semidirect product কী?

Voorbeeld 1.27

(a) De diëdergroep $D_n$ ($n \geq 3$) van de $2n$ symmetrieën van een regelmatige $n$-hoek: de rotaties vormen een normaaldeler van index $2$, elke spiegeling brengt een complement voort, en conjugatie van een rotatie met een spiegeling keert haar om: $D_n \cong \Z/n\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ met $\varphi(1) = (x \mapsto -x)$. (b) De affiene groep van een rechte, $\{x \mapsto ax + b : a \in K^\times,\, b \in K\} \cong K \rtimes K^\times$: de translaties zijn normaal, de homothetieën vormen een complement. (c) $S_n \cong A_n \rtimes \Z/2\Z$ (complement: een willekeurige transpositie). (d) De quaternionengroep $Q_8$ is geen semidirect product van echte deelgroepen: elke niet-triviale deelgroep bevat $-1$ (Probleem 1.1), dus snijden geen twee echte deelgroepen elkaar triviaal.