëfficiëntenlijsten op permutatie en gemeenschappelijke positieve factor na overeenkomen — voor de ellipsoïde, dan en slechts dan als de halfassen $(a, b, c)$ overeenkomen. Affien mag men ook elke coördinaat apart schalen ( $z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs{\lambda_i}}$ ), wat de eigenwaarden wist en alleen hun tekens overlaat: elke ellipsoïde wordt $u^2 + v^2 + w^2 = 1$ , de bol. De inertiestelling van Sylvester (Stelling 12.6) garandeert dat de signatuur elke inverteerbare lineaire wisseling overleeft: de affiene types van vraag 15 zijn echt onderscheiden.

21. Parametriseer het vlak affien: $M = P + su + tv$ . Dan is $q(P + su + tv)$ een polynoom van graad $\leq 2$ in $(s, t)$ (ontwikkel de kwadratische vorm bilineair), dus is de snede $\{q = 0\}$ een kegelsnede van het vlak, mogelijk ontaard. Voor $z = xy$ en het vlak $z = c$ : $xy = c$ , een hyperbool voor $c \neq 0$ , en voor $c = 0$ de twee coördinaatlijnen — het paar regellijnen door de oorsprong.

22. Ellipsoïde: begrensd, bevat geen lijn. Tweeladige hyperboloïde $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : beperk tot $p + tv$ ; de $t^2$ -coëfficiënt $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2} - \frac{v_2^2}{b^2}$ moet verdwijnen, dus $v_3 \neq 0$ (anders $v = 0$ ); de $t$ -coëfficiënt geeft $\frac{p_3v_3}{c^2} = \frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$ , en Cauchy–Schwarz levert

\frac{p_3^2}{c^2} = \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2 \leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2} = \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},

dus is de constante term $\leq 0 \neq 1$ : geen lijn. Elliptische paraboloïde $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ : de $t^2$ -coëfficiënt dwingt $v_1 = v_2 = 0$ , daarna is de vergelijking lineair niet-constant in $t$ : geen lijn. Kegel $x^2 + y^2 = z^2$ : een lijn erop voldoet aan $q(p) = q(v) = B(p, v) = 0$ voor de Lorentz-vorm; gelijkheid in de vlakke Cauchy–Schwarz $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} = \sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ dwingt $(p_1, p_2) \parallel (v_1, v_2)$ en daarna $p = kv$ : alle lijnen gaan door de top — één familie. Cilinders: voor de elliptische en parabolische cilinders dwingt de $t^2$ -coëfficiënt $v_1 = v_2 = 0$ (alleen regellijnen); voor de hyperbolische cilinder $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ leidt $\frac{v_1}a = \pm \frac{v_2}b$ met $v_2 \neq 0$ via de $t$ -coëfficiënt tot $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$ , in tegenspraak met de constante term $1$ : opnieuw alleen de verticale regellijnen. Dus zijn de dubbel geregeerde kwadriekoppervlakken precies de éénbladige hyperboloïde en de hyperbolische paraboloïde.

23. Gauss: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 - z^2 - 2yz$ , dus

q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y + z)^2 :

drie onafhankelijke kwadraten met tekens $(+, +, -)$ — signatuur $(2, 1)$ , overeenkomend met vraag 17, zonder eigenwaardeberekening. Gauss verliest de metrische gegevens: de nieuwe coördinaten zijn niet orthonormaal, dus zijn de eigenwaarden (de vorm van de hyperboloïde, haar assen en hun lengten) weg; alleen het affiene type blijft.

24. Zij $p$ , $n$ , $z$ de aantallen positieve, negatieve en nuleigenwaarden, $p + n + z = 3$ . De tekenregel van Descartes begrenst $p$ door het aantal $V$ van tekenwisselingen van $\chi_A$ , en $n$ door het aantal $V'$ van tekenwisselingen van $\chi_A(-\lambda)$ ; bovendien produceert elk paar opeenvolgende niet-nulle coëfficiënten een wisseling in precies één van de twee polynomen, dus $V + V' \leq 3 - z$ (nulwortels zijn zichtbaar als verdwijnende trailing coëfficiënten). Dan $p + n = 3 - z \geq V + V' \geq p + n$ : gelijkheid, dus $p = V$ precies — de tekens van de eigenwaarden kunnen worden afgelezen. Voor $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ : tekens $+,-,-,-$ geven $V = 1$ , en $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 9\lambda - 5$ heeft tekens $-,-,+,-$ : $V' = 2$ . Signatuur $(1, 2)$ — consistent met de exacte factorisatie $\chi_A = (\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ van vraag 6.

25. Algoritme: diagonaliseer het kwadratische deel orthonormaal (spectrale stelling: dit is de enige analytisch diepe stap, en het is wat de classificatie euclidisch maakt); los $A\Omega = -b$ op om centrale versus parabolische types te beslissen en het lineaire deel weg te translateren waar mogelijk (affiene meetkunde); lees het type van rang, signatuur en de constante (Sylvester garandeert dat dit invarianten zijn); wanneer alleen het affiene type telt, vervangt de Gauss-reductie de spectrale stelling ten koste van de metrische informatie. In $\R^2$ classificeert dezelfde machine kegelsneden: ellips, hyperbool, parabool, plus paren lijnen, een lijn, een punt, en lege verzamelingen. In $\R^n$ verandert niets behalve de boekhouding: de types worden geïndexeerd door de signatuur van $A$ , de ligging van $b$ ten opzichte van $\operatorname{im}A$ , en één constante — met de $(n{+}2)$ -dimensionale gerande matrix van $(A, b, c)$ als compacte invariant.

19.1 Geparametriseerde oppervlakken

19.2 Raakvlak en normaal

19.3 De eerste fundamentaalvorm

19.4 Oefeningen

19.5 Probleem: de classificatie van kwadrieken van R3\R^3R3

19.5 Probleem: de classificatie van kwadrieken van $\R^3$