Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

5Representaties van eindige groepen

Om een abstracte groep te begrijpen, laat haar werken op een vectorruimte en gebruik lineaire algebra — eigenwaarden, sporen, inwendige producten — op de werking. Dit programma, representatietheorie, is verbazingwekkend effectief voor eindige groepen over $\C$ : elke representatie splitst in irreducibele (Maschke), de irreducibele worden vastgelegd door hun karakters (sporen), en de karakters voldoen aan orthogonaliteitsrelaties die berekeningen mechanisch maken. Dit hoofdstuk bouwt deze calculus en haar eerste meesterwerken — karaktertabellen van de kleine groepen — en het weekendprobleem oogst een stelling ver buiten het bereik van pure groepentheorie: de $p^aq^b$ -stelling van Burnside, die beslist dat elke groep van orde $p^aq^b$ oplosbaar is. Overal is $G$ een eindige groep en zijn alle vectorruimten eindigdimensionaal over $\C$ .

5.1 Representaties, Maschke, Schur

Definitie 5.1

Een representatie van $G$ is een morfisme $\rho \colon G \to GL(V)$ voor een $\C$ -vectorruimte $V$ ; $\dim V$ is haar graad. Een deelruimte $W \subseteq V$ is invariant als $\rho(g)W \subseteq W$ voor alle $g$ ; beperking maakt $W$ tot een subrepresentatie. $\rho$ is irreducibel als $V \neq 0$ en haar enige invariante deelruimten $0$ en $V$ zijn. Een morfisme tussen $(\rho, V)$ en $(\sigma, W)$ is een lineaire $f\colon V \to W$ met $f\rho(g) = \sigma(g)f$ voor alle $g$ (equivariantie); bijectieve $f$ zijn isomorfismen.

Voorbeeld 5.2

(a) Graad $1$ : morfismen $G \to \C^\times$ . (b) De reguliere representatie: $V = \C^G$ met basis $(e_h)_{h \in G}$ , $\rho(g)e_h = e_{gh}$ ; graad $\abs G$ . (c) Een permutatiewerking van $G$ op een eindige verzameling $X$ geeft de permutatierepresentatie op $\C^X$ : $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$ . (d) $S_n$ werkt op $\C^n$ door coördinaten te permuteren; het hypervlak $\{\sum x_i = 0\}$ is invariant: de standaardrepresentatie, van graad $n - 1$ .

Stelling 5.3 (Maschke)

Elke invariante deelruimte $W$ van een representatie $(V, \rho)$ laat een invariant complement toe. Bijgevolg is elke representatie een directe som van irreducibele (semisimpliciteit). Zonder Maschke zou de rest van de theorie — karakters, tabellen, Burnside — op drijfzand rusten.

Bewijs. Zij $p \colon V \to V$ enige projectie met beeld $W$ (kies enig complement). Middel over de groep:

\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.

Elke term beeldt $V$ af in $W$ ( $W$ invariant), en fixeert $W$ puntsgewijs: voor $w \in W$ , $\rho(g)^{-1}w \in W$ , $p$ fixeert het, en $\rho(g)$ brengt het terug — dus is $\tilde p$ opnieuw een projectie op $W$ . Ze is equivariant: voor $h \in G$ herindexeert $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ dezelfde som. Dus is $\ker \tilde p$ een invariant complement van $W$ . Itereren op de sommanden (eindige dimensie) ontbindt $V$ in irreducibelen. ∎

Stelling 5.4 (Lemma van Schur)

Zij $f \colon V \to W$ een morfisme van irreducibele representaties. Dan is $f = 0$ of $f$ een isomorfisme; en als $(V,\rho) = (W,\sigma)$ , dan $f = \lambda\,\mathrm{id}$ voor enige $\lambda \in \C$ . Dus is $\dim\operatorname{Hom}_G(V, W)$ gelijk aan $1$ als $V \cong W$ , $0$ anders.

Bewijs. $\ker f$ en $\operatorname{im} f$ zijn invariant (equivariantie), dus is elk $0$ of alles: ofwel $f = 0$ , ofwel $f$ is injectief met vol beeld. Als $V = W$ : $f$ heeft een eigenwaarde $\lambda$ ( $\C$ algebraïsch gesloten); $f - \lambda\,\mathrm{id}$ is een niet-injectief morfisme $V \to V$ , dus $0$ . Voor de dimensietelling wanneer $V \cong W$ : met één isomorfisme $u$ vast, geeft elk morfisme $f$ het endomorfisme $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$ : $f = \lambda u$ . De ruimte $\operatorname{Hom}_G(V,V)$ is dus eendimensionaal — de schaal van de identiteit. ∎

5.2 Karakters en orthogonaliteit

Definitie 5.5

Het karakter van $(V, \rho)$ is $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$ . Het vervult $\chi_\rho(e) = \dim V$ , $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ (sporen zijn conjugatie-invariant): karakters zijn klassefuncties — elementen van de ruimte $\mathcal{CF}(G)$ van functies constant op conjugatieklassen, uitgerust met het Hermitische inwendige product

\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \overline{\varphi(g)}\,\psi(g).

Propositie 5.6

$\rho(g)$ is diagonaliseerbaar met eigenwaarden eenheidswortels; $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$ , en $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ met gelijkheid desda $\rho(g)$ een scalair is. Karakters tellen op bij directe sommen: $\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$ .

Bewijs. $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ voor $N = \abs G$ (Lagrange): $\rho(g)$ annuleert $X^N - 1$ , gesplitst met eenvoudige wortels, dus is ze diagonaliseerbaar met eigenwaarden $\lambda_i \in \mu_N$ . Dan $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1} = \sum \bar\lambda_i = \overline{\chi(g)}$ , en $\abs{\chi(g)} = \abs{\sum\lambda_i} \leq \dim V$ , met gelijkheid in de driehoeksongelijkheid desda alle $\lambda_i$ gelijk zijn, d.w.z. $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ . Additiviteit op directe sommen: bloksporen. Karaktertheorie begint hier: de spoorfunctie ziet de ontbinding. ∎

Lemma 5.7

Zij $(V, \rho)$ , $(W, \sigma)$ representaties. De middelingsoperator op $\operatorname{Hom}(W, V)$ ,

c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},

is een projectie op $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ , en voor de afbeelding $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$ heeft men $\operatorname{tr}\Phi_g = \chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$ .

Bewijs. $c(A)$ is equivariant (herindexeer de som zoals bij Maschke), en $c$ fixeert equivariante afbeeldingen (elke term is $A$ ): $c$ is een projectie met beeld $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ . Spoor: in basissen, $\Phi_g(A) = BAC$ met $B = \rho(g)$ , $C = \sigma(g)^{-1}$ ; op de basis $(E_{kl})$ van matrices, $BE_{kl}C = \sum_{m,n} b_{mk}c_{ln}E_{mn}$ , dus is de coëfficiënt van $E_{kl}$ in $\Phi_g(E_{kl})$ gelijk aan $b_{kk}c_{ll}$ : $\operatorname{tr}\Phi_g = \sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} = \operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(C) = \chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$ , en $\chi_\sigma(g^{-1}) = \overline{\chi_\sigma(g)}$ . ∎

Stelling 5.8 (Eerste orthogonaliteitsrelaties)

Zij $\rho, \sigma$ irreducibel. Dan

\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle = \begin{cases} 1 & \text{als } \rho \cong \sigma,\\ 0 & \text{anders:} \end{cases}

de irreducibele karakters vormen een orthonormale familie in $\mathcal{CF}(G)$ .

Bewijs. Het spoor van een projectie is de dimensie van haar beeld:

\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c = \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g = \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)} = \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,

en het lemma van Schur evalueert de linkerkant tot $\delta_{\rho \cong \sigma}$ . ∎

Gevolg 5.9

Ontbind $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ in onderscheiden irreducibelen ( $V_i \not\cong V_j$ ). Dan $m_i = \langle \chi_{V_i}, \chi_V\rangle$ : de multipliciteiten — dus de representatie tot op isomorfie — worden bepaald door het karakter. Bovendien $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i m_i^2$ ; in het bijzonder is $V$ irreducibel desda $\langle\chi_V, \chi_V\rangle = 1$ .

Bewijs. $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ (Propositie 5.6); neem inwendige producten met elke $\chi_{V_i}$ en gebruik orthonormaliteit. Twee representaties met gelijke karakters hebben gelijke multipliciteiten, zijn dus isomorf. ∎

Stelling 5.10 (De reguliere representatie)

Zij $\chi_1, \dots, \chi_r$ de onderscheiden irreducibele karakters, van graden $n_i = \chi_i(e)$ . De reguliere representatie ontbindt met multipliciteiten $m_i = n_i$ ; bijgevolg

\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G, \qquad \sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).

Bewijs. Het reguliere karakter: $\chi_{\mathrm{reg}}(g) = \#\{h : gh = h\}$ , wat $\abs G$ is voor $g = e$ en $0$ anders. Dus $m_i = \langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle = \frac1{\abs G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$ . Evalueren van $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ in $e$ en in $g \neq e$ geeft de twee weergegeven identiteiten. ∎

Stelling 5.11

De irreducibele karakters vormen een orthonormale basis van $\mathcal{CF}(G)$ : het aantal irreducibele representaties is gelijk aan het aantal conjugatieklassen van $G$ .

Bewijs. Alleen volledigheid rest: zij $f \in \mathcal{CF}(G)$ orthogonaal op elke $\chi_i$ ; we tonen $f = 0$ . Voor een representatie $(V,\rho)$ , stel $T_{f,\rho} = \frac{1}{\abs G} \sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$ . Ze is equivariant: voor $h \in G$ ,

\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\rho(hgh^{-1}) = \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') = T_{f,\rho}

( $f$ is een klassefunctie). Als $\rho$ irreducibel is van graad $n$ , geeft Schur $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ met

\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n} = \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g) = \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .

Dus $T_{f,\rho} = 0$ op elke irreducibele, dus (directe sommen) op elke representatie — in het bijzonder op de reguliere. Pas toe op de basisvector $e_e$ : $0 = T_{f,\mathrm{reg}}e_e = \frac1{\abs G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$ , wat elke $\overline{f(g)} = 0$ dwingt. Dus spant de orthonormale familie $(\chi_i)$ $\mathcal{CF}(G)$ op, waarvan de dimensie het aantal conjugatieklassen is. ∎

Gevolg 5.12 (Kolomorthogonaliteit)

Voor $g, h \in G$ :

\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) = \begin{cases} \abs{Z_G(g)} & \text{als } g, h \text{ geconjugeerd zijn},\\ 0 & \text{anders.} \end{cases}

Bewijs. Zij $g_1, \dots, g_r$ representanten van de klassen, $c_j$ de klassegroottes. De $r \times r$ -matrix $U_{ij} = \sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ heeft orthonormale rijen (Stelling 5.8 klassegewijs geschreven: $\sum_j \frac{c_j}{\abs G}\chi_i(g_j) \overline{\chi_{i'}(g_j)} = \delta_{ii'}$ ), d.w.z. $UU^* = I$ ; een vierkante matrix met $UU^* = I$ heeft ook $U^*U = I$ : kolommen zijn orthonormaal, wat uitpakt tot de weergegeven identiteit ( $\abs G/c_j = \abs{Z_G(g_j)}$ , de baan–stabilisatorrelatie voor conjugatie). ∎

Propositie 5.13 (Eendimensionale karakters; tillen)

(a) $G$ is abels desda al haar irreducibele representaties graad $1$ hebben; het aantal graad- $1$ -karakters van enige $G$ is $[G : D(G)]$ (ze zijn de karakters van de abelianisering). (b) Als $N \trianglelefteq G$ , tillen de irreducibele representaties van $G/N$ (samenstellen met $G \to G/N$ ) precies tot die irreducibele representaties van $G$ waarvan de kern $N$ bevat.

Bewijs. (a) Als $G$ abels is, is elke klasse een singleton: $r = \abs G$ , en $\sum n_i^2 = \abs G$ dwingt alle $n_i = 1$ ; omgekeerd, als alle $n_i = 1$ , is de reguliere representatie een som van eendimensionale, dus is $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ gelijktijdig diagonaliseerbaar, dus commutatief, en $\rho_{\mathrm{reg}}$ is trouw: $G$ abels. Graad- $1$ -representaties zijn morfismen $G \to \C^\times$ met abels doel: ze factoreren door $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ (Oefening 1.9), en onderscheiden karakters van de abelse $G^{\mathrm{ab}}$ tellen $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ (ze heeft zoveel klassen, alle graden $1$ ). (b) Samenstelling met de projectie bewaart irreducibiliteit (invariante deelruimten corresponderen), en een representatie triviaal op $N$ factoreert door het quotiënt (Stelling 1.3). ∎

5.3 Karaktertabellen

Definitie 5.14

De karaktertabel van $G$ is de $r \times r$ -matrix $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$ : rijen geïndexeerd door irreducibele karakters, kolommen door conjugatieklassen (met hun groottes weergegeven). Rijen zijn orthonormaal voor het gewogen product, kolommen orthogonaal (Gevolg 5.12): de tabel is zwaar overbepaald, wat haar berekenbaar maakt.

Voorbeeld 5.15 (De tabel van $S_3$ )

Klassen: $e$ (grootte 1), transposities (3), $3$ -cykels (2); dus $r = 3$ irreducibelen, van graden $n_i$ met $\sum n_i^2 = 6$ : $1, 1, 2$ . Graad $1$ : triviale $\mathbf 1$ en signatuur $\varepsilon$ . De laatste rij volgt uit kolomorthogonaliteit (of uit $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$ ):

\begin{array}{c|ccc} S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1\\ \chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1 \end{array}

Controle: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : irreducibel. Kolomorthogonaliteit op de transpositiekolom: $1 + (-1) + 0 = 0$ , en op de $3$ -cykelkolom: $1 + 1 + (-1) = 1 = \abs{Z_{S_3}((123))}/\cdots$ — consistent met $\abs{Z} = 3$ .

Voorbeeld 5.16 (De tabel van $S_4$ )

Klassen: $e$ [1], transposities [6], dubbele transposities [3], $3$ -cykels [8], $4$ -cykels [6]: vijf irreducibelen, $\sum n_i^2 = 24$ met twee graad- $1$ ’s ( $\mathbf 1, \varepsilon$ ; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$ ): graden $1, 1, 2, 3, 3$ . De graad- $2$ tilt van $S_4/V \cong S_3$ (Propositie 5.13(b), $V$ de Kleingroep); graad $3$ : de standaardrepresentatie en haar twist door $\varepsilon$ :

\begin{array}{c|ccccc} S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\ \chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ \varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}

( $\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ; $\chi_2$ evalueert de $S_3$ -tabel op het beeld van elke klasse mod $V$ .) Alle rij- en kolomorthogonaliteitscontroles slagen — twee ervan draaien is de opwarming van Oefening 5.3.

Methode 5.17

Om een karaktertabel te bouwen: (1) som conjugatieklassen en groottes op; (2) tel graad- $1$ -karakters via $G/D(G)$ en schrijf ze; (3) vind de overige graden uit $\sum n_i^2 = \abs G$ (kleine gehele combinatoriek); (4) verkrijg goedkope irreducibelen: til van quotiënten, trek $\mathbf 1$ af van permutatiekarakters (controleer $\langle\chi,\chi\rangle = 1$ ), vermenigvuldig bekende karakters met graad- $1$ -en; (5) maak onbekende rijen af met kolomorthogonaliteit — elke kolom is orthogonaal op de reeds complete kolommen, en kolom $e$ draagt de graden. Verifieer alles met een volledige orthogonaliteitsveeg. De overbepaaldheid van de tabel is haar kracht: elke fout in een entry wordt door de relaties opgemerkt. In de praktijk vult men eerst de goedkope rijen in en laat orthogonaliteit de rest dwingen.

De reguliere representatie van S_3, blokdiagonaal gemaakt: ℂ[S_3] ℂ × ℂ × M_2(ℂ), dimensies 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|. In het algemeen ℂ[G] _i M_n_i(ℂ): de identiteit n_i2 = G is een uitspraak over matrixblokken — Artin–Wedderburn voor de groepsalgebra over ℂ. — De reguliere representatie van $S_3$ , blokdiagonaal gemaakt: $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$ , dimensies $1 + 1 + 4 = 6 = \abs{S_3}$ . In het algemeen $\C[G] \cong \prod_i M_{n_i}(\C)$ : de identiteit $\sum n_i^2 = \abs G$ is een uitspraak over matrixblokken — Artin–Wedderburn voor de groepsalgebra over $\C$ .

5.4 Oefeningen

Oefening 5.1 ★

(a) Toon dat de irreducibele karakters van $\Z/n\Z$ de $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ zijn, $k = 0, \dots, n-1$ , en schrijf de karaktertabel van $\Z/4\Z$ . (b) Verifieer beide orthogonaliteitsrelaties erop — en herken de matrix: waar heeft dit boek haar eerder gezien?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

(a) $\Z/n\Z$ is abels: alle irreducibelen hebben graad $1$ (Propositie 5.13), d.w.z. zijn morfismen $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$ , bepaald door $\chi(\bar 1) = \omega$ met $\omega^n = 1$ . De $n$ keuzes $\omega = \eu^{2\iu\pi k/n}$ geven de $n$ karakters $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ , $k = 0, \dots, n-1$ . Voor $n = 4$ (klassen $=$ elementen $\bar0, \bar1, \bar2, \bar3$ ):

\begin{array}{c|cccc} & \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\ \chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu \end{array}

(b) Rijen: $\langle\chi_k, \chi_l\rangle = \frac14\sum_{m=0}^{3} \eu^{2\iu\pi(l-k)m/4}$ . Als $k = l$ is elke term $1$ , som $4$ , quotiënt $1$ . Als $k \neq l$ is de som van de geometrische rij met reden $\zeta = \eu^{2\iu\pi(l-k)/4} \neq 1$ gelijk aan $0$ . Kolommen: dezelfde berekening na herindexering van de karakterindex. De matrix is de DFT-matrix van orde $4$ ; haar unitariteit (na normalisatie) is precies de inversieformule van de discrete Fouriertransformatie, gezien bij Fourieranalyse in de reeks.

Oefening 5.2 ★

Zij $G$ werkend op een eindige verzameling $X$ en $\chi$ het karakter van de permutatierepresentatie $\C^X$ . (a) Toon $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ en $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{banen}\}$ — het tellemma van Burnside (Oefening 1.5) is een karakterberekening. (b) Stel dat de werking transitief is, dus $\chi = \mathbf 1 + \psi$ . Toon dat $\psi$ irreducibel is desda de werking $2$ -transitief is (transitief op geordende paren van onderscheiden punten). (Bereken $\langle\chi,\chi\rangle$ als het aantal banen op $X \times X$ .) (c) Concludeer dat de standaardrepresentatie van $S_n$ ( $n \geq 2$ ) irreducibel is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

(a) De matrix van $\rho(g)$ in de basis $(e_x)$ is een permutatiematrix, van spoor het aantal $x$ met $g\cdot x = x$ . Dan

\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g \abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{banen}\}

door het tellemma van Burnside (Oefening 1.5) — equivalent berekent dit de multipliciteit van de triviale representatie, waarvan de isotypische ruimte de ruimte van $G$ -invariante vectoren is, van dimensie het aantal banen (één indicator per baan).

(b) Omdat $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) = \operatorname{Fix}_X(g)^2$ , geeft deel (a) toegepast op $X \times X$ $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{\text{banen op } X\times X\}$ ( $\chi$ is reëel). Schrijvend $\chi = \mathbf 1 + \psi$ : $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (transitiviteit), dus $\langle\psi,\psi\rangle = \langle\chi,\chi\rangle - 1$ . De werking op $X\times X$ heeft de diagonaal als één baan; er is precies één andere baan desda $G$ transitief is op onderscheiden paren: $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ desda $2$ -transitief (Gevolg 5.9).

(c) $S_n$ is $2$ -transitief op $\{1,\dots,n\}$ (stuur enig onderscheiden paar overal naartoe): $\psi = \chi_{\mathrm{std}}$ is irreducibel.

Oefening 5.3 ★

Herbouw de tabel van $S_3$ vanaf nul volgens Methode 5.17, en verifieer dan twee rij- en twee kolomorthogonaliteitsrelaties in de $S_4$ -tabel van Voorbeeld 5.16. Ontbind het permutatiekarakter van $S_4$ werkend op $\{1,2,3,4\}$ en het karakter $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (puntsgewijs kwadraat) in irreducibelen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

$S_3$ : drie klassen, $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$ ; de twee graad- $1$ -karakters zijn $\mathbf 1, \varepsilon$ ( $[S_3 : A_3] = 2$ ); de derde rij $(2, a, b)$ volgt uit kolomorthogonaliteit met de $e$ -kolom: $1\cdot1 + \varepsilon(e)\cdot a$ wait: $1 - 1 + 2a = 0$ en $1 + 1 + 2b = 0$ : $a = 0$ , $b = -1$ — de tabel van Voorbeeld 5.15.

$S_4$ -controles (rijen): $\langle\chi_{\mathrm{std}}, \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0 - 6) = 0$ ; $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12 + 8 + 0) = 1$ . Kolommen: $e$ tegen $(1\,2)$ : $1 - 1 + 0 + 3 - 3 = 0$ ; $(1\,2)$ tegen zichzelf: $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4$ , en $\abs{Z_{S_4}((12))} = 4$ (centralisator gegenereerd door $(12)$ en $(34)$ ): match ( $\abs{Z_{S_4}((12))} = 8$ ? controleer: centralisator van een transpositie in $S_4$ heeft orde $4$ , en $24/6 = 4$ ). Het permutatiekarakter van $S_4$ op $\{1,2,3,4\}$ is $\chi_{\mathrm{perm}} = \mathbf 1 + \chi_{\mathrm{std}}$ (waarden $4, 2, 0, 1, 0$ min trivial). Het puntsgewijze kwadraat $\chi_{\mathrm{std}}^2$ projecteert op de bekende irreducibelen door inwendige producten te berekenen.

Oefening 5.4 ★★

Bereken de karaktertabellen van $D_4$ en van $Q_8$ . Concludeer dat twee niet-isomorfe groepen identieke karaktertabellen kunnen hebben — welke groepentheoretische data vangt de tabel niettemin in dit paar (ordes van centra, abelianiseringen, aantal involuties)? Welke faalt ze te vangen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

$D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e, srs^{-1} = r^{-1} \rangle$ : conjugatieklassen $\{e\}$ , $\{r^2\}$ , $\{r, r^3\}$ , $\{s, r^2s\}$ , $\{rs, r^3s\}$ — vijf. $Q_8 = \{\pm1, \pm \mathrm i, \pm\mathrm j, \pm\mathrm k\}$ : klassen $\{1\}$ , $\{-1\}$ , $\{\pm\mathrm i\}$ , $\{\pm\mathrm j\}$ , $\{\pm\mathrm k\}$ — vijf. Beide van orde $8$ : $\sum n_i^2 = 8$ met vijf klassen dwingt graden $1,1,1,1,2$ (vier lineaire via $G^{\mathrm{ab}} \cong (\Z/2)^2$ ). De graad- $2$ : voor $D_4$ de standaard matrices (rotatie over $\pi/2$ , spiegeling); voor $Q_8$ de inbedding in $SU(2)$ uit Probleem 1.1. Karakter van de graad- $2$ : $2$ op $e$ , $-2$ op het centrale element van orde $2$ ( $r^2$ resp. $-1$ ), $0$ op de andere klassen (spoor van matrices met spoor $0$ ). De numerieke tabellen zijn identiek. Gevangen: $\abs{Z(G)} = 2$ , $G^{\mathrm{ab}} \cong (\Z/2)^2$ . Niet gevangen door de ruwe getallen alleen: het aantal involuties (vijf in $D_4$ , één in $Q_8$ ) — hoewel de klasse-partitionering dit codeert, zien de karakterwaarden alleen sporen van representaties.

Oefening 5.5 ★★

Karaktertabel van $A_4$ : klassen $e$ [1], dubbele transposities [3], en twee klassen van $3$ -cykels [4], [4]. (a) Verklaar de splitsing van de $3$ -cykels (vergelijk centralisatoren in $S_4$ en $A_4$ , zoals in Oefening 1.11). (b) Vind de drie graad- $1$ -karakters (via $A_4/V \cong \Z/3\Z$ ) en het graad- $3$ -karakter (beperk $\chi_{\mathrm{std}}$ van $S_4$ ), en stel de tabel samen. (c) Lees de normale deelgroepen van $A_4$ af van de tabel (kernen $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ en hun doorsneden).

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

(a) In $S_4$ is $Z_{S_4}((123)) \supseteq \langle(123)\rangle \times \langle(45)\rangle$ van orde $6$ , die oneven permutaties bevat: de $S_4$ -klasse van $3$ -cykels (acht elementen) splitst in $A_4$ in twee klassen van vier, omdat conjugatie in $A_4$ de oriëntatie van de $3$ -cykel bewaart (zoals Oefening 1.11).

(b) $A_4/V \cong \Z/3\Z$ ( $V$ de Kleingroep van dubbele transposities): drie lineaire karakters. Beperking van $\chi_{\mathrm{std}}$ van $S_4$ tot $A_4$ : waarden $3$ op $e$ , $-1$ op $V$ , $0$ op beide $3$ -cykelklassen; $\langle\chi,\chi\rangle_{A_4} = \frac1{12}(9 + 3\cdot1 + 0 + 0) = 1$ : irreducibel graad $3$ .

(c) Kernen van de twee niet-triviale lineaire karakters: beide gelijk aan $V$ (index $3$ ). Doorsnede van alle niet-triviale kernen is $V$ . Geen andere eigenlijke normale deelgroep: een normale van orde $2$ of $3$ zou in $V$ of een $3$ -Sylow zitten, maar $V$ is de unieke Sylow $2$ en de $3$ -Sylows zijn niet normaal ( $n_3 = 4$ ).

Oefening 5.6 ★★

(a) Toon dat $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ de kern is van de onderliggende representatie (Propositie 5.6, gelijkheidsgeval). (b) Toon dat elke normale deelgroep van $G$ een doorsnede is van kernen van irreducibele karakters. (Representeer $G/N$ trouw: haar reguliere representatie.) (c) Leid af: $G$ is eenvoudig desda $\ker\chi_i = \{e\}$ voor elk niet-triviaal irreducibel $\chi_i$ — eenvoud is leesbaar van de karaktertabel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

(a) $\chi(g) = \chi(e)$ desda $|\chi(g)| = \chi(e)$ (want $|\chi(g)| \leq \chi(e)$ altijd) desda $\rho(g)$ scalair is van modulus $1$ met alle eigenwaarden gelijk aan $1$ (Propositie 5.6): $\rho(g) = \mathrm{id}$ . Dus $\ker\chi = \ker\rho$ .

(b) Voor $N \trianglelefteq G$ is de reguliere representatie van $G/N$ trouw; gelift tot $G$ via de projectie $G \to G/N$ heeft ze kern precies $N$ . Haar ontbinding in irreducibelen $\chi_i$ van $G$ (die $N$ in de kern hebben) heeft doorsnede van kernen gelijk aan $N$ door trouwheid.

(c) $G$ is eenvoudig desda de enige normale deelgroepen $\{e\}$ en $G$ zijn. Door (b) is elke normale een doorsnede van kernen van irreducibelen: dit is equivalent met $\ker\chi_i = \{e\}$ voor elk niet-triviaal irreducibel $\chi_i$ (anders zou $\ker\chi_i$ een eigenlijke niet-triviale normale deelgroep zijn).

Oefening 5.7 ★★

Graden van $\abs G = 8$ : toon dat een niet-abelse groep van orde $8$ graadpatroon $(1,1,1,1,2)$ heeft, en dat haar graad- $2$ -representatie trouw is. Algemener toon dat een niet-abelse groep van orde $p^3$ patroon $(1^{\,p^2}, p, \dots, p)$ heeft met $p^2$ enen en $p - 1$ karakters van graad $p$ . (Gebruik $[G : D(G)]$ en $\sum n_i^2 = \abs G$ ; hier $D(G) = Z(G)$ van orde $p$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

Niet-abels van orde $8$ : vijf conjugatieklassen (Probleem 1.1); $\sum n_i^2 = 8$ ; $[G:D(G)] = 4$ omdat $G^{\mathrm{ab}} \cong (\Z/2)^2$ voor zowel $D_4$ als $Q_8$ : vier lineaire, dus één van graad $2$ . De graad- $2$ is trouw: haar kern is normaal; niet $G$ (niet-triviale representatie); geen index $2$ (die zouden lineair factoreren door $G^{\mathrm{ab}}$ ); dus kern $\{e\}$ .

Orde $p^3$ niet-abels: $D(G) = Z(G)$ van orde $p$ (Probleem 1.1 Deel VI); $[G:D(G)] = p^2$ lineaire karakters; $\sum n_i^2 = p^3 = p^2 \cdot 1^2 + (p-1) \cdot p^2$ dwingt precies $p-1$ karakters van graad $p$ .

Oefening 5.8 ★★★

Voor eindige groepen $G, H$ : toon dat de klassefuncties $\chi(g)\psi(h)$ op $G \times H$ , voor $\chi, \psi$ irreducibele karakters van $G, H$ , precies de irreducibele karakters van $G \times H$ zijn. (Orthonormaliteit is een directe berekening; volledigheid door klassen te tellen.) Leid de karaktertabel van $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ af en herleid Propositie 5.13(a) voor eindige abelse groepen via de structuurstelling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

Definieer $(\rho \otimes \sigma)(g,h) = \rho(g) \otimes \sigma(h)$ op $V \otimes W$ : karakter $\chi_{\rho\otimes\sigma} (g,h) = \chi(g)\psi(h)$ . Orthonormaliteit:

\langle \chi\psi, \chi'\psi' \rangle_{G\times H} = \frac1{\abs G\abs H}\sum_{g,h}\overline{\chi(g)\psi(h)} \chi'(g)\psi'(h) = \langle\chi,\chi'\rangle_G \langle\psi,\psi'\rangle_H = \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.

Aantal conjugatieklassen van $G\times H$ is $r_G \cdot r_H$ : evenveel orthonormale productkarakters als de dimensie van $\mathcal{CF}(G\times H)$ : ze vormen een basis. Voor $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ : vier lineaire karakters, tabel het Kroneckerproduct van twee $\Z/2$ -tabellen. Eindige abelse $G$ : door de structuurstelling $G \cong \prod_i \Z/n_i\Z$ ; het product van de karakters van de cyclische factoren geeft alle $\abs G$ lineaire karakters, herleidend Propositie 5.13(a).

Oefening 5.9 ★★★

De karaktertabel van $A_5$ (klassen van groottes $1, 15, 20, 12, 12$ uit Oefening 1.11): (a) Toon dat de graden $1, 3, 3, 4, 5$ zijn (de enige oplossing van $\sum n_i^2 = 60$ met $n_1 = 1$ en, met Oefening 5.6(c) en eenvoud, geen andere $n_i = 1$ ). (b) Construeer het graad- $4$ -karakter (permutatiewerking op $5$ punten) en het graad- $5$ -karakter (werking op de zes $5$ -Sylowdeelgroepen geeft graad $6 = 1 + 5$ ; controleer irreducibiliteit), en maak de twee graad- $3$ -rijen af met kolomorthogonaliteit: gulden-snede-entries $\frac{1\pm\sqrt5}2$ verschijnen op de $5$ -cykelklassen. (c) Verifieer van de voltooide tabel dat $A_5$ eenvoudig is (Oefening 5.6(c)).

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

(a) Vijf klassen, $\sum n_i^2 = 60$ , $A_5$ perfect ( $D(A_5) = A_5$ door eenvoud en niet-abelheid): $n_1 = 1$ uniek. Schrijf $59$ als som van vier kwadraten van gehelen $\geq 2$ . Mogelijke kwadraten: $4,9,16,25,36,49$ . $49+4+4+1$ bevat $1$ ; $36+16+4+4 = 60$ zou $n_1=1$ al geteld hebben; $25+16+9+9 = 59$ : ja. $25+25+4+4=58$ ; $36+9+9+4=58$ ; $16+16+16+9=57$ . Uniek: graden $1,3,3,4,5$ .

(b) Permutatie op $5$ punten: $\pi$ waarden $5,1,2,0,0$ ; $\langle\pi,\mathbf1\rangle=1$ , $\langle\pi,\pi\rangle=2$ : $\chi_4 = \pi - \mathbf1$ irreducibel graad $4$ met waarden $4,0,1,-1,-1$ . Werking op zes Sylow $5$ -deelgroepen (transitief door Sylow): graad $6$ ; $\langle\pi_6,\mathbf1\rangle=1$ ; de rest van dimensie $5$ is irreducibel na controle of splitst als $\mathbf1 + \chi_5$ . Kolomorthogonaliteit dwingt de twee graad- $3$ -rijen: entries $\frac{1\pm\sqrt5}2$ op de $5$ -cykelklassen.

Oefening 5.10 ★★

Zij $\rho$ een irreducibele representatie van graad $n$ en $z \in Z(G)$ . Toon $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ met $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ een morfisme (het centrale karakter), en leid af $\abs{\chi(z)} = n$ voor centraal $z$ . Toepassing: als $G$ een trouwe irreducibele representatie heeft, is $Z(G)$ cyclisch.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

$z \in Z(G)$ : $\rho(z)$ commuteert met elk $\rho(g)$ , dus $\rho(z) = \lambda_z\mathrm{id}$ door Schur. De afbeelding $\lambda: Z(G) \to \C^\times$ , $z \mapsto \lambda_z$ is een morfisme (multiplicativiteit van $\rho$ ). Dus $\chi(z) = n\lambda_z$ en $|\chi(z)| = n$ . Als $\rho$ trouw is, is $\lambda$ injectief (als $\lambda_z = 1$ dan $\rho(z) = \mathrm{id}$ , dus $z = e$ ): $Z(G)$ injecteert in $\C^\times$ , dus is cyclisch (eindige deelgroepen van $\C^\times$ zijn cyclisch, Stelling 4.12).

Oefening 5.11 ★★

(Isotypische projecties) Zij $(V, \rho)$ een representatie van $G$ en $\chi_i$ een irreducibel karakter van graad $n_i$ . Definieer

p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G} \overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).

(a) Toon dat $p_i$ $G$ -equivariant is, en bereken haar beperking tot een irreducibele subrepresentatie $W \subseteq V$ van karakter $\chi_j$ : ze is $\delta_{ij}\, \mathrm{id}_W$ (Schur; neem sporen om de scalair te identificeren). (b) Leid af dat $p_i$ een projectie is op de som $V_i$ van alle irreducibele subrepresentaties van karakter $\chi_i$ (de isotypische component), dat $\sum_ip_i = \mathrm{id}_V$ , en dat de ontbinding $V = \bigoplus_iV_i$ canoniek is — in tegenstelling tot de fijnere splitsing van elke $V_i$ in irreducibelen. (c) Voor de reguliere representatie van $S_3$ en het signatuurkarakter $\varepsilon$ , schrijf $p_\varepsilon$ expliciet uit als element van de groepsalgebra en controleer $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ met de hand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.11.

(a) Equivariantie van $p_i$ : voor $h \in G$ ,

\rho(h)p_i\rho(h)^{-1} = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g \overline{\chi_i(g)}\rho(hgh^{-1}) = p_i

(herindexeer $g' = hgh^{-1}$ ; $\chi_i$ klassefunctie). Op irreducibel $W$ van karakter $\chi_j$ : $p_i|_W = \lambda\mathrm{id}$ door Schur; spoor: $\lambda n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g\overline{\chi_i(g)}\chi_j(g) = n_i\langle\chi_i,\chi_j\rangle = n_i\delta_{ij}$ , dus $\lambda = \delta_{ij}$ .

(b) Dus is $p_i$ de identiteit op elke irreducibele van type $\chi_i$ en nul op de andere types: projectie op de isotypische component $V_i = \sum\{W \subseteq V : W \cong V_i\}$ . $\sum_i p_i = \mathrm{id}_V$ omdat elke irreducibele sommand precies door één $p_i$ geraakt wordt. De ontbinding $V = \bigoplus_i V_i$ is canoniek (isotypische componenten zijn uniek); de verdere splitsing van elke $V_i$ in irreducibelen hangt van keuzes af.

(c) In de groepsalgebra $\C[S_3]$ : $p_\varepsilon = \frac16\sum_g\varepsilon(g)g = \frac16\bigl(e - (12) - (13) - (23) + (123) + (132)\bigr)$ . Directe vermenigvuldiging met de vermenigvuldigingstabel van $S_3$ (of de formule $p^2 = p$ voor centrale idempotenten) bevestigt $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ .

Oefening 5.12 ★★

(Een tabel lezen) De karaktertabel van zekere groep $G$ van orde $24$ is deels bekend: ze heeft $5$ klassen, van groottes $1, 6, 8, 6, 3$ , en graden $1, 1, 2, 3, 3$ . (a) Herwin de volledige tabel: de twee lineaire karakters (één triviaal; de andere neemt waarde $-1$ precies op de klassen van groottes $6$ en $6$ ), dan het graad- $2$ -karakter via kolomorthogonaliteit met de eenheidskolom, dan de twee graad- $3$ -karakters evenzo (één is $\chi_2\chi_4$ ). (b) Identificeer $G$ ( $\cong S_4$ : vergelijk klassen met cykeltypes), en haal uit de tabel de normale deelgroepen via Oefening 5.6: kernen van $\chi_2$ (index $2$ : $A_4$ ) en van $\chi_3$ (de Klein $V_4$ ), en niets anders dan $\{e\}, G$ . (c) Verklaar hoe de tabel toont dat $G/V_4 \cong S_3$ (welke karakters factoreren door het quotiënt?).

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.12.

(a) Vijf klassen van groottes $1, 6, 8, 6, 3$ ; graden $1, 1, 2, 3, 3$ (som kwadraten $1+1+4+9+9 = 24$ ). De twee lineaire: $\mathbf 1$ en $\varepsilon$ met $\varepsilon = -1$ precies op de twee klassen van grootte $6$ (en $+1$ op de rest, consistent met homomorfisme naar $\{\pm1\}$ ). De graad- $2$ volgt uit kolomorthogonaliteit met de eenheidskolom ( $0 = 1 + 1 + 2a + 3b + 3c$ etc.) en met de bekende rijen. De twee graad- $3$ evenzo; één is $\chi_2 \cdot \varepsilon$ .

(b) Klassegroottes $1,6,8,6,3$ matchen $S_4$ -cykeltypes: $e$ , transposities [6], $3$ -cykels [8], $4$ -cykels [6], dubbele transposities [3]. Normale deelgroepen via Oefening 5.6: $\ker\varepsilon = A_4$ (index $2$ ); kern van de graad- $2$ (die factoreert door $S_4/V_4 \cong S_3$ ) is $V_4$ ; verder alleen $\{e\}$ en $G$ .

(c) Karakters die factoreren door $G/V_4$ zijn precies die met $V_4 \subseteq \ker\chi$ : de twee lineaire en de graad- $2$ . Ze vormen de karaktertabel van $S_3 \cong G/V_4$ , wat de isomorfie bevestigt.

5.5 Probleem: de $p^aq^b$ -stelling van Burnside

Probleem 5.1

Weekendprobleem — oplosbaarheid van groepen van orde $p^aq^b$

Burnside bewees in 1904 dat elke groep waarvan de orde hoogstens twee priemfactoren heeft oplosbaar is — een uitspraak over abstracte groepen waarvan de enige bekende bewijzen een halve eeuw door karaktertheorie gingen. Pas veel later verschenen bewijzen die de karakters vermijden; het karakterbewijs blijft het kortste en het meest instructieve. Dit probleem bouwt het bewijs volledig, met Hoofdstuk 1 (oplosbaarheid), Hoofdstuk 3 (eindig voortgebrachte $\Z$ -modulen) en dit hoofdstuk. Overal zijn $\chi_1, \dots, \chi_r$ de irreducibele karakters van $G$ , $n_i = \chi_i(e)$ .

Deel I — Algebraïsche gehelen. Een algebraïsch geheel is een wortel van een monische veelterm van $\Z[X]$ .

Toon dat $\alpha$ een algebraïsch geheel is desda de ring $\Z[\alpha]$ een eindig voortgebrachte $\Z$ -module is.
Leid af dat de algebraïsche gehelen een deelring van $\C$ vormen. (Als $\Z[\alpha], \Z[\beta]$ eindig voortgebracht zijn, is $\Z[\alpha, \beta]$ dat ook, en submodulen van eindig voortgebrachte $\Z$ -modulen zijn eindig voortgebracht, door Stelling 3.5.)
Toon dat een rationaal algebraïsch geheel een geheel getal is. (Rationale-wortelstelling.)
Toon dat elke karakterwaarde $\chi(g)$ een algebraïsch geheel is.

Deel II — De klassesomrelaties. Fixeer een irreducibele $(V, \rho)$ van graad $n$ en karakter $\chi$ . Voor een conjugatieklasse $C$ , zij $S_C = \sum_{g \in C}\rho(g) \in \mathcal L(V)$ .

Toon dat $S_C$ equivariant is, dus $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ met

$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} \qquad (g_C \in C \text{ enige representant}).$
Toon dat $S_CS_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,S_{C''}$ waar $a_{CC'C''} \in \N$ voor vast $z \in C''$ de paren $(x, y) \in C \times C'$ met $xy = z$ telt. Leid af dat de $\omega_C$ voldoen aan $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .
Concludeer dat elke $\omega_C$ een algebraïsch geheel is.
Leid Frobenius-deelbaarheid af: $n_i$ deelt $\abs G$ voor elke irreducibele graad. (Bereken $\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n} \langle\chi,\chi\rangle = \sum_C \omega_C\, \overline{\chi(g_C)}$ : een algebraïsch geheel dat rationaal is.)

Deel III — Burnsides eenvoudcriterium.

Zij $\chi$ irreducibel van graad $n$ en $C$ een klasse met $\gcd(\abs C, n) = 1$ . Toon met Bézout en vragen 4–7 dat $\frac{\chi(g_C)}{n}$ een algebraïsch geheel is.
Stel bovendien $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ . Toon dat dit onmogelijk is: het algebraïsche geheel $\alpha = \chi(g_C)/n$ heeft al haar conjugaten van modulus $\leq 1$ , dus is het product $N = \prod_\sigma\alpha_\sigma$ een rationaal algebraïsch geheel met $0 < \abs N < 1$ . Concludeer: ofwel $\chi(g_C) = 0$ ofwel $\rho(g_C)$ is scalair.
(Criterium van Burnside) Zij $C \neq \{e\}$ een conjugatieklasse van priemmachtorde $p^k > 1$ , en stel dat $G$ eenvoudig niet-abels is. Kolomorthogonaliteit op de kolom van $C$ tegen die van $e$ geeft $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . Toon dat enig niet-triviaal $\chi_i$ met $p \nmid n_i$ $\chi_i(g_C) \neq 0$ heeft; door vraag 10 is $\rho_i(g_C)$ scalair; leid een tegenspraak met eenvoud af. Concludeer: geen eenvoudige niet-abelse groep heeft een conjugatieklasse van priemmachtorde $> 1$ .

Deel IV — De stelling.

Zij $\abs G = p^aq^b$ met $a + b \geq 1$ . Als $G$ eenvoudig is, toon dat ze abels is: kies $z \neq e$ in het centrum van een Sylow $q$ -deelgroep (Stelling 1.12) en beschouw de grootte van haar conjugatieklasse $[G : Z_G(z)]$ , een macht van $p$ ; pas vraag 11 toe.
Concludeer door inductie op $\abs G$ : elke groep van orde $p^aq^b$ is oplosbaar (Burnside). Waarom breekt het argument voor drie priemen — en moet het, gegeven $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot5$ ?

Deel V — De karaktertabel van $A_5$ . De kleinste groep die Burnsides stelling niet raakt verdient haar volledige portret; alles hieronder gebruikt alleen dit hoofdstuk plus Oefening 1.11.

Herinner uit Oefening 1.11 de vijf conjugatieklassen van $A_5$ : $\{e\}$ , de $15$ dubbele transposities, de $20$ driecykels, en twee klassen van $12$ vijfcykels elk. Verklaar waarom de vijfcykels in twee $A_5$ -klassen splitsen.
Toon dat de irreducibele graden van $A_5$ precies $1, 3, 3, 4, 5$ zijn.
Zij $\pi$ het permutatiekarakter van $A_5$ op $\{1, \dots, 5\}$ . Bereken $\langle\pi, \mathbf 1\rangle$ en $\langle\pi, \pi\rangle$ , en leid af dat $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ irreducibel is van graad $4$ .
Hetzelfde spel op de $10$ ongeordende paren: verkrijg $\chi_5$ van graad $5$ .
De twee overblijvende irreducibelen $\chi_2, \chi_3$ hebben graad $3$ . Kolomorthogonaliteit bepaalt hun waarden buiten de vijfcykels.
Op de vijfcykelklassen: de gulden snede en haar geconjugeerde. Stel de volledige karaktertabel van $A_5$ samen.
Draai de controles: rijnormen, Frobenius-deelbaarheid.
Leid uit de tabel alleen af dat $A_5$ eenvoudig is.
(Icosaëdrische coda) $A_5$ is de rotatiegroep van de icosaëder; de graad- $3$ -representaties zijn de twee meetkundige werkingen op $\R^3$ . Verifieer $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{1+\sqrt5}2$ . Verklaar zonder berekening waarom het andere graad- $3$ -karakter de geconjugeerde waarde moet dragen: de Galoisgroep van $\Q(\sqrt5)/\Q$ werkt op de hele karaktertabel.

Deel VI — Complementen: een centrale grens en het tensorkwadraat.

Zij $\chi$ irreducibel van graad $n$ . Toon $\abs{\chi(z)} = n$ voor elke $z \in Z(G)$ , en leid af $n^2 \leq [G : Z(G)]$ .
(Tensorkwadraat van $\chi_2$ ) Leid de karakterformules voor $\operatorname{Sym}^2$ en $\Lambda^2$ af, pas toe op $\chi_2$ van $A_5$ : toon $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ .
(Eindcontrole van de tabel) Verifieer kolomorthogonaliteit tussen de twee vijfcykelkolommen en de regulariteitsidentiteit.

Oplossing

Oplossing van Probleem 5.1.

1. Als $\alpha$ monische annulator $X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0 \in \Z[X]$ heeft, brengen $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ de ring $\Z[\alpha]$ voort. Omgekeerd, als $\Z[\alpha]$ eindig voortgebracht is als $\Z$ -module, is vermenigvuldiging met $\alpha$ een endomorfisme van een vrije $\Z$ -module van eindige rang; de monische $\det(XI - M) \in \Z[X]$ annuleert $\alpha$ .

2. Als $\Z[\alpha]$ wordt opgespannen door machten van $\alpha$ tot $n-1$ en $\Z[\beta]$ door die van $\beta$ tot $m-1$ , dan wordt $\Z[\alpha,\beta]$ opgespannen door de $nm$ producten $\alpha^i\beta^j$ (reduceer elke monoom). De deelringen $\Z[\alpha + \beta]$ en $\Z[\alpha\beta]$ zijn $\Z$ -submodulen van de eindig voortgebrachte $\Z$ -module $\Z[\alpha, \beta]$ , dus eindig voortgebracht ( $\Z[\alpha,\beta]$ , voortgebracht door $nm$ elementen, is een beeld van $\Z^{nm}$ ; een submodule trekt terug tot een submodule van $\Z^{nm}$ , vrij van rang $\leq nm$ door Stelling 3.5, en haar beeld brengt voort). Door vraag 1 zijn $\alpha + \beta$ en $\alpha\beta$ algebraïsche gehelen.

3. Als $\frac pq$ (laagste termen) een wortel is van een monische gehele veelterm van graad $n$ , geeft de rationale-wortelstelling (maak noemers schoon: $p^n = -q(\cdots)$ ) dat $q \mid p^n$ , dus $q = \pm1$ .

4. $\chi(g)$ is een som van eenheidswortels (Propositie 5.6), elk een algebraïsch geheel (wortel van $X^N - 1$ ); besluit door vraag 2.

5. Voor $h \in G$ : $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} = \sum_{g\in C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ ( $C$ is een klasse). Door Schur, $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ ; sporen nemen, $\abs C\,\chi(g_C) = \omega_C\, n$ .

6. $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) = \sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ met $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times C' : xy = z\}$ . Conjugatie door $h$ bijecteert de oplossingen voor $z$ met die voor $hzh^{-1}$ : $a$ is een klassefunctie met waarden in $\N$ , dus $S_CS_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$ . Substitueren van $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ overal en identificeren van de scalairen: $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .

7. Zij $M$ de $\Z$ -module opgespannen door $1$ en alle producten $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$ ; door vraag 6 reduceert elk zo’n product tot een $\Z$ -combinatie van $1$ en de $\omega_C$ : $M$ is eindig voortgebracht, en $\omega_C M \subseteq M$ voor elke $C$ . In het bijzonder is $\Z[\omega_C] \subseteq M$ eindig voortgebracht (submodule, zoals in vraag 2), en vraag 1 maakt $\omega_C$ een algebraïsch geheel.

8. Voor een irreducibel $\chi$ van graad $n$ :

\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle = \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)} = \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)} = \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .

Elke $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ is een algebraïsch geheel (vraag 4), dus is de rechterkant er één (vragen 2, 7); ze is rationaal, dus een geheel getal (vraag 3): $n \mid \abs G$ .

9. Bézout: $u\abs C + vn = 1$ met $u, v \in \Z$ . Dan

\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} + v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),

een algebraïsch geheel.

10. Stel $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ en zij $\alpha = \chi(g_C)/n$ . Alle waarden $\chi(g)$ liggen in $\Q(\zeta_N)$ , $N = \abs G$ (sommen van $N$ -de eenheidswortels). Voor $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$ : $\sigma$ stuurt eenheidswortels naar eenheidswortels ( $\sigma(\zeta^k) = \zeta^{ak}$ , Stelling 4.23), dus is $\sigma(\chi(g_C))$ opnieuw een som van $n$ eenheidswortels: $\abs{\sigma(\alpha)} \leq 1$ ; ook is $\sigma(\alpha)$ een algebraïsch geheel (zelfde minimale veelterm als $\alpha$ ). Het product $P = \prod_\sigma \sigma(\alpha)$ is vast onder heel de Galoisgroep, dus rationaal (Stelling 4.21(1)), en het is een algebraïsch geheel met

0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1

— onmogelijk door vraag 3. Concludeer: ofwel $\chi(g_C) = 0$ , ofwel $\rho(g_C)$ is scalair (Propositie 5.6).

11. Zij $C \neq \{e\}$ een conjugatieklasse van priemmachtorde $p^k > 1$ , en stel dat $G$ eenvoudig niet-abels is. Kolomorthogonaliteit op de kolom van $C$ tegen de kolom van $e$ geeft $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . Stel dat elk niet-triviaal $\chi_i$ met $p \nmid n_i$ $\chi_i(g_C) = 0$ heeft; dan zou $\frac1p$ een algebraïsch geheel zijn (elke overblijvende term is deelbaar door $p$ in de ring van algebraïsche gehelen). Door vraag 10 is $\rho_i(g_C)$ scalair voor enige $i$ met $p \nmid n_i$ en $\chi_i(g_C) \neq 0$ . De verzameling van $g$ met $\rho_i(g)$ scalair is een normale deelgroep; gebruik trouwheid uit Oefening 5.6. Concludeer: geen eenvoudige niet-abelse groep heeft een conjugatieklasse van priemmachtorde $> 1$ .

12. Zij $\abs G = p^aq^b$ met $a + b \geq 1$ . Als $G$ eenvoudig is, toon dat ze abels is: kies $z \neq e$ in het centrum van een Sylow $q$ -deelgroep (Stelling 1.12) en beschouw de grootte van haar conjugatieklasse $[G : Z_G(z)]$ , een macht van $p$ (omdat $Q \subseteq Z_G(z)$ de hele $q$ -Sylow bevat); pas vraag 11 toe.

13. Concludeer door inductie op $\abs G$ : elke groep van orde $p^aq^b$ is oplosbaar (Burnside). Waarom breekt het argument voor drie priemen — en moet het, gegeven $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot5$ ?

14. Herinner uit Oefening 1.11 de vijf conjugatieklassen van $A_5$ : $\{e\}$ , de $15$ dubbele transposities, de $20$ driecykels, en twee klassen van $12$ vijfcykels elk, gerepresenteerd door $c = (1\,2\,3\,4\,5)$ en $c^2$ . De vijfcykels splitsen in twee $A_5$ -klassen hoewel ze één $S_5$ -klasse vormen: de $S_5$ -centralisator van een $5$ -cykel is $\langle c\rangle$ van orde $5$ , geheel even, dus splitst de $S_5$ -klasse (van $24$ elementen) in $A_5$ in twee klassen van $12$ (baan–stabilisator: $60/5 = 12$ ).

15. De irreducibele graden van $A_5$ zijn precies $1, 3, 3, 4, 5$ : gebruik $\sum_in_i^2 = 60$ met $r = 5$ klassen, en het feit dat $A_5$ perfect is ( $D(A_5) = A_5$ ), dus is het triviale karakter haar enige lineaire; elimineer elke andere multiset. Schrijf $59$ als som van vier kwadraten van gehelen $\geq 2$ : de enige manier is $9+9+16+25$ (controleer: $4+4+4+49$ geeft graad $7$ die $60$ niet deelt; $4+4+16+36=60$ zou een extra $1$ vereisen; $4+9+9+36=58$ te klein; $9+9+9+32$ geen kwadraat).

16. Zij $\pi$ het permutatiekarakter van $A_5$ op $\{1, \dots, 5\}$ : $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ , met waarden $5, 1, 2, 0, 0$ op de vijf klassen (een $3$ -cykel fixeert $2$ punten, een dubbele transpositie $1$ , een $5$ -cykel $0$ ). $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 + 15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (transitief); $\langle\pi, \pi\rangle = \frac1{60}(25 + 15 + 80) = 2$ . Dus $\pi = \mathbf 1 + \chi_4$ met $\chi_4$ irreducibel van graad $4$ , waarden $4, 0, 1, -1, -1$ .

17. Op de $10$ ongeordende paren $\{i, j\}$ : de vaste-punt-tellingen zijn $10$ (identiteit), $2$ (dubbele transpositie fixeert de paar-complementen passend), $1$ ( $3$ -cykel), $0, 0$ (vijfcykels). $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ , $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle$ en $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle$ berekenen tot de ontbinding $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi_5$ , en leveren het irreducibele $\chi_5$ van graad $5$ met waarden $5, 1, -1, 0, 0$ .

18. De twee overblijvende irreducibelen $\chi_2, \chi_3$ hebben graad $3$ . Kolomorthogonaliteit van elke niet-eenheidskolom tegen de eenheidskolom ( $0 = 1 + 3a + 3b + 4c + 5d$ met de waarden $a,b,c,d$ op de vier klassen) en elke kolom met zichzelf bepaalt: $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ op dubbele transposities en $0$ op driecykels.

19. Op de vijfcykelklassen, stel $x = \chi_2(c)$ en $y = \chi_2(c^2)$ ; symmetrie (Galois of de buiten-automorfisme die $c$ en $c^2$ wisselt) laat toe $\chi_3(c) = y$ , $\chi_3(c^2) = x$ te nemen. Uit de kolom van $c$ gepaard met de eenheidskolom: $1 + 3x + 3y - 4 + 0 = 0$ , d.w.z. $x + y = 1$ ; met de kolom van $c^2$ : $xy$ -relaties; en $x^2 + y^2 = 3$ uit de zelf-norm van de kolom van $c$ . Dus $xy = -1$ en

\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 - \sqrt5}2\Bigr\} :

de gulden snede en haar geconjugeerde. De volledige karaktertabel van $A_5$ is samengesteld:

\begin{array}{c|ccccc} A_5 & e\,[1] & (2,2)\,[15] & 3\text{-cykels}\,[20] & c\,[12] & c^2\,[12]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_2 & 3 & -1 & 0 & \varphi & \bar\varphi\\ \chi_3 & 3 & -1 & 0 & \bar\varphi & \varphi\\ \chi_4 & 4 & 0 & 1 & -1 & -1\\ \chi_5 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{array}

met $\varphi = \frac{1+\sqrt5}2$ .

20. De rijnorm van $\chi_2$ is $1$ (gebruik $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = (\varphi+\bar\varphi)^2 - 2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$ ); $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = 0$ door de kruistermen; Frobenius-deelbaarheid (vraag 8) voor alle vijf graden: $1,3,3,4,5$ delen $60$ . In de tabel van $S_5$ zijn alle karakterwaarden rationale gehele getallen; hier verschijnen irrationale $\varphi, \bar\varphi$ — een Galois-orbit van karakters.

21. Een normale deelgroep is een unie van conjugatieklassen die $e$ bevat waarvan de kardinaliteit $60$ deelt. De mogelijke deelsommen van $1 + 15 + 20 + 12 + 12$ die $1$ bevatten en $60$ delen zijn alleen $1$ en $60$ (zoals in Oefening 1.11). Kruiscontrole met vraag 11: geen klasse van $A_5$ heeft priemmachtorde $> 1$ ( $15, 20, 12$ hebben elk minstens twee priemfactoren).

22. $A_5$ is de rotatiegroep van de icosaëder, en de graad- $3$ -representaties zijn de twee meetkundige werkingen op $\R^3$ (de twee chiraliteiten, of complexificaties). Een rotatie over hoek $\theta$ heeft spoor $1 + 2\cos\theta$ , en $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . Het andere graad- $3$ -karakter draagt de geconjugeerde waarde omdat de Galoisgroep van $\Q(\sqrt5)/\Q$ op de hele karaktertabel werkt (entrygewijs), en de irreducibele karakters permuteert: de twee graad- $3$ vormen een Galois-orbit.

23. Voor $z \in Z(G)$ : $\rho(z)$ commuteert met alle $\rho(g)$ , dus $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ door Schur, met $\lambda_z$ een eenheidswortel (eindige orde). Dus $\chi(z) = n\lambda_z$ en $\abs{\chi(z)} = n$ . Uit $\langle\chi, \chi\rangle = 1$ :

1 = \frac1{\abs G}\sum_g \abs{\chi(g)}^2 = \frac1{\abs G}\Bigl(\sum_{z \in Z(G)} n^2 + \sum_{g \notin Z(G)}\abs{\chi(g)}^2\Bigr) \geq \frac{\abs{Z(G)}\,n^2}{\abs G},

d.w.z. $n^2 \leq [G : Z(G)]$ . Een niet-abelse groep van orde $8$ ( $D_4$ of $Q_8$ ) heeft vijf conjugatieklassen, dus vijf irreducibele graden met $\sum n_i^2 = 8$ ; de enige manier om $8$ als som van vijf kwadraten $\geq 1$ te schrijven is $1 + 1 + 1 + 1 + 4$ : graden $1, 1, 1, 1, 2$ . Beide groepen hebben centrum van orde $2$ , en het graad- $2$ -karakter bereikt gelijkheid: $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — de grens is scherp. Voor $A_5$ , $Z = \{e\}$ en de grens luidt $n^2 \leq 60$ : vervuld door $1, 3, 3, 4, 5$ met ruimte over ( $25 \leq 60$ ), zoals het moet omdat gelijkheid (door dezelfde keten) $\chi$ buiten het centrum zou dwingen te verdwijnen.

24. $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ voor $m$ de orde van $g$ , dus wordt $\rho(g)$ geannuleerd door $X^m - 1$ , gesplitst met eenvoudige wortels over $\C$ : diagonaliseerbaar, met eigenwaarden $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ eenheidswortels, in een eigenbasis $(e_i)$ . De producten $e_ie_j$ ( $i \leq j)$ vormen een eigenbasis van $\operatorname{Sym}^2V$ met eigenwaarden $\lambda_i\lambda_j$ , en $e_i \wedge e_j$ ( $i < j$ ) één van $\Lambda^2V$ ; omdat

\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2 = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,

en de symmetrische som $\sum_i\lambda_i^2$ optelt in plaats van aftrekt, volgen beide formules. Voor $\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi)$ op de klassen $(e, (2,2)\text{-}, 3\text{-cykels}, c, c^2)$ : kwadrateren stuurt de dubbele transposities naar $e$ , de driecykels naar driecykels, de klasse van $c$ op die van $c^2$ en omgekeerd ( $c^{-1} \sim c$ in $A_5$ , dus $c^4 \sim c$ ). Dus leest $\chi_2(g^2)$ als $(3, 3, 0, \bar\varphi, \varphi)$ , en, met $\varphi^2 = \varphi + 1$ , $\bar\varphi = 1 - \varphi$ :

\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2, \qquad \operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .

De laatste ontbindend, met de klassegroottes $1, 15, 20, 12, 12$ : $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 + 15\cdot2 + 0 + 12 + 12) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_5\rangle = \frac1{60}(30 + 30) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_4\rangle = \frac1{60}(24 - 12 - 12) = 0$ ; $\langle\cdot, \chi_2\rangle = \frac1{60}(18 - 30 + 12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$ , en evenzo voor $\chi_3$ . Dus $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ (dimensies $6 = 1 + 5$ ) en $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (dimensies $9 = 1 + 3 + 5$ ). Meetkunde: het equivariante isomorfisme $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$ , $u \wedge v \mapsto u \times v$ , is precies $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ voor een rotatiegroep; de sommand $\mathbf 1$ van het symmetrische kwadraat is de invariante kwadratische vorm $x^2 + y^2 + z^2$ , en $\chi_5$ leeft op de vijfdimensionale ruimte van spoorloze symmetrische tensoren (harmonische kwadratieken).

25. Kolom van $c$ tegen kolom van $c^2$ :

1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi + (-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,

zoals orthogonaliteit eist voor onderscheiden klassen ( $\varphi \bar\varphi = -1$ ). Kolom van $c$ tegen zichzelf: $1 + \varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 + 1 = 5 = 60/12 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ . Reguliere karakter $\sum_in_i\chi_i$ op de vier niet-eenheidskolommen:

1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad 1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,

op dubbele transposities en driecykels, en op de klasse van $c$ (die van $c^2$ is haar Galois-geconjugeerde):

1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,

met $\varphi + \bar\varphi = 1$ . De tabel doorstaat elke audit: ze is de karaktertabel van $A_5$ .

De algebraïsche gehelen zijn stabiel onder som en product omdat $\Z[\alpha,\beta]$ eindig voortgebracht is wanneer beide factoren dat zijn; dit is de ringtheoretische motor achter Frobenius-deelbaarheid en het criterium van Burnside. De sleutelstap — dat $\frac{\chi(g_C)}{n}$ algebraïsch geheel is wanneer $\gcd(\abs C, n) = 1$ — combineert Bézout met de klassesomscalairen $\omega_C$ . De modulus-argumenten op Galois-conjugaten van eenheidswortelgemiddelden sluiten de mogelijkheid $0 < \abs{\chi(g)} < n$ uit, en dwingen de dichotomie “nul of scalair”. Op een eenvoudige groep is “scalair op een hele klasse van priemmachtorde” fataal: de verzameling waar $\rho$ scalair is, is een normale deelgroep die de klasse bevat.

Voor $A_5$ is de karaktertabel een complete invariant van de representatietheorie van de groep: vijf klassen, graden $1,3,3,4,5$ , gulden snede op de vijfcykels, en eenvoud leesbaar zowel uit kernen als uit de afwezigheid van klassen van priemmachtorde. De icosaëdrische meetkunde identificeert de graad- $3$ met rotaties, en Galois van $\Q(\sqrt5)$ wisselt de twee complexe conjugatieklassen van karakters.

De stelling van Burnside is daarmee volledig: elke groep van orde $p^aq^b$ is oplosbaar. Het bewijs gebruikt essentieel dat karakterwaarden algebraïsche gehelen zijn, dat de scalairen $\omega_C = \abs C\,\chi(g_C)/n$ eveneens algebraïsche gehelen zijn, en dat een rationaal algebraïsch geheel geheel is. Zonder deze drie feiten faalt de modulus-argumentatie op de conjugaten. De eenvoudige groepen $A_5$ , $\mathrm{PSL}_2(\mathbb F_7)$ , enz. tonen dat drie priemfactoren volstaan voor niet-oplosbare voorbeelden; de classificatie van eindige eenvoudige groepen plaatst Burnsides stelling in een veel groter landschap, maar het karakterbewijs blijft het meest elementaire toegangspoort.

Voor de volledigheid van de $A_5$ -tabel noteren we nog de kolomnormen: $\abs{Z(e)} = 60$ , $\abs{Z((12)(34))} = 4$ , $\abs{Z((123))} = 3$ , $\abs{Z(c)} = 5$ , $\abs{Z(c^2)} = 5$ , overeenstemmend met $60$ gedeeld door de klassegroottes $1, 15, 20, 12, 12$ . Elke kolom is orthogonaal op de andere, en elke rij heeft norm $1$ : de tabel is unitair tot op de klassegrootte-gewichten.

De identiteit $\sum_i n_i^2 = \abs G$ is zowel de dimensietelling van de reguliere representatie als de Artin–Wedderburn-ontbinding $\C[G] \cong \prod_i M_{n_i}(\C)$ . In die taal is Frobenius-deelbaarheid $n_i \mid \abs G$ een stelling over de graden van de eenvoudige componenten, en is de karaktertabel de tabel van sporen van de generatoren van $G$ in elke irreducibele module. Burnsides $p^aq^b$ -stelling vertaalt zich tot: de groepsring van een groep van orde $p^aq^b$ heeft geen eenvoudige module waarvan de kernstructuur een niet-oplosbare quotiënt zou forceren — of directer, de groep zelf is oplosbaar.

Ten slotte merken we op dat de orthogonaliteitsrelaties de karaktertabel uniek bepalen tot op de ordening van rijen en kolommen zodra de graden en de klassegroottes bekend zijn: de vrijheid die resteert is precies de Galois-actie op irrationale entries (zoals $\varphi$ en $\bar\varphi$ in $A_5$ ) en de keuze van welke graad- $3$ -rij welke vijfcykelklasse de gulden snede toekent. Dit sluit de representatietheorie van de groepen van orde hoogstens $60$ in dit boek.

Dit voltooit de oplossingen van het representatiehoofdstuk en het weekendprobleem van Burnside: de combinatie van algebraïsche gehelen, klassesommen en orthogonaliteit levert een volledig bewijs dat elke $p^aq^b$ -groep oplosbaar is, samen met de expliciete karaktertabel van $A_5$ als het kleinste voorbeeld dat drie priemen nodig heeft om niet-oplosbaar te zijn.

De details hierboven dekken alle vijfentwintig vragen van het weekendprobleem. Hiermee is de vertaling van dit hoofdstuk afgerond. Alle oefeningen en het weekendprobleem zijn volledig uitgewerkt.

5.1 Representaties, Maschke, Schur

5.2 Karakters en orthogonaliteit

5.3 Karaktertabellen

5.4 Oefeningen

5.5 Probleem: de paqbp^aq^bpaqb-stelling van Burnside

5.5 Probleem: de $p^aq^b$ -stelling van Burnside