Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

5Representaties van eindige groepen

Om een abstracte groep te begrijpen, laat je haar werken op een vectorruimte en zet je lineaire algebra — eigenwaarden, sporen, inproducten — op die werking los. Dat programma, de representatietheorie, is verbluffend doeltreffend voor eindige groepen over $\C$ : elke representatie valt uiteen in irreducibele (Maschke), de irreducibele liggen vast door hun karakters (sporen), en die karakters voldoen aan orthogonaliteitsrelaties die het rekenwerk mechanisch maken. Dit hoofdstuk bouwt dat rekentuig op met zijn eerste meesterstukken — de karaktertafels van de kleine groepen — en de weekendopgave oogst een stelling die ver buiten het bereik van de kale groepentheorie ligt: de $p^aq^b$ -stelling van Burnside. Overal is $G$ een eindige groep en zijn alle vectorruimten eindigdimensionaal over $\C$ .

5.1 Representaties, Maschke, Schur

Definitie 5.1

Een representatie van $G$ is een morfisme $\rho \colon G \to GL(V)$ voor een $\C$ -vectorruimte $V$ ; $\dim V$ heet de graad ervan. Een deelruimte $W \subseteq V$ heet invariant als $\rho(g)W \subseteq W$ voor alle $g$ ; beperking maakt van $W$ een deelrepresentatie. $\rho$ heet irreducibel als $V \neq 0$ en haar enige invariante deelruimten $0$ en $V$ zijn. Een morfisme tussen $(\rho, V)$ en $(\sigma, W)$ is een lineaire $f\colon V \to W$ met $f\rho(g) = \sigma(g)f$ voor alle $g$ (equivariantie); bijectieve $f$ heten isomorfismen.

Voorbeeld 5.2

(a) Graad $1$ : de morfismen $G \to \C^\times$ . (b) De reguliere representatie: $V = \C^G$ met basis $(e_h)_{h \in G}$ en $\rho(g)e_h = e_{gh}$ ; graad $\abs G$ . (c) Een permutatiewerking van $G$ op een eindige verzameling $X$ geeft de permutatierepresentatie op $\C^X$ : $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$ . (d) $S_n$ werkt op $\C^n$ door de coördinaten te permuteren; het hypervlak $\{\sum x_i = 0\}$ is invariant: de standaardrepresentatie, van graad $n - 1$ .

Stelling 5.3 (Maschke)

Elke invariante deelruimte $W$ van een representatie $(V, \rho)$ bezit een invariant complement. Bijgevolg is elke representatie een directe som van irreducibele (halfenkelvoudigheid).

Bewijs. Zij $p \colon V \to V$ een willekeurige projectie met beeld $W$ (kies een willekeurig complement). Middel haar over de groep uit:

\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.

Elke term beeldt $V$ in $W$ af ( $W$ is invariant) en houdt $W$ puntsgewijs vast: voor $w \in W$ is $\rho(g)^{-1}w \in W$ , houdt $p$ dat vast, en brengt $\rho(g)$ het terug — dus is $\tilde p$ opnieuw een projectie op $W$ . Ze is equivariant: voor $h \in G$ herindexeert $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ dezelfde som. Bijgevolg is $\ker \tilde p$ een invariant complement van $W$ . Herhaald toepassen op de summanden (eindige dimensie) ontbindt $V$ in irreducibele. ∎

Stelling 5.4 (Lemma van Schur)

Zij $f \colon V \to W$ een morfisme van irreducibele representaties. Dan is $f = 0$ of is $f$ een isomorfisme; en als $(V,\rho) = (W,\sigma)$ , dan is $f = \lambda\,\mathrm{id}$ voor zekere $\lambda \in \C$ . Bijgevolg is $\dim\operatorname{Hom}_G(V, W)$ gelijk aan $1$ als $V \cong W$ , en anders $0$ .

Bewijs. $\ker f$ en $\operatorname{im} f$ zijn invariant (equivariantie), dus elk van beide is $0$ of het geheel: ofwel $f = 0$ , ofwel is $f$ injectief met volledig beeld. Is $V = W$ , dan heeft $f$ een eigenwaarde $\lambda$ ( $\C$ is algebraïsch gesloten); $f - \lambda\,\mathrm{id}$ is een niet-injectief morfisme $V \to V$ en dus $0$ . Voor de dimensietelling wanneer $V \cong W$ : leg één isomorfisme $u$ vast; elk morfisme $f$ geeft het endomorfisme $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$ , dus $f = \lambda u$ . ∎

5.2 Karakters en orthogonaliteit

Definitie 5.5

Het karakter van $(V, \rho)$ is $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$ . Er geldt $\chi_\rho(e) = \dim V$ en $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ (sporen zijn invariant onder conjugatie): karakters zijn dus klassefuncties — elementen van de ruimte $\mathcal{CF}(G)$ van functies die constant zijn op de conjugatieklassen, voorzien van het hermitische inproduct

\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \overline{\varphi(g)}\,\psi(g).

Propositie 5.6

$\rho(g)$ is diagonaliseerbaar met eenheidswortels als eigenwaarden; $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$ , en $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ met gelijkheid precies wanneer $\rho(g)$ scalair is. Karakters tellen op bij directe sommen: $\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$ .

Bewijs. Er geldt $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ voor $N = \abs G$ (Lagrange): $\rho(g)$ annihileert $X^N - 1$ , die uiteenvalt met enkelvoudige wortels, zodat $\rho(g)$ diagonaliseerbaar is met eigenwaarden $\lambda_i \in \mu_N$ . Dan is $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1} = \sum\bar\lambda_i = \overline{\chi(g)}$ , en $\abs{\chi(g)} = \abs{\sum\lambda_i} \leq \dim V$ , met gelijkheid in de driehoeksongelijkheid precies wanneer alle $\lambda_i$ gelijk zijn, dat wil zeggen $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ . De additiviteit bij directe sommen: sporen per blok. ∎

Lemma 5.7

Zij $(V, \rho)$ en $(W, \sigma)$ representaties. De middelingsoperator op $\operatorname{Hom}(W, V)$ ,

c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},

is een projectie op $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ , en voor de afbeelding $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$ geldt $\operatorname{tr}\Phi_g = \chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$ .

Bewijs. $c(A)$ is equivariant (herindexeer de som als bij Maschke), en $c$ houdt equivariante afbeeldingen vast (elke term is gelijk aan $A$ ): dus is $c$ een projectie met beeld $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ . Spoor: in bases is $\Phi_g(A) = BAC$ met $B = \rho(g)$ en $C = \sigma(g)^{-1}$ ; op de basis $(E_{kl})$ van matrices is $BE_{kl}C = \sum_{m,n} b_{mk}c_{ln}E_{mn}$ , zodat de coëfficiënt van $E_{kl}$ in $\Phi_g(E_{kl})$ gelijk is aan $b_{kk}c_{ll}$ : $\operatorname{tr}\Phi_g = \sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} = \operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(C) = \chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$ , en $\chi_\sigma(g^{-1}) = \overline{\chi_\sigma(g)}$ . ∎

Stelling 5.8 (Eerste orthogonaliteitsrelaties)

Zij $\rho$ en $\sigma$ irreducibel. Dan is

\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle = \begin{cases} 1 & \text{als } \rho \cong \sigma,\\ 0 & \text{anders:} \end{cases}

de irreducibele karakters vormen een orthonormale familie in $\mathcal{CF}(G)$ .

Bewijs. Het spoor van een projectie is de dimensie van haar beeld:

\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c = \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g = \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)} = \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,

en het lemma van Schur evalueert het linkerlid tot $\delta_{\rho \cong \sigma}$ . ∎

Gevolg 5.9

Ontbind $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ in verschillende irreducibele ( $V_i \not\cong V_j$ ). Dan is $m_i = \langle \chi_{V_i}, \chi_V\rangle$ : de multipliciteiten — en dus de representatie op isomorfie na — liggen door het karakter vast. Bovendien is $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i m_i^2$ ; in het bijzonder is $V$ irreducibel dan en slechts dan als $\langle\chi_V, \chi_V\rangle = 1$ .

Bewijs. Er geldt $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ (Propositie 5.6); neem inproducten met elke $\chi_{V_i}$ en gebruik de orthonormaliteit. Twee representaties met gelijke karakters hebben gelijke multipliciteiten en zijn dus isomorf. ∎

Stelling 5.10 (De reguliere representatie)

Zij $\chi_1, \dots, \chi_r$ de verschillende irreducibele karakters, van graden $n_i = \chi_i(e)$ . De reguliere representatie ontbindt met multipliciteiten $m_i = n_i$ ; bijgevolg is

\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G, \qquad \sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).

Bewijs. Het reguliere karakter is $\chi_{\mathrm{reg}}(g) = \#\{h : gh = h\}$ , dus $\abs G$ voor $g = e$ en $0$ anders. Bijgevolg is $m_i = \langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle = \frac1{\abs G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$ . Evalueren van $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ in $e$ en in $g \neq e$ geeft de twee getoonde identiteiten. ∎

Stelling 5.11

De irreducibele karakters vormen een orthonormale basis van $\mathcal{CF}(G)$ : het aantal irreducibele representaties is gelijk aan het aantal conjugatieklassen van $G$ .

Bewijs. Alleen de volledigheid rest: zij $f \in \mathcal{CF}(G)$ orthogonaal met elke $\chi_i$ ; we tonen aan dat $f = 0$ . Stel voor een representatie $(V,\rho)$ de operator $T_{f,\rho} = \frac{1}{\abs G} \sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$ . Die is equivariant: voor $h \in G$ is

\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\rho(hgh^{-1}) = \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') = T_{f,\rho}

( $f$ is een klassefunctie). Is $\rho$ irreducibel van graad $n$ , dan geeft Schur dat $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ met

\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n} = \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g) = \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .

Dus is $T_{f,\rho} = 0$ op elke irreducibele representatie, en daarmee (directe sommen) op elke representatie — in het bijzonder op de reguliere. Pas hem toe op de basisvector $e_e$ : $0 = T_{f,\mathrm{reg}}e_e = \frac1{\abs G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$ , wat elke $\overline{f(g)} = 0$ afdwingt. De orthonormale familie $(\chi_i)$ spant dus $\mathcal{CF}(G)$ op, en de dimensie daarvan is het aantal conjugatieklassen. ∎

Gevolg 5.12 (Kolomorthogonaliteit)

Voor $g, h \in G$ geldt

\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) = \begin{cases} \abs{Z_G(g)} & \text{als } g \text{ en } h \text{ geconjugeerd zijn},\\ 0 & \text{anders.} \end{cases}

Bewijs. Zij $g_1, \dots, g_r$ representanten van de klassen en $c_j$ de klassegroottes. De $r \times r$ -matrix $U_{ij} = \sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ heeft orthonormale rijen (Stelling 5.8 per klasse geschreven: $\sum_j \frac{c_j}{\abs G}\chi_i(g_j)\overline{\chi_{i'}(g_j)} = \delta_{ii'}$ ), dat wil zeggen $UU^* = I$ ; en een vierkante matrix met $UU^* = I$ voldoet ook aan $U^*U = I$ : de kolommen zijn orthonormaal, wat zich ontvouwt tot de getoonde identiteit ( $\abs G/c_j = \abs{Z_G(g_j)}$ , de betrekking tussen baan en stabilisator voor de conjugatie). ∎

Propositie 5.13 (Eendimensionale karakters; optillen)

(a) $G$ is abels dan en slechts dan als al haar irreducibele representaties graad $1$ hebben; en voor elke $G$ is het aantal karakters van graad $1$ gelijk aan $[G : D(G)]$ (het zijn de karakters van de abelianisering). (b) Is $N \trianglelefteq G$ , dan tillen de irreducibele representaties van $G/N$ zich (door samenstelling met $G \to G/N$ ) op tot precies die irreducibele representaties van $G$ waarvan de kern $N$ bevat.

Bewijs. (a) Is $G$ abels, dan is elke klasse een singleton: $r = \abs G$ , en $\sum n_i^2 = \abs G$ dwingt alle $n_i = 1$ af; zijn omgekeerd alle $n_i = 1$ , dan is de reguliere representatie een som van eendimensionale, zodat $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ simultaan diagonaliseerbaar en dus commutatief is, en $\rho_{\mathrm{reg}}$ is trouw: $G$ is abels. Representaties van graad $1$ zijn morfismen $G \to \C^\times$ met abels doel: ze factoriseren over $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ (Oefening 1.9), en het aantal verschillende karakters van de abelse groep $G^{\mathrm{ab}}$ is $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ (zoveel klassen, alle van graad $1$ ). (b) Samenstelling met de projectie bewaart de irreducibiliteit (de invariante deelruimten corresponderen), en een representatie die triviaal is op $N$ factoriseert over het quotiënt (Stelling 1.3). ∎

5.3 Karaktertafels

Definitie 5.14

De karaktertafel van $G$ is de $r \times r$ -matrix $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$ : de rijen zijn geïndexeerd door de irreducibele karakters, de kolommen door de conjugatieklassen (met hun groottes erbij vermeld). De rijen zijn orthonormaal voor het gewogen product en de kolommen zijn orthogonaal (Gevolg 5.12): de tafel is zwaar overbepaald, en juist daarom berekenbaar.

Voorbeeld 5.15 (De tafel van $S_3$ )

Klassen: $e$ (grootte 1), de transposities (3), de $3$ -cykels (2); dus $r = 3$ irreducibele representaties, van graden $n_i$ met $\sum n_i^2 = 6$ : $1, 1, 2$ . Graad $1$ : het triviale karakter $\mathbf 1$ en de signatuur $\varepsilon$ . De laatste rij volgt uit de kolomorthogonaliteit (of uit $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$ ):

\begin{array}{c|ccc} S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1\\ \chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1 \end{array}

Controle: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : irreducibel.

Voorbeeld 5.16 (De tafel van $S_4$ )

Klassen: $e$ [1], de transposities [6], de dubbele transposities [3], de $3$ -cykels [8] en de $4$ -cykels [6]: vijf irreducibele representaties met $\sum n_i^2 = 24$ en twee van graad $1$ ( $\mathbf 1, \varepsilon$ ; want $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$ ): graden $1, 1, 2, 3, 3$ . Die van graad $2$ tilt zich op uit $S_4/V \cong S_3$ (Propositie 5.13(b), met $V$ de viergroep van Klein); graad $3$ : de standaardrepresentatie en haar twist met $\varepsilon$ :

\begin{array}{c|ccccc} S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\ \chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ \varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}

( $\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ; en $\chi_2$ evalueert de $S_3$ -tafel op het beeld van elke klasse modulo $V$ .) Alle rij- en kolomcontroles slagen — twee ervan uitvoeren is de opwarmer van Oefening 5.3.

Methode 5.17

Om een karaktertafel op te bouwen: (1) geef de conjugatieklassen met hun groottes; (2) tel de karakters van graad $1$ via $G/D(G)$ en schrijf ze op; (3) haal de overige graden uit $\sum n_i^2 = \abs G$ (combinatoriek met kleine gehele getallen); (4) vind goedkope irreducibele karakters: til op uit quotiënten, trek $\mathbf 1$ af van permutatiekarakters (controleer $\langle\chi,\chi\rangle = 1$ ), vermenigvuldig bekende karakters met die van graad $1$ ; (5) maak de onbekende rijen af met kolomorthogonaliteit — elke kolom staat loodrecht op de reeds volledige kolommen, en de kolom van $e$ draagt de graden. Controleer alles met een volledige orthogonaliteitsronde.

De reguliere representatie van S_3, blokdiagonaal gemaakt: ℂ[S_3] ℂ × ℂ × M_2(ℂ), met dimensies 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|. In het algemeen is ℂ[G] _i M_n_i(ℂ): de identiteit n_i2 = G is een uitspraak over matrixblokken. — De reguliere representatie van $S_3$ , blokdiagonaal gemaakt: $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$ , met dimensies $1 + 1 + 4 = 6 = \abs{S_3}$ . In het algemeen is $\C[G] \cong \prod_i M_{n_i}(\C)$ : de identiteit $\sum n_i^2 = \abs G$ is een uitspraak over matrixblokken.

5.4 Oefeningen

Oefening 5.1 ★

(a) Toon aan dat de irreducibele karakters van $\Z/n\Z$ de $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ met $k = 0, \dots, n-1$ zijn, en schrijf de karaktertafel van $\Z/4\Z$ op. (b) Ga beide orthogonaliteitsrelaties erop na — en herken de matrix: waar is dit boek haar eerder tegengekomen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

(a) $\Z/n\Z$ is abels: alle irreducibele representaties hebben graad $1$ (Propositie 5.13), dat wil zeggen het zijn morfismen $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$ , vastgelegd door $\chi(\bar 1) = \omega$ met $\omega^n = 1$ : de $n$ karakters $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ . Voor $n = 4$ (de klassen zijn de elementen $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3$ ):

\begin{array}{c|cccc} & \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\ \chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu \end{array}

(b) Rijen: $\langle\chi_k,\chi_l\rangle = \frac14\sum_m \eu^{2\iu\pi(l-k)m/4} = \delta_{kl}$ (meetkundige som); de kolommen net zo. De matrix $(\eu^{2\iu\pi km/n})_{k,m}$ is de matrix van de discrete Fouriertransformatie — dezelfde eenheidswortelfilter die in het hoofdstuk over genererende functies in het volume van bachelorjaar 2 werd gebruikt; de orthogonaliteit van karakters veralgemeent de inversieformule van die transformatie.

Oefening 5.2 ★

Zij $G$ werkend op een eindige verzameling $X$ en $\chi$ het karakter van de permutatierepresentatie $\C^X$ . (a) Toon aan dat $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ en $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{banen}\}$ — de teltelling van Burnside (Oefening 1.5) is een karakterberekening. (b) Stel dat de werking transitief is, zodat $\chi = \mathbf 1 + \psi$ . Toon aan dat $\psi$ irreducibel is dan en slechts dan als de werking $2$ -transitief is (transitief op geordende paren verschillende punten). (Bereken $\langle\chi,\chi\rangle$ als het aantal banen op $X \times X$ .) (c) Besluit dat de standaardrepresentatie van $S_n$ ( $n \geq 2$ ) irreducibel is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

(a) De matrix van $\rho(g)$ in de basis $(e_x)$ is een permutatiematrix, met als spoor het aantal $x$ met $g\cdot x = x$ . Dan is

\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g \abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{banen}\}

volgens de teltelling van Burnside (Oefening 1.5) — gelijkwaardig berekent dit de multipliciteit van de triviale representatie, waarvan de isotypische ruimte de ruimte van $G$ -invariante vectoren is, van dimensie het aantal banen (één indicatorfunctie per baan).

(b) Omdat $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) = \operatorname{Fix}_X(g)^2$ , geeft onderdeel (a) toegepast op $X \times X$ dat $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{\text{banen op } X\times X\}$ (want $\chi$ is reëel). Schrijven we $\chi = \mathbf 1 + \psi$ , dan is $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (transitiviteit), dus $\langle\psi,\psi\rangle = \langle\chi,\chi\rangle - 1$ . De werking op $X\times X$ heeft de diagonaal als één baan; er is precies één andere baan dan en slechts dan als $G$ transitief is op de paren verschillende punten: $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ precies wanneer de werking $2$ -transitief is (Gevolg 5.9).

(c) $S_n$ is $2$ -transitief op $\{1,\dots,n\}$ (stuur een willekeurig paar verschillende punten waarheen je wilt): $\psi = \chi_{\mathrm{std}}$ is irreducibel.

Oefening 5.3 ★

Bouw de tafel van $S_3$ van nul af opnieuw op volgens Methode 5.17, en ga daarna twee rij- en twee kolomorthogonaliteitsrelaties na in de $S_4$ -tafel van Voorbeeld 5.16. Ontbind het permutatiekarakter van $S_4$ werkend op $\{1,2,3,4\}$ en het karakter $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (het puntsgewijze kwadraat) in irreducibele karakters.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

$S_3$ : drie klassen, $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$ ; de twee karakters van graad $1$ zijn $\mathbf 1$ en $\varepsilon$ (want $[S_3 : A_3] = 2$ ); de derde rij $(2, a, b)$ volgt uit de kolomorthogonaliteit met de kolom van $e$ : $1 - 1 + 2a = 0$ en $1 + 1 + 2b = 0$ , dus $a = 0$ en $b = -1$ — de tafel van Voorbeeld 5.15.

Controles voor $S_4$ (rijen): $\langle\chi_{\mathrm{std}}, \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0 - 6) = 0$ en $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12 + 8 + 0) = 1$ . Kolommen: $e$ tegen $(1\,2)$ : $1 - 1 + 0 + 3 - 3 = 0$ ; en $(1\,2)$ tegen zichzelf: $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 = \abs{Z_{S_4}((1\,2))} = 24/6$ .

Permutatiekarakter op $4$ punten: $(4, 2, 0, 1, 0) = \mathbf 1 + \chi_{\mathrm{std}}$ (de aantallen vaste punten; trek de bovenste rij af). Voor $\chi_{\mathrm{std}}^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$ :

\langle\mathbf1,\cdot\rangle = \tfrac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} = 1,\quad \langle\varepsilon,\cdot\rangle = 0,\quad \langle\chi_2,\cdot\rangle = \tfrac{18 + 6}{24} = 1,\quad \langle\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1,\quad \langle\varepsilon\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1:

dus $\chi_{\mathrm{std}}^2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_{\mathrm{std}} + \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}$ (dimensies: $9 = 1 + 2 + 3 + 3$ ).

Oefening 5.4 ★★

Bereken de karaktertafels van $D_4$ en van $Q_8$ . Besluit dat twee niet-isomorfe groepen dezelfde karaktertafel kunnen hebben — welke groepentheoretische gegevens legt de tafel bij dit paar toch vast (de orde van het centrum, de abelianisering, het aantal involuties)? En welke daarvan legt ze juist niet vast?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

Beide groepen hebben vijf klassen en het gradenpatroon $(1,1,1,1,2)$ (vier karakters van graad $1$ uit de abelianisering $\cong (\Z/2\Z)^2$ , en dan $\sum n_i^2 = 8$ ). Ordenen we de klassen als $e$ , $z$ (de centrale involutie: $r^2$ respectievelijk $-1$ ) en de drie klassen met twee elementen:

\begin{array}{c|ccccc} & e & z & C_1 & C_2 & C_3\\ \hline \chi^{(1)} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi^{(2)} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \chi^{(3)} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi^{(4)} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ \chi^{(5)} & 2 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{array}

(de laatste rij uit de kolomorthogonaliteit). Identieke tafels voor $D_4$ en $Q_8$ , die niet isomorf zijn (Probleem 1.1). De tafel legt wel vast: $\abs G$ , de klassegroottes, het centrum ( $\{g : \abs{\chi_i(g)} = n_i\ \forall i\}$ : orde $2$ in beide), de abelianisering en het hele tralie van normaaldelers (kernen en doorsneden, Oefening 5.6). Ze legt de ordes van de elementen niet vast: $D_4$ heeft vijf involuties en $Q_8$ maar één — het isomorfietype is dus werkelijk fijner dan de karaktertafel.

Oefening 5.5 ★★

Karaktertafel van $A_4$ : klassen $e$ [1], de dubbele transposities [3], en twee klassen van $3$ -cykels [4] en [4]. (a) Verklaar de splitsing van de $3$ -cykels (vergelijk de centralisatoren in $S_4$ en in $A_4$ , als in Oefening 1.11). (b) Bepaal de drie karakters van graad $1$ (via $A_4/V \cong \Z/3\Z$ ) en het karakter van graad $3$ (beperk $\chi_{\mathrm{std}}$ van $S_4$ ), en stel de tafel samen. (c) Lees de normaaldelers van $A_4$ uit de tafel af (de kernen $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ en hun doorsneden).

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

(a) In $S_4$ heeft de centralisator van $(1\,2\,3)$ orde $24/8 = 3$ : het is $\langle(1\,2\,3)\rangle \subseteq A_4$ . Dus heeft $Z_{A_4}((1\,2\,3))$ orde $3$ en telt de $A_4$ -klasse $12/3 = 4$ elementen: de acht $3$ -cykels vallen uiteen in twee $A_4$ -klassen (met representanten $(1\,2\,3)$ en haar inverse).

(b) $A_4/V \cong \Z/3\Z$ geeft drie karakters van graad $1$ (met $\omega = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; de klassen van $3$ -cykels gaan naar $\bar1$ en $\bar2$ ); de beperking van $\chi_{\mathrm{std}}$ blijft irreducibel ( $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{12}(9 + 3 \cdot 1 + 0 + 0) = 1$ ):

\begin{array}{c|cccc} A_4 & e\,[1] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[4] & (1\,3\,2)\,[4]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_\omega & 1 & 1 & \omega & \omega^2\\ \chi_{\bar\omega} & 1 & 1 & \omega^2 & \omega\\ \chi_3 & 3 & -1 & 0 & 0 \end{array}

(c) Kernen: $\ker\chi_\omega = \ker\chi_{\bar\omega} = V$ en $\ker\chi_3 = \{e\}$ (geen enkele andere ingang heeft modulus $3$ ). De normaaldelers zijn de doorsneden van de kernen (Oefening 5.6): $\{e\}$ , $V$ en $A_4$ — in het bijzonder heeft $A_4$ geen normaaldeler van orde $2$ of van index $2$ .

Oefening 5.6 ★★

(a) Toon aan dat $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ de kern is van de onderliggende representatie (Propositie 5.6, het gelijkheidsgeval). (b) Toon aan dat elke normaaldeler van $G$ een doorsnede is van kernen van irreducibele karakters. (Representeer $G/N$ trouw: haar reguliere representatie.) (c) Leid af: $G$ is enkelvoudig dan en slechts dan als $\ker\chi_i = \{e\}$ voor elk niet-triviaal irreducibel $\chi_i$ — de enkelvoudigheid is uit de karaktertafel af te lezen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

(a) Is $\chi(g) = \chi(e) = n$ , dan dwingt de gelijkheid in $\abs{\chi(g)} \leq n$ af dat $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ (Propositie 5.6) met $n\lambda = n$ : dus $\rho(g) = \mathrm{id}$ . De omkering is duidelijk.

(b) Zij $N \trianglelefteq G$ . De reguliere representatie van $G/N$ is trouw; ontbind haar in irreducibele representaties van $G/N$ en til die op naar $G$ (Propositie 5.13(b)): dat geeft irreducibele karakters $\chi_{i_1}, \dots$ van $G$ waarvan de kernen $N$ bevatten en waarvan de gemeenschappelijke kern precies het origineel van $\{e\}$ is, dat wil zeggen $N$ (trouwheid op het quotiënt). Dus $N = \bigcap_j \ker\chi_{i_j}$ .

(c) Is $G$ enkelvoudig, dan is voor een niet-triviaal irreducibel $\chi$ de normaaldeler $\ker\chi$ niet gelijk aan $G$ (een irreducibele representatie die op heel $G$ triviaal is, is het triviale karakter), dus $\ker\chi = \{e\}$ . Stel omgekeerd dat alle niet-triviale kernen triviaal zijn, en zij $N \trianglelefteq G$ met $N \neq G$ . In de uitdrukking van $N$ als doorsnede van kernen uit (b) is een van de betrokken karakters niet-triviaal (waren ze alle triviaal, dan was de doorsnede $G$ ), en de kern daarvan is $\{e\}$ : dus $N = \{e\}$ . De enige normaaldelers zijn dus $\{e\}$ en $G$ .

Oefening 5.7 ★★

Graden bij $\abs G = 8$ : toon aan dat een niet-abelse groep van orde $8$ het gradenpatroon $(1,1,1,1,2)$ heeft en dat haar representatie van graad $2$ trouw is. Toon algemener aan dat een niet-abelse groep van orde $p^3$ het patroon $(1^{\,p^2}, p, \dots, p)$ heeft, met $p^2$ enen en $p - 1$ karakters van graad $p$ . (Gebruik $[G : D(G)]$ en $\sum n_i^2 = \abs G$ ; hier heeft $D(G) = Z(G)$ orde $p$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

Orde $8$ , niet-abels: het aantal karakters van graad $1$ is $[G : D(G)]$ , een echte deler van $8$ (niet-abels: $D(G) \neq \{e\}$ ), en $\sum n_i^2 = 8$ . Met $k$ enen en de overige graden $\geq 2$ moet $8 - k$ een som van kwadraten $\geq 4$ zijn, met $k \mid 8$ en $k < 8$ . Voor $k = 4$ : één graad $2$ — consistent. Voor $k = 2$ : er blijft $6$ over, geen som van kwadraten $\geq 4$ . Voor $k = 1$ : onmogelijk, want $k = [G : D(G)] \geq 2$ — $G/D(G)$ is een niet-triviale abelse $2$ -groep, aangezien $G$ een $2$ -groep is met $D(G) \neq G$ wegens de oplosbaarheid van $p$ -groepen (Voorbeeld 1.30). Het patroon is dus $(1,1,1,1,2)$ . Trouwheid van $\chi_5$ : de vier karakters van graad $1$ bevatten alle $D(G)$ in hun kern; lag er een minimale niet-triviale normaaldeler $N \subseteq \ker\chi_5$ , dan lag $N$ in alle vijf kernen, waarvan de doorsnede triviaal is (de reguliere representatie is trouw): tegenspraak. Orde $p^3$ , niet-abels: $Z(G)$ heeft orde $p$ (bij orde $p^2$ zou $G/Z$ cyclisch en $G$ abels zijn), $G/Z(G)$ van orde $p^2$ is abels, dus $D(G) \subseteq Z(G)$ , en $D(G) \ne \{e\}$ : dus $D(G) = Z(G)$ , wat $p^2$ karakters van graad $1$ geeft. De overige graden voldoen aan $\sum n_i^2 = p^3 - p^2$ met elke $n_i > 1$ die $\abs G$ deelt (Probleem 5.1, vraag 8), dus $n_i = p$ ( $n_i = p^2$ zou te groot zijn: $p^4 > p^3 - p^2$ ): precies $p - 1$ karakters van graad $p$ .

Oefening 5.8 ★★★

Toon voor eindige groepen $G, H$ aan dat de klassefuncties $\chi(g)\psi(h)$ op $G \times H$ , met $\chi, \psi$ irreducibele karakters van $G$ respectievelijk $H$ , precies de irreducibele karakters van $G \times H$ zijn. (De orthonormaliteit is een rechtstreekse berekening; de volledigheid volgt uit het tellen van de klassen.) Leid de karaktertafel van $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ af en bewijs Propositie 5.13(a) opnieuw voor eindige abelse groepen via de structuurstelling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

Definieer voor representaties $\rho, \sigma$ van $G$ en $H$ op $V$ en $W$ de representatie $\rho \boxtimes \sigma$ van $G \times H$ op $V \otimes W$ — concreet, op matrices: $(\rho\boxtimes \sigma)(g,h)$ is het kroneckerproduct $\rho(g)\otimes \sigma(h)$ , met spoor $\operatorname{tr}\rho(g)\operatorname{tr}\sigma(h) = \chi(g)\psi(h)$ (het kroneckerproduct $A \otimes B$ heeft spoor $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ : de diagonaal bestaat uit de $a_{kk}b_{ll}$ ). Dus is $\chi\psi$ een karakter, en

\langle\chi\psi, \chi'\psi'\rangle_{G\times H} = \frac{1}{\abs G\abs H}\sum_{g,h} \overline{\chi(g)\psi(h)}\,\chi'(g)\psi'(h) = \langle\chi,\chi'\rangle_G\,\langle\psi,\psi'\rangle_H = \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.

In het bijzonder is $\langle\chi\psi,\chi\psi\rangle = 1$ : elke $\chi\psi$ is irreducibel (Gevolg 5.9). Dat zijn $r_Gr_H$ verschillende irreducibele karakters; en de klassen van $G\times H$ zijn de producten van klassen ( $(g,h) \sim (g',h')$ per component), dus zijn er $r_Gr_H$ : de lijst is volledig (Stelling 5.11). Voor $(\Z/2\Z)^2$ : de vier tekenkarakters $(\pm1)\otimes(\pm1)$ — het linksboven gelegen blok van de tafel uit Oefening 5.4. Een eindige abelse groep is een product van cyclische groepen (Gevolg 3.13); haar irreducibele karakters zijn de producten van de cyclische karakters (Oefening 5.1): alle van graad $1$ .

Oefening 5.9 ★★★

De karaktertafel van $A_5$ (klassen van grootte $1, 15, 20, 12, 12$ uit Oefening 1.11): (a) Toon aan dat de graden $1, 3, 3, 4, 5$ zijn (de enige oplossing van $\sum n_i^2 = 60$ met $n_1 = 1$ en, wegens Oefening 5.6(c) samen met de enkelvoudigheid, geen andere $n_i = 1$ ). (b) Construeer het karakter van graad $4$ (de permutatiewerking op $5$ punten) en dat van graad $5$ (de werking op de zes Sylow- $5$ -deelgroepen geeft graad $6 = 1 + 5$ ; controleer de irreducibiliteit), en maak de twee rijen van graad $3$ af met kolomorthogonaliteit: op de klassen van $5$ -cykels verschijnen de waarden $\frac{1\pm\sqrt5}2$ van de gulden snede. (c) Ga aan de afgemaakte tafel na dat $A_5$ enkelvoudig is (Oefening 5.6(c)).

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

(a) $D(A_5) = A_5$ (enkelvoudig en niet-abels), dus is het enige karakter van graad $1$ het triviale (Propositie 5.13). We hebben $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ nodig met elke $n_i \geq 2$ ; met de beschikbare kwadraten $4, 9, 16, 25, 36, 49$ is de enige multiverzameling die werkt $\{9, 9, 16, 25\}$ : met grootste kwadraat $49$ blijft $10$ over, geen som van drie kwadraten $\geq 4$ ; met $36$ blijft $23$ over, ook niet ( $16 + 4 + 4 = 24$ , $9 + 9 + 4 = 22$ ); met grootste $25$ gaat $25 + 16 + 9 + 9 = 59$ wél op en falen de varianten $25 + 25$ , $25 + 16 + 16$ en $25 + 16 + 4$ ; en met grootste $16$ : $16\cdot3 = 48 < 59 - 4$ . Graden: $1, 3, 3, 4, 5$ .

(b) Permutatie op $5$ punten: vaste punten $(5, 1, 2, 0, 0)$ , dus $\chi_4 = (4, 0, 1, -1, -1)$ met $\langle\chi_4,\chi_4\rangle = \frac{16 + 0 + 20 + 12 + 12}{60} = 1$ : irreducibel. Werking op de zes Sylow- $5$ -deelgroepen: een involutie houdt er precies $2$ vast (de normalisatoren zijn diëdraal van orde $10$ en bevatten elk $5$ involuties: $30$ incidenties voor $15$ involuties), een element van orde $3$ houdt er $0$ vast (in $D_5$ zit geen orde $3$ ) en een element van orde $5$ precies $1$ (het ligt in een unieke Sylow-deelgroep): permutatiekarakter $(6, 2, 0, 1, 1)$ , en $\chi_5 = (5, 1, -1, 0, 0)$ met norm $\frac{25 + 15 + 20 + 0 + 0}{60} = 1$ : irreducibel. Er blijven twee rijen $(3, a, b, c, d)$ en $(3, a', b', c', d')$ over. Kolomnormen (Gevolg 5.12): op de klasse van $(1\,2)(3\,4)$ is $\abs{Z} = 4$ , dus $1 + 0 + 1 + a^2 + a'^2 = 4$ ; en die kolom tegen $e$ : $1\cdot1 + 4\cdot 0 + 5\cdot1 + 3(a + a') = 0$ , dus $a + a' = -2$ en $a^2 + a'^2 = 2$ : $a = a' = -1$ . Op de $3$ -cykels is $\abs Z = 3$ : $1 + 1 + 1 + b^2 + b'^2 = 3$ , dus $b = b' = 0$ . Op elke $5$ -klasse is $\abs Z = 5$ : de kolom tegen $e$ luidt $1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 5\cdot 0 + 3(c + c') = 0$ , dus $c + c' = 1$ ; en $c^2 + c'^2 = 3$ : $\{c, c'\} = \bigl\{\frac{1+\sqrt5}2, \frac{1-\sqrt5}2\bigr\}$ — de gulden snede en haar toegevoegde; de tweede $5$ -klasse draagt de verwisselde waarden (de twee rijen moeten orthogonaal zijn).

(c) In de afgemaakte tafel is buiten de eerste kolom geen enkele ingang van een niet-triviale rij gelijk aan haar graad: elke kern $\{g : \chi_i(g) = n_i\}$ is triviaal. Volgens Oefening 5.6(c) is $A_5$ dus enkelvoudig.

Oefening 5.10 ★★

Zij $\rho$ een irreducibele representatie van graad $n$ en $z \in Z(G)$ . Toon aan dat $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ met $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ een morfisme (het centrale karakter), en leid af dat $\abs{\chi(z)} = n$ voor centrale $z$ . Toepassing: heeft $G$ een trouwe irreducibele representatie, dan is $Z(G)$ cyclisch.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

$\rho(z)$ commuteert met elke $\rho(g)$ ( $z$ is centraal), dat wil zeggen $\rho(z) \in \operatorname{End}_G(V) = \C\,\mathrm{id}$ (Schur): dus $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ , en $z \mapsto \lambda_z$ is multiplicatief, dus een morfisme $Z(G) \to \C^\times$ . Dan is $\chi(z) = n\lambda_z$ met $\abs{\lambda_z} = 1$ (een eenheidswortel): $\abs{\chi(z)} = n$ . Is $\rho$ trouw, dan is $\lambda$ injectief op $Z(G)$ ( $\rho(z) = \mathrm{id} \iff \lambda_z = 1$ ), zodat $Z(G)$ zich in $\C^\times$ inbedt; en een eindige deelgroep van de multiplicatieve groep van een lichaam is cyclisch (Stelling 4.12).

Oefening 5.11 ★★

(Isotypische projecties) Zij $(V, \rho)$ een representatie van $G$ en $\chi_i$ een irreducibel karakter van graad $n_i$ . Definieer

p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G} \overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).

(a) Toon aan dat $p_i$ $G$ -equivariant is, en bereken haar beperking tot een irreducibele deelrepresentatie $W \subseteq V$ met karakter $\chi_j$ : die is $\delta_{ij}\, \mathrm{id}_W$ (Schur; neem sporen om de scalair te bepalen). (b) Leid af dat $p_i$ een projectie is op de som $V_i$ van alle irreducibele deelrepresentaties met karakter $\chi_i$ (de isotypische component), dat $\sum_ip_i = \mathrm{id}_V$ , en dat de ontbinding $V = \bigoplus_iV_i$ kanoniek is — anders dan de fijnere splitsing van elke $V_i$ in irreducibele. (c) Schrijf voor de reguliere representatie van $S_3$ en het tekenkarakter $\varepsilon$ de projectie $p_\varepsilon$ expliciet op als element van de groepsalgebra, en controleer met de hand dat $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.11.

(a) Equivariantie: $\rho(h)p_i\rho(h)^{-1}$ herindexeert de som ( $g \mapsto hgh^{-1}$ , en $\chi_i$ is een klassefunctie): $p_i$ commuteert met de werking. Op een irreducibele $W$ met karakter $\chi_j$ maakt Schur van de beperking een scalair $\lambda\,\mathrm{id}_W$ ; sporen nemen geeft

\lambda\,n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g \overline{\chi_i(g)}\,\chi_j(g) = n_i\,\langle\chi_i, \chi_j\rangle = n_i\,\delta_{ij}

(de eerste orthogonaliteit): dus $\lambda = \delta_{ij}$ .

(b) Ontbind $V$ in irreducibele (Maschke): $p_i$ werkt als de identiteit op de summanden met karakter $\chi_i$ en als $0$ op alle andere, dus is $p_i$ de projectie op hun som $V_i$ langs de som van de rest; het beeld $V_i$ hangt niet van de gekozen ontbinding af (het is de verzameling vectoren die door $p_i$ worden vastgehouden, zonder keuzen gedefinieerd). $\sum_ip_i$ werkt als de identiteit op elke irreducibele summand: het is $\mathrm{id}_V$ . De fijnere splitsing van $V_i \cong W_i^{\oplus m_i}$ vergt de keuze van een basis van $\operatorname{Hom}_G(W_i, V)$ : kanoniek is ze niet.

(c) Voor $\varepsilon$ (graad $1$ ) is $p_\varepsilon = \frac1{6}\sum_{g}\varepsilon(g)\,\rho(g)$ , dat wil zeggen in de groepsalgebra

p_\varepsilon = \tfrac16\bigl(e - (1\,2) - (1\,3) - (2\,3) + (1\,2\,3) + (1\,3\,2)\bigr) .

Kwadrateren: de coëfficiënt van $g$ in $p_\varepsilon^2$ is $\frac1{36}\sum_{h}\varepsilon(h)\varepsilon(h^{-1}g) = \frac1{36}\,\varepsilon(g)\sum_h\varepsilon(h)^2 = \frac{6}{36}\varepsilon(g)$ : dus $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ . (Haar beeld in de reguliere representatie is de rechte opgespannen door $\sum_g\varepsilon(g)e_g$ : de tekenrepresentatie komt met multipliciteit $1$ voor, zoals de algemene theorie eist.)

Oefening 5.12 ★★

(Een tafel lezen) Van een zekere groep $G$ van orde $24$ is de karaktertafel gedeeltelijk bekend: ze heeft $5$ klassen, van grootte $1, 6, 8, 6, 3$ , en graden $1, 1, 2, 3, 3$ . (a) Reconstrueer de volledige tafel: eerst de twee lineaire karakters (één triviaal; het andere neemt de waarde $-1$ precies op de klassen van grootte $6$ en $6$ ), dan het karakter van graad $2$ met kolomorthogonaliteit tegen de kolom van de identiteit, en daarna evenzo de twee karakters van graad $3$ (waarvan er één $\chi_2\chi_4$ is). (b) Herken $G$ ( $\cong S_4$ : vergelijk de klassen met de cykeltypen), en haal met Oefening 5.6 de normaaldelers uit de tafel: de kernen van $\chi_2$ (index $2$ : $A_4$ ) en van $\chi_3$ (de viergroep $V_4$ ), en verder niets behalve $\{e\}$ en $G$ . (c) Leg uit hoe de tafel laat zien dat $G/V_4 \cong S_3$ (welke karakters factoriseren over het quotiënt?).

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.12.

(a) Orden de klassen als $e$ [1], de transposities [6], de $3$ -cykels [8], de $4$ -cykels [6] en de dubbele transposities [3]. Het tweede lineaire karakter is $\chi_2 = \varepsilon$ met waarden $1, -1, 1, -1, 1$ . Voor het karakter $\chi_3$ van graad $2$ geeft de kolomorthogonaliteit van elke kolom met die van de identiteit ( $\sum_in_i\chi_i(g) = 0$ voor $g \neq e$ ) op de transposities: $1 - 1 + 2\chi_3 + 3(\chi_4 + \chi_5) = 0$ ; en de tekentruc $\chi_5 = \varepsilon\chi_4$ (een karakter van graad $3$ maal een lineair karakter is opnieuw irreducibel — dezelfde norm) laat $\chi_4 + \chi_5$ op de oneven klassen verdwijnen: dus $\chi_3 = 0$ daar. Op de $3$ -cykels: $1 + 1 + 2\chi_3(c_3) + 3(\chi_4 + \chi_5)(c_3) = 0$ met $\chi_5 = \chi_4$ op de even klassen; de kolom van $c_3$ met zichzelf levert gegevens over $\abs{\chi_3}^2$ ; en het kleine stelsel oplossen (gebruik ook de rijorthogonaliteit van $\chi_3$ met $\mathbf 1$ en $\varepsilon$ ) geeft $\chi_3 = (2, 0, -1, 0, 2)$ , en daarna $\chi_4 = (3, 1, 0, -1, -1)$ en $\chi_5 = \varepsilon\chi_4 = (3, -1, 0, 1, -1)$ . De volledige tafel:

	$e$	$6\,t$	$8\,c_3$	$6\,c_4$	$3\,v$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$
$\chi_3$	$2$	$0$	$-1$	$0$	$2$
$\chi_4$	$3$	$1$	$0$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$3$	$-1$	$0$	$1$	$-1$

(Alle rijen hebben norm $1$ en alle kolommen zijn orthogonaal: de controles slagen.)

(b) De klassegegevens $1, 6, 8, 6, 3$ met deze graden zijn die van $S_4$ (cykeltypen $e$ , $2$ , $3$ , $4$ , $2{+}2$ ). Kernen: $\ker\chi_2 = \{g : \varepsilon(g) = 1\} = A_4$ (de klassen $e, c_3, v$ : $1 + 8 + 3 = 12$ , index $2$ ); $\ker\chi_3 = \{g : \chi_3(g) = 2\}$ zijn de klassen $e$ en $v$ : de viergroep van Klein $V_4$ , van orde $4$ , normaal. En $\chi_4, \chi_5$ zijn trouw ( $\chi_i(g) = n_i$ alleen in $e$ ). De doorsneden van kernen: $\{e\}$ , $V_4$ , $A_4$ , $G$ — volgens Oefening 5.6(b) zijn dat alle normaaldelers van $S_4$ .

(c) De karakters met $V_4 \subseteq \ker$ zijn $\chi_1, \chi_2, \chi_3$ : ze factoriseren over $G/V_4$ , een groep van orde $6$ met irreducibele graden $1, 1, 2$ — de tafel van $S_3$ . Omdat de tafel van het quotiënt onder de twee groepen van orde $6$ een volledige invariant is ( $\Z/6\Z$ zou zes lineaire karakters hebben), is $G/V_4 \cong S_3$ : het quotiënt is in de tafel zichtbaar als het blok rijen dat $V_4$ in zijn kern bevat.

5.5 Probleem: de $p^aq^b$ -stelling van Burnside

Probleem 5.1

Weekendopgave — oplosbaarheid van groepen van orde $p^aq^b$

Burnside bewees in 1904 dat elke groep waarvan de orde hoogstens twee priemfactoren heeft, oplosbaar is — een uitspraak over abstracte groepen waarvan alle bekende bewijzen een halve eeuw lang via de karaktertheorie liepen. Dit probleem bouwt het bewijs volledig op en brengt daarbij Hoofdstuk 1 (oplosbaarheid), Hoofdstuk 3 (eindig voortgebrachte $\Z$ -modulen) en dit hoofdstuk samen. Overal zijn $\chi_1, \dots, \chi_r$ de irreducibele karakters van $G$ en $n_i = \chi_i(e)$ .

Deel I — Gehele algebraïsche getallen. Een geheel algebraïsch getal is een wortel van een monische veelterm van $\Z[X]$ .

Toon aan dat $\alpha$ een geheel algebraïsch getal is dan en slechts dan als de ring $\Z[\alpha]$ een eindig voortgebracht $\Z$ -moduul is.
Leid af dat de gehele algebraïsche getallen een deelring van $\C$ vormen. (Zijn $\Z[\alpha]$ en $\Z[\beta]$ eindig voortgebracht, dan ook $\Z[\alpha, \beta]$ , en deelmodulen van eindig voortgebrachte $\Z$ -modulen zijn eindig voortgebracht, volgens Stelling 3.5 plus een presentatieargument — of rechtstreeks: een deelmoduul van $\Z^n$ is vrij van rang $\leq n$ .)
Toon aan dat een rationaal geheel algebraïsch getal een geheel getal is. (De rationalewortelstelling.)
Toon aan dat elke karakterwaarde $\chi(g)$ een geheel algebraïsch getal is.

Deel II — De klassesomrelaties. Leg een irreducibele $(V, \rho)$ van graad $n$ met karakter $\chi$ vast. Stel voor een conjugatieklasse $C$ : $S_C = \sum_{g \in C}\rho(g) \in \mathcal L(V)$ .

Toon aan dat $S_C$ equivariant is, zodat $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ met

$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} \qquad (g_C \in C \text{ een willekeurige representant}).$
Toon aan dat $S_CS_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,S_{C''}$ , waarbij $a_{CC'C''} \in \N$ voor een vaste $z \in C''$ de paren $(x, y) \in C \times C'$ met $xy = z$ telt. Leid af dat de $\omega_C$ voldoen aan $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .
Besluit dat elke $\omega_C$ een geheel algebraïsch getal is. (Het $\Z$ -moduul voortgebracht door $1$ en de $\omega_C$ is een eindig voortgebrachte ring; pas het criterium van vraag 1 toe — preciezer: toon aan dat $M = \Z\text{-opspansel}(1, (\omega_C)_C)$ voldoet aan $\omega_{C_0} M \subseteq M$ en gebruik een truc met determinanten of Cayley–Hamilton, of het deelringargument van vraag 2.)
Leid de deelbaarheid van Frobenius af: $n_i$ deelt $\abs G$ voor elke irreducibele graad. (Bereken $\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n} \langle\chi,\chi\rangle = \sum_C \omega_C\, \overline{\chi(g_C)}$ : een geheel algebraïsch getal dat rationaal is.)

Deel III — Het enkelvoudigheidscriterium van Burnside.

Zij $\chi$ irreducibel van graad $n$ en $C$ een klasse met $\gcd(\abs C, n) = 1$ . Toon met Bézout en de vragen 4–7 aan dat $\frac{\chi(g_C)}{n}$ een geheel algebraïsch getal is.
Stel bovendien $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ . Toon aan dat dit onmogelijk is: het gehele algebraïsche getal $\alpha = \chi(g_C)/n$ heeft al haar toegevoegden — de getallen $\alpha_\sigma = \frac1n\sigma(\chi(g_C))$ voor $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_{\abs G})/\Q)$ , elk een gemiddelde van $n$ eenheidswortels — van modulus $\leq 1$ , zodat het product $N = \prod_\sigma\alpha_\sigma$ een rationaal geheel algebraïsch getal is met $0 < \abs N < 1$ — verantwoord elke bewering, met beroep op Stelling 4.23 voor de Galoisgroep en op het feit dat $\sigma$ eenheidswortels permuteert. Besluit: ofwel $\chi(g_C) = 0$ , ofwel is $\rho(g_C)$ scalair (Propositie 5.6).
(Het criterium van Burnside) Zij $C \neq \{e\}$ een conjugatieklasse van priemmachtgrootte $p^k > 1$ , en stel dat $G$ enkelvoudig en niet-abels is. Kolomorthogonaliteit van de kolom van $C$ tegen die van $e$ geeft $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . Toon aan dat een zeker niet-triviaal $\chi_i$ met $p \nmid n_i$ voldoet aan $\chi_i(g_C) \neq 0$ (anders zou $\frac1p$ een geheel algebraïsch getal zijn); volgens vraag 10 is $\rho_i(g_C)$ dan scalair; leid daaruit een tegenspraak met de enkelvoudigheid af (de verzameling $g$ waarvoor $\rho_i(g)$ scalair is, is een normaaldeler; gebruik de trouwheid uit Oefening 5.6). Besluit: geen enkele enkelvoudige niet-abelse groep heeft een conjugatieklasse van priemmachtgrootte $> 1$ .

Deel IV — De stelling.

Zij $\abs G = p^aq^b$ met $a + b \geq 1$ . Toon aan dat $G$ , als ze enkelvoudig is, abels is: kies $z \neq e$ in het centrum van een Sylow- $q$ -deelgroep (Stelling 1.12) en beschouw de grootte van haar conjugatieklasse $[G : Z_G(z)]$ , een macht van $p$ (waarom?); pas vraag 11 toe.
Besluit met inductie naar $\abs G$ : elke groep van orde $p^aq^b$ is oplosbaar (Burnside). Waarom breekt het argument bij drie priemgetallen — en waarom moet het wel breken, gezien $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot5$ ?

Deel V — De karaktertafel van $A_5$ . De kleinste groep die de stelling van Burnside niet kan raken, verdient haar volledige portret; alles hieronder gebruikt alleen dit hoofdstuk plus Oefening 1.11.

Herinner uit Oefening 1.11 de vijf conjugatieklassen van $A_5$ : $\{e\}$ , de $15$ dubbele transposities, de $20$ drietallige cykels, en twee klassen van elk $12$ vijftallige cykels, met representanten $c = (1\,2\,3\,4\,5)$ en $c^2$ . Verklaar waarom de $5$ -cykels in twee $A_5$ -klassen uiteenvallen hoewel ze één enkele $S_5$ -klasse vormen.
Toon aan dat de irreducibele graden van $A_5$ precies $1, 3, 3, 4, 5$ zijn: gebruik $\sum_in_i^2 = 60$ met $r = 5$ klassen, en het feit dat $A_5$ perfect is ( $D(A_5) = A_5$ ), zodat het triviale karakter haar enige lineaire is; elimineer vervolgens elke andere multiverzameling (schrijf $59$ als som van vier kwadraten van gehele getallen $\geq 2$ : ga na dat dat maar op één manier lukt met allemaal plausibele graden).
Zij $\pi$ het permutatiekarakter van $A_5$ op $\{1, \dots, 5\}$ : $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ , met waarden $5, 1, 2, 0, 0$ op de vijf klassen. Bereken $\langle\pi, \mathbf 1\rangle$ en $\langle\pi, \pi\rangle$ , en leid af dat $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ irreducibel is van graad $4$ , met waarden $4, 0, 1, -1, -1$ .
Hetzelfde spel op de $10$ ongeordende paren $\{i, j\}$ : daar zijn de aantallen vaste punten $10, 2, 1, 0, 0$ . Bereken $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ , $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle$ en $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle$ , leid de ontbinding $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi_5$ af, en verkrijg het irreducibele $\chi_5$ van graad $5$ met waarden $5, 1, -1, 0, 0$ .
De twee resterende irreducibele karakters $\chi_2$ en $\chi_3$ hebben graad $3$ . Kolomorthogonaliteit (elke kolom $\neq e$ tegen de kolom van de identiteit, en elke kolom met zichzelf) legt hun waarden buiten de $5$ -cykels vast: toon aan dat $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ op de dubbele transposities en $0$ op de drietallige cykels.
Stel op de klassen van $5$ -cykels $x = \chi_2(c)$ en $y = \chi_2(c^2)$ ; wegens de symmetrie mag men $\chi_3(c) = y$ en $\chi_3(c^2) = x$ nemen. Leid uit de kolom van $c$ gepaard met de kolom van de identiteit en met die van $c^2$ af dat $x + y = 1$ en $xy = -1$ (en controleer de waarde $x^2 + y^2 = 3$ die de kolom van $c$ met zichzelf geeft), waaruit

$\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 - \sqrt5}2\Bigr\} :$

de gulden snede en haar toegevoegde. Stel de volledige karaktertafel van $A_5$ samen.
Voer de controles uit: de rijnorm van $\chi_2$ is $1$ (gebruik $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = 3$ ), $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = 0$ , en de deelbaarheid van Frobenius (vraag 8) voor alle vijf graden. Waar in de tafel zie je een verschil met $S_5$ , waarvan alle karakterwaarden gehele rationale getallen zijn?
Leid uit de tafel alleen af dat $A_5$ enkelvoudig is: een normaaldeler is een vereniging van conjugatieklassen die $e$ bevat en waarvan de kardinaliteit $60$ deelt — controleer dat geen enkele echte deelsom van $1 + 15 + 20 + 12 + 12$ die de term $1$ bevat, het getal $60$ deelt. Controleer dit tegen het criterium van vraag 11: ga na dat geen enkele klasse van $A_5$ priemmachtgrootte $> 1$ heeft.
(Icosaëdrisch slotstuk) $A_5$ is de rotatiegroep van de icosaëder, en de representaties van graad $3$ zijn de twee meetkundige werkingen op $\R^3$ . Ga de spooridentiteit na: een rotatie over een hoek $\theta$ heeft spoor $1 + 2\cos\theta$ , en $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . Verklaar zonder enige berekening waarom het andere karakter van graad $3$ de toegevoegde waarde moet dragen: de Galoisgroep van $\Q(\sqrt5)/\Q$ werkt op de hele karaktertafel (ingang voor ingang) en permuteert daarbij de irreducibele karakters.

Deel VI — Aanvullingen: een centrale grens en het tensorkwadraat.

(Scherper dan een deelbaarheid) Zij $\chi$ irreducibel van graad $n$ . Toon aan dat $\abs{\chi(z)} = n$ voor elke $z \in Z(G)$ (lemma van Schur: $\rho(z)$ is een scalair, van eindige orde), en leid uit $\langle\chi, \chi\rangle = 1$ de grens

$n^2 \leq [G : Z(G)]$

af. Toon aan dat de niet-abelse groepen van orde $8$ de irreducibele graden $1, 1, 1, 1, 2$ hebben (vijf conjugatieklassen; schrijf $8$ als som van vijf kwadraten) en dat ze de gelijkheid $4 = [G : Z(G)]$ bereiken; controleer de grens op $A_5$ , waarvan het centrum triviaal is.
(Tensorkwadraat van $\chi_2$ ) Voor $g$ van eindige orde is $\rho(g)$ diagonaliseerbaar met eenheidswortels als eigenwaarden; leid daaruit de karakterformules

$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}2, \qquad \chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2$

af. Pas ze toe op $\chi_2$ van $A_5$ (merk op dat $g^2$ de klasse van $c^2$ doorloopt wanneer $g$ die van $c$ doorloopt, en omgekeerd): toon aan dat $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ en $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ , zodat

$\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5 .$

Interpreteer $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ meetkundig via het uitwendige product op $\R^3$ .
(Slotcontrole van de tafel) Ga numeriek na: kolomorthogonaliteit tussen de twee kolommen van $5$ -cykels ( $\varphi\bar\varphi = -1$ ), de waarde $5 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ voor de kolom van $c$ tegen zichzelf, en het verdwijnen van het reguliere karakter $\sum_i n_i\chi_i(g) = 0$ op elk van de vier kolommen van de tafel die niet bij de identiteit horen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 5.1.

1. Is $\alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + c_0 = 0$ met $c_i \in \Z$ , dan ligt $\alpha^n$ in het $\Z$ -opspansel van $1, \dots, \alpha^{n-1}$ , en inductief geldt dat voor elke macht: $\Z[\alpha]$ wordt voortgebracht door $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ . Omgekeerd, zij $\Z[\alpha] = \Z g_1 + \dots + \Z g_m$ . Schrijf $\alpha g_i = \sum_j m_{ij}g_j$ met $M = (m_{ij}) \in M_m(\Z)$ : de vector $g = (g_i)$ voldoet aan $(\alpha I - M)g = 0$ ; vermenigvuldigen met de geadjugeerde matrix geeft $\det(\alpha I - M)\,g_i = 0$ voor elke $i$ , en omdat $1 \in \Z[\alpha]$ een $\Z$ -combinatie van de $g_i$ is, volgt $\det(\alpha I - M) = 0$ : $\alpha$ is een wortel van de monische $\det(XI - M) \in \Z[X]$ .

2. Wordt $\Z[\alpha]$ opgespannen door de machten van $\alpha$ tot en met $n-1$ en $\Z[\beta]$ door die van $\beta$ tot en met $m - 1$ , dan wordt $\Z[\alpha,\beta]$ opgespannen door de $nm$ producten $\alpha^i\beta^j$ (reduceer elk monoom). De deelringen $\Z[\alpha + \beta]$ en $\Z[\alpha\beta]$ zijn $\Z$ -deelmodulen van het eindig voortgebrachte $\Z$ -moduul $\Z[\alpha, \beta]$ en dus eindig voortgebracht ( $\Z[\alpha, \beta]$ , voortgebracht door $nm$ elementen, is een beeld van $\Z^{nm}$ ; een deelmoduul trekt terug tot een deelmoduul van $\Z^{nm}$ , vrij van rang $\leq nm$ volgens Stelling 3.5, en het beeld daarvan brengt voort). Volgens vraag 1 zijn $\alpha + \beta$ en $\alpha\beta$ gehele algebraïsche getallen.

3. Is $\frac pq$ (in laagste termen) een wortel van een monische gehele veelterm van graad $n$ , dan geeft de rationalewortelstelling (werk de noemers weg: $p^n = -q(\cdots)$ ) dat $q \mid p^n$ , dus $q = \pm1$ .

4. $\chi(g)$ is een som van eenheidswortels (Propositie 5.6), elk een geheel algebraïsch getal (wortel van $X^N - 1$ ); besluit met vraag 2.

5. Voor $h \in G$ is $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} = \sum_{g\in C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ (want $C$ is een klasse). Volgens Schur is $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ ; sporen nemen geeft $\abs C\,\chi(g_C) = \omega_C\, n$ .

6. $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) = \sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ met $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times C' : xy = z\}$ . Conjugatie met $h$ brengt de oplossingen voor $z$ bijectief naar die voor $hzh^{-1}$ : $a$ is dus een klassefunctie met waarden in $\N$ , zodat $S_CS_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$ . Overal $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ substitueren en de scalairen identificeren geeft $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .

7. Zij $M$ het $\Z$ -moduul opgespannen door $1$ en alle producten $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$ ; volgens vraag 6 reduceert elk zulk product tot een $\Z$ -combinatie van $1$ en de $\omega_C$ : dus is $M$ eindig voortgebracht, en $\omega_C M \subseteq M$ voor elke $C$ . In het bijzonder is $\Z[\omega_C] \subseteq M$ eindig voortgebracht (deelmoduul, als in vraag 2), en maakt vraag 1 van $\omega_C$ een geheel algebraïsch getal.

8. Voor een irreducibele $\chi$ van graad $n$ :

\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle = \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)} = \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)} = \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .

Elke $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ is een geheel algebraïsch getal (vraag 4), dus is het rechterlid er ook een (vragen 2 en 7); en het is rationaal, dus een geheel getal (vraag 3): $n \mid \abs G$ .

9. Bézout: $u\abs C + vn = 1$ met $u, v \in \Z$ . Dan is

\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} + v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),

een geheel algebraïsch getal.

10. Stel $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ en zij $\alpha = \chi(g_C)/n$ . Alle waarden $\chi(g)$ liggen in $\Q(\zeta_N)$ met $N = \abs G$ (sommen van $N$ -de eenheidswortels). Voor $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$ stuurt $\sigma$ eenheidswortels naar eenheidswortels ( $\sigma(\zeta^k) = \zeta^{ak}$ , Stelling 4.23), zodat $\sigma(\chi(g_C))$ opnieuw een som van $n$ eenheidswortels is: $\abs{\sigma(\alpha)} \leq 1$ ; en $\sigma(\alpha)$ is een geheel algebraïsch getal (het heeft dezelfde minimaalveelterm als $\alpha$ ). Het product $P = \prod_\sigma \sigma(\alpha)$ wordt door de hele Galoisgroep vastgehouden en is dus rationaal (Stelling 4.21(1)), en het is een geheel algebraïsch getal met

0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1

(geen enkele factor verdwijnt: $\sigma(\alpha) = 0$ zou $\alpha = 0$ afdwingen). Dat spreekt vraag 3 tegen. Bijgevolg is $\chi(g_C) = 0$ of $\abs{\chi(g_C)} = n$ , en in het laatste geval is $\rho(g_C)$ scalair (Propositie 5.6).

11. Kolomorthogonaliteit ( $C \neq \{e\}$ ): $\sum_i \chi_i(e)\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ , dat wil zeggen $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ . Verdween elk niet-triviaal $\chi_i$ met $p \nmid n_i$ in $g_C$ , dan gaf groeperen van de rest naar hun factor $p$ :

-\frac1p = \sum_{i \geq 2,\ p \mid n_i} \frac{n_i}{p}\,\overline{\chi_i(g_C)},

een geheel algebraïsch getal — in strijd met vraag 3. Er is dus een niet-triviaal $\chi_i$ met $p \nmid n_i$ en $\chi_i(g_C) \neq 0$ ; en omdat $\abs C = p^k$ is $\gcd(\abs C, n_i) = 1$ , zodat vraag 10 van $\rho_i(g_C)$ een scalair maakt. Nu is $G$ enkelvoudig en niet-abels: $\chi_i$ is trouw (Oefening 5.6(c)), en $Z_i = \{g : \rho_i(g) \text{ scalair}\}$ is een normaaldeler (het origineel onder $\rho_i$ van de scalairen, die een normale — zelfs centrale — deelgroep van het beeld vormen) die $g_C \neq e$ bevat: dus $Z_i = G$ . Dan is $\rho_i(G)$ abels en trouw, zodat $G$ abels is: tegenspraak. Geen enkele enkelvoudige niet-abelse groep heeft een conjugatieklasse van priemmachtgrootte $> 1$ .

12. Zij $G$ enkelvoudig van orde $p^aq^b$ . Is $b = 0$ ( $G$ een $p$ -groep), dan is $Z(G) \neq \{e\}$ (Stelling 1.12) normaal, dus $Z(G) = G$ : abels. Neem anders een Sylow- $q$ -deelgroep $Q$ en $z \in Z(Q) \setminus\{e\}$ (opnieuw Stelling 1.12). Dan is $Q \subseteq Z_G(z)$ , zodat de klasse van $z$ grootte $[G : Z_G(z)]$ heeft, een deler van $[G : Q] = p^a$ : een macht van $p$ . Is die grootte $1$ , dan is $z \in Z(G)$ : het centrum is een niet-triviale normaaldeler, dus $Z(G) = G$ , abels. Is ze $p^k > 1$ , dan verbiedt vraag 11 dat voor een enkelvoudige niet-abelse $G$ . Hoe dan ook is een enkelvoudige groep van orde $p^aq^b$ abels ( $\cong \Z/p\Z$ ).

13. Inductie naar $\abs G$ (voor $\abs G = 1$ : oplosbaar). Is $G$ enkelvoudig, dan maakt vraag 12 haar abels en dus oplosbaar. Kies anders een niet-triviale echte normaaldeler $N$ : $\abs N$ en $\abs{G/N}$ zijn opnieuw van de vorm $p^{a'}q^{b'}$ en kleiner, dus zijn $N$ en $G/N$ per inductie oplosbaar en is $G$ oplosbaar (Propositie 1.29). — Bij drie priemgetallen faalt de sleutelstap: de index van een Sylow-deelgroep is dan geen priemmacht meer, zodat de klasse van een centraal element van een Sylow-deelgroep geen priemmachtgrootte hoeft te hebben. En falen moet het wel: $A_5$ , van orde $2^2\cdot3\cdot5$ , is enkelvoudig en niet oplosbaar.

14. De klassen en groottes zijn die van Oefening 1.11(a). De $S_5$ -klasse van $c$ heeft grootte $24$ ; bleef ze één $A_5$ -klasse, dan zou de telling met baan en stabilisator $\abs{Z_{A_5}(c)} = 60/24$ geven, geen geheel getal — concreet heeft $Z_{S_5}(c) = \langle c\rangle$ orde $5$ en ligt die binnen $A_5$ , zodat de $A_5$ -klasse van $c$ grootte $60/5 = 12$ heeft: de $S_5$ -klasse valt in twee uiteen ( $c$ en $c^2$ zijn in $S_5$ alleen door een oneven permutatie geconjugeerd).

15. Eén lineair karakter: een representatie van graad $1$ factoriseert over $G/D(G)$ , en $D(A_5) = A_5$ ( $A_5$ is enkelvoudig en niet-abels, en $D(A_5)$ is normaal en niet-triviaal). Dus $n_1 = 1$ en $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ met elke $n_i \geq 2$ . Beschikbare kwadraten: $4, 9, 16, 25, 36, 49$ . Een som van vier ervan gelijk aan $59$ : het grootste moet $25$ zijn (met $36$ of $49$ lukt geen enkele combinatie: $36 + 16 + 4 + 4 = 60$ , $36 + 9 + 9 + 4 = 58$ , $36 + 16 + 9 + 4 = 65$ ), en $59 - 25 = 34 = 16 + 9 + 9$ (de enige manier: $16 + 16 + 4 = 36$ , $25 + 9 + 4 = 38$ , $25 + 4 + 4 = 33$ ): graden $1, 3, 3, 4, 5$ .

16. $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 + 15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (één baan — de telling van Burnside), en $\langle\pi, \pi\rangle = \frac1{60}(25 + 15 + 80 + 0 + 0) = 2$ : $\pi$ bevat het triviale karakter één keer, en haar andere bestanddeel is één enkel irreducibel karakter. Bijgevolg is $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ irreducibel van graad $4$ , met waarden $4, 0, 1, -1, -1$ .

17. Op de paren houdt een element $\{i,j\}$ vast precies wanneer het $i$ en $j$ vasthoudt of verwisselt: de aantallen zijn $10$ (voor $e$ ), $2$ ( $t = (1\,2)(3\,4)$ houdt $\{1,2\}$ en $\{3,4\}$ vast), $1$ ( $(1\,2\,3)$ houdt $\{4,5\}$ vast), $0$ en $0$ . Dan is $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle = \frac1{60}(100 + 15\cdot4 + 20\cdot1) = 3$ : drie irreducibele bestanddelen, elk één keer. En $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(10 + 30 + 20) = 1$ en $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle = \frac1{60}(40 + 0 + 20\cdot1\cdot1 + 0 + 0) = 1$ : dus $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi$ met $\chi$ irreducibel van graad $10 - 1 - 4 = 5$ en waarden $\chi_5 = \pi_{10} - \mathbf 1 - \chi_4 = (5, 1, -1, 0, 0)$ .

18. Schrijf $a, a'$ voor de waarden van $\chi_2, \chi_3$ in $t$ , en $b, b'$ voor die in $s = (1\,2\,3)$ ; alle vier zijn reëel ( $t$ en $s$ zijn met hun inversen geconjugeerd). Kolom $t$ tegen kolom $e$ : $1 + 3a + 3a' + 4\cdot0 + 5\cdot1 = 0$ , dus $a + a' = -2$ ; kolom $t$ met zichzelf: $1 + a^2 + a'^2 + 0 + 1 = \frac{60}{15} = 4$ , dus $a^2 + a'^2 = 2$ ; en dan geeft $(a + a')^2 = 4 = 2 + 2aa'$ dat $aa' = 1$ en $a = a' = -1$ . Kolom $s$ tegen $e$ : $1 + 3(b + b') + 4 - 5 = 0$ geeft $b + b' = 0$ ; en kolom $s$ met zichzelf: $1 + b^2 + b'^2 + 1 + 1 = \frac{60}{20} = 3$ geeft $b = b' = 0$ .

19. Kolom $c$ tegen kolom $e$ : $1 + 3(x + y) + 4(-1) + 5\cdot0 = 0$ , dus $x + y = 1$ . Kolom $c$ tegen kolom $c^2$ (verschillende klassen, dus orthogonaal): $1 + xy + yx + 1 + 0 = 0$ , dus $xy = -1$ . Bijgevolg lossen $x$ en $y$ de vergelijking $T^2 - T - 1 = 0$ op: $\{x, y\} = \{\varphi, \bar\varphi\}$ met $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ . Consistentie: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3 = \frac{60}{12} - 2$ — in overeenstemming met de identiteit voor de kolom met zichzelf, $1 + x^2 + y^2 + 1 + 0 = 5$ . De tafel:

	$e$	$15\,t$	$20\,s$	$12\,c$	$12\,c^2$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$3$	$-1$	$0$	$\varphi$	$\bar\varphi$
$\chi_3$	$3$	$-1$	$0$	$\bar\varphi$	$\varphi$
$\chi_4$	$4$	$0$	$1$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$5$	$1$	$-1$	$0$	$0$

20. $\norm{\chi_2}^2 = \frac1{60}\bigl(9 + 15\cdot1 + 0 + 12\varphi^2 + 12\bar\varphi^2\bigr) = \frac{9 + 15 + 36}{60} = 1$ , met $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = (\varphi + \bar\varphi)^2 - 2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$ . Net zo is $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = \frac1{60}(9 + 15 + 0 + 12(2\varphi\bar\varphi)) = \frac{9 + 15 - 24}{60} = 0$ . Deelbaarheid van Frobenius: $1, 3, 3, 4, 5$ delen alle $60$ . De irrationale waarden $\varphi$ en $\bar\varphi$ zijn het zichtbare verschil met $S_5$ : in $S_5$ is elk element geconjugeerd met alle voortbrengers van zijn cyclische groep met hetzelfde cykeltype — in het bijzonder $c \sim c^2$ — wat rationale (zelfs gehele) karakterwaarden afdwingt; in $A_5$ opent de splitsing van de $5$ -cykels de deur naar $\Q(\sqrt5)$ .

21. Een normaaldeler $N$ is een vereniging van klassen, bevat $e$ , en $\abs N \mid 60$ . De kandidaatsommen: $1{+}15 = 16$ , $1{+}20 = 21$ , $1{+}12 = 13$ , $1{+}24 = 25$ , $1{+}15{+}20 = 36$ , $1{+}15{+}12 = 28$ , $1{+}15{+}24 = 40$ , $1{+}20{+}12 = 33$ , $1{+}20{+}24 = 45$ , $1{+}12{+}12 = 25$ , $1{+}15{+}20{+}12 = 48$ , en zo alle echte deelsommen die $1$ bevatten: geen van $13, 16, 21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48$ deelt $60$ , en dus blijft alleen $N = \{e\}$ of $N = A_5$ over. Enkelvoudigheid, afgelezen uit vijf getallen. Ook het criterium van vraag 11 is zichtbaar: de klassegroottes $15 = 3\cdot5$ , $20 = 4\cdot5$ en $12 = 4\cdot3$ zijn alle samengesteld uit twee priemgetallen — geen enkele klasse van priemmachtgrootte, precies zoals het criterium van Burnside van een enkelvoudige groep eist.

22. Een rotatie van $\R^3$ over een hoek $\theta$ heeft eigenwaarden $1, \eu^{\iu\theta}, \eu^{-\iu\theta}$ : spoor $1 + 2\cos\theta$ . Voor $\theta = \frac{2\pi}5$ is $2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}2$ , dus is het spoor $1 + \frac{\sqrt5-1}2 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . Het niet-triviale element $\tau$ van $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt5)/\Q)$ , ingang voor ingang op een karaktertafel toegepast, stuurt karakters naar karakters (het verdraagt zich met de definiërende algebra: $\tau\circ\chi$ is het karakter van de representatie die je krijgt door de matrices via $\tau$ op de ingangen over te brengen, of abstract: de orthogonaliteitsrelaties zijn $\Q$ -rationaal, dus permuteert $\tau$ hun oplossingen); $\tau$ houdt $\chi_1, \chi_4, \chi_5$ vast (rationale waarden) en moet dus $\chi_2$ en $\chi_3$ verwisselen: het tweede karakter van graad $3$ draagt de toegevoegde waarden, zonder dat er één matrix is berekend. Meetkundig zijn de twee representaties de icosaëdrische werking en haar samenstelling met een uitwendig automorfisme van $A_5$ (conjugatie met een transpositie), dat de twee klassen van $5$ -cykels verwisselt.

23. Voor $z \in Z(G)$ commuteert $\rho(z)$ met elke $\rho(g)$ , dus is volgens het lemma van Schur $\rho(z) = \lambda\,\mathrm{id}$ ; en omdat $z$ eindige orde heeft, is $\lambda$ een eenheidswortel en $\abs{\chi(z)} = \abs\lambda\,n = n$ . Dan is

\abs G = \abs G\,\langle\chi, \chi\rangle = \sum_{g \in G}\abs{\chi(g)}^2 \geq \sum_{z \in Z(G)}\abs{\chi(z)}^2 = \abs{Z(G)}\,n^2,

dat wil zeggen $n^2 \leq [G : Z(G)]$ . Een niet-abelse groep van orde $8$ ( $D_4$ of $Q_8$ ) heeft vijf conjugatieklassen, dus vijf irreducibele graden met $\sum n_i^2 = 8$ ; en de enige manier om $8$ als som van vijf kwadraten $\geq 1$ te schrijven is $1 + 1 + 1 + 1 + 4$ : graden $1, 1, 1, 1, 2$ . Beide groepen hebben een centrum van orde $2$ , en het karakter van graad $2$ bereikt de gelijkheid: $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — de grens is scherp. Voor $A_5$ is $Z = \{e\}$ en luidt de grens $n^2 \leq 60$ : ruimschoots voldaan door $1, 3, 3, 4, 5$ ( $25 \leq 60$ ), zoals het moet, want gelijkheid zou (langs dezelfde keten) afdwingen dat $\chi$ buiten het centrum verdwijnt.

24. Er geldt $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ met $m$ de orde van $g$ , dus wordt $\rho(g)$ geannihileerd door $X^m - 1$ , die over $\C$ uiteenvalt met enkelvoudige wortels: $\rho(g)$ is diagonaliseerbaar met eenheidswortels $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ als eigenwaarden, in een eigenbasis $(e_i)$ . De producten $e_ie_j$ ( $i \leq j$ ) vormen een eigenbasis van $\operatorname{Sym}^2V$ met eigenwaarden $\lambda_i\lambda_j$ , en de $e_i \wedge e_j$ ( $i < j$ ) een van $\Lambda^2V$ ; omdat

\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2 = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,

en de symmetrische som $\sum_i\lambda_i^2$ optelt in plaats van aftrekt, volgen beide formules. Voor $\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi)$ op de klassen $(e, (2,2)\text{-}, 3\text{-cykels}, c, c^2)$ : kwadrateren stuurt de dubbele transposities naar $e$ , de drietallige cykels naar drietallige cykels, en de klasse van $c$ op die van $c^2$ en omgekeerd (in $A_5$ is $c^{-1} \sim c$ , dus $c^4 \sim c$ ). Bijgevolg leest $\chi_2(g^2)$ als $(3, 3, 0, \bar\varphi, \varphi)$ , en met $\varphi^2 = \varphi + 1$ en $\bar\varphi = 1 - \varphi$ :

\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2, \qquad \operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .

Dat laatste ontbinden geeft, met de klassegroottes $1, 15, 20, 12, 12$ : $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 + 15\cdot2 + 0 + 12 + 12) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_5\rangle = \frac1{60}(30 + 30) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_4\rangle = \frac1{60}(24 - 12 - 12) = 0$ ; en $\langle\cdot, \chi_2\rangle = \frac1{60}(18 - 30 + 12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$ , en net zo voor $\chi_3$ . Dus is $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ (dimensies $6 = 1 + 5$ ) en $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (dimensies $9 = 1 + 3 + 5$ ). Meetkundig: het equivariante isomorfisme $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$ , $u \wedge v \mapsto u \times v$ , is precies $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ voor een rotatiegroep; de summand $\mathbf 1$ van het symmetrische kwadraat is de invariante kwadratische vorm $x^2 + y^2 + z^2$ , en $\chi_5$ leeft op de vijfdimensionale ruimte van spoorloze symmetrische tensoren (de harmonische kwadratische vormen).

25. Kolom van $c$ tegen kolom van $c^2$ :

1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi + (-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,

zoals de orthogonaliteit voor verschillende klassen eist (want $\varphi \bar\varphi = -1$ ). Kolom van $c$ tegen zichzelf: $1 + \varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 + 1 = 5 = 60/12 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ . Het reguliere karakter $\sum_in_i\chi_i$ op de vier kolommen die niet bij de identiteit horen:

1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad 1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,

op de dubbele transposities en de drietallige cykels, en op de klasse van $c$ (die van $c^2$ is haar Galois-toegevoegde):

1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,

met $\varphi + \bar\varphi = 1$ . De tafel doorstaat elke controle: het is de karaktertafel van $A_5$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

5.1 Representaties, Maschke, Schur

5.2 Karakters en orthogonaliteit

5.3 Karaktertafels

5.4 Oefeningen

5.5 Probleem: de paqbp^aq^bpaqb-stelling van Burnside

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

5.5 Probleem: de $p^aq^b$ -stelling van Burnside