Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

19Oppervlakken

Na de krommen de oppervlakken: objecten met twee parameters in $\R^3$ . De differentiaalrekening van Hoofdstuk 15 levert alles wat wij nodig hebben — partiële afgeleiden geven raakvectoren, het kruisproduct geeft de normaal, determinanten geven oppervlakten. Wij definiëren reguliere geparametriseerde oppervlakken, hun raakvlakken en de eerste fundamentaalvorm, die alle lengte- en oppervlaktemetingen op het oppervlak codeert. Oppervlakken duiken ook op als niveauverzamelingen $f(x, y, z) = c$ ; de gradiënt richt dan de normaal.

19.1 Geparametriseerde oppervlakken

Definitie 19.1 (Regulier geparametriseerd oppervlak)

Zij $U \subseteq \R^2$ open. Een geparametriseerd oppervlak van klasse $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) is een afbeelding $\sigma \colon U \to \R^3$ , $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$ , van klasse $\mathcal{C}^k$ . Een punt heet regulier wanneer de vectoren van de partiële afgeleiden

\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v), \qquad \sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)

lineair onafhankelijk zijn, dat wil zeggen $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$ ; het oppervlak heet regulier wanneer elk punt dat is.

Voorbeeld 19.2 (De drie standaardbeschrijvingen)

Grafiek: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ voor $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Altijd regulier: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ en $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ zijn onafhankelijk.
Bol (bolcoördinaten): voor de bol met straal $R$ ,

$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$

met $\theta$ de lengtegraad en $\varphi$ de breedtegraad. Men gaat na dat $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : regulier buiten de polen (die deze kaart weglaat).
Niveauverzameling: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ met $f$ van klasse $\mathcal{C}^1$ en $\nabla f \neq 0$ op $S$ . Nabij elk punt kan één coördinaat als functie van de twee andere worden uitgedrukt met de stelling van de impliciete functie (Hoofdstuk 15), dus is $S$ lokaal een grafiek.

Voorbeeld 19.3 (Van niveauverzameling naar grafiek)

De stelling van de impliciete functie in punt 3 verdient één expliciete doorloop. Neem de bol $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ nabij haar noordpool $(0, 0, R)$ : daar is $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$ , en naar $z$ oplossen geeft de grafiekkaart

z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}, \qquad x^2 + y^2 < R^2 ,

overal regulier op haar (open) domein — ook in de pool die de bolkaart miste. Nabij een punt op de evenaar zoals $(R, 0, 0)$ lost dezelfde stelling naar $x$ op ( $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$ ). De vuistregel: een niveauoppervlak is een grafiek boven het coördinaatvlak dat loodrecht staat op de grootste component van de gradiënt, en door de bol met zes zulke grafiekkaarten te overdekken, gaat men haar gladheid overal na zonder enige goniometrie.

19.2 Raakvlak en normaal

Definitie 19.4 (Raakvlak)

Zij $\sigma$ regulier in $(u_0, v_0)$ en $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . Het raakvlak $T_{M_0}S$ is het vlak door $M_0$ met richting $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (de partiële afgeleiden in $(u_0, v_0)$ ). De eenheidsnormaal is

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

Propositie 19.5 (Raakvectoren zijn snelheidsvectoren)

De richting van $T_{M_0}S$ is precies de verzameling vectoren $\gamma'(0)$ , waarbij $\gamma = \sigma \circ c$ de $\mathcal{C}^1$ -krommen doorloopt die op het oppervlak door $M_0$ zijn getekend (dat wil zeggen: $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ is $\mathcal{C}^1$ met $c(0) = (u_0, v_0)$ ).

Bewijs. Is $c(t) = (u(t), v(t))$ , dan geeft de kettingregel (Hoofdstuk 15)

\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v \in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).

Omgekeerd wordt de vector $a\sigma_u + b\sigma_v$ bereikt door de kromme $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$ , die voor kleine $\abs t$ in de open verzameling $U$ blijft. ∎

Voorbeeld 19.6 (Het raakvlak van de helicoïde)

Voor de helicoïde $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ is in het punt $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

dus is het raakvlak $a\,y = z$ . Het bevat de hele horizontale beschrijvende rechte $\{(t, 0, 0)\}$ (richting $\sigma_v$ ): net als bij de kegel van Oefening 19.1 ligt bij een oppervlak dat door rechten wordt beschreven, elke beschrijvende rechte in het raakvlak eraan. De andere raakrichting $\sigma_u$ is de snelheid van de schroeflijn $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : één kaart, twee getekende krommen, en het hele raakvlak is opgespannen — Propositie 19.5 in actie.

Propositie 19.7 (Normaal van een niveauoppervlak)

Zij $S = \{f = c\}$ met $f$ van klasse $\mathcal{C}^1$ en $\nabla f(M_0) \neq 0$ . Dan is het raakvlak van $S$ in $M_0$ het vlak door $M_0$ loodrecht op $\nabla f(M_0)$ :

T_{M_0}S :\quad \langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .

Bewijs. Voor elke kromme $\gamma$ getekend op $S$ door $M_0$ geldt identiek $f(\gamma(t)) = c$ , dus geeft de kettingregel dat $\langle \nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$ : alle snelheidsvectoren staan loodrecht op de gradiënt, dus de raakrichting is bevat in het vlak $\nabla f(M_0)^\perp$ . Beide zijn tweedimensionale deelruimten — de raakrichting omdat $S$ lokaal een reguliere grafiek is (Voorbeeld 19.2), het orthogonale complement omdat $\nabla f(M_0) \neq 0$ — en dus zijn zij gelijk. ∎

Voorbeeld 19.8

Voor de bol $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ is $\nabla f = 2(x, y, z)$ , dus staat het raakvlak in $M_0$ loodrecht op de straal $\vect{OM_0}$ — het klassieke feit dat straal en raakvlak loodrecht op elkaar staan, met vergelijking $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

Voorbeeld 19.9 (Raakvlak van een grafiek)

Voor $z = f(x, y)$ in $(x_0, y_0)$ geeft Propositie 19.7 toegepast op $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ :

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

het affiene deel van de eerste-ordeontwikkeling van Taylor — het raakvlak is de grafiek van de differentiaal, zoals het moet.

Voorbeeld 19.10 (Het dichtstbijzijnde punt van een oppervlak)

Welk punt van de paraboloïde $z = x^2 + y^2$ ligt het dichtst bij $P = (0, 0, 1)$ ? Minimaliseer de kwadratische afstand langs het oppervlak: met $\rho^2 = x^2 + y^2$ is

g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2, \qquad g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0 \iff \rho^2 = \tfrac12 ,

wat de cirkel van punten op hoogte $z = \frac12$ en afstand $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$ geeft. De meetkundige handtekening van de minimaliteit: in zulk een punt $M$ moet de vector $\vect{MP}$ normaal op het oppervlak staan — anders zou langs een getekende kromme glijden met een snelheid die een component naar $P$ heeft, de afstand verkleinen. Controle: $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ in $M = (x, y, \tfrac12)$ , terwijl $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) = \tfrac12(-2x, -2y, 1)$ : evenwijdig, zoals voorspeld. De eerste-ordevoorwaarde “voetpunt van de loodlijn” is dezelfde die in Oefening 19.12 de extrema op niveauverzamelingen zal aandrijven.

Voorbeeld 19.11 (Raakvlakken van kwadrieken: de polarisatieregel)

Zij $S : xy + yz + zx = 1$ en $M_0 = (1, 1, 0) \in S$ . Hier is $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$ , dus $\nabla f(M_0) = (1, 1, 2)$ en is het raakvlak

(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad x + y + 2z = 2 .

Hetzelfde antwoord komt uit de polarisatieregel die Voorbeeld 19.8 en Oefening 19.2 veralgemeent: vervang in de vergelijking van de kwadriek $x^2$ door $x_0x$ , en elk product $xy$ door $\frac{x_0y + y_0x}2$ (en cyclisch):

\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x + x_0z}2 = 1 \;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\; \frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,

wat opnieuw $x + y + 2z = 2$ is. De regel werkt omdat $\nabla$ van een kwadratische vorm de bijbehorende bilineaire vorm is, geëvalueerd tegen het basispunt — raken aan een kwadriek is polarisatie, nog een gezicht van Hoofdstuk 12.

19.3 De eerste fundamentaalvorm

Definitie 19.12 (Eerste fundamentaalvorm)

Zij $\sigma \colon U \to \R^3$ een regulier $\mathcal{C}^1$ -oppervlak. Haar eerste fundamentaalvorm in $(u,v)$ is de positief definiete kwadratische vorm op $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

waarbij

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

Opmerking 19.13

$I$ is de beperking van het omgevende euclidische inproduct tot het raakvlak, gelezen in de basis $(\sigma_u, \sigma_v)$ : zij is positief definiet precies omdat $\sigma_u, \sigma_v$ onafhankelijk zijn (Hoofdstuk 12). Elke metrische grootheid op het oppervlak — lengten van getekende krommen, hoeken ertussen, oppervlakten — wordt uit $E, F, G$ alleen berekend. Twee oppervlakken met dezelfde $E, F, G$ in geschikte parameters zijn isometrisch, ook al liggen zij verschillend in de ruimte: dat is het startpunt van de intrinsieke meetkunde.

Voorbeeld 19.14 (Hoeken tussen coördinaatkrommen)

De eerste fundamentaalvorm meet ook hoeken: de coördinaatkrommen $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ en $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ ontmoeten elkaar onder de hoek $\theta$ met

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

de ene coëfficiënt $F$ beslist over de orthogonaliteit van het parameternet. Voor de bolkaart en de helicoïde is $F = 0$ : meridianen snijden parallellen, en schroeflijnen snijden de horizontale beschrijvende rechten, loodrecht — en daarom klapten hun oppervlakte-integranden ineen tot $\sqrt{EG}$ . Voor een grafiekkaart is $F = f_xf_y$ , dat alleen verdwijnt waar een partiële afgeleide dat doet: het coördinatennet van een gekantelde grafiek is niet orthogonaal, ook al is het $(x, y)$ -net eronder dat wel. Zien berekeningen op een oppervlak er zwaar uit, dan is de eerste zet: zoek een kaart met $F = 0$ .

Voorbeeld 19.15 (De zadelkaart)

Voor het zadel $z = xy$ met kaart $\sigma(u, v) = (u, v, uv)$ :

\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u), \qquad E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,

en $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$ : overal regulier. De twee coördinaatkrommen door een punt zijn rechte lijnen van $\R^3$ (houd $u$ of $v$ vast: de beschrijvende rechten van het dubbel beschreven zadel), en toch is $F \neq 0$ buiten de assen: de beschrijvende rechten door een generiek punt staan niet loodrecht op elkaar. Beide beschrijvende rechten liggen in het raakvlak, dat zij opspannen — dus snijdt het raakvlak het oppervlak langs twee hele rechten, het uiterste tegendeel van de bol, waarvan de raakvlakken in slechts één punt raken. Het teken van het “contact van tweede orde” tussen een oppervlak en zijn raakvlakken is een verhaal over kromming, dat in het volume van bachelorjaar 3 wordt opgenomen.

Propositie 19.16 (Lengte van een op een oppervlak getekende kromme)

Is $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ , $t \in [a, b]$ , van klasse $\mathcal{C}^1$ , dan is

L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,

met $E, F, G$ geëvalueerd in $(u(t), v(t))$ .

Bewijs. $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ volgens de kettingregel, dus $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$ ; integreer $\norm{\gamma'}$ (Definitie 18.6). ∎

Voorbeeld 19.17 (Waarom lijnvliegtuigen over de pool vliegen)

Twee luchthavens liggen op breedtegraad $\varphi_0$ en op tegengestelde lengtegraden: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ en $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ op de bol met straal $R$ . Langs de parallel ( $\varphi \equiv \varphi_0$ ) is de lengte $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . Langs de route over de pool (langs de meridiaan $\theta = 0$ omhoog en langs de meridiaan $\theta = \pi$ omlaag) is zij $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . Op breedtegraad $\varphi_0 = \frac\pi3$ (zestig graden): route over de parallel $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , route over de pool $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — een derde korter. Sterker nog, $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ op $\intcc0{\pi/2}$ (de functie $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ verdwijnt in beide uiteinden en haar afgeleide $2 - \pi\sin\varphi$ verandert eenmaal van teken, dus is zij eerst stijgend en dan dalend, en bijgevolg niet-negatief): de polaire route verliest nooit. De eerste fundamentaalvorm maakte van een navigatievraag twee integralen van één regel; Oefening 19.6 drijft het idee door tot een echt minimaliteitsbewijs voor meridianen.

Lemma 19.18 (Identiteit van Lagrange)

Voor alle $a, b \in \R^3$ geldt $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$ . In het bijzonder is

\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.

Bewijs. Beide leden veranderen niet als wij $b$ vervangen door haar component $b_\perp = b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ loodrecht op $a$ (voor $a \neq 0$ ; het geval $a = 0$ is triviaal): het linkerlid omdat $a \wedge a = 0$ , het rechterlid door $\norm{b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ uit te werken en $\langle a, b_\perp\rangle = 0$ . Het volstaat dus de identiteit voor orthogonale $a, b$ te bewijzen, waar zij luidt $\norm{a \wedge b} = \norm a \norm b$ : waar, want voor orthogonale vectoren heeft het kruisproduct norm $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$ . De getoonde formule is het geval $a = \sigma_u$ , $b = \sigma_v$ . ∎

Opmerking 19.19

De identiteit van Lagrange zegt dat $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix} E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ de Gram-determinant van $(\sigma_u, \sigma_v)$ is: het kwadraat van de oppervlakte van het parallellogram dat zij opspannen. Regulariteit, positieve definietheid van de eerste fundamentaalvorm en positiviteit van de Gram-determinant zijn drie formuleringen van één voorwaarde — en daarom verdwijnt de oppervlakte-integrand hieronder nooit op een reguliere kaart.

Definitie 19.20 (Oppervlakte)

Zij $\sigma \colon U \to \R^3$ een regulier injectief $\mathcal{C}^1$ -oppervlak en $K \subseteq U$ een compact gebied waarop dubbele integralen zin hebben (Hoofdstuk 20). De oppervlakte van het stuk $\sigma(K)$ is

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

Opmerking 19.21 (Waarom deze formule)

De rechthoek $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ wordt tot op eerste orde afgebeeld op het parallellogram opgespannen door $\sigma_u\,\dd u$ en $\sigma_v\,\dd v$ , waarvan de oppervlakte $\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ is: de definitie integreert de lokale factor van oppervlaktevervorming, precies zoals de booglengte de lokale snelheid integreert. De verenigbaarheid met parameterveranderingen is Oefening 19.8; de verenigbaarheid met de formule voor de verandering van veranderlijken bij dubbele integralen wordt in Hoofdstuk 20 besproken.

Voorbeeld 19.22 (Twee verschillende grafieken, één oppervlakte)

Vergelijk boven de eenheidsschijf de kom $z = \frac12(x^2 + y^2)$ met het zadel $z = xy$ . Hun oppervlakte-integranden (Oefening 19.5) zijn

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{en}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

identiek. De twee oppervlakken — het ene in alle richtingen dezelfde kant op gekromd, het andere zadelvormig — hebben boven elk gebied precies gelijke oppervlakten, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ boven de eenheidsschijf. Het oppervlakte-element ziet alleen de lengte van de gradiënt, niet de schikking van de buiging; de kom van het zadel onderscheiden vereist gegevens van tweede orde (de tekenstructuur uit Figuur 19.1), die geen enkele oppervlaktemeting opmerkt. De eerste fundamentaalvorm: metrisch, blind voor de vorm; de tweede vorm, die de vorm wél ziet, hoort bij bachelorjaar 3.

Voorbeeld 19.23 (Oppervlakte van de bol)

Voor de bolkaart uit Voorbeeld 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

dus $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ en $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . Bijgevolg is

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Voorbeeld 19.24 (De kegel, getoetst aan de schoolformule)

Voor de kegel $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ boven de ring $a \leq \rho \leq b$ geeft de grafiekformule van Oefening 19.5 dat $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (bereken $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), dus

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Controle met de formule $\pi\rho\ell$ voor de schuine hoogte uit Voorbeeld 19.26: de volledige kegels met grondstralen $b$ en $a$ hebben manteloppervlakten $\pi b\cdot b\sqrt2$ en $\pi a\cdot a\sqrt2$ , waarvan het verschil precies $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ is. Twee kaarten, twee formules, één oppervlakte — de invariantie bewezen in Oefening 19.8, in het wild waargenomen.

Opmerking 19.25 (Verstandscontroles voor oppervlakten)

Drie onmiddellijke controles vangen de meeste fouten in een oppervlakteberekening. Schalen: een oppervlak met $\lambda$ oprekken vermenigvuldigt $E, F, G$ met $\lambda^2$ en de oppervlakte met $\lambda^2$ — een antwoord waarvan de afhankelijkheid van $R$ niet kwadratisch is (zoals $4\pi R^2$ ), is fout. Positiviteit van het element: $\sqrt{EG - F^2}$ moet strikt positief zijn in het inwendige van de kaart; een verdwijnende waarde signaleert een ontaarding van de kaart, die moet worden weggesneden zoals bij de polen van de bol. Symmetrie: een berekening over een symmetrisch stuk moet verenigbaar zijn met het optellen van haar congruente delen — de halve bol moet wel $2\pi R^2$ geven.

Voorbeeld 19.26 (Omwentelingsoppervlak)

Draai de kromme $z \mapsto (r(z), 0, z)$ , met $r > 0$ van klasse $\mathcal{C}^1$ , om de $z$ -as:

\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).

Dan is $E = r(z)^2$ , $F = 0$ , $G = 1 + r'(z)^2$ , dus

\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi} r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z = 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,

de klassieke formule (omtrek $2\pi r$ maal het element van schuine lengte). Voor de kegel $r(z) = kz$ , $z \in [0, h]$ : $\mathcal A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ met $\rho = kh$ de grondstraal en $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ de schuine hoogte — de schoolformule, nu afgeleid in plaats van aangenomen.

Voorbeeld 19.27 (De catenoïde)

Draai de kettinglijn $r(z) = \cosh z$ , $z \in \intcc{-1}{1}$ , om haar as: de resulterende catenoïde heeft, volgens de formule voor omwentelingsoppervlakken en $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$ ,

\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\, \dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z = \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},

dat wil zeggen

\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .

De factor $\sqrt{1 + r'^2}$ voor de schuinte versmolt met de straal tot een volmaakt kwadraat — dezelfde identiteit die de booglengte van de kettinglijn in het hoofdstuk over krommen elementair maakte. Dat is geen algebraïsch toeval: van alle omwentelingsoppervlakken die de twee randcirkels opspannen, minimaliseert de catenoïde de oppervlakte (zij is de vorm van een zeepvlies tussen twee ringen), en precies deze variationele eigenschap zondert $\cosh$ af; het volume van bachelorjaar 3 bewijst het met de variatierekening.

Het zadel z = x2 - y2 nabij de oorsprong, met zijn coördinaatkrommen (u-krommen in het blauw, v-krommen in het groen), het raakvlak in M_0 = (0,0,0) (gestreept) en de eenheidsnormaal n. Het oppervlak kruist zijn raakvlak — het tweedimensionale analogon van een buigpunt. — **Figuur 19.1.** Het zadel $z = x^2 - y^2$ nabij de oorsprong, met zijn coördinaatkrommen ( $u$ -krommen in het blauw, $v$ -krommen in het groen), het raakvlak in $M_0 = (0,0,0)$ (gestreept) en de eenheidsnormaal $n$ . Het oppervlak kruist zijn raakvlak — het tweedimensionale analogon van een buigpunt.

Opmerking 19.28 (Klassieke valkuilen)

(i) Singulariteiten van de kaart zijn geen singulariteiten van het oppervlak: de bolkaart ontaardt in de polen ( $\cos\varphi = 0$ ), maar de bol is daar volmaakt glad — een andere kaart (verwissel de rollen van de assen) is regulier in de polen. Probeer een tweede parametrisering voordat je een punt singulier noemt. (ii) De regulariteit van $\sigma$ betreft de parametrisering, niet het beeld: $\sigma(u, v) = (u^3, v, 0)$ is niet regulier langs $u = 0$ , hoewel haar beeld een vlak is. (iii) De oppervlakteformule vereist dat $\sigma$ injectief is op $K$ : een kaart die een stuk tweemaal overdekt, telt het tweemaal ( $\theta$ over $\intcc0{4\pi}$ laten lopen verdubbelt de oppervlakte van de bol). (iv) De eenheidsnormaal is door het oppervlak op het teken na bepaald, maar wordt door de kaart gekozen (de volgorde van $u, v$ ); uitspraken over oriëntatie moeten die keuze vastleggen. (v) Ten slotte is $EG - F^2 > 0$ geen extra hypothese: het is precies de regulariteit, volgens de identiteit van Lagrange — verdwijnt zij ergens, dan ligt het probleem bij de kaart, en geldt daar geen enkele formule voor oppervlakte of raakvlak.

Opmerking 19.29 (Vooruitblik binnen dit volume)

Vooruitwijzende schakels vanaf hier. Het oppervlakte-element $\sqrt{EG - F^2}\,\dd u\,\dd v$ is een tweedimensionale jacobideterminant in vermomming, en Hoofdstuk 20 maakt de analogie exact met de stelling over de verandering van veranderlijken — de oppervlakte-integralen daar zijn de oppervlakten van dit hoofdstuk met een integrand aan boord. De eerste fundamentaalvorm is een veld van positieve kwadratische vormen, puntsgewijs behandeld met de gereedschappen van Hoofdstuk 12, waarvan de spectraalstelling ook de weekendklassering van de kwadrieken in dit hoofdstuk aandrijft. En de normaallijn drijft extremumproblemen op verzamelingen met nevenvoorwaarden aan (Voorbeeld 19.10), de meetkundige kiem van de methode van de multiplicatoren van Lagrange die bij Stelling 15.11 werd geschetst.

Vier van de negen kwadrieken die in de weekendopgave worden geklasseerd, geschetst met hun silhouetten en een niveaukromme (rood): de begrensde ellipsoïde, de dubbel beschreven eenbladige hyperboloïde met haar taille, de kom van de elliptische paraboloïde, en het zadel, waarvan de twee parabolische doorsneden in tegengestelde richtingen buigen.

Opmerking 19.30 (Waar dit wordt gebruikt)

Het oppervlakte-element $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ is de maat van de oppervlakte-integralen van Hoofdstuk 20, waar het de formule van Green ontmoet; de eerste fundamentaalvorm is het prototype van een veld van kwadratische vormen, puntsgewijs bestudeerd met de gereedschappen van Hoofdstuk 12; en de weekendopgave van dit hoofdstuk klasseert alle kwadrieken met de spectraalstelling. Het volume van bachelorjaar 3 keert tot de oppervlakken terug met differentiaalvormen en de divergentiestelling, en de intrinsieke kromming — wat $E, F, G$ over het buigen weten — is de poort naar de eigenlijke differentiaalmeetkunde.

19.4 Oefeningen

Oefening 19.1 ★

Toon aan dat de raakvlakken van de kegel $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (zonder haar top) alle door de top gaan. (Parametriseer met $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$ , $r > 0$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.1.

Met $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$ :

\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0), \qquad \sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),

onafhankelijk voor $r > 0$ . Het raakvlak in $M_0 = \sigma(\theta_0, r_0)$ gaat door $M_0$ met richtingen $\sigma_\theta, \sigma_r$ . Nu is $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ zelf een raakrichting: de top $O$ ligt in het raakvlak. (Dit is het algemene gedrag van kegels: zij worden beschreven door rechten door de top, en een raakvlak bevat de beschrijvende rechte door het raakpunt.)

Oefening 19.2 ★

Bepaal het raakvlak van de ellipsoïde $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ in een punt $(x_0, y_0, z_0)$ van het oppervlak.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.2.

Pas Propositie 19.7 toe op $f(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$ : $\nabla f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ op het oppervlak. Het raakvlak is

\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0) + \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad \frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,

waarbij gebruikt is dat $(x_0, y_0, z_0)$ aan de vergelijking van de ellipsoïde voldoet — de regel “splits de kwadraten” die de uitdrukking $\langle M_0, M \rangle = R^2$ van de bol veralgemeent.

Oefening 19.3 ★

Bereken $E, F, G$ voor de helicoïde $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , $a > 0$ , en de oppervlakte van het stuk $0 \leq u \leq 2\pi$ , $0 \leq v \leq 1$ , als integraal (evalueer haar met $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} + a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.3.

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ en $\sigma_v = (\cos u,\ \sin u,\ 0)$ , dus

E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1, \qquad \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0

(de helicoïde is overal regulier, ook op haar as $v = 0$ ). Oppervlakte van het stuk:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u = 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2} + a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,

dat wil zeggen $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} + a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$ .

Oefening 19.4 ★★

(Torus) Parametriseer de torus die ontstaat door de cirkel met middelpunt $(R, 0, 0)$ en straal $r < R$ in het $xz$ -vlak om de $z$ -as te draaien:

\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\ (R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).

Bereken $E, F, G$ , ga de regulariteit na, en toon aan dat de oppervlakte $4\pi^2 R r$ is (Pappus: de gemiddelde omtrek $2\pi R$ maal de cirkellengte $2\pi r$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.4.

Afgeleiden:

\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ (R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr), \qquad \sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\ -r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).

Dan is

E = (R + r\cos\psi)^2, \qquad F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi) \bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0, \qquad G = r^2 ,

dus $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$ : overal regulier. Oppervlakte:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi) \,\dd\theta\,\dd\psi = 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr) = 4\pi^2 R r ,

waarbij de term met $\cos\psi$ tot nul integreert — de stelling van Pappus: oppervlakte $=$ (lengte van de gedraaide cirkel) $\times$ (afstand afgelegd door haar middelpunt).

Oefening 19.5 ★★

Toon aan dat de oppervlakte van de grafiek van $f \in \mathcal{C}^1(K)$ gelijk is aan $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$ , en bereken haar voor het stuk paraboloïde $z = \frac12(x^2 + y^2)$ boven de schijf $x^2 + y^2 \leq 1$ (poolcoördinaten, Hoofdstuk 20).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.5.

Voor $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$ : $\sigma_x = (1, 0, f_x)$ , $\sigma_y = (0, 1, f_y)$ , dus $E = 1 + f_x^2$ , $F = f_xf_y$ , $G = 1 + f_y^2$ en

EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2 = 1 + f_x^2 + f_y^2 ,

wat de aangekondigde oppervlakteformule geeft. Voor $f = \frac12(x^2 + y^2)$ op de eenheidsschijf: $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$ , en in poolcoördinaten ( $x = \rho\cos\alpha$ , $y = \rho\sin\alpha$ , jacobiaan $\rho$ , Hoofdstuk 20):

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho \,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1 = \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).

Oefening 19.6 ★★

Een getekende kromme $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ op de bol met straal $R$ (bolkaart) heeft $u = \theta(t)$ , $v = \varphi(t)$ . Schrijf haar lengte als integraal in $\theta, \varphi$ en bewijs dat onder de krommen die twee punten van dezelfde meridiaan $\theta = \theta_0$ verbinden, de meridiaanboog de kortste is. (Schat de integrand van onderen af door $R\abs{\varphi'}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.6.

Uit de berekening van Voorbeeld 19.23: $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ , dus volgens Propositie 19.16

L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2 + \varphi'(t)^2}\;\dd t .

Zijn de eindpunten $(\theta_0, \varphi_1)$ en $(\theta_0, \varphi_2)$ met $\varphi_1 < \varphi_2$ . Voor elke verbindende kromme is

L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t \geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr| = R\,(\varphi_2 - \varphi_1),

waarbij de niet-negatieve term $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ wordt weggelaten en de driehoeksongelijkheid voor integralen wordt gebruikt. De meridiaanboog $\theta \equiv \theta_0$ , met $\varphi$ stijgend van $\varphi_1$ tot $\varphi_2$ , heeft lengte precies $R(\varphi_2 - \varphi_1)$ : zij is de kortste. (Meridianen zijn grootcirkels; dit is het eerste, elementaire geval van het feit dat de geodeten van de bol grootcirkels zijn.)

Oefening 19.7 ★★★

(Normaallijnen van een bol) Zij $S$ een regulier samenhangend niveauoppervlak $\{f = c\}$ waarvan alle normaallijnen door een vast punt $\Omega$ gaan. Toon aan dat $S$ bevat is in een bol met middelpunt $\Omega$ . (Toon aan dat $\norm{M - \Omega}^2$ afgeleide nul heeft langs elke op $S$ getekende kromme.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.7.

Houd een op $S$ getekende kromme $\gamma$ vast en zij $g(t) = \norm{\gamma(t) - \Omega}^2$ . Dan is $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) - \Omega\rangle$ . De normaallijn in $M = \gamma(t)$ gaat volgens de hypothese door $\Omega$ , dus is $\gamma(t) - \Omega$ een normaalvector, loodrecht op het raakvlak en in het bijzonder op de snelheid $\gamma'(t)$ (Propositie 19.5): $g' = 0$ , en $g$ is constant langs elke getekende kromme.

Nu is de verzameling $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ gesloten in $S$ ; zij is ook open in $S$ : nabij elk van haar punten is $S$ een reguliere grafiek, dus wordt elk nabij punt van $S$ ermee verbonden door een getekende kromme (een gelift segment), waarlangs $g$ constant is. Omdat $S$ samenhangend is en $S_c$ voor de juiste $c$ niet leeg, is $S = S_c \subseteq$ de bol met middelpunt $\Omega$ en straal $\sqrt c$ (Hoofdstuk 4: het argument met de samenhang).

Oefening 19.8 ★★★

(De oppervlakte is meetkundig) Zij $\Phi \colon U' \to U$ een $\mathcal{C}^1$ -diffeomorfisme tussen open verzamelingen van $\R^2$ en $\tilde\sigma = \sigma \circ \Phi$ . Toon aan dat

\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} = \abs{\det J_\Phi}\, \norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,

en leid met de formule voor de verandering van veranderlijken uit Hoofdstuk 20 af dat de oppervlakte uit Definitie 19.20 niet van de gekozen reguliere parametrisering afhangt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.8.

Schrijf $\Phi(u', v') = (u, v)$ . Volgens de kettingregel is

\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v, \qquad \tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,

met de partiële afgeleiden van $\sigma$ geëvalueerd in $\Phi(u',v')$ . Het kruisproduct bilineair uitwerken en $\sigma_u \wedge \sigma_u = \sigma_v \wedge \sigma_v = 0$ , $\sigma_v \wedge \sigma_u = -\sigma_u \wedge \sigma_v$ gebruiken geeft

\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'} \frac{\partial v}{\partial v'} - \frac{\partial v}{\partial u'} \frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\, \sigma_u \wedge \sigma_v = \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .

Normen nemen geeft de identiteit. Vervolgens geeft de formule voor de verandering van veranderlijken (Hoofdstuk 20), toegepast op de afbeelding $\Phi$ op $K' = \Phi^{-1}(K)$ :

\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} \,\dd u'\dd v' = \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\; \abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v' = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :

de twee parametriseringen kennen aan hetzelfde stuk oppervlak dezelfde oppervlakte toe.

Oefening 19.9 ★

(Hoedendoosstelling van Archimedes) Op de bol met straal $R$ heeft de zone tussen de breedtegraden met $z_1 \leq z \leq z_2$ ( $-R \leq z_1 < z_2 \leq R$ ) oppervlakte $2\pi R\,(z_2 - z_1)$ : bewijs dit met de bolkaart, en besluit dat de oppervlakte van een zone alleen van haar hoogte afhangt — een sinaasappel in schijven van gelijke dikte snijden geeft even veel schil.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.9.

In de bolkaart is $z = R\sin\varphi$ , en de zone stemt overeen met $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ met $z_i = R\sin\varphi_i$ . Met het oppervlakte-element $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Voorbeeld 19.23):

\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1) = 2\pi R\,(z_2 - z_1) .

Het resultaat hangt alleen van de hoogte $z_2 - z_1$ af: schijven van gelijke dikte dragen gelijke oppervlakten, of zij nu bij de evenaar of bij de pool worden gesneden — de hoedendoosstelling van Archimedes, en de reden waarom de manteloppervlakte van de omgeschreven cilinder ( $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$ ) gelijk is aan de oppervlakte van de bol.

Oefening 19.10 ★★

Toon aan dat elke normaallijn van een omwentelingsoppervlak $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ (met $r > 0$ van klasse $\mathcal C^1$ ) de omwentelingsas snijdt, en lokaliseer het snijpunt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.10.

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ en $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$ , dus

\sigma_\theta \wedge \sigma_z = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,

een normaalvector in $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ . De normaallijn is

t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\ z - t\,r\,r'\bigr),

die in $t = -1$ het punt $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$ bereikt: elke normaallijn snijdt de as, op hoogte $z + rr'$ . (Dit is de driedimensionale reden waarom de omwentelingssymmetrie in het normaalveld overleeft.)

Oefening 19.11 ★★

(De cilinder afrollen) De kaart $\sigma(u, v) = (\cos u,\ \sin u,\ v)$ van de eenheidscilinder heeft $E = G = 1$ , $F = 0$ : ga dit na en leg uit waarom elke getekende kromme $t \mapsto \sigma(u(t), v(t))$ dezelfde lengte heeft als de vlakke kromme $t \mapsto (u(t), v(t))$ . Leid af dat de schroeflijn van $(1, 0, 0)$ naar $(1, 0, 2\pi c)$ die één omwenteling maakt, lengte $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ heeft, en dat geen getekende kromme met dezelfde eindpunten en één volle omwenteling korter is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.11.

$\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$ , $\sigma_v = (0, 0, 1)$ : $E = 1$ , $F = 0$ , $G = 1$ . Volgens Propositie 19.16 is de lengte van een getekende kromme $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ — de lengte van haar parameterschaduw $(u(t), v(t))$ in het vlak: de kaart is een lokale isometrie (het afrollen van de cilinder). De schroeflijn $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , heeft als schaduw het segment van $(0,0)$ naar $(2\pi, 2\pi c)$ , met lengte $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ . Elke getekende kromme van $(1,0,0)$ naar $(1, 0, 2\pi c)$ die één volle omwenteling maakt, heeft een continue schaduw die $(0, 0)$ met $(2\pi, 2\pi c)$ verbindt, met vlakke lengte $\geq$ die van het rechte segment; omdat de lengten overeenstemmen, is de schroeflijn de kortste.

Oefening 19.12 ★★★

Zij $S = \{f = c\}$ een compact regulier niveauoppervlak en $M_0 \in S$ een punt op maximale afstand van de oorsprong. Toon aan dat $\nabla f(M_0)$ collineair is met $\vect{OM_0}$ — de normaal in het verste punt is radiaal. Pas dit toe op de ellipsoïde $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ( $a > b > c > 0$ ): bepaal alle punten waar de normaal radiaal is, en identificeer de verste.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.12.

De functie $g(M) = \norm{M}^2$ is continu op het compacte $S$ , dus neemt zij haar maximum aan in een zeker punt $M_0$ . Voor elke op $S$ getekende kromme $\gamma$ met $\gamma(0) = M_0$ heeft de functie $t \mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ een maximum in $t = 0$ , dus verdwijnt haar afgeleide $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ : $M_0$ staat loodrecht op elke raakvector, dat wil zeggen normaal op $S$ in $M_0$ . Omdat ook $\nabla f(M_0) \neq 0$ de normaallijn richt (Propositie 19.7), zijn $\nabla f(M_0)$ en $\vect{OM_0}$ collineair. Voor de ellipsoïde betekent radialiteit

\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :

elke coördinaat voldoet aan $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$ , enzovoort; omdat $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ verschillend zijn, is hoogstens één coördinaat ongelijk aan nul, en de oplossingen op het oppervlak zijn de zes uiteinden van de assen $(\pm a, 0, 0)$ , $(0, \pm b, 0)$ , $(0, 0, \pm c)$ . De verste punten zijn $(\pm a, 0, 0)$ , op afstand $a = \max(a,b,c)$ .

19.5 Probleem: de klassering van de kwadrieken van $\R^3$

Probleem 19.1

Weekendopgave — elke kwadriek, gesorteerd door de spectraalstelling

Een kwadriek is de nulverzameling in $\R^3$ van een veelterm van graad twee,

q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c, \qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\ c \in \R .

De oppervlakken van de figuren in dit hoofdstuk — bollen, ellipsoïden, zadels, kegels, cilinders — zijn alle kwadrieken. Deze opgave klasseert ze alle: de spectraalstelling (Stelling 12.13) strekt het kwadratische deel, affiene translaties (Hoofdstuk 17) slorpen het lineaire deel op, en wat overblijft is een korte, volledige lijst normaalvormen.

Deel I — De reductiemachine.

Zij $X = PY + t$ met $P \in O(3)$ en $t \in \R^3$ (een starre coördinatenverandering). Toon aan dat $q(PY + t) = Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ met

$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad c' = q(t) .$

Leid af dat het spectrum van $A$ (en dus haar rang en signatuur) een invariant onder starre bewegingen van de vergelijking is, en leg uit waarom de vergelijking van een gegeven kwadriek slechts op een scalaire factor ongelijk aan nul na bepaald is.
Toon met de spectraalstelling aan dat de vergelijking na een rotatie de gedaante $\sum_i \lambda_i y_i^2 + 2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ aanneemt, met $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ de eigenwaarden van $A$ .
Slorp voor elke $i$ met $\lambda_i \neq 0$ de term $\beta_iy_i$ op met een translatie ( $y_i \mapsto y_i - \beta_i/\lambda_i$ ). Schrijf de herleide vergelijking op wanneer $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
Een middelpunt van de kwadriek met vergelijking $q = 0$ is een punt $\Omega$ met $q(2\Omega - X) = q(X)$ voor alle $X$ : de puntspiegeling in $\Omega$ bewaart de vergelijking en dus het oppervlak. Toon aan dat $q(2\Omega - X) - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle A\Omega + b, \Omega\rangle$ , en leid af: de middelpunten zijn precies de oplossingen van $A\Omega = -b$ ; zij bestaan dan en slechts dan als $b \in \operatorname{im}A$ , en het middelpunt is uniek dan en slechts dan als $A$ inverteerbaar is.

Deel II — Centrale kwadrieken ( $\operatorname{rank}A = 3$ ). Hier is de herleide vergelijking $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$ .

Neem, zo nodig na vermenigvuldiging met $-1$ , aan dat minstens twee $\lambda_i > 0$ . Som de mogelijkheden op: signatuur $(3, 0)$ met $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ , en signatuur $(2, 1)$ met $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ ; noem de zes resulterende verzamelingen (ellipsoïde, punt, lege verzameling, eenbladige hyperboloïde, kegel, tweebladige hyperboloïde) en zet elk in haar euclidische normaalvorm ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ , enzovoort).
Klasseer $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : toon aan dat $A = 2J - I$ met $J$ de matrix vol enen, bereken het spectrum $\{5, -1, -1\}$ , en identificeer een tweebladige omwentelingshyperboloïde om de as $\R(1,1,1)$ .
(Beschrijvende rechten) Ontbind voor de eenbladige hyperboloïde $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$

$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$

en breng twee families rechten met één parameter voort die op het oppervlak liggen.
Toon aan dat door elk punt van de eenbladige hyperboloïde precies één rechte van elke familie gaat: het oppervlak is dubbel beschreven.
De asymptotische kegel van de eenbladige hyperboloïde is $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Toon met $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ aan dat elk punt van de hyperboloïde op afstand hoogstens $c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}}$ van $C$ ligt, zodat het oppervlak zich in het oneindige tegen haar kegel aanvlijt. Wat zijn de doorsneden van de hyperboloïde met de vlakken $x = \pm a$ ?

Deel III — Rang $2$ en rang $1$ : paraboloïden, cilinders, vlakken.

Neem aan dat $\operatorname{rank}A = 2$ , zeg $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$ . Splits, vertrekkend van vraag 3, in twee gevallen naargelang $\beta_3 \neq 0$ (geen middelpunt, volgens vraag 4) of $\beta_3 = 0$ (een rechte middelpunten), en herleid tot

$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0 \qquad\text{of}\qquad \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$

elliptische of hyperbolische paraboloïden in het eerste geval, cilinders boven centrale kegelsneden (of paren snijdende vlakken, een rechte, de lege verzameling) in het tweede.
Toon aan dat het zadel $z = xy$ een hyperbolische paraboloïde is: draai over $\pi/4$ in het $xy$ -vlak om $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ te bereiken, op de schaal na het oppervlak van Figuur 19.1.
Toon aan dat het zadel $z = xy$ de twee families rechten $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ en $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ draagt, met door elk punt precies één rechte van elke familie: de tweede dubbel beschreven kwadriek.
Klasseer $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ in $\R^3$ (maak de kwadraten af; identificeer een rechte cirkelvormige cilinder, en geef haar as en straal).
Zij nu $\operatorname{rank}A = 1$ , zeg $\lambda_1 \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$ . Herleid, door binnen het kernvlak te draaien en te transleren, tot

$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0) \qquad\text{of}\qquad \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$

een parabolische cilinder, of een paar evenwijdige vlakken, een dubbel vlak, of de lege verzameling. Klasseer $(x + y)^2 = z$ volledig (normaalvorm, as van translatie-invariantie).

Deel IV — De klasseringsstelling.

Zet de Delen I–III in elkaar tot een stelling: elke kwadriek van $\R^3$ wordt door een starre beweging op precies één normaalvorm afgebeeld. Som de zeventien affiene types op (tel de lege varianten en de ontaarde verzamelingen mee), en zonder de negen kwadrieken die oppervlakken zijn af: ellipsoïde, een- en tweebladige hyperboloïde, kegel, elliptische en hyperbolische paraboloïde, en elliptische, hyperbolische en parabolische cilinder.
Schrijf het klasseringsalgoritme op: welke grootheden bereken je, gegeven $(A, b, c)$ , in welke volgorde, en welke vertakking beslist over welk type? Verantwoord dat elke stap uitvoerbaar is (eigenwaarden van een symmetrische $3\times3$ -matrix, rang, oplosbaarheid van $A\Omega = -b$ ).
Laat het algoritme lopen op $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 1$ : toon aan dat $A = 2I - J$ spectrum $\{2, 2, -1\}$ heeft en besluit: een eenbladige omwentelingshyperboloïde om $\R(1,1,1)$ .
Laat het lopen op $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : bepaal het middelpunt en identificeer de kwadriek.
Laat het lopen op $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonaliseer het $xy$ -blok ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) en identificeer de kwadriek.
Euclidisch tegenover affien. Toon aan dat twee centrale kwadrieken in normaalvorm star gelijkwaardig zijn dan en slechts dan als zij dezelfde lijsten coëfficiënten hebben (op een permutatie en een gemeenschappelijke positieve schaalfactor op de vergelijking na), terwijl er affien alleen de gegevens van de signatuur overleven: elke ellipsoïde is een affien beeld van de ronde bol. Welke stelling waarborgt dat de signatuur onderweg niet kan veranderen (Stelling 12.6)?

Deel V — Dividenden.

Toon aan dat elke doorsnede van een kwadriek met een affien vlak een (mogelijk ontaarde) kegelsnede van dat vlak is. Identificeer de doorsneden van het zadel $z = xy$ met de vlakken $z = c$ ( $c \neq 0$ en $c = 0$ ).
Welke kwadrieken bevatten rechten? Toon aan dat de ellipsoïde, de tweebladige hyperboloïde en de elliptische paraboloïde er geen bevatten (beperk $q$ tot een rechte en gebruik de ongelijkheid van Cauchy–Schwarz voor het tweebladige geval); dat kegel en cilinders door één familie worden beschreven; en besluit dat de dubbel beschreven kwadrieken precies de eenbladige hyperboloïde en de hyperbolische paraboloïde zijn.
Wil men alleen het affiene type, dan is de reductie van Gauss (Stelling 12.5) goedkoper dan diagonaliseren. Doe vraag 17 opnieuw met het algoritme van Gauss en ga de signatuur $(2, 1)$ na; welke euclidische informatie verliest Gauss?
Alle eigenwaarden van een symmetrische matrix zijn reëel; toon aan dat de tekens van de eigenwaarden van $A$ bijgevolg met de tekenregel van Descartes uit de karakteristieke veelterm kunnen worden afgelezen, en ga het na op vraag 6: $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ heeft precies één tekenwisseling, en dus signatuur $(1, 2)$ .
Synthese. Vat het algoritme in enkele regels samen; formuleer de exacte rol van (i) de spectraalstelling, (ii) de middelpuntsvergelijking $A\Omega = -b$ , (iii) de traagheidsstelling van Sylvester, (iv) de reductie van Gauss. Wat levert dezelfde machine in $\R^2$ op, en wat verandert er in $\R^n$ ?

Oplossing

Oplossing van Probleem 19.1.

1. Uitwerken, met de symmetrie van $A$ ( $t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$ ), geeft

q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY + 2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At + 2b^{\mathsf T}t + c\bigr),

wat het getoonde drietal is. $A' = P^{\mathsf T}\!AP = P^{-1}AP$ is gelijkvormig met $A$ : dezelfde karakteristieke veelterm, hetzelfde spectrum, dezelfde rang en signatuur. Ten slotte is $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ voor $s \neq 0$ , dus hoort bij de verzameling alleen de vergelijking op een scalair na; schalen met $s$ vermenigvuldigt alle eigenwaarden met $s$ .

2. De spectraalstelling levert een $P \in O(3)$ met $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ ; vraag 1 met $t = 0$ maakt van de vergelijking $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$ , met $\beta = P^{\mathsf T}b$ .

3. Voor $\lambda_i \neq 0$ : $\lambda_iy_i^2 + 2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i + \frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 - \frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$ ; de translatie $z_i = y_i + \beta_i/\lambda_i$ (en $z_i = y_i$ voor $i > r$ ) geeft

\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0, \qquad c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.

4. $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T} A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$ ; uitwerken en $q(X)$ aftrekken laat de kwadratische termen wegvallen en geeft

q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle + 4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .

Is $A\Omega + b = 0$ , dan verdwijnt dit identiek: de puntspiegeling bewaart $q$ en dus de kwadriek. Omgekeerd zegt “ $q(2\Omega - X) = q(X)$ voor alle $X$ ” dat de affiene functie hierboven op heel $\R^3$ verdwijnt, wat afdwingt dat haar lineaire deel $A\Omega + b$ nul is. Middelpunten $=$ oplossingen van $A\Omega = -b$ : een niet-lege verzameling dan en slechts dan als $b \in \operatorname{im}A$ (een affiene deelruimte met richting $\ker A$ ), en één enkel punt dan en slechts dan als $A$ inverteerbaar is.

5. Signatuur $(3,0)$ (alle $\lambda_i > 0$ ): $\delta > 0$ geeft $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ met $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$ , enzovoort — een ellipsoïde; $\delta = 0$ : het enkele punt $O$ ; $\delta < 0$ : leeg. Signatuur $(2,1)$ ( $\lambda_1, \lambda_2 > 0 > \lambda_3$ ): $\delta > 0$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , de eenbladige hyperboloïde; $\delta = 0$ : de kegel $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ ; $\delta < 0$ : $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , de tweebladige hyperboloïde ( $\abs z \geq c$ : twee componenten).

6. Het kwadratische deel heeft matrix $A$ met diagonaal $1$ en elementen $2$ buiten de diagonaal: $A = 2J - I$ . Omdat $J$ spectrum $\{3, 0, 0\}$ heeft (eigenvector $(1,1,1)$ bij $3$ ), heeft $A$ spectrum $\{5, -1, -1\}$ , met de eigenwaarde $5$ gedragen door $\R(1,1,1)$ . In de gedraaide coördinaten: $5u^2 - v^2 - w^2 = 1$ , dat wil zeggen $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$ : een tweebladige hyperboloïde, en wel een omwentelingshyperboloïde (gelijke eigenwaarden $-1$ ) om de as $\R(1,1,1)$ .

7. Het oppervlak is $\bigl(\frac xa - \frac zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$ . Definieer voor $(\lambda : \mu) \neq (0:0)$ de rechte

D_{\lambda:\mu} :\quad \lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac yb\Bigr), \qquad \mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)

(twee onafhankelijke affiene vergelijkingen: een rechte). De twee vergelijkingen vermenigvuldigen toont dat elk punt van $D_{\lambda:\mu}$ op het oppervlak ligt wanneer $\lambda\mu \neq 0$ ; de gevallen $\lambda = 0$ of $\mu = 0$ gaat men rechtstreeks na (bijvoorbeeld $\lambda = 0$ : $y = b$ , $\frac xa = -\frac zc$ , wat aan de vergelijking voldoet). De tweede familie $D'_{\lambda:\mu}$ verwisselt de twee factoren in het rechterlid.

8. Houd $M$ op het oppervlak vast. De voorwaarden voor $M \in D_{\lambda:\mu}$ vormen een homogeen lineair $2\times2$ -stelsel in $(\lambda, \mu)$ waarvan de determinant

\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 - \frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0

is, precies omdat $M$ op de kwadriek ligt: er bestaat een niet-triviale oplossing $(\lambda : \mu)$ . De coëfficiëntenmatrix is nooit nul (dat zou $1 - \frac yb = 1 + \frac yb = 0$ afdwingen), dus is haar rang $1$ en is de oplossing op een schaalfactor na uniek: precies één rechte van de familie gaat door $M$ . Hetzelfde geldt voor de tweede familie, en de twee rechten zijn verschillend (in $(a, 0, 0)$ zijn zij $\{x = a,\ \frac zc = \frac yb\}$ en $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$ ): de eenbladige hyperboloïde is dubbel beschreven.

9. Zij $M = (x, y, z)$ op de hyperboloïde, $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq 1$ . Het punt $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ met $\varepsilon$ het teken van $z$ voldoet aan $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$ : $N \in C$ , en

d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho} = c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .

Gaat $\norm M \to \infty$ , dan gaat $\rho \to \infty$ (alle drie de coördinaten worden door veelvouden van $\rho$ begrensd), dus $d(M, C) \to 0$ . De doorsnede $x = a$ : $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ , het paar snijdende rechten van vraag 8 — en evenzo in $x = -a$ .

10. Met $\lambda_3 = 0$ laat vraag 3 $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ over. In de eigenbasis is $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , dus bestaan er volgens vraag 4 middelpunten dan en slechts dan als $\beta_3 = 0$ . Is $\beta_3 \neq 0$ , dan verwijdert de translatie $z_3 \mapsto z_3 - c''/(2\beta_3)$ de constante en blijft $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$ over, dat wil zeggen $z_3 = px^2 + qy^2$ na hernoemen: een elliptische paraboloïde als $\lambda_1\lambda_2 > 0$ , een hyperbolische paraboloïde als $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — en inderdaad geen middelpunt. Is $\beta_3 = 0$ , dan bevat de vergelijking $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0$ de veranderlijke $z_3$ niet: de kwadriek is een cilinder boven de bijbehorende vlakke kegelsnede — elliptische cilinder, rechte of lege verzameling als $\lambda_1\lambda_2 > 0$ ; hyperbolische cilinder of paar snijdende vlakken als $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — met een hele rechte middelpunten $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$ .

11. $xy - z = 0$ . De substitutie $x = \frac{u + v}{\sqrt2}$ , $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (rotatie over $\pi/4$ ) geeft $xy = \frac{u^2 - v^2}2$ , zodat de vergelijking $z = \frac12(u^2 - v^2)$ wordt: een hyperbolische paraboloïde — het zadel van de figuur, op de factor $\frac12$ na.

12. De rechte $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (geparametriseerd met $y$ ) ligt duidelijk op $z = xy$ , en $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ eveneens; door $(x_0, y_0, x_0y_0)$ gaan zij beide. Eenduidigheid: blijft $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 + tv_3)$ op het oppervlak, dan geeft de coëfficiënt van $t^2$ in $(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ dat $v_1v_2 = 0$ , dus $v_1 = 0$ of $v_2 = 0$ , wat in een van de twee families belandt: door elk punt één rechte van elke familie — de tweede dubbel beschreven kwadriek.

13. De kwadraten afmaken: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ , zonder enige voorwaarde op $z$ : een rechte cirkelvormige cilinder met straal $\sqrt2$ en als as de verticale rechte $\{(1, -2, z) : z \in \R\}$ — een rechte middelpunten, zoals vraag 10 voorspelt.

14. Met $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ is de herleide vergelijking $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . Een rotatie van het kernvlak $(z_2, z_3)$ lijnt de lineaire vorm uit: $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ met $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$ . Is $\beta \neq 0$ , transleer dan $w$ om $c''$ op te slorpen: $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w = 0$ , een parabolische cilinder; is $\beta = 0$ , dan geeft $\lambda_1z_1^2 = -c''$ twee evenwijdige vlakken ( $c'' \lambda_1 < 0$ ), een dubbel vlak ( $c'' = 0$ ) of de lege verzameling. Voor $(x + y)^2 = z$ : met $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ luidt de vergelijking $z = 2u^2$ : een parabolische cilinder, invariant onder translaties langs $(1, -1, 0)$ .

15. Elke kwadriek wordt door een rotatie plus translaties gebracht op een van: (rang 3) ellipsoïde, punt, lege verzameling, eenbladige hyperboloïde, kegel, tweebladige hyperboloïde; (rang 2) elliptische paraboloïde, hyperbolische paraboloïde, elliptische cilinder, rechte, lege verzameling, hyperbolische cilinder, paar snijdende vlakken; (rang 1) parabolische cilinder, paar evenwijdige vlakken, dubbel vlak, lege verzameling. Identificeren wij de drie lege varianten als verschillende affiene types van vergelijkingen, dan komt de telling op zeventien; daarvan zijn er negen echte oppervlakken: ellipsoïde, de twee hyperboloïden, de kegel, de twee paraboloïden en de drie cilinders.

16. Algoritme. (i) Lees $(A, b, c)$ af; bereken de karakteristieke veelterm van $A$ , haar eigenwaarden (reëel, volgens de spectraalstelling) en $r = \operatorname{rank}A$ . (ii) Los $A\Omega = -b$ op (eliminatie van Gauss): oplosbaar of niet — middelpunten of niet. (iii) Is zij oplosbaar, transleer dan naar een middelpunt: de vergelijking wordt $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ met $c'' = c + \langle b, \Omega\rangle$ ; sorteer naar $r$ , de signatuur en het teken van $c''$ met de vragen 5, 10 en 14. (iv) Is zij niet oplosbaar ( $r \leq 2$ ), draai en herleid dan als in de vragen 10 en 14: paraboloïde ( $r = 2$ ) of parabolische cilinder ( $r = 1$ ), elliptisch of hyperbolisch naargelang het teken van $\lambda_1\lambda_2$ . Elke stap is een eindige berekening: nulpunten van een derdegraadsveelterm met reële nulpunten, rangen, lineaire stelsels.

17. $A$ heeft diagonaal $1$ en $-1$ buiten de diagonaal: $A = 2I - J$ , met spectrum $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ , waarbij $-1$ op $\R(1,1,1)$ zit. Signatuur $(2,1)$ , $b = 0$ , rechterlid $\delta = 1 > 0$ : $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$ , een eenbladige omwentelingshyperboloïde om de as $\R(1,1,1)$ .

18. De kwadraten afmaken: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 + (-1 - 4 + 1 + 4) = 0$ , dat wil zeggen

(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :

de constante verdween — een rechte cirkelvormige kegel met top (en uniek middelpunt) $(1, -2, 1)$ en as evenwijdig met $Oz$ .

19. Het kwadratische deel $x^2 + 4xy + y^2$ heeft matrix $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (in het $xy$ -vlak), met eigenwaarden $3$ (op $(1,1)$ ) en $-1$ (op $(1,-1)$ ): met $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ en $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ is het gelijk aan $3u^2 - v^2$ , en de kwadriek is

z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :

een hyperbolische paraboloïde ( $A$ heeft rang $2$ en $b$ heeft een component langs $\ker A = \R e_z$ : geen middelpunt).

20. Een starre beweging transformeert de gegevens van de vergelijking als $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (dezelfde eigenwaarden), en de normaalvormen hebben geen resterende vrijheid behalve het permuteren van coördinaten en het vermenigvuldigen van de hele vergelijking met een scalair ( $> 0$ om de schrijfwijze te bewaren): twee centrale normaalvormen vallen op een isometrie na samen dan en slechts dan als de lijsten coëfficiënten op een permutatie en een gemeenschappelijke positieve factor na overeenstemmen — voor de ellipsoïde dan en slechts dan als de halve assen $(a, b, c)$ overeenstemmen. Affien mag men bovendien elke coördinaat afzonderlijk schalen ( $z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs{\lambda_i}}$ ), wat de eigenwaarden uitwist en alleen hun tekens overlaat: elke ellipsoïde wordt $u^2 + v^2 + w^2 = 1$ , de bol. De traagheidsstelling van Sylvester (Stelling 12.6) waarborgt dat de signatuur elke inverteerbare lineaire verandering overleeft: de affiene types van vraag 15 zijn werkelijk verschillend.

21. Parametriseer het vlak affien: $M = P + su + tv$ . Dan is $q(P + su + tv)$ een veelterm van graad $\leq 2$ in $(s, t)$ (werk de kwadratische vorm bilineair uit), dus is de doorsnede $\{q = 0\}$ een kegelsnede van het vlak, mogelijk ontaard. Voor $z = xy$ en het vlak $z = c$ : $xy = c$ , een hyperbool voor $c \neq 0$ , en voor $c = 0$ de twee coördinaatassen — het paar beschrijvende rechten door de oorsprong.

22. Ellipsoïde: begrensd, bevat geen rechte. Tweebladige hyperboloïde $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : beperk tot $p + tv$ ; de coëfficiënt van $t^2$ , $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2} - \frac{v_2^2}{b^2}$ , moet verdwijnen, dus $v_3 \neq 0$ (anders $v = 0$ ); de coëfficiënt van $t$ geeft $\frac{p_3v_3}{c^2} = \frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$ , en Cauchy–Schwarz levert

\frac{p_3^2}{c^2} = \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2 \leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2} = \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},

dus is de constante term $\leq 0 \neq 1$ : geen rechte. Elliptische paraboloïde $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ : de coëfficiënt van $t^2$ dwingt $v_1 = v_2 = 0$ af, en dan is de vergelijking lineair en niet constant in $t$ : geen rechte. Kegel $x^2 + y^2 = z^2$ : een rechte erop voldoet aan $q(p) = q(v) = B(p, v) = 0$ voor de lorentzvorm; gelijkheid in de vlakke Cauchy–Schwarz $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} = \sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ dwingt $(p_1, p_2) \parallel (v_1, v_2)$ af en vervolgens $p = kv$ : alle rechten gaan door de top — één familie. Cilinders: voor de elliptische en de parabolische cilinder dwingt de coëfficiënt van $t^2$ af dat $v_1 = v_2 = 0$ (alleen de beschrijvende rechten); voor de hyperbolische cilinder $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ leidt $\frac{v_1}a = \pm \frac{v_2}b$ met $v_2 \neq 0$ via de coëfficiënt van $t$ tot $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$ , in tegenspraak met de constante term $1$ : opnieuw alleen de verticale beschrijvende rechten. De dubbel beschreven kwadrieken zijn dus precies de eenbladige hyperboloïde en de hyperbolische paraboloïde.

23. Gauss: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 - z^2 - 2yz$ , dus

q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y + z)^2 :

drie onafhankelijke kwadraten met tekens $(+, +, -)$ — signatuur $(2, 1)$ , overeenkomend met vraag 17, en zonder enige berekening van eigenwaarden. Gauss verliest de metrische gegevens: de nieuwe coördinaten zijn niet orthonormaal, dus de eigenwaarden (de vorm van de hyperboloïde, haar assen en hun lengten) zijn weg; alleen het affiene type blijft over.

24. Zijn $p$ , $n$ , $z$ de aantallen positieve, negatieve en verdwijnende eigenwaarden, met $p + n + z = 3$ . De regel van Descartes begrenst $p$ door het aantal $V$ tekenwisselingen van $\chi_A$ , en $n$ door het aantal $V'$ tekenwisselingen van $\chi_A(-\lambda)$ ; bovendien brengt elk paar opeenvolgende coëfficiënten ongelijk aan nul in precies één van de twee veeltermen een wisseling voort, dus $V + V' \leq 3 - z$ (verdwijnende nulpunten zijn zichtbaar als verdwijnende laatste coëfficiënten). Dan is $p + n = 3 - z \geq V + V' \geq p + n$ : gelijkheid, dus $p = V$ precies — de tekens van de eigenwaarden zijn af te lezen. Voor $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ : de tekens $+,-,-,-$ geven $V = 1$ , en $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 9\lambda - 5$ heeft tekens $-,-,+,-$ : $V' = 2$ . Signatuur $(1, 2)$ — in overeenstemming met de exacte ontbinding $\chi_A = (\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ van vraag 6.

25. Algoritme: diagonaliseer het kwadratische deel orthonormaal (spectraalstelling: dit is de enige analytisch diepe stap, en zij is wat de klassering euclidisch maakt); los $A\Omega = -b$ op om over centrale tegenover parabolische types te beslissen en om het lineaire deel weg te transleren waar dat kan (affiene meetkunde); lees het type af uit rang, signatuur en de constante (Sylvester waarborgt dat dit invarianten zijn); telt alleen het affiene type, dan vervangt de reductie van Gauss de spectraalstelling, ten koste van de metrische informatie. In $\R^2$ klasseert dezelfde machine de kegelsneden: ellips, hyperbool, parabool, plus paren rechten, een rechte, een punt en lege verzamelingen. In $\R^n$ verandert er niets dan de boekhouding: de types worden geïndexeerd door de signatuur van $A$ , de ligging van $b$ ten opzichte van $\operatorname{im}A$ en één constante — waarbij de omrande matrix van $(A, b, c)$ met $(n{+}2)$ rijen een compacte invariant levert.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

19.1 Geparametriseerde oppervlakken

19.2 Raakvlak en normaal

19.3 De eerste fundamentaalvorm

19.4 Oefeningen

19.5 Probleem: de klassering van de kwadrieken van R3\R^3R3

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

19.5 Probleem: de klassering van de kwadrieken van $\R^3$