Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

19Gewone differentiaalvergelijkingen

Het volume van bachelorjaar 2 loste lineaire differentiaalvergelijkingen op en formuleerde de stelling van Cauchy–Lipschitz; dit hoofdstuk bewijst haar — en dat tweemaal: bestaan en uniciteit met het vaste punt van Banach, de globale structuur met de theorie van de maximale oplossingen en de stelling over het ontsnappen uit compacte verzamelingen. De lineaire theorie wordt daarna op eerlijke fundamenten herbouwd (resolvente, wronskiaan, matrixexponentiële, Duhamel), en de tweede helft van het hoofdstuk opent de kwalitatieve theorie — stromingen, evenwichten, lyapunovfuncties en stabiliteit door linearisatie: hoe je oplossingen begrijpt die je nooit zult berekenen. De slinger is in de weekendopgave de eeuwige gevalstudie. Overal is $U \subseteq \R\times\R^d$ open en is $f \colon U \to \R^d$ continu; een oplossing van $x' = f(t, x)$ is een $\mathcal C^1$ -afbeelding $x \colon I \to \R^d$ ( $I$ een interval) met grafiek in $U$ die aan de vergelijking voldoet.

19.1 Cauchy–Lipschitz

Definitie 19.1

$f$ heet lokaal lipschitz in $x$ als elk punt van $U$ een omgeving $V$ en een constante $L$ heeft met $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ voor $(t, x_1), (t, x_2) \in V$ . Is $f$ $\mathcal C^1$ (of bestaat enkel $\partial_xf$ en is die continu), dan is ze lokaal lipschitz in $x$ : op een compacte convexe omgeving met de middelwaardeongelijkheid en $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$ .

Stelling 19.2 (Cauchy–Lipschitz, lokaal)

Zij $f$ continu en lokaal lipschitz in $x$ , en $(t_0, x_0) \in U$ . Er is een $T > 0$ zodanig dat het beginwaardeprobleem

x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0

precies één oplossing heeft op $[t_0 - T, t_0 + T]$ .

Bewijs. Kies $a, b > 0$ met $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar B(x_0, b) \subseteq U$ , waarop $\norm f \leq M$ en $f$ $L$ -lipschitz is in $x$ . Een $\mathcal C^1$ -functie is een oplossing dan en slechts dan als ze voldoet aan de integraalvergelijking

x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s

(de hoofdstelling van de integraalrekening, in beide richtingen). Zij $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$ , $I = [t_0 - T, t_0 + T]$ en

\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0} \leq b\ \text{op } I\},

een gesloten deelverzameling van de banachruimte $(\mathcal C(I, \R^d), \norm\cdot_\infty)$ : volledig (Definitie 7.1). Definieer $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ : voor $x \in \mathcal E$ is $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — $\Phi$ beeldt $\mathcal E$ in zichzelf af — en voor $x, y \in \mathcal E$ :

\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x - y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :

een contractie. Het vaste punt van Banach (Stelling 7.4) geeft een uniek vast punt in $\mathcal E$ : het bestaan, en de uniciteit onder de oplossingen die in $\bar B(x_0, b)$ blijven — maar elke oplossing op $I$ blijft daar ( $\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ zolang de grafiek in $Q$ blijft, een continuïteitsargument): dus uniciteit op $I$ . ∎

Lemma 19.3 (Grönwall)

Zij $u \colon I \to \intco0\infty$ continu, $t_0 \in I$ , en stel dat

u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd s\Bigr| \qquad (t \in I)

met $\alpha \geq 0$ en $\beta > 0$ . Dan is $u(t) \leq \alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ op $I$ .

Bewijs. Voor $t \geq t_0$ : zij $v(t) = \alpha + \beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$ , dan is $u \leq v$ , $v' = \beta u \leq \beta v$ en $(v\eu^{- \beta(t - t_0)})' \leq 0$ : dus $v(t) \leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$ . Voor $t \leq t_0$ pas je hetzelfde toe op $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$ . ∎

Gevolg 19.4 (Uniciteit en continue afhankelijkheid)

Onder de hypothesen van Stelling 19.2 vallen twee oplossingen van $x' = f(t,x)$ die in één punt samenvallen, samen op hun gemeenschappelijke definitie-interval. Kwantitatief: zijn $x, y$ twee oplossingen met grafieken in een gebied waar $f$ $L$ -lipschitz is in $x$ , dan is

\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) - y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .

Bewijs. De afschatting: $u = \norm{x - y}$ voldoet aan $u(t) \leq u(t_0) + L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (trek de integraalvergelijkingen af); Grönwall. Globale uniciteit: de verzameling waar ze samenvallen, $\{t : x(t) = y(t)\}$ , is gesloten in het gemeenschappelijke interval, niet leeg en open — overdek rond een punt van samenvallen een compact stuk van de gemeenschappelijke grafiek met eindig veel lipschitzblokken en pas op elk de afschatting toe met $u(t_1) = 0$ : lokaal is $x \equiv y$ . Een niet-lege open en gesloten deelverzameling van een interval is alles. ∎

19.2 Maximale oplossingen

Stelling 19.5 (Maximale oplossingen; ontsnappen uit compacte verzamelingen)

Neem $f$ continu en lokaal lipschitz in $x$ aan.

Elk beginwaardeprobleem heeft een unieke maximale oplossing $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : elke andere oplossing door $(t_0, x_0)$ is haar beperking. Het interval is open.
(Ontsnapping) Voor elke compacte $K \subseteq U$ is er een $\varepsilon > 0$ zodat $(t, x(t)) \notin K$ voor alle $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (en symmetrisch bij $T_-$ ): de grafiek van een maximale oplossing verlaat uiteindelijk elke compacte deelverzameling van $U$ . In het bijzonder gaat voor $U = \R\times\R^d$ en $T_+ < +\infty$ $\norm{x(t)} \to +\infty$ als $t \to T_+^-$ (explosie).

Bewijs. (1) Zij $\mathcal S$ de verzameling van alle oplossingen door $(t_0, x_0)$ ; volgens Gevolg 19.4 vallen elke twee samen op de doorsnede van hun intervallen, dus lijmen ze: definieer op $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$ $x(t) = y(t)$ voor een willekeurige $y$ die in $t$ gedefinieerd is: een goed gedefinieerde oplossing, kennelijk maximaal en uniek. $J$ is open: een oplossing die in een eindpunt gedefinieerd is, zou daar volgens Stelling 19.2 verlengd kunnen worden.

(2) Stel dat de bewering faalt bij $T_+$ : er zijn $t_n \to T_+$ met $(t_n, x(t_n)) \in K$ ; merk op dat dat $T_+ < \infty$ afdwingt, of dat er, als $T_+ = \infty$ , niets te bewijzen valt ( $K$ is begrensd in de tijd). Zij dus $T_+ < \infty$ . Compactheid: uniforme constanten $M, L, a, b$ werken voor alle begingegevens in een omgeving van $K$ — concreet: overdek $K$ met eindig veel blokken $Q_i$ als in het bewijs van de lokale stelling en zij $T^* > 0$ het minimum van de bijbehorende bestaanstijden: elk begingegeven in $K$ lanceert een oplossing die minstens $T^*$ voorbij haar begintijd leeft. Dat toepassen in $(t_n, x(t_n))$ met $t_n > T_+ - T^*/2$ breidt $x$ voorbij $T_+$ uit (de uitbreiding valt wegens de uniciteit met $x$ samen, en verlengt haar dan): in tegenspraak met de maximaliteit. Dus verlaat de grafiek $K$ definitief vóór $T_+$ . Voor $U = \R\times\R^d$ : gaat $\norm{x(t)}\not\to\infty$ , dan houdt een rij $t_n \to T_+$ $(t_n, x(t_n))$ in de compacte $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$ : uitgesloten. ∎

Gevolg 19.6 (Globaal bestaan bij lineaire groei)

Is $U = I\times\R^d$ ( $I$ een open interval) en $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ met $\alpha, \beta$ continu, dan is elke maximale oplossing op heel $I$ gedefinieerd.

Bewijs. Op een compacte $[t_0, T] \subseteq I$ is $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$ , dus geeft Grönwall (met $\alpha, \beta$ daar begrensd door $A, B$ ) $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$ : begrensd. Is $T_+ < \sup I$ , dan blijft de grafiek nabij $T_+$ in een compacte deelverzameling van $I\times\R^d$ : in tegenspraak met de ontsnapping (Stelling 19.5). ∎

19.3 Lineaire stelsels

Overal in deze paragraaf zijn $A \colon I \to M_d(\R)$ en $b \colon I \to \R^d$ continu; het stelsel is $x' = A(t)x + b(t)$ — lineaire groei: alle maximale oplossingen leven op heel $I$ (Gevolg 19.6).

Stelling 19.7 (Structuur)

De oplossingen van het homogene stelsel $x' = A(t)x$ vormen een $d$ -dimensionale vectorruimte $S_H$ ; voor elke $t_0$ is de evaluatie $x \mapsto x(t_0)$ een isomorfisme $S_H \to \R^d$ . De resolvente $R(t, s) \in GL_d(\R)$ , gedefinieerd doordat $t \mapsto R(t, s)v$ de oplossing is met waarde $v$ in $s$ , voldoet aan

R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad \partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),

en het inhomogene probleem wordt opgelost door de formule van Duhamel:

x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .

Ten slotte gehoorzaamt de wronskiaan $w(t) = \det R(t, s)$ aan de formule van Liouville $w' = \operatorname{tr}A(t)\,w$ , dus $w(t) = \exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$ .

Bewijs. De lineariteit van de vergelijking maakt de oplossingen een vectorruimte; de evaluatie is lineair, injectief (uniciteit: een oplossing die in $t_0$ verdwijnt, is $\equiv 0$ ) en surjectief (bestaan): dus dimensie $d$ . De eigenschappen van de resolvente herformuleren de uniciteit (beide leden van elke identiteit lossen hetzelfde beginwaardeprobleem op); de inverteerbaarheid komt uit $R(s,t)R(t,s) = I$ . Duhamel: differentieer de formule — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) + \int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (het differentiëren onder de integraal is geoorloofd: de integrand is $\mathcal C^1$ in $t$ met een continue afgeleide in $(t,s)$ ; of ga na met de integraalvergelijking). Liouville: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ en $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (uit de integraalvergelijking), dus $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (ontwikkeling van $\det$ in $I$ ): $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$ ; integreer de scalaire lineaire vergelijking. ∎

Stelling 19.8 (Matrixexponentiële)

Voor $A \in M_d(\C)$ convergeert de reeks $\eu^{A} = \sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ (absoluut, in elke submultiplicatieve norm), is $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ zodra $AB = BA$ , en is $t \mapsto \eu^{tA}$ de resolvente van het constante stelsel: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$ ; ze is $\mathcal C^\infty$ met $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ . Bovendien: is $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ voor elke eigenwaarde $\lambda$ van $A$ , dan is $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ voor $t \geq 0$ .

Bewijs. Convergentie: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$ , sommeerbaar (Oefening 7.1(b) in de banachalgebra $M_d$ ). Voor commuterende $A, B$ : het cauchyproduct van de twee absoluut convergente reeksen herschikt zich, via het binomium (geldig zodra $AB = BA$ ), tot $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$ . Differentieerbaarheid, rechtstreeks: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} - I}{h} \to \eu^{tA}A$ , want $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A} \leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} = O(h)$ . Bijgevolg lost $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ het beginwaardeprobleem op dat $R(t,s)v$ definieert. Spectrale afschatting: volgens de jordanvorm (Stelling 3.18) is $A = P(D + N)P^{-1}$ met $D$ diagonaal met de eigenwaarden, $N$ nilpotent en $DN = ND$ . Dan is $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ met $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ voor een $\delta > 0$ ( $t \geq 0$ ) en $\eu^{tN}$ polynomiaal in $t$ (nilpotentie): het product is $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (een veelterm wordt door $\eu^{-\delta t}$ verslagen). ∎

Voorbeeld 19.9 (Het vlak, geklasseerd)

Voor $x' = Ax$ met $A \in M_2(\R)$ inverteerbaar wordt het faseportret nabij $0$ beslist door $\tau = \operatorname{tr}A$ en $\delta = \det A$ , via de eigenwaarden $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ :

$\delta < 0$ : reële eigenwaarden met tegengesteld teken — een zadel; twee banen komen binnen, twee gaan weg, alle andere vliegen voorbij. Altijd instabiel.
$\delta > 0$ , $\tau^2 \geq 4\delta$ : reële eigenwaarden met hetzelfde teken ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — een knoop, stabiel dan en slechts dan als $\tau < 0$ ; de banen raken de trage eigenrichting.
$\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , $\tau \neq 0$ : toegevoegd complexe eigenwaarden $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — een spiraal (focus), stabiel dan en slechts dan als $\tau < 0$ ; de oplossingen zijn $\eu^{\tau t/2}$ maal rotaties met periode $\frac{2\pi}\omega$ .
$\tau = 0$ , $\delta > 0$ : zuiver imaginaire eigenwaarden — een centrum: gesloten banen (ellipsen), stabiliteit zonder asymptotische stabiliteit, precies het grensgeval dat Stelling 19.12 voor niet-lineaire stelsels niet kan beslissen (het onderste evenwicht van de slinger, Probleem 19.1, zit hier).

De grensparabool $\tau^2 = 4\delta$ draagt de ontaarde knopen (jordanblokken: banen met één enkele raakrichting). Alles wordt van twee getallen afgelezen — daarom is de eerste reflex vóór elk vlak faseportret $\operatorname{tr}$ en $\det$ te berekenen; zo geeft $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (de gedempte oscillator): $\delta = 1 > 0$ , $\tau = -c$ : een stabiele spiraal voor $0 < c < 2$ , een stabiele knoop voor $c \geq 2$ — onderdemping tegenover overdemping, in één oogopslag.

19.4 Stromingen, evenwichten, stabiliteit

Beschouw nu de autonome vergelijking $x' = F(x)$ , met $F \colon \Omega \to \R^d$ lokaal lipschitz op de open $\Omega \subseteq \R^d$ . Schrijf $\varphi_t(x_0) = x(t)$ voor de maximale oplossing met $x(0) = x_0$ (de stroming); de autonomie geeft de groepseigenschap $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ\varphi_s$ waar ze gedefinieerd is (beide leden lossen op tijdstip $s$ hetzelfde probleem op).

Definitie 19.10

Een evenwicht is een punt $\bar x$ met $F(\bar x) = 0$ (zodat $\varphi_t(\bar x) = \bar x$ ). Het heet stabiel als er voor elke $\varepsilon > 0$ een $\delta > 0$ is zodat $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ impliceert dat de oplossing voor alle $t \geq 0$ bestaat met $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar x} < \varepsilon$ ; en asymptotisch stabiel als bovendien $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ voor alle $x_0$ nabij $\bar x$ .

Stelling 19.11 (Lyapunovfuncties)

Zij $\bar x$ een evenwicht en $V \colon \mathcal V \to \R$ een $\mathcal C^1$ -functie op een omgeving van $\bar x$ met:

V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ voor } x \neq \bar x, \qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .

Dan is $\bar x$ stabiel. Is bovendien $\dot V < 0$ buiten $\bar x$ , dan is $\bar x$ asymptotisch stabiel.

Bewijs. Langs een oplossing is $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t)) \leq 0$ : $V$ daalt. Zij bij gegeven $\varepsilon$ (klein genoeg dat $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$ ) $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ (compactheid, positiviteit), en kies $\delta < \varepsilon$ met $V < m$ op $B(\bar x, \delta)$ (continuïteit). Een oplossing die in $B(\bar x, \delta)$ start, heeft $V(x(t)) < m$ voor alle latere tijdstippen, en kan dus nooit de sfeer $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ bereiken (waar $V \geq m$ ): ze blijft in de bal — en bestaat dan voor alle $t \geq 0$ : de oplossing blijft in de compacte $\bar B$ , dus dwingt Stelling 19.5(2) (het ontsnappen uit compacte verzamelingen) $T_+ = +\infty$ af. Stabiliteit.

Het asymptotische geval: zij $x(t)$ startend in $B(\bar x, \delta)$ ; $V(x(t))$ daalt naar een $c \geq 0$ . Is $c > 0$ , dan blijft de baan in $K = \{x \in \bar B(\bar x, \varepsilon): V(x) \geq c\}$ , een compacte verzameling die een omgeving van $\bar x$ uitsluit ( $V$ is continu met $V(\bar x) = 0 < c$ ). Op $K$ is de functie $\dot V$ continu en strikt negatief, dus is $\mu = \max_K\dot V < 0$ (compactheid); dan is $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$ : absurd, want $V \geq 0$ . Dus $c = 0$ , en $x(t) \to \bar x$ (punten op afstand $\geq \rho$ van $\bar x$ binnen de bal hebben $V \geq m_\rho > 0$ ). ∎

Stelling 19.12 (Stabiliteit door linearisatie)

Zij $F$ $\mathcal C^1$ , $F(\bar x) = 0$ en $A = DF(\bar x)$ . Heeft elke eigenwaarde van $A$ $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , dan is $\bar x$ asymptotisch stabiel.

Bewijs. Verschuif $\bar x$ naar $0$ en schrijf $F(x) = Ax + g(x)$ met $g(x) = o(\norm x)$ ( $\mathcal C^1$ -differentieerbaarheid). Kies $\alpha > 0$ met $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ( $t \geq 0$ ; Stelling 19.8) en $r > 0$ met $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ voor $\norm x \leq r$ . Duhamel met $b(s) = g(x(s))$ :

x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,

geldig zolang $\norm{x(s)} \leq r$ . Dan voldoet $u(t) = \eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$ aan

u(t) \leq C\norm{x_0} + \int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,

dus geeft Grönwall $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$ , dat wil zeggen $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$ . Is $\norm{x_0} < r/C$ , dan houdt de a-priorigrens $\norm{x(t)} < r$ voor alle $t$ (een argument met continuïteit en hefboomwerking: de verzameling tijdstippen waar $\norm x \leq r$ is open en gesloten in $\intco0{T_+}$ gegeven de strikte afschatting), is de oplossing globaal, en convergeert ze exponentieel naar $0$ : asymptotische stabiliteit. ∎

Methode 19.13

Tegenover een differentiaalvergelijking: (1) bestaan en uniciteit — ga lokaal lipschitz na (meestal $\mathcal C^1$ ); (2) globaliteit — lineaire groei, begrensdheid, of een invariante compacte verzameling via een lyapunovfunctie of een eerste integraal; lukt dat niet, verdenk dan explosie en test op de scalaire karikatuur $x' = x^2$ ; (3) lineaire stelsels — resolvente, Duhamel, en voor constante coëfficiënten de eigenstructuur van $A$ ; (4) kwalitatieve vragen — evenwichten, lineariseer, en jaag op een lyapunovfunctie (de energie, als het stelsel mechanisch is) of op een eerste integraal waarvan de niveauverzamelingen de banen vangen. De weekendopgave loopt de hele methode door met de slinger.

Faseportret van de slinger x'' = - x in het (x, x')-vlak: de niveaukrommen van de energie E = x'22 - x. Gesloten krommen (blauw): oscillaties, E < 1; doorlopende krommen (oranje): volledige rotaties, E > 1; daartussen de separatrix (rood), E = 1, die de instabiele evenwichten (±π, 0) verbindt. De weekendopgave bewijst alles wat dit beeld suggereert. — Faseportret van de slinger $x'' = -\sin x$ in het $(x, x')$ -vlak: de niveaukrommen van de energie $E = \frac{x'^2}2 - \cos x$ . Gesloten krommen (blauw): oscillaties, $E < 1$ ; doorlopende krommen (oranje): volledige rotaties, $E > 1$ ; daartussen de *separatrix* (rood), $E = 1$ , die de instabiele evenwichten $(\pm\pi, 0)$ verbindt. De weekendopgave bewijst alles wat dit beeld suggereert.

19.5 Oefeningen

Oefening 19.1 ★

Los expliciet op en bepaal het maximale interval: (a) $x' = x^2$ , $x(0) = 1$ ; (b) $x' = 1 + x^2$ , $x(0) = 0$ ; (c) $x' = x(1-x)$ , $x(0) = \frac12$ . Verzoen elk antwoord met Stelling 19.5(2) en Gevolg 19.6.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.1.

(a) Veranderlijken scheiden: $x(t) = \frac1{1 - t}$ op $\intoo{-\infty}1$ : explosie in $T_+ = 1$ , met $x(t) \to +\infty$ — precies Stelling 19.5(2). (b) $x(t) = \tan t$ op $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ : explosie aan beide uiteinden. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$ , globaal: de oplossing blijft in $\intoo01$ , een begrensde verzameling, dus kan de grafiek niet in eindige tijd uit elke compacte deelverzameling van $\R\times\R$ ontsnappen — $T_\pm = \pm\infty$ . Merk op dat (a) en (b) niet in tegenspraak zijn met Gevolg 19.6: $x^2$ en $1 + x^2$ hebben superlineaire groei.

Oefening 19.2 ★

Zij $x, y$ oplossingen van $x' = f(t,x)$ met $f$ globaal $L$ -lipschitz in $x$ op $\R\times\R^d$ . (a) Bewijs $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) - y(0)}\eu^{L\abs t}$ , en toon met een voorbeeld (lineair!) aan dat de factor $\eu^{L\abs t}$ bereikt wordt. (b) Leid af dat de stromingsafbeelding $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ continu is, en zelfs lipschitz op begrensde verzamelingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.2.

(a) Dat is de afschatting van Gevolg 19.4 met $t_0 = 0$ . Scherpte: voor $x' = Lx$ (globaal $L$ -lipschitz) verschillen twee oplossingen precies $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$ . (b) De afschatting luidt: de stromingsafbeelding op tijdstip $t$ is $\eu^{L\abs t}$ -lipschitz in de beginvoorwaarde — continuïteit, uniform voor $t$ in compacte verzamelingen; op begrensde verzamelingen bij een niet globaal lipschitz $f$ voer je hetzelfde uit op een compacte buis rond de banen met de lokale constante.

Oefening 19.3 ★★

Toon aan dat elk van de volgende alleen maximale oplossingen heeft die globaal zijn op $\R$ , met vermelding van de juiste stelling: (a) $x' = \sin(tx)$ ; (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$ ; (c) $x'' + q(t)x = 0$ met $q$ continu (zet om in een stelsel van eerste orde); (d) $x' = A(t)x$ met $A$ continu en begrensd — en geef de grens van Grönwall op $\norm{x(t)}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.3.

(a) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$ : begrensd, dat wil zeggen lineaire groei met $\alpha = 0$ en $\beta = 1$ : Gevolg 19.6 op $U = \R\times\R$ . (b) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$ : opnieuw sublineair (zelfs begrensd op compacte tijdsintervallen): globaal. (c) $X = (x, x')$ : $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t) & 0\end{smallmatrix}\bigr)X$ : lineair met continue coëfficiënten: globaal (het kader van Stelling 19.7). (d) Globaal; Grönwall als in Gevolg 19.6: $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ met $M = \sup\vertiii{A}$ .

Oefening 19.4 ★★

(a) Bereken $\eu^{tA}$ voor $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{smallmatrix}\bigr)$ en $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ . (b) Los de aangedreven oscillator $x'' + x = \cos(\omega t)$ op met Duhamel (in stelselvorm), voor $\omega \neq 1$ en $\omega = 1$ : de resonantie duikt op als de seculiere term $t\sin t$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.4.

(a) Voor de eerste is $A^2 = -I$ : $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$ . Jordanblok: $\lambda I$ en $N$ commuteren: $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\bigl( \begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . Derde: $A^2 = I$ : $\eu^{tA} = \cosh t\,I + \sinh t\,A$ .

(b) Stelsel $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\ \cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$ ; Duhamel met de rotatieresolvente geeft de bijzondere oplossingen: voor $\omega \neq 1$ is $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 - \omega^2}$ (ga rechtstreeks na); voor $\omega = 1$ brengt de integraal $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ de seculiere groei $x_p = \frac t2\sin t$ voort: resonantie — de aandrijving pompt energie op de eigenfrequentie en de amplitude groeit lineair.

Oefening 19.5 ★★

Voor de scalaire vergelijking $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$ : (a) Toon aan dat de wronskiaan $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ van twee oplossingen voldoet aan $w' = -p\,w$ (Abel), en leid af dat twee oplossingen met ergens $w \neq 0$ een basis vormen. (b) Zoek, gegeven één nergens verdwijnende oplossing $x_1$ , de algemene oplossing met ordeverlaging: stel $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ en ga na. Pas toe op $t^2x'' - 2x = 0$ op $\intoo0{+\infty}$ met $x_1(t) = t^2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.5.

(a) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1' - qx_1)x_2 = -p\,w$ : dus $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$ , nooit nul of identiek nul. Is $w \neq 0$ , dan zijn de vectoren $(x_i, x_i')(t_0)$ onafhankelijk in $\R^2$ , en omdat de oplossingsruimte dimensie $2$ heeft (Stelling 19.7 voor het stelsel), is $(x_1, x_2)$ een basis.

(b) Met $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ : $x_2 = x_1u$ , $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$ , en

x_2'' + px_2' + qx_2 = u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) + \Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} + p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0

(de kruistermen vallen precies weg; werk zorgvuldig uit). Voor $t^2x'' - 2x = 0$ , dat wil zeggen $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ ( $p = 0$ ) met $x_1 = t^2$ : $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$ , dus $x_2 = -\frac1{3t}$ : algemene oplossing $at^2 + \frac bt$ .

Oefening 19.6 ★★

(Logistisch) Voor $x' = x(1 - x)$ : bepaal alle evenwichten en hun stabiliteit (met Stelling 19.12 en rechtstreeks); toon aan dat elke oplossing met $x(0) \in \intoo01$ stijgend en globaal is, met limieten $0$ en $1$ in $\mp\infty$ ; en los expliciet op ter bevestiging. Toon algemener aan dat scalaire autonome oplossingen monotoon zijn, en besluit: geen niet-constante periodieke oplossingen in dimensie $1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.6.

Evenwichten $0$ en $1$ ; $f'(x) = 1 - 2x$ : $f'(0) = 1 > 0$ (instabiel — nabije oplossingen bewegen weg, zoals de expliciete vorm toont), $f'(1) = -1 < 0$ : asymptotisch stabiel (Stelling 19.12 in dimensie $1$ ). Voor $x(0) \in \intoo01$ : daar is $f > 0$ , dus stijgt de oplossing zolang ze in $\intoo01$ blijft; ze kan nooit $0$ of $1$ bereiken (uniciteit: dat zijn banen), dus blijft ze daar, is ze begrensd — en dus globaal — en stijgt ze naar een limiet $L \in \intoc{x(0)}1$ . Is $f(L) \neq 0$ , dan is $x' \geq c > 0$ nabij de limiet, wat $x$ voorbij $L$ dwingt: dus $f(L) = 0$ en $L = 1$ ; symmetrisch gaat $x \to 0$ in $-\infty$ . Expliciet bevestigt $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ alles. Algemeen: had een scalaire autonome oplossing $x'(t_0) = 0$ , dan is $x(t_0)$ een evenwicht en maakt de uniciteit $x$ constant; anders behoudt $f(x(t))$ een vast teken (ze verdwijnt nooit, en $t \mapsto f(x(t))$ is continu): dus is $x$ strikt monotoon — en is een niet-constante periodieke oplossing onmogelijk.

Oefening 19.7 ★★

(Eerste integralen) Zij $H \colon \Omega \to \R$ $\mathcal C^1$ en beschouw het vlakke hamiltoniaanse stelsel $x' = \partial_yH$ , $y' = -\partial_xH$ . (a) Toon aan dat $H$ constant is langs de oplossingen. (b) Voor $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ : toon aan dat alle oplossingen globaal en begrensd zijn, en dat de oorsprong stabiel is (Lyapunov: $H$ ) hoewel de linearisatie ( $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ ) niet asymptotisch stabiel is: linearisatie kan onbeslissend zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.7.

(a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y + H_y(-H_x) = 0$ . (b) De niveauverzamelingen van $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ zijn compact ( $H$ is coërcief), dus zijn de oplossingen in compacte verzamelingen gevangen: globaal en begrensd (Stelling 19.5). Stabiliteit van $(0,0)$ : $V = H$ is positief definiet ( $H = 0$ enkel in de oorsprong) met $\dot V = 0$ : Stelling 19.11. De linearisatie $x' = y$ , $y' = 0$ heeft de niet-diagonaliseerbare nilpotente matrix met eigenwaarde $0$ : Stelling 19.12 zwijgt (haar hypothese $\operatorname{Re}\lambda < 0$ faalt), en inderdaad is het gelineariseerde stelsel instabiel ( $y_0 \ne 0$ drijft weg) terwijl het niet-lineaire stabiel is: lineariseren in een niet-hyperbolisch evenwicht bewijst niets.

Oefening 19.8 ★★★

(Gedempte slinger) $x'' + cx' + \sin x = 0$ met $c > 0$ ; als stelsel: $x' = y$ , $y' = -\sin x - cy$ . (a) Toon aan dat $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ voldoet aan $\dot V = -cy^2 \leq 0$ : de oorsprong is stabiel. (b) $\dot V$ verdwijnt op de hele as $y = 0$ : het strikte criterium van Lyapunov faalt. Bewijs de asymptotische stabiliteit toch, met linearisatie (Stelling 19.12): bereken de eigenwaarden van de gelineariseerde matrix in $(0,0)$ en controleer $\operatorname{Re} < 0$ voor elke $c > 0$ . (c) Wat gebeurt er in het evenwicht $(\pi, 0)$ ? Bereken de linearisatie en besluit (één positieve eigenwaarde: instabiliteit — je mag de instabiliteitsuitspraak informeel gebruiken of een expliciete ontsnappende oplossing van het lineaire stelsel geven).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.8.

(a) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) + y\sin x = -cy^2 \leq 0$ , en $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ is positief definiet op $\{\abs x < 2\pi\}$ rond de oorsprong: stabiel (Stelling 19.11). (b) De gelineariseerde matrix in $(0,0)$ is $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ , met karakteristieke veelterm $\lambda^2 + c\lambda + 1$ : wortels $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4}}2$ — beide reëel en negatief als $c \geq 2$ , complex met reëel deel $-\frac c2 < 0$ als $0 < c < 2$ . In alle gevallen is $\operatorname{Re}\lambda < 0$ : Stelling 19.12 geeft asymptotische stabiliteit (ondanks de ontaarde $\dot V$ ). (c) In $(\pi, 0)$ : $\sin(\pi + u) = -\sin u$ , met linearisatie $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$ en karakteristieke veelterm $\lambda^2 + c\lambda - 1$ : wortels met tegengesteld teken ( $\lambda_+\lambda_- = -1$ ). Langs de instabiele eigenvector heeft het lineaire stelsel de expliciet ontsnappende oplossing $\eu^{\lambda_+t}v_+$ met $\lambda_+ > 0$ : de omgekeerde slinger is voor elke demping instabiel.

Oefening 19.9 ★★

(De grens van de uniciteit) Toon voor $\alpha \in \intoo01$ aan dat het probleem $x' = \abs x^{\alpha}$ , $x(0) = 0$ oneindig veel oplossingen heeft (pas Probleem 7.1, Deel III, aan). Toon daarentegen aan dat voor $\alpha = 1$ (dat wil zeggen $x' = \abs x$ ) de oplossing door $0$ uniek is, en wijs precies aan welke hypothese van Stelling 19.2 de twee gevallen onderscheidt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.9.

Voor $\alpha \in \intoo01$ is naast $x \equiv 0$ elke

x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\ \bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c, \end{cases}

$\mathcal C^1$ en een oplossing van de vergelijking (de exponent $\frac1{1-\alpha} > 1$ laat de afgeleide in $c$ verdwijnen): een continuüm oplossingen door $(0,0)$ . Voor $\alpha = 1$ is $x \mapsto \abs x$ globaal $1$ -lipschitz ( $\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$ ), dus is Stelling 19.2 van toepassing en is de enige oplossing door $0$ $x \equiv 0$ . De grens is precies de lokale lipschitzvoorwaarde in $0$ : $\abs x^\alpha$ heeft daar onbegrensde differentiequotiënten voor $\alpha < 1$ .

Oefening 19.10 ★★★

(A-priorigrenzen vangen oplossingen) Zij $F \colon \R^d \to \R^d$ lokaal lipschitz met $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ zodra $\norm x \geq R$ . (a) Toon aan dat de gesloten bal $\bar B(0, R)$ positief invariant is: oplossingen die binnen starten, blijven binnen voor $t \geq 0$ . (Is $\norm{x(t_2)} > R$ , beschouw dan het laatste tijdstip $t_1 < t_2$ met $\norm{x(t_1)} = R$ en bestudeer $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ op $\intcc{t_1}{t_2}$ .) (b) Leid het globale voorwaartse bestaan af voor gegevens in de bal. Behandel daarna het gradiëntstelsel $x' = -\nabla G(x)$ met $G \in \mathcal C^2$ en $G(x) \to +\infty$ als $\norm x \to \infty$ : toon aan dat $G$ daalt langs de oplossingen, dat elke oplossing in de (begrensde) sublevelverzameling $\{G \leq G(x_0)\}$ blijft, en besluit tot globaal voorwaarts bestaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.10.

(a) Stel $\norm{x(t_2)} > R$ voor een $t_2 > 0$ met $\norm{x(0)} \leq R$ , en zij $t_1 = \sup\{t \leq t_2 : \norm{x(t)} \leq R\}$ : dan is $\norm{x(t_1)} = R$ en $\norm{x(t)} > R$ op $\intoc{t_1}{t_2}$ . Op dat interval heeft $g(t) = \norm{x(t)}^2$ $g'(t) = 2\langle x(t), F(x(t))\rangle \leq 0$ (de hypothese is van toepassing: $\norm{x(t)} \geq R$ ), dus $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$ : tegenspraak. De bal is positief invariant. (b) Een oplossing die in de compacte bal gevangen zit, kan geen $T_+ < \infty$ hebben (Stelling 19.5(2)): globaal voorwaarts. Gradiëntstelsel: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) = \langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2 \leq 0$ : $G$ daalt, dus blijft de oplossing in $\{G \leq G(x_0)\}$ , die begrensd is (coërciviteit: buiten een grote bal is $G > G(x_0)$ ) en gesloten: dus compact. Ontsnappen is onmogelijk: elke oplossing van een coërcief gradiëntstelsel bestaat globaal voorwaarts en glijdt voor eeuwig bergaf.

Oefening 19.11 ★★

(Explosie door vergelijking) Beschouw $x' = x^2 + t^2$ , $x(0) = 1$ . (a) Toon aan dat de maximale oplossing op een $\intco0{T_+}$ met $T_+ < \infty$ bestaat: vergelijk met $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ (bewijs het vergelijkingslemma dat je nodig hebt: is $x' \geq F(x)$ en $y' = F(y)$ met $x(0) \geq y(0)$ , dan is $x \geq y$ waar beide leven), en leid $T_+ \leq 1$ af. (b) Begrens $T_+$ van onderen: op $\intcc01$ is $x' \leq x^2 + 1$ ; vergelijk met de superoplossing $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1$ , opgelost door $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$ , en besluit $T_+ \geq \frac\pi4$ . (c) Stel $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ samen en formuleer de moraal: superlineaire groei van het rechterlid is wat het globale bestaan doodt (met Oefening 19.3 als tegenhanger), waarbij de grens de convergentie van $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.11.

(a) Vergelijkingslemma: zij $w = x - y$ op het gemeenschappelijke interval; dan is $w(0) \geq 0$ en $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) = c(t)w$ met $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ begrensd op compacte tijdsintervallen ( $F$ is lokaal lipschitz); dan is $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$ , dus $w \geq 0$ overal. Met $F(x) = x^2$ : $y(t) = \frac1{1 - t}$ explodeert in $1$ , en $x \geq y$ zolang $x$ leeft; was $T_+ > 1$ , dan zou $x$ eindig zijn in $t = 1$ terwijl ze $y \to \infty$ domineert: absurd. Dus $T_+ \leq 1$ .

(b) De omgekeerde vergelijking (hetzelfde lemma, met de rollen verwisseld): op $\intcc01\cap\intco0{T_+}$ geeft $t^2 \leq 1$ dat $x' \leq x^2 + 1$ , terwijl $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ voldoet aan $z' = z^2 + 1$ met $z(0) = 1 = x(0)$ : dus $x \leq z$ zolang beide gedefinieerd zijn. Omdat $z$ eindig is op $\intco0{\frac\pi4}$ , kan $x$ niet vóór $\frac\pi4$ exploderen: $T_+ \geq \frac\pi4$ .

(c) Samen: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (numeriek $T_+ \approx 0.96$ ). Moraal: voor $x' = F(t, x)$ met $F$ superlineair in $x$ exploderen de oplossingen in eindige tijd zodra $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (de vergelijkende oplossing bereikt oneindig in die eindige tijd); lineaire groei, waar de integraal divergeert, dwingt globaal bestaan af (Oefening 19.3). Het is dezelfde integraal van Osgood als in Probleem 7.1, nu voor het ontsnappen naar oneindig in plaats van het ontsnappen uit nul.

Oefening 19.12 ★★★

(Vergelijkingsstelling van Sturm) Zij $q_1 \leq q_2$ continu op een interval $I$ , en zij $u \neq 0$ een oplossing van $u'' + q_1u = 0$ en $v \neq 0$ een oplossing van $v'' + q_2v = 0$ . (a) Vestig de identiteit voor de wronskiaan: met $W = uv' - u'v$ is $W' = (q_1 - q_2)\,uv$ . (b) (Sturm) Toon aan dat tussen twee opeenvolgende nulpunten $a < b$ van $u$ ofwel $v$ ergens in $\intoo ab$ verdwijnt, ofwel $q_1 = q_2$ en $v \propto u$ daar (neem $u > 0$ op $\intoo ab$ aan, en ook $v > 0$ ; integreer (a) van $a$ tot $b$ en bekijk de tekens van de randtermen $W(a), W(b)$ ). (c) Leid af: oplossingen van $u'' + qu = 0$ met $q \geq m > 0$ verdwijnen minstens één keer in elk interval van lengte $\pi/\sqrt m$ (vergelijk met $v'' + mv = 0$ ); oplossingen met $q \leq 0$ verdwijnen hoogstens één keer op $\R$ . Test beide op $q \equiv \pm1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.12.

(a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 - q_2)\,uv$ .

(b) Zij $a < b$ opeenvolgende nulpunten van $u$ ; normeer $u > 0$ op $\intoo ab$ (zodat $u'(a) > 0$ en $u'(b) < 0$ — niet nul wegens de uniciteit, want $u(a) = u'(a) = 0$ zou $u \equiv 0$ afdwingen). Stel dat $v$ geen nulpunt heeft in $\intoo ab$ ; normeer $v > 0$ daar (zodat $v(a), v(b) \geq 0$ wegens de continuïteit). Integreer (a):

W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .

Maar $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ en $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$ : dus $W(b) - W(a) \geq 0$ . Overal gelijkheid: $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ met $uv > 0$ op het open interval dwingt daar $q_1 = q_2$ af; en $W(a) = W(b) = 0$ dwingt $v(a) = v(b) = 0$ af; dan is $W \equiv 0$ op $\intcc ab$ (haar afgeleide verdwijnt), dat wil zeggen $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ op $\intoo ab$ : dus $v \propto u$ .

(c) Neem $q_1 = m$ en $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$ , waarvan de opeenvolgende nulpunten $\pi/\sqrt m$ uit elkaar liggen, en $q_2 = q \geq m$ : volgens (b) verdwijnt elke oplossing $v$ van $v'' + qv = 0$ in elk open interval van lengte $\pi/\sqrt m$ (in het ontaarde alternatief $q \equiv m$ verdwijnt $v \propto u$ eveneens). Is daarentegen $q \leq 0$ : pas (b) toe met $q_1 = q$ en $u = v$ , en $q_2 = 0$ met de nulpuntvrije oplossing $\mathbf 1$ van $v'' = 0$ . Had $v$ twee opeenvolgende nulpunten, dan zou (b) ofwel een nulpunt van $\mathbf 1$ ertussen afdwingen ofwel het ontaarde geval $\mathbf 1 \propto v$ — beide absurd: dus verdwijnt $v$ hoogstens één keer. Tests: voor $q = 1$ verdwijnt $\sin t$ om de $\pi = \pi/\sqrt1$ , zoals voorspeld; voor $q = -1$ verdwijnt $\sinh t$ precies één keer en $\eu^t$ nooit — hoogstens één nulpunt, zoals voorspeld.

19.6 Probleem: de slinger, volledig opgelost

Probleem 19.1

Weekendopgave — oscillaties, rotaties, separatrix en de periode

De slingervergelijking $x'' = -\sin x$ — als stelsel: $x' = y$ , $y' = -\sin x$ op $\R^2$ — is de fruitvlieg van de dynamica: eenvoudig op te schrijven, onmogelijk met elementaire formules op te lossen, en toch volledig te begrijpen met de kwalitatieve methode. Zij $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (de energie).

Deel I — Globale structuur.

Toon aan dat alle maximale oplossingen globaal zijn (op $\R$ gedefinieerd): gebruik $\dot E = 0$ en Stelling 19.5. Evenwichten: $(k\pi, 0)$ ; klasseer hun linearisaties (van centrumtype voor even $k$ , zadel voor oneven $k$ ).
Toon aan dat de banen in de niveauverzamelingen $\{E = E_0\}$ liggen, en schets of beschrijf ze naar de waarde van $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (evenwichten), $-1 < E_0 < 1$ (gesloten krommen rond $(2k\pi, 0)$ ), $E_0 = 1$ (de separatrix door $(\pm\pi, 0)$ ), $E_0 > 1$ (grafieken boven $x$ : rotaties).
Bewijs dat het onderste evenwicht $(0,0)$ stabiel is maar niet asymptotisch stabiel. (Lyapunov met $V = E + 1$ ; niet asymptotisch: het behoud van energie vangt de banen op niveaukrommen weg van de oorsprong.)

Deel II — Oscillaties en hun periode. Leg $-1 < E_0 < 1$ vast en schrijf $E_0 = -\cos a$ met $a \in \intoo0\pi$ (de amplitude).

Toon aan dat de oplossing met $x(0) = a$ , $y(0) = 0$ oscilleert: $x(t) \in \intcc{-a}a$ , en de baan is de gesloten kromme $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . Verantwoord dat de oplossing periodiek is: de baan is een compacte kromme zonder evenwichten, doorlopen met een van onderen begrensde snelheid — maak daar een argument van (de oplossing keert in eindige tijd naar haar beginpunt terug, en de uniciteit dwingt dan de periodiciteit af).
Vestig de periodeformule

$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}}$

(op een kwart baan is $y = \frac{\dd x}{\dd t} > 0$ ; scheid de veranderlijken en verantwoord de oneigenlijke convergentie in $x = a$ ).
(Kleine oscillaties) Substitueer $\sin\frac x2 = \sin\frac a2\,\sin\varphi$ en toon aan dat

$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}}, \qquad k = \sin\frac a2$

(een volledige elliptische integraal). Leid met de gedomineerde convergentie af dat $T(a) \to 2\pi$ als $a \to 0^+$ : de harmonische limiet, onafhankelijk van de amplitude — het benaderende isochronisme van Galilei, met zijn exacte correctie $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (ontwikkel de integrand en integreer term voor term, verantwoord met de normale convergentie).
Toon aan dat $T(a) \to +\infty$ als $a \to \pi^-$ (schat de integrand van onderen af nabij $\varphi = \frac\pi2$ als $k \to 1$ , of pas de monotone convergentie toe): naderend tot de separatrix vertraagt de slinger onbegrensd.

Deel III — De separatrix.

Voor $E_0 = 1$ is $y = 2\cos\frac x2$ op de bovenste tak: scheid de veranderlijken en integreer om de expliciete oplossing

$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$

te vinden (met $x(0) = 0$ , $y(0) = 2$ ). Ga rechtstreeks na dat ze de slingervergelijking oplost, en bereken haar limieten en die van $y(t)$ als $t \to \pm\infty$ .
Besluit: de baan van de separatrix verbindt het zadel $(-\pi, 0)$ (als $t \to -\infty$ ) met het zadel $(\pi, 0)$ (als $t \to +\infty$ ), maar bereikt geen van beide in eindige tijd — in overeenstemming met de uniciteit (waarom zou een zadel in eindige tijd bereiken in tegenspraak zijn met Gevolg 19.4?).

Deel IV — Rotaties, en het volledige beeld.

Voor $E_0 > 1$ : toon aan dat $y$ nooit verdwijnt, dat $x$ strikt monotoon en globaal is met $x(t) \to \pm\infty$ , en dat $t \mapsto y(t)$ periodiek is met periode

$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$
Stel het volledige faseportret samen (de figuur van dit hoofdstuk) met een volledige verantwoording van elk kenmerk, en schrijf een samenvatting van tien regels over de methode: energie, niveauverzamelingen, compactheid, uniciteit — hoe elke stelling van het hoofdstuk binnenkwam. Waar hadden we ooit een formule voor de algemene oplossing nodig?

Deel V — De periodefunctie onder de microscoop.

Bewijs de momenten van Wallis

$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$

met inductie (partieel integreren), ontwikkel de integrand van vraag 6 met de binomiaalreeks, en verantwoord het term voor term integreren om de volledige reeks

$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\Bigr), \qquad k = \sin\frac a2$

te verkrijgen.
Zet om naar de amplitude:

$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$

(vul de ontwikkeling van $\sin\frac a2$ in en verzamel). Het isochronisme faalt in orde $a^2$ , en dat falen is nu tot in orde $a^4$ gekwantificeerd.
Toon aan dat $a \mapsto T(a)$ continu en strikt stijgend is op $\intoo0\pi$ , en besluit met de vragen 6 en 7 dat $T$ een bijectie is van $\intoo0\pi$ op $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : elke superkritische periode wordt door precies één amplitude verwezenlijkt.
(Rekenkunde van de klokkenmaker) Een slinger die bij verdwijnende amplitude is geregeld, houdt ideale tijd; toon aan dat ze bij amplitude $a$ achterloopt met de fractie $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ van de ideale tijd, en bereken de afwijking voor $a = 0.2$ rad: ongeveer $216$ seconden per dag. (De cycloïdale wangen van Huygens en de kleine constante amplitudes van echappementen zijn beide antwoorden op dit getal.)
Keer terug naar de rotatieperiode $\tau$ uit vraag 10: toon aan dat $\tau$ strikt dalend is op $\intoo1{+\infty}$ , dat $\tau(E_0) \to +\infty$ als $E_0 \to 1^+$ (monotone convergentie), en dat $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ als $E_0 \to +\infty$ (gedomineerde convergentie): snel rondwentelen is asymptotisch vrije rotatie met hoeksnelheid $\sqrt{2E_0}$ .

Deel VI — De methode uitgevoerd: Lotka–Volterra. Het recept van de slinger — eerste integraal, compacte niveaukrommen, uniciteit — lost een ecosysteem op. Leg $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ vast en beschouw op het open kwadrant $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$

x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad y' = y\,(\delta x - \gamma)

( $x$ de prooi, $y$ de roofdieren).

Toon aan dat $Q$ invariant is — de assen zijn verenigingen van banen, expliciet berekenbaar, die geen enkele oplossing mag kruisen (Gevolg 19.4) — en dat het enige evenwicht in $Q$ $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ is.
Toon aan dat

$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$

een eerste integraal is, dat $H = f(x) + g(y)$ met $f, g$ strikt convex en eigenlijk op $\intoo0{+\infty}$ met minima in $x_*$ en $y_*$ , en leid af dat alle maximale oplossingen in $Q$ globaal zijn.
Toon aan dat voor $h > h_* = H(x_*, y_*)$ de niveauverzameling $\{H = h\}\cap Q$ een gesloten kromme rond het evenwicht is: twee continue takken $y_\pm(x)$ boven een compact interval $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ , aan de uiteinden aan elkaar gelijmd — het analogon van de ovalen van de slinger.
Bewijs dat elke baan in $Q$ die geen evenwicht is, periodiek is: vestig de circulatie tegen de wijzers van de klok in door de vier gebieden die door de rechten $x = x_*$ en $y = y_*$ worden afgesneden, begrens de tijd om elke boog te doorlopen met een integraal met een convergente vierkantswortelsingulariteit (als in vraag 5), en sluit af met de uniciteit (als in vraag 4).
(Wet van de gemiddelden van Volterra) Is $T$ de periode van zo’n baan, toon dan aan dat

$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta, \qquad \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$

de tijdsgemiddelden zijn gelijk aan de evenwichtswaarden, wat de amplitude ook is (integreer $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ over één periode).
(De visserijparadox) Oogst beide soorten met snelheid $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : het stelsel behoudt haar vorm met $\alpha - \varepsilon$ en $\gamma + \varepsilon$ in de plaats van $\alpha$ en $\gamma$ . Wat gebeurt er met de gemiddelde populaties? Verklaar de waarneming van d’Ancona (1914–1918): toen de visserij op de Adriatische Zee tijdens de oorlog afnam, steeg het aandeel van de roofdieren (haaien) in de vangst — en waarom gematigde visserij de prooi bevoordeelt.
Schrijf de moraal van tien regels: welke stellingen van het hoofdstuk elke stap aandrijven, wat de energie van de slinger vervangt, en waarom geen van beide stelsels een elementaire gesloten oplossing nodig had — of toelaat.
(Snelheidsmodulatie) Toon in het rotatieregime $E_0 > 1$ aan dat $y = x'$ oscilleert tussen $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (in $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) en $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (in $x \equiv 0$ ), dat het tijdsgemiddelde van $y$ over één periode precies $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ is, en dat de modulatieverhouding $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ als $E_0 \to \infty$ : snelle rotatie is asymptotisch uniform.
(Monotonie van de rotatieperiode) Toon aan dat $\tau(E_0)$ $\mathcal C^1$ en strikt dalend is op $\intoo1{+\infty}$ (differentieer onder het integraalteken, met dominantie op elke $\intco{1 + \delta}\infty$ ), met $\tau \to \infty$ als $E_0 \to 1^+$ en $\tau \to 0$ als $E_0 \to \infty$ . Stel het volledige bifurcatiebeeld van de slinger langs de energieas samen: evenwichten bij $E_0 = -1$ , libraties met een periode die van $2\pi$ tot $\infty$ stijgt op $-1 < E_0 < 1$ , de separatrix bij $E_0 = 1$ , en daarbuiten rotaties met een periode die van $\infty$ tot $0$ daalt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 19.1.

1. $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x + y\sin x = 0$ : de energie is een eerste integraal. Op een maximale oplossing is $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$ : $y$ is begrensd; dan groeit $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} + t\sup\abs y$ hoogstens lineair: op elk eindig tijdsinterval blijft de baan in een compacte deelverzameling van $\R^2$ , dus dwingt Stelling 19.5(2) $T_\pm = \pm\infty$ af. Evenwichten $(k\pi, 0)$ ; linearisatie $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\ \mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ met $-\cos(k\pi) = \mp1$ : eigenwaarden $\pm\iu$ voor even $k$ (centrumtype, op zichzelf onbeslissend) en $\pm1$ voor oneven $k$ (zadel).

2. Omdat $E$ constant is langs de oplossingen, blijft elke baan in een niveauverzameling $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$ . Voor $E_0 = -1$ : enkel de punten $(2k\pi, 0)$ . Voor $-1 < E_0 < 1$ : met $E_0 = -\cos a$ is de verzameling een disjuncte vereniging van gesloten krommen $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ boven $x \in [2k\pi - a, 2k\pi + a]$ , één rond elk stabiel evenwicht. Voor $E_0 = 1$ : de krommen $y = \pm2\cos\frac x2$ die opeenvolgende zadels verbinden — de separatrix — samen met de zadels zelf. Voor $E_0 > 1$ : twee grafieken $y = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$ , voor alle $x$ gedefinieerd, die $y = 0$ nooit raken.

3. $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ verdwijnt in $(0,0)$ , is positief op een geperforeerde omgeving ( $\abs x < 2\pi$ ), en $\dot V = 0 \leq 0$ : Stelling 19.11 geeft stabiliteit. Niet asymptotisch: de oplossing door $(a, 0)$ (met $0 < a$ klein) blijft op de niveaukromme $E = -\cos a$ , waarvan de afstand tot de oorsprong positief is (de kromme ontmoet de $x$ -as enkel in $\pm a$ ): dus $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$ .

4. Op de niveaukromme $C_a$ zijn er geen evenwichten ( $y = 0$ dwingt $x = \pm a$ af, en $\sin(\pm a) \neq 0$ voor $0 < a < \pi$ ), dus heeft de snelheid $\norm{(y, -\sin x)}$ een positief minimum $m$ op de compacte $C_a$ . Volg de oplossing vanaf $(a, 0)$ : in het onderste halfvlak is $x' = y < 0$ , dus daalt $x$ in eindige tijd van $a$ naar $-a$ (de integralen voor de kwart- of halve periode convergeren: de analyse van vraag 5), en bereikt ze $(-a, 0)$ ; wegens de symmetrie $(x, y) \mapsto (x, -y)$ , $t \mapsto -t$ van de vergelijking wordt de bovenste helft in dezelfde tijd $\frac T2$ teruggelopen: de oplossing keert op tijdstip $T$ terug naar $(a, 0)$ . De uniciteit (Gevolg 19.4) plant dat voort: $x(t + T) = x(t)$ voor alle $t$ , dus periodiek.

5. Op de tak waar $y > 0$ : $y = \sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ en $\dd t = \frac{\dd x}{y}$ ; $x$ van $-a$ tot $a$ integreren geeft de halve periode, en de symmetrie $x \mapsto -x$ halveert de integraal nogmaals:

T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .

Convergentie in $x = a^-$ : $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) + O((a-x)^2)$ met $\sin a > 0$ : de integrand gedraagt zich als $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$ , integreerbaar.

6. Met $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$ en $k = \sin\frac a2$ : $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2) = 2k^2\cos^2\varphi$ en $\frac12\cos\frac x2\,\dd x = k\cos\varphi\,\dd\varphi$ , dus

T(a) = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .

Als $a \to 0^+$ gaat $k \to 0$ : voor $k \leq k_0 < 1$ wordt de integrand gedomineerd door $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , continu op $\intcc0{\pi/2}$ : de gedomineerde convergentie geeft $T \to 4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$ . Ontwikkelen van $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ met $u = k^2\sin^2\varphi$ (normale convergentie voor $k < 1$ ) en $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$ geeft

T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :

het isochronisme geldt enkel in eerste orde; de periode groeit met de amplitude.

7. Als $k \uparrow 1$ stijgen de integranden naar $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$ , waarvan de integraal divergeert: volgens de monotone convergentie gaat $T(a) \to +\infty$ als $a \to \pi^-$ .

8. Op de tak $y = 2\cos\frac x2$ ( $\abs x < \pi$ ): $\frac {\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$ ; met $u = \frac x2$ is $\int\frac{\dd u}{\cos u} = \ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$ , dus $t = \ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$ , oftewel

x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi, \qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} = \frac{2}{\cosh t} .

Verificatie via de energie: met $\theta = \arctan\eu^t$ is $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$ , dus $\cos x = -\cos4\theta = -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ en $E = \frac{y^2}2 - \cos x = \frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$ : de baan ligt op de separatrix, en $y^2 = 2(1 + \cos x)$ differentiëren waar $y > 0$ geeft $y' = -\sin x$ terug. Limieten: $x \to \pm\pi$ en $y \to 0$ als $t \to \pm\infty$ .

9. De baan gaat voorwaarts naar het zadel $(\pi, 0)$ en achterwaarts naar $(-\pi, 0)$ , maar komt er nooit aan: bereikte ze $(\pi, 0)$ op een eindig tijdstip $t^*$ , dan zouden twee verschillende maximale oplossingen — de separatrixoplossing en de constante oplossing in het zadel — door hetzelfde punt $(t^*, (\pi, 0))$ gaan, in tegenspraak met Gevolg 19.4. Zadels worden enkel asymptotisch benaderd.

10. Voor $E_0 > 1$ : $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq 2(E_0 - 1) > 0$ : $y$ behoudt haar teken, en $\abs{x'} = \abs y \geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$ : $x$ is strikt monotoon en globaal (vraag 1), met $x(t) \to \pm\infty$ . Omdat $y(t) = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ en $\cos$ $2\pi$ -periodiek is, keert $y$ telkens naar haar waarde terug wanneer $x$ met $2\pi$ opschuift; de daarvoor benodigde tijd is

\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}

(substitutie; periodiciteit): $y$ is $\tau$ -periodiek — de slinger wentelt rond met een voor grote energieën asymptotisch constante rotatiesnelheid $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ .

11. De methode, op volgorde: de energie ( $\dot E = 0$ ) herleidt de tweedimensionale stroming tot eendimensionale niveaukrommen; de begrensdheid van $y$ op elk niveau plus het ontsnappen uit compacte verzamelingen geeft globaal bestaan; de compactheid van de gesloten niveaus geeft snelheidsgrenzen en dus de periodiciteit; de uniciteit zet de eerste terugkeer om in exacte periodiciteit, verbiedt aankomst in een zadel in eindige tijd, en scheidt de baantypen; linearisatie en Lyapunov klasseren de evenwichten; en de periode-integraal wordt geanalyseerd met de convergentiestellingen van Hoofdstuk 10. Nergens bezaten we — of hadden we nodig — een gesloten algemene oplossing: de kwalitatieve theorie haalde elk kenmerk van de beweging uit de vergelijking zelf.

12. Partieel integreren: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi \cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1} - W_n)$ , dus $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$ ; met $W_0 = \frac\pi2$ en $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (splits $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$ ) geeft inductie de weergegeven waarde. Binomiaalreeks: $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ met $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$ , straal $1$ . Voor $k \leq k_0 < 1$ en $u = k^2\sin^2\varphi$ convergeert de reeks $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ normaal in $\varphi$ (want $c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$ ), zodat term voor term integreren in de formule van vraag 6 geoorloofd is:

T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n = 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n} = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .

Met $c_0 = 1$ , $c_1 = \frac12$ en $c_2 = \frac38$ : $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$ , waarbij de restterm uniform is voor $k \leq k_0$ (de staart wordt door een meetkundige reeks gedomineerd).

13. $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} + O(a^5)$ , dus

k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6), \qquad k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,

\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} + O(a^6) = 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,

want $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072} = \frac{11}{3072}$ .

14. In de elliptische vorm van vraag 6 is $a \mapsto k = \sin\frac a2$ een continue strikt stijgende bijectie van $\intoo0\pi$ op $\intoo01$ , en voor elke $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ is de integrand $(1 - k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ strikt stijgend in $k$ : dus is $T$ strikt stijgend. Continuïteit: op $k \leq k_0 < 1$ wordt de integrand gedomineerd door de continue $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , zodat de gedomineerde convergentie langs $k' \to k$ van toepassing is. Met de limieten $T \to 2\pi$ als $a \to 0^+$ (vraag 6) en $T \to +\infty$ als $a \to \pi^-$ (vraag 7) maken de strikte monotonie en de tussenwaardestelling van $T$ een bijectie van $\intoo0\pi$ op $\intoo{2\pi}{+\infty}$ .

15. Een klok telt slingerbewegingen; geregeld bij verdwijnende amplitude boekt ze de harmonische periode $2\pi$ per beweging (in de tijdseenheid van de slinger). Bij amplitude $a$ is de ware periode $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$ : de klok boekt $2\pi$ terwijl er werkelijk $T(a)$ verstrijkt, dus loopt ze achter met de fractie

\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .

Voor $a = 0.2$ rad (ongeveer $11.5$ graden): $\frac{a^2}{16} = \frac{0.04}{16} = \frac1{400}$ , en een dag telt $86400$ s: de klok verliest $86400/400 = 216$ seconden — een goede drieënhalve minuut — per dag. Vandaar de twee historische remedies: een minieme constante amplitude afdwingen (het echappement), of de dwangvoorwaarde zo buigen dat de periode exact amplitude-onafhankelijk wordt (de cycloïdale wangen van Huygens, 1657).

16. In $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ is de integrand voor elke vaste $x$ strikt dalend in $E_0$ : dus is $\tau$ strikt dalend. Als $E_0 \downarrow 1$ stijgen de integranden puntsgewijs naar $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$ , waarvan de integraal over $\intoo{-\pi}\pi$ divergeert ( $\cos\frac x2$ verdwijnt in $\pm\pi$ in eerste orde): de monotone convergentie geeft $\tau(E_0) \to +\infty$ . Als $E_0 \to +\infty$ :

\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi

volgens de gedomineerde convergentie (voor $E_0 \geq 2$ is de integrand hoogstens $\sqrt2$ ). Dus $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$ : één omwenteling duurt zo lang als vrije rotatie met snelheid $\sqrt{2E_0}$ , met de potentiaal gereduceerd tot een rimpeling — in overeenstemming met de rotatiesnelheid uit vraag 10.

17. De assen dragen de expliciete oplossingen $t \mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ en $t \mapsto (0, y_0\eu^{-\gamma t})$ , samen met het evenwicht $(0, 0)$ : ze zijn verenigingen van banen. Het veld is $\mathcal C^1$ , dus lokaal lipschitz; een oplossing die in $Q$ start en een as zou raken, zou door een punt van een van die banen gaan en er volgens Gevolg 19.4 mee samenvallen — onmogelijk, want de ene leeft op de as en de andere niet. Dus is $Q$ invariant in beide tijdsrichtingen. Evenwichten in $Q$ : $x > 0$ dwingt $\alpha - \beta y = 0$ af en $y > 0$ dwingt $\delta x - \gamma = 0$ af: het enkele punt $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .

18. Langs een oplossing is

\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' + \Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y' = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .

$f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ heeft $f'' = \gamma/x^2 > 0$ , een $f'$ die enkel in $x_*$ verdwijnt, en $f \to +\infty$ zowel in $0^+$ als in $+\infty$ : strikt convex en eigenlijk, met minimum $f(x_*)$ ; en evenzo $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$ , met minimum $g(y_*)$ . Dus is $H \geq h_*$ met gelijkheid enkel in $(x_*, y_*)$ , en is elke sublevelverzameling $\{H \leq h\}\cap Q$ compact: $f(x) \leq h - g(y_*)$ sluit $x$ wegens de eigenlijkheid op in een compact interval van $\intoo0{+\infty}$ , en evenzo $y$ , en de verzameling is gesloten in $\R^2$ omdat $H \to +\infty$ aan de rand van $Q$ . Een maximale oplossing blijft op haar compacte niveauverzameling, dus kan ze niet in eindige tijd elke compacte verzameling verlaten: Stelling 19.5 maakt haar globaal.

19. Leg $h > h_*$ vast en stel $c = h - g(y_*) > f(x_*)$ . Omdat $f$ strikt daalt van $+\infty$ tot $f(x_*)$ op $\intoc0{x_*}$ en strikt terugstijgt tot $+\infty$ op $\intco{x_*}{+\infty}$ , heeft de vergelijking $f(x) = c$ precies twee wortels $x_- < x_* < x_+$ , en is $\{f \leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$ . Voor $x \in \intoo{x_-}{x_+}$ heeft $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ precies twee wortels $y_-(x) < y_* < y_+(x)$ , continu in $x$ (inversen van de strikt monotone continue beperkingen van $g$ aan weerszijden van $y_*$ ), met $y_\pm(x) \to y_*$ als $x \to x_\pm$ ; in $x = x_\pm$ is de enige oplossing $y = y_*$ . Dus is $\{H = h\}\cap Q$ de vereniging van de grafieken van $y_+$ en $y_-$ boven $\intcc{x_-}{x_+}$ , aan elkaar gelijmd in $(x_\pm, y_*)$ : een gesloten kromme rond $(x_*, y_*)$ — het analogon van de ovalen van de slinger.

20. Zij $C_h = \{H = h\}\cap Q$ met $h > h_*$ : het enige evenwicht van $Q$ ligt niet op $C_h$ , dus verdwijnt het veld daar nergens. Tekens: $x' = \beta x(y_* - y)$ , $y' = \delta y(x - x_*)$ : de beweging gaat naar rechts onder de rechte $y = y_*$ , omhoog rechts van $x = x_*$ , naar links erboven en omlaag links — circulatie tegen de wijzers van de klok in. Volg de oplossing vanaf een punt $(x_0, y_-(x_0))$ van de open onderste tak, waar $x' > 0$ : de tijd om de rechterhoek $B = (x_+, y_*)$ te bereiken is

\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* - y_-(x)\bigr)} .

Kies nabij $x_+$ een $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$ ; voor $x \in \intcc{x'}{x_+}$ is $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ ( $f'$ is stijgend en positief voorbij $x_*$ ), terwijl de niveaubetrekking en de ongelijkheid van Taylor $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* - y_-(x))^2$ geven op het compacte $y$ -bereik van $C_h$ : dus $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ met $c > 0$ , en de integrand is $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$ : integreerbaar — de convergentie van vraag 5, overgezet. Elders op de tak is de integrand continu. Dus wordt $B$ in eindige tijd bereikt; daar is $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$ , gaat de baan het gebied $x > x_*$ , $y > y_*$ binnen, klimt ze met de symmetrische afschatting (de rollen van $f$ en $g$ verwisseld) naar de bovenhoek $(x_*, y_+)$ , enzovoort rond de vier bogen: na een eindige tijd $T > 0$ keert de oplossing terug naar haar beginpunt. Volgens Gevolg 19.4 is ze $T$ -periodiek — het argument van vraag 4, woordelijk.

21. Op een $T$ -periodieke baan in $Q$ is $t \mapsto \ln x(t)$ $\mathcal C^1$ en $T$ -periodiek, dus

0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t = \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t = \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,

wat $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$ geeft; en evenzo geeft $0 = \int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ dat $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$ . De tijdsgemiddelden zijn de evenwichtswaarden, voor elke baan ongeacht de amplitude — een behoudswet die niemand met de hand heeft ingelegd.

22. Met oogst is het stelsel opnieuw van lotka-volterravorm, met parameters $\alpha - \varepsilon$ , $\beta$ , $\gamma + \varepsilon$ , $\delta$ (het inwendige evenwicht blijft bestaan omdat $\varepsilon < \alpha$ ). Vraag 21 toegepast op het nieuwe stelsel:

\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta} \ \ (\text{het prooigemiddelde stijgt}), \qquad \bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta} \ \ (\text{het roofdiergemiddelde daalt}) :

ongericht oogsten verschuift het evenwicht naar de prooi. De gegevens van d’Ancona lezen dat achterstevoren: de oorlog sneed de visserij terug, $\varepsilon$ daalde, dus steeg het roofdiergemiddelde $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ en daalde het prooigemiddelde — een groter haaienaandeel in de vangst, precies wat de Adriatische vismarkten optekenden. Dat is het beginsel van Volterra, hetzelfde mechanisme achter de pesticideparadoxen: beide trofische niveaus uitdunnen komt het niveau ten goede dat wordt opgegeten.

23. Het recept, beide keren: (i) een eerste integraal — $E$ voor de slinger, hier $H$ , gevonden door $\dd y/\dd x$ te scheiden — klapt het vlak samen tot krommen; (ii) de eigenlijkheid en de compactheid van de niveauverzamelingen geven globaal bestaan via Stelling 19.5; (iii) de meetkunde van de niveaus — ovalen, daar uit de vorm van $\cos$ en hier uit de strikte convexiteit van $f$ en $g$ — wordt van de integraal afgelezen, niet van de stroming; (iv) een nergens verdwijnend veld op een compacte ovaal plus integreerbare singulariteiten in de hoeken dwingt een eindige terugkeertijd af; (v) de uniciteit (Gevolg 19.4) zet de terugkeer om in periodiciteit en verbiedt aankomst in een evenwicht in eindige tijd; (vi) de dividenden — periodeontwikkelingen, wetten van gemiddelden — komen van de convergentiestellingen toegepast op de resulterende integralen. Noch $x'' = -\sin x$ noch Lotka–Volterra laat een elementaire gesloten oplossing toe (elliptische integralen in het ene geval, transcendente niveaukrommen in het andere), en nergens was er een nodig: de vergelijking zelf, kwalitatief ondervraagd, gaf de hele beweging prijs.

24. Op een energieniveau $E_0 > 1$ is $y^2 = 2(E_0 + \cos x) > 0$ : de extremen van $y^2$ liggen bij $\cos x = \pm1$ , wat de vermelde grenzen geeft, bereikt in $x \equiv 0, \pi$ . Tijdsgemiddelde over één periode $\tau = \tau(E_0)$ : $x$ schuift precies $2\pi$ op, dus

\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) - x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .

De verhouding van de extreme snelheden is $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$ : bij hoge energie is de rimpeling $\pm1$ van de potentiaal verwaarloosbaar tegenover $E_0$ , en draait de slinger bijna uniform rond — het wasbord vlakt af.

25. Op $E_0 \geq 1 + \delta$ wordt de integrand van $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ gedomineerd door $(2\delta)^{-1/2}$ en haar afgeleide naar $E_0$

\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}

door $(2\delta)^{-3/2}$ , beide integreerbaar op de compacte $\intcc{-\pi}\pi$ : differentiëren onder de integraal (Stelling 10.15) is dus van toepassing en geeft $\tau'(E_0) < 0$ (de integrand is strikt negatief): strikt dalend en $\mathcal C^1$ . Limieten: als $E_0 \to \infty$ is $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$ ; als $E_0 \to 1^+$ schrijf je $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$ ; de integrand stijgt als $E_0$ daalt, dus geeft de monotone convergentie

\tau(E_0) \;\nearrow\; \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}} = +\infty,

waarbij de limietintegraal in $x = \pm\pi$ divergeert (daar is $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$ , een niet integreerbare $\frac1{\abs\cdot}$ ): de periode explodeert bij het naderen van de separatrix, in overeenstemming met $T(a) \to \infty$ van de libratiekant uit Deel II. De energieas leest zich zo: rust bij $E_0 = -1$ ; libraties, $2\pi \nearrow \infty$ , op $\intoo{-1}1$ ; de oneindig trage separatrix bij $E_0 = 1$ ; en daarbuiten rotaties, $\infty \searrow 0$ . Eén integraal, het hele leven van de slinger.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst