Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

19Gewone differentiaalvergelijkingen

Jaar 2 loste lineaire differentiaalvergelijkingen op en formuleerde de stelling van Cauchy–Lipschitz; dit hoofdstuk bewijst haar — in twee stappen: bestaan en eenduidigheid via het Banach-vastpunt, globale structuur via de theorie van maximale oplossingen en de stelling van ontsnappen uit compacta. De lineaire theorie wordt vervolgens op eerlijke grondslagen heropgebouwd (resolvente, Wronskiaan, matrixexponentiaal, Duhamel), en de tweede helft van het hoofdstuk opent de kwalitatieve theorie — stromen, evenwichten, Lyapunov-functies, en stabiliteit door linearisatie: hoe oplossingen te begrijpen die men nooit zal uitrekenen. De slinger, in het weekendprobleem, is de eeuwige casestudy. Overal is $U \subseteq \R\times\R^d$ open en $f \colon U \to \R^d$ continu; een oplossing van $x' = f(t, x)$ is een $\mathcal C^1$ -afbeelding $x \colon I \to \R^d$ ( $I$ een interval) met grafiek in $U$ die aan de vergelijking voldoet.

19.1 Cauchy–Lipschitz

Definitie 19.1

$f$ is lokaal Lipschitz in $x$ als elk punt van $U$ een omgeving $V$ en een constante $L$ heeft met $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ voor $(t, x_1), (t, x_2) \in V$ . Als $f$ van klasse $\mathcal C^1$ is (of slechts $\partial_xf$ bestaat en continu is), is zij lokaal Lipschitz in $x$ : op een compacte convexe omgeving geldt de middelwaardeongelijkheid met $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$ .

Stelling 19.2 (Cauchy–Lipschitz, lokaal)

Zij $f$ continu en lokaal Lipschitz in $x$ , en $(t_0, x_0) \in U$ . Er bestaat $T > 0$ zodat het Cauchy-probleem

x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0

precies één oplossing heeft op $[t_0 - T, t_0 + T]$ .

Bewijs. Kies $a, b > 0$ met $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar B(x_0, b) \subseteq U$ , waarop $\norm f \leq M$ en $f$ $L$ -Lipschitz is in $x$ . Een $\mathcal C^1$ -functie is een oplossing dan en slechts dan als zij voldoet aan de integraalvergelijking

x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s

(fundamentele stelling van de analyse, beide kanten). Stel $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$ , $I = [t_0 - T, t_0 + T]$ , en

\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0} \leq b\ \text{op } I\},

een gesloten deelverzameling van de Banachruimte $(\mathcal C(I, \R^d), \norm\cdot_\infty)$ : volledig (Definitie 7.1). Definieer $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ : voor $x \in \mathcal E$ is $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — $\Phi$ beeldt $\mathcal E$ in zichzelf af — en voor $x, y \in \mathcal E$ :

\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x - y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :

een contractie. Het Banach-vastpunt (Stelling 7.4) levert een uniek vast punt in $\mathcal E$ : bestaan, en eenduidigheid onder de oplossingen die in $\bar B(x_0, b)$ blijven — maar elke oplossing op $I$ blijft daar ( $\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ zolang de grafiek in $Q$ blijft, een continuïteitsargument): eenduidigheid op $I$ . ∎

Lemma 19.3 (Grönwall)

Zij $u \colon I \to \intco0\infty$ continu, $t_0 \in I$ , en veronderstel

u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd s\Bigr| \qquad (t \in I)

met $\alpha \geq 0$ , $\beta > 0$ . Dan is $u(t) \leq \alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ op $I$ .

Bewijs. Voor $t \geq t_0$ : stel $v(t) = \alpha + \beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$ , dus $u \leq v$ , $v' = \beta u \leq \beta v$ , en $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$ : $v(t) \leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$ . Voor $t \leq t_0$ , pas hetzelfde toe op $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$ . ∎

Gevolg 19.4 (Eenduidigheid en continue afhankelijkheid)

Onder de hypothesen van Stelling 19.2 vallen twee oplossingen van $x' = f(t,x)$ die in één punt overeenkomen samen op hun gemeenschappelijk definitie-interval. Kwantitatief: als $x, y$ twee oplossingen zijn met grafieken in een gebied waar $f$ $L$ -Lipschitz is in $x$ , dan

\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) - y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .

Bewijs. De schatting: $u = \norm{x - y}$ voldoet aan $u(t) \leq u(t_0) + L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (trek de integraalvergelijkingen af); Grönwall. Globale eenduidigheid: de overeenstemmingsverzameling $\{t : x(t) = y(t)\}$ is gesloten in het gemeenschappelijke interval, niet-leeg, en open — rond elk overeenstemmingspunt, overdek een compact stuk van de gemeenschappelijke grafiek met eindig veel Lipschitz-dozen en pas de schatting toe met $u(t_1) = 0$ op elk: lokaal $x \equiv y$ . Een niet-lege open gesloten deelverzameling van een interval is alles. ∎

19.2 Maximale oplossingen

Stelling 19.5 (Maximale oplossingen; ontsnappen uit compacta)

Veronderstel $f$ continu, lokaal Lipschitz in $x$ .

Elk Cauchy-probleem heeft een unieke maximale oplossing $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : elke andere oplossing door $(t_0, x_0)$ is haar restrictie. Het interval is open.
(Ontsnappen) Voor elke compacte $K \subseteq U$ bestaat $\varepsilon > 0$ zodat $(t, x(t)) \notin K$ voor alle $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (en symmetrisch in $T_-$ ): de grafiek van een maximale oplossing verlaat uiteindelijk elke compacte deelverzameling van $U$ . In het bijzonder, voor $U = \R\times\R^d$ en $T_+ < +\infty$ : $\norm{x(t)} \to +\infty$ als $t \to T_+^-$ (explosie).

Bewijs. (1) Zij $\mathcal S$ de verzameling van alle oplossingen door $(t_0, x_0)$ ; volgens Gevolg 19.4 komen elke twee overeen op de doorsnede van hun intervallen, dus lijmen ze: op $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$ , definieer $x(t) = y(t)$ voor enige $y$ gedefinieerd in $t$ : een welgedefinieerde oplossing, evident maximaal en uniek. $J$ is open: een oplossing gedefinieerd in een eindpunt kon worden voortgezet door Stelling 19.2 in dat eindpunt.

(2) Stel de claim faalt in $T_+$ : er zijn $t_n \to T_+$ met $(t_n, x(t_n)) \in K$ ; merk op dat dit $T_+ < \infty$ dwingt of, als $T_+ = \infty$ , is er niets te bewijzen ( $K$ is begrensd in de tijd). Dus $T_+ < \infty$ . Compactheid: uniforme constanten $M, L, a, b$ werken voor alle Cauchy-gegevens in een omgeving van $K$ — concreet, overdek $K$ met eindig veel dozen $Q_i$ zoals in het bewijs van de lokale stelling en laat $T^* > 0$ het minimum zijn van de bijbehorende bestaansduren: elk Cauchy-gegeven in $K$ lanceert een oplossing die minstens $T^*$ voorbij haar begintijd leeft. Dit toepassen in $(t_n, x(t_n))$ met $t_n > T_+ - T^*/2$ zet $x$ voort voorbij $T_+$ (de voortzetting komt overeen met $x$ door eenduidigheid, en verlengt haar dan): tegenspraak met maximaliteit. Dus verlaat de grafiek $K$ definitief vóór $T_+$ . Voor $U = \R\times\R^d$ : als $\norm{x(t)}\not\to\infty$ , houdt een rij $t_n \to T_+$ de punten $(t_n, x(t_n))$ in de compacte $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$ : uitgesloten. ∎

Gevolg 19.6 (Globaal bestaan onder lineaire groei)

Als $U = I\times\R^d$ ( $I$ open interval) en $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ met $\alpha, \beta$ continu, dan is elke maximale oplossing gedefinieerd op heel $I$ .

Bewijs. Op een compacte $[t_0, T] \subseteq I$ : $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$ , dus volgens Grönwall (met $\alpha, \beta$ daar begrensd door $A, B$ ) $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$ : begrensd. Als $T_+ < \sup I$ , blijft de grafiek in een compactum van $I\times\R^d$ nabij $T_+$ : tegenspraak met ontsnappen (Stelling 19.5). ∎

19.3 Lineaire stelsels

In deze hele paragraaf zijn $A \colon I \to M_d(\R)$ en $b \colon I \to \R^d$ continu; het stelsel is $x' = A(t)x + b(t)$ — lineaire groei: alle maximale oplossingen leven op heel $I$ (Gevolg 19.6).

Stelling 19.7 (Structuur)

De oplossingen van het homogene stelsel $x' = A(t)x$ vormen een $d$ -dimensionale vectorruimte $S_H$ ; voor elke $t_0$ is de evaluatie $x \mapsto x(t_0)$ een isomorfisme $S_H \to \R^d$ . De resolvente $R(t, s) \in GL_d(\R)$ , gedefinieerd door: $t \mapsto R(t, s)v$ is de oplossing met waarde $v$ in $s$ , voldoet aan

R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad \partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),

en het inhomogene probleem wordt opgelost door de formule van Duhamel:

x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .

Ten slotte gehoorzaamt de Wronskiaan $w(t) = \det R(t, s)$ de formule van Liouville $w' = \operatorname{tr}A(t)\,w$ , zodat $w(t) = \exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$ .

Bewijs. Lineariteit van de vergelijking maakt de oplossingen tot een vectorruimte; evaluatie is lineair, injectief (eenduidigheid: een oplossing die in $t_0$ verdwijnt is $\equiv 0$ ) en surjectief (bestaan): dimensie $d$ . De resolvente-eigenschappen herformuleren eenduidigheid (beide kanten van elke identiteit lossen hetzelfde Cauchy-probleem op); inverteerbaarheid uit $R(s,t)R(t,s) = I$ . Duhamel: differentieer de formule — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) + \int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (differentiatie onder de integraal is legitiem: de integrand is $\mathcal C^1$ in $t$ met continue afgeleide in $(t,s)$ ; of verifieer via de integraalvergelijking). Liouville: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ en $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (uit de integraalvergelijking), dus $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (ontwikkeling van $\det$ in $I$ ): $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$ ; integreer de scalaire lineaire DV. ∎

Stelling 19.8 (Matrixexponentiaal)

Voor $A \in M_d(\C)$ convergeert de reeks $\eu^{A} = \sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ (absoluut, in elke submultiplicatieve norm), $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ wanneer $AB = BA$ , en $t \mapsto \eu^{tA}$ is de resolvente van het constante stelsel: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$ ; zij is $\mathcal C^\infty$ met $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ . Bovendien: als $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ voor elke eigenwaarde $\lambda$ van $A$ , dan $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ voor $t \geq 0$ .

Bewijs. Convergentie: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$ , sommeerbaar (Oefening 7.1(b) in de Banachalgebra $M_d$ ). Voor commuteren $A, B$ : het Cauchy-product van de twee absoluut convergente reeksen herschikt, via de binomiaalstelling (geldig wanneer $AB = BA$ ), tot $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$ . Differentieerbaarheid, rechtstreeks: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} - I}{h} \to \eu^{tA}A$ aangezien $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A} \leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} = O(h)$ . Dus lost $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ het Cauchy-probleem op dat $R(t,s)v$ definieert. Spectrale grens: via de Jordannormaalvorm (Stelling 3.18), $A = P(D + N)P^{-1}$ met $D$ diagonaal met de eigenwaarden, $N$ nilpotent, en $DN = ND$ . Dan $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ met $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ voor enige $\delta > 0$ ( $t \geq 0$ ) en $\eu^{tN}$ polynomiaal in $t$ (nilpotentie): het product is $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (polynoom verslagen door $\eu^{-\delta t}$ ). ∎

Voorbeeld 19.9 (Het vlak, geclassificeerd)

Voor $x' = Ax$ met $A \in M_2(\R)$ inverteerbaar wordt het faseportret nabij $0$ bepaald door $\tau = \operatorname{tr}A$ en $\delta = \det A$ , via de eigenwaarden $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ :

$\delta < 0$ : reële eigenwaarden van tegengesteld teken — een zadel; twee banen komen binnen, twee vertrekken, alle andere vliegen voorbij. Altijd instabiel.
$\delta > 0$ , $\tau^2 \geq 4\delta$ : reële eigenwaarden van hetzelfde teken ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — een knoop, stabiel dan en slechts dan als $\tau < 0$ ; banen zijn raak aan de trage eigenrichting.
$\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , $\tau \neq 0$ : complex geconjugeerde eigenwaarden $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — een spiraal (focus), stabiel dan en slechts dan als $\tau < 0$ ; de oplossingen zijn $\eu^{\tau t/2}\times$ rotaties van periode $\frac{2\pi}\omega$ .
$\tau = 0$ , $\delta > 0$ : zuiver imaginaire eigenwaarden — een centrum: gesloten banen (ellipsen), stabiliteit zonder asymptotische stabiliteit, precies de grens die Stelling 19.12 niet kan beslissen voor niet-lineaire stelsels (het onderste evenwicht van de slinger, Probleem 19.1, zit hier).

De grensparabool $\tau^2 = 4\delta$ draagt de ontaarde knopen (Jordanblokken: banen met één enkele raakrichting). Alles wordt afgelezen uit twee getallen — daarom is de eerste reflex vóór elk vlak faseportret $\operatorname{tr}$ en $\det$ te berekenen; b.v. $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (gedempte oscillator): $\delta = 1 > 0$ , $\tau = -c$ : stabiele spiraal voor $0 < c < 2$ , stabiele knoop voor $c \geq 2$ — onderdemping versus overdemping, in één oogopslag.

19.4 Stromen, evenwichten, stabiliteit

Beschouw nu de autonome vergelijking $x' = F(x)$ , $F \colon \Omega \to \R^d$ lokaal Lipschitz op de open $\Omega \subseteq \R^d$ . Schrijf $\varphi_t(x_0) = x(t)$ voor de maximale oplossing met $x(0) = x_0$ (de stroom); autonomie geeft de groepeigenschap $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ\varphi_s$ waar gedefinieerd (beide kanten lossen hetzelfde probleem op in tijd $s$ ).

Definitie 19.10

Een evenwicht is een punt $\bar x$ met $F(\bar x) = 0$ (dus $\varphi_t(\bar x) = \bar x$ ). Het is stabiel als voor elke $\varepsilon > 0$ er $\delta > 0$ bestaat zodat $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ impliceert dat de oplossing bestaat voor alle $t \geq 0$ met $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar x} < \varepsilon$ ; asymptotisch stabiel als bovendien $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ voor alle $x_0$ nabij $\bar x$ .

Stelling 19.11 (Lyapunov-functies)

Zij $\bar x$ een evenwicht en $V \colon \mathcal V \to \R$ een $\mathcal C^1$ -functie op een omgeving van $\bar x$ met:

V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ voor } x \neq \bar x, \qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .

Dan is $\bar x$ stabiel. Als bovendien $\dot V < 0$ buiten $\bar x$ , dan is $\bar x$ asymptotisch stabiel.

Bewijs. Langs een oplossing is $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t)) \leq 0$ : $V$ daalt. Gegeven $\varepsilon$ (klein genoeg dat $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$ ), laat $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ (compactheid, positiviteit) en kies $\delta < \varepsilon$ met $V < m$ op $B(\bar x, \delta)$ (continuïteit). Een oplossing die start in $B(\bar x, \delta)$ heeft $V(x(t)) < m$ voor alle latere tijden, dus kan zij de bol $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ nooit bereiken (waar $V \geq m$ ): zij blijft in de bal — en bestaat dan voor alle $t \geq 0$ : de oplossing blijft in de compacte $\bar B$ , dus dwingt Stelling 19.5(2) (ontsnappen uit compacta) $T_+ = +\infty$ . Stabiliteit.

Asymptotisch geval: laat $x(t)$ starten in $B(\bar x, \delta)$ ; $V(x(t))$ daalt naar enige $c \geq 0$ . Als $c > 0$ : de baan blijft in $K = \{x \in \bar B(\bar x, \varepsilon): V(x) \geq c\}$ , een compacte verzameling die een omgeving van $\bar x$ uitsluit ( $V$ is continu met $V(\bar x) = 0 < c$ ). Op $K$ is de functie $\dot V$ continu, strikt negatief, dus $\mu = \max_K\dot V < 0$ (compactheid); dan $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$ : absurd, $V \geq 0$ . Dus $c = 0$ , en $x(t) \to \bar x$ (punten op afstand $\geq \rho$ van $\bar x$ binnen de bal hebben $V \geq m_\rho > 0$ ). ∎

Stelling 19.12 (Stabiliteit door linearisatie)

Zij $F$ van klasse $\mathcal C^1$ , $F(\bar x) = 0$ , $A = DF(\bar x)$ . Als elke eigenwaarde van $A$ voldoet aan $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , dan is $\bar x$ asymptotisch stabiel.

Bewijs. Transleer $\bar x$ naar $0$ en schrijf $F(x) = Ax + g(x)$ met $g(x) = o(\norm x)$ ( $\mathcal C^1$ -differentieerbaarheid). Kies $\alpha > 0$ met $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ( $t \geq 0$ ; Stelling 19.8) en $r > 0$ met $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ voor $\norm x \leq r$ . Duhamel met $b(s) = g(x(s))$ :

x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,

geldig zolang $\norm{x(s)} \leq r$ . Dan voldoet $u(t) = \eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$ aan

u(t) \leq C\norm{x_0} + \int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,

dus geeft Grönwall $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$ , d.w.z. $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$ . Als $\norm{x_0} < r/C$ , houdt de a-priorischatting $\norm{x(t)} < r$ voor alle $t$ (een continuïteits-/bootstrap-argument: de verzameling tijden waar $\norm x \leq r$ is open en gesloten in $\intco0{T_+}$ gegeven de strikte schatting), de oplossing is globaal, en zij convergeert exponentieel naar $0$ : asymptotische stabiliteit. ∎

Methode 19.13

Geconfronteerd met een DV: (1) bestaan/eenduidigheid — controleer lokaal Lipschitz (meestal $\mathcal C^1$ ); (2) globaliteit — lineaire groei, begrensdheid, of een invariant compactum via een Lyapunov-functie of eerste integraal; bij falen, vermoed explosie en test op de scalaire karikatuur $x' = x^2$ ; (3) lineaire stelsels — resolvente, Duhamel, en voor constante coëfficiënten de eigenstructuur van $A$ ; (4) kwalitatieve vragen — evenwichten, lineariseer, en jaag op een Lyapunov-functie (energie, wanneer het stelsel mechanisch is) of een eerste integraal waarvan de niveaucurven banen opsluiten. Het weekendprobleem loopt de hele methode door met de slinger.

Faseportret van de slinger x'' = - x in het (x, x')-vlak: niveaucurven van de energie E = x'22 - x. Gesloten curven (blauw): oscillaties, E < 1; lopende curven (oranje): volledige rotaties, E > 1; ertussen de separatrix (rood), E = 1, die de instabiele evenwichten (±π, 0) verbindt. Het weekendprobleem bewijst alles wat dit plaatje suggereert. — Faseportret van de slinger $x'' = -\sin x$ in het $(x, x')$ -vlak: niveaucurven van de energie $E = \frac{x'^2}2 - \cos x$ . Gesloten curven (blauw): oscillaties, $E < 1$ ; lopende curven (oranje): volledige rotaties, $E > 1$ ; ertussen de *separatrix* (rood), $E = 1$ , die de instabiele evenwichten $(\pm\pi, 0)$ verbindt. Het weekendprobleem bewijst alles wat dit plaatje suggereert.

19.5 Oefeningen

Oefening 19.1 ★

Los expliciet op en bepaal het maximale interval: (a) $x' = x^2$ , $x(0) = 1$ ; (b) $x' = 1 + x^2$ , $x(0) = 0$ ; (c) $x' = x(1-x)$ , $x(0) = \frac12$ . Verenig elk antwoord met Stelling 19.5(2) en Gevolg 19.6.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.1.

(a) Scheiding van variabelen: $x(t) = \frac1{1 - t}$ op $\intoo{-\infty}1$ : explosie in $T_+ = 1$ , met $x(t) \to +\infty$ — precies Stelling 19.5(2). (b) $x(t) = \tan t$ op $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ : explosie aan beide einden. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$ , globaal: de oplossing blijft in $\intoo01$ , een begrensde verzameling, dus de grafiek kan niet in eindige tijd uit elk compactum van $\R\times\R$ ontsnappen — $T_\pm = \pm\infty$ . Merk op dat (a), (b) Gevolg 19.6 niet tegenspreken: $x^2$ en $1 + x^2$ hebben superlineaire groei.

Oefening 19.2 ★

Zij $x, y$ oplossingen van $x' = f(t,x)$ met $f$ globaal $L$ -Lipschitz in $x$ op $\R\times\R^d$ . (a) Bewijs $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) - y(0)}\eu^{L\abs t}$ , en toon met een voorbeeld (lineair!) dat de factor $\eu^{L\abs t}$ wordt bereikt. (b) Leid af dat de stroomafbeelding $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ continu is, zelfs Lipschitz op begrensde verzamelingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.2.

(a) Dit is de schatting van Gevolg 19.4 met $t_0 = 0$ . Scherpte: voor $x' = Lx$ (globaal $L$ -Lipschitz) verschillen twee oplossingen precies met $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$ . (b) De schatting leest: de tijds- $t$ -stroomafbeelding is $\eu^{L\abs t}$ -Lipschitz in de beginvoorwaarde — continuïteit, uniform voor $t$ in compacta; op begrensde verzamelingen van niet-globaal-Lipschitz $f$ , voer hetzelfde uit op een compacte buis rond de banen met de lokale constante.

Oefening 19.3 ★★

Toon aan dat elk van de volgende alle maximale oplossingen globaal op $\R$ heeft, met de juiste stelling: (a) $x' = \sin(tx)$ ; (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$ ; (c) $x'' + q(t)x = 0$ met $q$ continu (zet om naar een eerste-orde stelsel); (d) $x' = A(t)x$ met $A$ continu en begrensd — en geef de Grönwall-grens op $\norm{x(t)}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.3.

(a) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$ : begrensd, d.w.z. lineaire groei met $\alpha = 0$ , $\beta = 1$ : Gevolg 19.6 op $U = \R\times\R$ . (b) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$ : opnieuw sublineair (zelfs begrensd op tijdscompacta): globaal. (c) $X = (x, x')$ : $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t) & 0\end{smallmatrix}\bigr)X$ : lineair met continue coëfficiënten: globaal (setting van Stelling 19.7). (d) Globaal; Grönwall zoals in Gevolg 19.6: $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ met $M = \sup\vertiii{A}$ .

Oefening 19.4 ★★

(a) Bereken $\eu^{tA}$ voor $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{smallmatrix}\bigr)$ , en $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ . (b) Los de geforceerde oscillator $x'' + x = \cos(\omega t)$ op via Duhamel (stelselvorm), voor $\omega \neq 1$ en $\omega = 1$ : resonantie verschijnt als de seculaire term $t\sin t$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.4.

(a) $A^2 = -I$ voor de eerste: $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$ . Jordanblok: $\lambda I$ en $N$ commuteren: $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . Derde: $A^2 = I$ : $\eu^{tA} = \cosh t\,I + \sinh t\,A$ .

(b) Stelsel $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\ \cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$ ; Duhamel met de rotatie-resolvente geeft de particuliere oplossingen: voor $\omega \neq 1$ , $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 - \omega^2}$ (verifieer rechtstreeks); voor $\omega = 1$ produceert de integraal $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ de seculaire groei $x_p = \frac t2\sin t$ : resonantie — de forcering pompt energie op de natuurlijke frequentie en de amplitude groeit lineair.

Oefening 19.5 ★★

Voor de scalaire vergelijking $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$ : (a) Toon aan dat de Wronskiaan $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ van twee oplossingen voldoet aan $w' = -p\,w$ (Abel), en leid af dat twee oplossingen met $w \neq 0$ ergens een basis vormen. (b) Gegeven één nergens-verdwijnende oplossing $x_1$ , vind de algemene oplossing door ordeverlaging: stel $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ en verifieer. Pas toe op $t^2x'' - 2x = 0$ op $\intoo0{+\infty}$ met $x_1(t) = t^2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.5.

(a) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1' - qx_1)x_2 = -p\,w$ : $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$ , nooit nul of identiek nul. Als $w \neq 0$ , zijn de vectoren $(x_i, x_i')(t_0)$ onafhankelijk in $\R^2$ , en omdat de oplossingsruimte dimensie $2$ heeft (Stelling 19.7 voor het stelsel), is $(x_1, x_2)$ een basis.

(b) Met $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ : $x_2 = x_1u$ , $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$ , en

x_2'' + px_2' + qx_2 = u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) + \Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} + p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0

(de kruistermen heffen elkaar precies op; ontwikkel zorgvuldig). Voor $t^2x'' - 2x = 0$ , d.w.z. $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ ( $p = 0$ ) met $x_1 = t^2$ : $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$ , dus $x_2 = -\frac1{3t}$ : algemene oplossing $at^2 + \frac bt$ .

Oefening 19.6 ★★

(Logistisch) Voor $x' = x(1 - x)$ : bepaal alle evenwichten en hun stabiliteit (via Stelling 19.12 en rechtstreeks); toon aan dat elke oplossing met $x(0) \in \intoo01$ stijgend is, globaal, met limieten $0$ en $1$ in $\mp\infty$ ; en los expliciet op ter bevestiging. Toon algemener dat scalaire autonome oplossingen monotoon zijn, en concludeer: geen niet-constante periodieke oplossingen in dimensie $1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.6.

Evenwichten $0, 1$ ; $f'(x) = 1 - 2x$ : $f'(0) = 1 > 0$ (instabiel — nabije oplossingen lopen weg, zoals de expliciete vorm toont), $f'(1) = -1 < 0$ : asymptotisch stabiel (Stelling 19.12 in dimensie $1$ ). Voor $x(0) \in \intoo01$ : $f > 0$ daar, dus zolang de oplossing in $\intoo01$ blijft stijgt zij; zij kan $0$ of $1$ nooit bereiken (eenduidigheid: dat zijn banen), dus blijft zij, is begrensd — dus globaal — en stijgt naar een limiet $L \in \intoc{x(0)}1$ . Als $f(L) \neq 0$ , dan $x' \geq c > 0$ nabij de limiet, wat $x$ voorbij $L$ dwingt: dus $f(L) = 0$ , $L = 1$ ; symmetrisch $x \to 0$ in $-\infty$ . Expliciet bevestigt $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ alles. Algemeen: als een scalaire autonome oplossing $x'(t_0) = 0$ had, is $x(t_0)$ een evenwicht en eenduidigheid maakt $x$ constant; anders houdt $f(x(t))$ een vast teken (het verdwijnt nooit, en $t \mapsto f(x(t))$ is continu): $x$ is strikt monotoon — dus is een niet-constante periodieke oplossing onmogelijk.

Oefening 19.7 ★★

(Eerste integralen) Zij $H \colon \Omega \to \R$ van klasse $\mathcal C^1$ en beschouw het vlakke Hamiltoniaanse stelsel $x' = \partial_yH$ , $y' = -\partial_xH$ . (a) Toon aan dat $H$ constant is langs oplossingen. (b) Voor $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ : toon aan dat alle oplossingen globaal en begrensd zijn, en dat de oorsprong stabiel is (Lyapunov: $H$ ) hoewel de linearisatie ( $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ ) niet asymptotisch stabiel is: linearisatie kan inconclusief zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.7.

(a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y + H_y(-H_x) = 0$ . (b) De niveaucurven van $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ zijn compact ( $H$ is coërcief), dus oplossingen zitten vast in compacta: globaal en begrensd (Stelling 19.5). Stabiliteit van $(0,0)$ : $V = H$ is positief definiet ( $H = 0$ alleen in de oorsprong) met $\dot V = 0$ : Stelling 19.11. De linearisatie $x' = y$ , $y' = 0$ heeft de niet-diagonaliseerbare nilpotente matrix met eigenwaarde $0$ : Stelling 19.12 zwijgt (haar hypothese $\operatorname{Re}\lambda < 0$ faalt), en inderdaad is het gelineariseerde stelsel instabiel ( $y_0 \ne 0$ drijft) terwijl het niet-lineaire stabiel is: linearisatie in een niet-hyperbolisch evenwicht bewijst niets.

Oefening 19.8 ★★★

(Gedempte slinger) $x'' + cx' + \sin x = 0$ , $c > 0$ ; stelsel: $x' = y$ , $y' = -\sin x - cy$ . (a) Toon aan dat $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ voldoet aan $\dot V = -cy^2 \leq 0$ : de oorsprong is stabiel. (b) $\dot V$ verdwijnt op de hele as $y = 0$ : het strikte criterium van Lyapunov faalt. Bewijs toch asymptotische stabiliteit, via linearisatie (Stelling 19.12): bereken de eigenwaarden van de gelineariseerde matrix in $(0,0)$ en controleer $\operatorname{Re} < 0$ voor elke $c > 0$ . (c) Wat gebeurt er in het evenwicht $(\pi, 0)$ ? Bereken de linearisatie en concludeer (één eigenwaarde positief: instabiliteit — u mag de instabiliteitsuitspraak informeel gebruiken of een expliciet ontsnappende oplossing van het lineaire stelsel produceren).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.8.

(a) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) + y\sin x = -cy^2 \leq 0$ , en $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ is positief definiet op $\{\abs x < 2\pi\}$ rond de oorsprong: stabiel (Stelling 19.11). (b) De gelineariseerde matrix in $(0,0)$ is $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ , met karakteristiek polynoom $\lambda^2 + c\lambda + 1$ : wortels $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4}}2$ — beide reëel negatief als $c \geq 2$ , complex met reëel deel $-\frac c2 < 0$ als $0 < c < 2$ . In alle gevallen $\operatorname{Re}\lambda < 0$ : Stelling 19.12 geeft asymptotische stabiliteit (ondanks de ontaarde $\dot V$ ). (c) In $(\pi, 0)$ : $\sin(\pi + u) = -\sin u$ , linearisatie $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$ , karakteristiek $\lambda^2 + c\lambda - 1$ : wortels van tegengesteld teken ( $\lambda_+\lambda_- = -1$ ). Langs de instabiele eigenvector heeft het lineaire stelsel de expliciet ontsnappende oplossing $\eu^{\lambda_+t}v_+$ met $\lambda_+ > 0$ : de omgekeerde slinger is instabiel voor elke demping.

Oefening 19.9 ★★

(Eenduidigheidsgrens) Voor $\alpha \in \intoo01$ , toon aan dat het probleem $x' = \abs x^{\alpha}$ , $x(0) = 0$ oneindig veel oplossingen heeft (pas Probleem 7.1, Deel III aan). Toon integendeel dat voor $\alpha = 1$ (d.w.z. $x' = \abs x$ ) de oplossing door $0$ uniek is, en identificeer precies welke hypothese van Stelling 19.2 de twee gevallen onderscheidt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.9.

Voor $\alpha \in \intoo01$ : naast $x \equiv 0$ lost elke

x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\ \bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c, \end{cases}

de vergelijking $\mathcal C^1$ op (de exponent $\frac1{1-\alpha} > 1$ maakt de afgeleide in $c$ nul): een continuüm van oplossingen door $(0,0)$ . Voor $\alpha = 1$ : $x \mapsto \abs x$ is globaal $1$ -Lipschitz ( $\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$ ), dus past Stelling 19.2 toe en de enige oplossing door $0$ is $x \equiv 0$ . De grens is precies de lokale Lipschitz-voorwaarde in $0$ : $\abs x^\alpha$ heeft onbegrensde differentiequotiënten daar voor $\alpha < 1$ .

Oefening 19.10 ★★★

(A-priorischattingen sluiten oplossingen op) Zij $F \colon \R^d \to \R^d$ lokaal Lipschitz met $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ wanneer $\norm x \geq R$ . (a) Toon aan dat de gesloten bal $\bar B(0, R)$ positief invariant is: oplossingen die binnen starten blijven binnen voor $t \geq 0$ . (Als $\norm{x(t_2)} > R$ , beschouw de laatste tijd $t_1 < t_2$ met $\norm{x(t_1)} = R$ en bestudeer $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ op $\intcc{t_1}{t_2}$ .) (b) Leid globaal voorwaarts bestaan af voor gegevens in de bal. Behandel dan het gradiëntstelsel $x' = -\nabla G(x)$ , $G \in \mathcal C^2$ met $G(x) \to +\infty$ als $\norm x \to \infty$ : toon aan dat $G$ daalt langs oplossingen, dat elke oplossing in de (begrensde) subniveaumverzameling $\{G \leq G(x_0)\}$ blijft, en concludeer globaal voorwaarts bestaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.10.

(a) Stel $\norm{x(t_2)} > R$ voor enige $t_2 > 0$ met $\norm{x(0)} \leq R$ , en laat $t_1 = \sup\{t \leq t_2 : \norm{x(t)} \leq R\}$ : dan $\norm{x(t_1)} = R$ en $\norm{x(t)} > R$ op $\intoc{t_1}{t_2}$ . Op dat interval heeft $g(t) = \norm{x(t)}^2$ de afgeleide $g'(t) = 2\langle x(t), F(x(t))\rangle \leq 0$ (de hypothese past toe: $\norm{x(t)} \geq R$ ), dus $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$ : tegenspraak. De bal is positief invariant. (b) Een oplossing opgesloten in de compacte bal kan niet $T_+ < \infty$ hebben (Stelling 19.5(2)): globaal voorwaarts. Gradiëntstelsel: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) = \langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2 \leq 0$ : $G$ daalt, dus blijft de oplossing in $\{G \leq G(x_0)\}$ , dat begrensd is (coërciviteit: buiten een grote bal is $G > G(x_0)$ ) en gesloten: compact. Ontsnappen is onmogelijk: elke oplossing van een coërcief gradiëntstelsel is globaal voorwaarts en glijdt eeuwig bergafwaarts.

Oefening 19.11 ★★

(Explosie door vergelijking) Beschouw $x' = x^2 + t^2$ , $x(0) = 1$ . (a) Toon aan dat de maximale oplossing bestaat op enige $\intco0{T_+}$ met $T_+ < \infty$ : vergelijk met $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ (bewijs het vergelijkingslemma dat u nodig hebt: als $x' \geq F(x)$ en $y' = F(y)$ met $x(0) \geq y(0)$ , dan $x \geq y$ waar beiden leven), en leid af $T_+ \leq 1$ . (b) Schat $T_+$ van onderen: op $\intcc01$ is $x' \leq x^2 + 1$ ; vergelijk met de superoplossing $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1$ , opgelost door $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$ , en concludeer $T_+ \geq \frac\pi4$ . (c) Stel samen $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ en formuleer de moraal: superlineaire groei van het rechterlid is wat globaal bestaan doodt (Oefening 19.3 is het contrapunt), de grens is de convergentie van $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.11.

(a) Vergelijkingslemma: laat $w = x - y$ op het gemeenschappelijke interval; $w(0) \geq 0$ en $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) = c(t)w$ met $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ begrensd op compacte tijdsintervallen ( $F$ lokaal Lipschitz); dan $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$ , dus $w \geq 0$ overal. Met $F(x) = x^2$ : $y(t) = \frac1{1 - t}$ explodeert in $1$ , en $x \geq y$ zolang $x$ leeft; als $T_+ > 1$ , zou $x$ eindig zijn in $t = 1$ terwijl zij $y \to \infty$ domineert: absurd. $T_+ \leq 1$ .

(b) De omgekeerde vergelijking (zelfde lemma, rollen omgewisseld): op $\intcc01\cap\intco0{T_+}$ geeft $t^2 \leq 1$ dat $x' \leq x^2 + 1$ , terwijl $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ voldoet aan $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1 = x(0)$ : dus $x \leq z$ zolang beiden gedefinieerd zijn. Aangezien $z$ eindig is op $\intco0{\frac\pi4}$ , kan $x$ niet exploderen vóór $\frac\pi4$ : $T_+ \geq \frac\pi4$ .

(c) Samen: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (numeriek $T_+ \approx 0{,}96$ ). Moraal: voor $x' = F(t, x)$ met $F$ superlineair in $x$ exploderen oplossingen in eindige tijd wanneer $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (de vergelijkingsoplossing bereikt oneindig in die eindige tijd); lineaire groei, waar de integraal divergeert, dwingt globaal bestaan (Oefening 19.3). Het is dezelfde Osgood-integraal als in Probleem 7.1, die nu de ontsnapping naar oneindig regelt eerder dan de ontsnapping uit nul.

Oefening 19.12 ★★★

(Vergelijkingsstelling van Sturm) Zij $q_1 \leq q_2$ continu op een interval $I$ , en zij $u \neq 0$ een oplossing van $u'' + q_1u = 0$ , $v \neq 0$ een oplossing van $v'' + q_2v = 0$ . (a) Stel de Wronskiaan-identiteit vast: met $W = uv' - u'v$ , $W' = (q_1 - q_2)\,uv$ . (b) (Sturm) Toon aan dat tussen twee opeenvolgende nulpunten $a < b$ van $u$ , ofwel $v$ ergens in $\intoo ab$ verdwijnt, ofwel $q_1 = q_2$ en $v \propto u$ daar (neem $u > 0$ op $\intoo ab$ en ook $v > 0$ ; integreer (a) van $a$ tot $b$ en inspecteer de tekens van de randtermen $W(a), W(b)$ ). (c) Leid af: oplossingen van $u'' + qu = 0$ met $q \geq m > 0$ verdwijnen minstens éénmaal in elk interval van lengte $\pi/\sqrt m$ (vergelijk met $v'' + mv = 0$ ); oplossingen met $q \leq 0$ verdwijnen hoogstens éénmaal op $\R$ . Test beide op $q \equiv \pm1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.12.

(a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 - q_2)\,uv$ .

(b) Zij $a < b$ opeenvolgende nulpunten van $u$ ; normaliseer $u > 0$ op $\intoo ab$ (dus $u'(a) > 0$ , $u'(b) < 0$ — niet-nul door eenduidigheid, want $u(a) = u'(a) = 0$ zou $u \equiv 0$ dwingen). Stel $v$ heeft geen nulpunt in $\intoo ab$ ; normaliseer $v > 0$ daar (dus $v(a), v(b) \geq 0$ door continuïteit). Integreer (a):

W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .

Maar $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ en $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$ : dus $W(b) - W(a) \geq 0$ . Gelijkheid overal: $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ met $uv > 0$ op het open interval dwingt $q_1 = q_2$ daar; en $W(a) = W(b) = 0$ dwingt $v(a) = v(b) = 0$ ; dan $W \equiv 0$ op $\intcc ab$ (haar afgeleide verdwijnt), d.w.z. $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ op $\intoo ab$ : $v \propto u$ .

(c) Neem $q_1 = m$ en $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$ , waarvan opeenvolgende nulpunten $\pi/\sqrt m$ uit elkaar liggen, en $q_2 = q \geq m$ : volgens (b) verdwijnt elke oplossing $v$ van $v'' + qv = 0$ in elk open interval van lengte $\pi/\sqrt m$ (in het ontaarde alternatief $q \equiv m$ verdwijnt $v \propto u$ eveneens). Als in plaats daarvan $q \leq 0$ : pas (b) toe met $q_1 = q$ , $u = v$ , en $q_2 = 0$ met de nulpuntvrije oplossing $\mathbf 1$ van $v'' = 0$ . Als $v$ twee opeenvolgende nulpunten had, zou (b) ofwel een nulpunt van $\mathbf 1$ ertussen dwingen of het ontaarde geval $\mathbf 1 \propto v$ — beide absurd: $v$ verdwijnt hoogstens éénmaal. Tests: voor $q = 1$ verdwijnt $\sin t$ elke $\pi = \pi/\sqrt1$ , zoals voorspeld; voor $q = -1$ verdwijnt $\sinh t$ precies éénmaal en $\eu^t$ nooit — hoogstens één nulpunt, zoals voorspeld.

19.6 Probleem: de slinger, volledig opgelost

Probleem 19.1

Weekendprobleem — oscillaties, rotaties, separatrix, en de periode

De slingervergelijking $x'' = -\sin x$ — als stelsel: $x' = y$ , $y' = -\sin x$ op $\R^2$ — is de drosophila van de dynamica: eenvoudig te schrijven, onmogelijk op te lossen met elementaire formules, maar volledig begrijpelijk via de kwalitatieve methode. Zij $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (de energie).

Deel I — Globale structuur.

Toon aan dat alle maximale oplossingen globaal zijn ( $\R$ -gedefinieerd): gebruik $\dot E = 0$ en Stelling 19.5. Evenwichten: $(k\pi, 0)$ ; classificeer hun linearisaties (centrum-type voor even $k$ , zadel voor oneven $k$ ).
Toon aan dat de banen in de niveaucurven $\{E = E_0\}$ liggen, en schets/beschrijf ze naar de waarde van $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (evenwichten), $-1 < E_0 < 1$ (gesloten curven rond $(2k\pi, 0)$ ), $E_0 = 1$ (de separatrix door $(\pm\pi, 0)$ ), $E_0 > 1$ (grafieken over $x$ : rotaties).
Bewijs dat het onderste evenwicht $(0,0)$ stabiel is maar niet asymptotisch stabiel. (Lyapunov met $V = E + 1$ ; niet-asymptotisch: energiebehoud sluit banen op niveaucurven weg van de oorsprong.)

Deel II — Oscillaties en hun periode. Fixeer $-1 < E_0 < 1$ en schrijf $E_0 = -\cos a$ met $a \in \intoo0\pi$ (de amplitude).

Toon aan dat de oplossing met $x(0) = a$ , $y(0) = 0$ oscilleert: $x(t) \in \intcc{-a}a$ , en de baan is de gesloten curve $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . Rechtvaardig dat de oplossing periodiek is: de baan is een compacte curve zonder evenwichten, doorlopen met snelheid van onderen begrensd — maak hiervan een argument (de oplossing keert in eindige tijd terug naar haar beginpunt, dan dwingt eenduidigheid periodiciteit).
Stel de periodeformule vast

$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}}$

(op een kwartbaan is $y = \frac{\dd x}{\dd t} > 0$ en scheid de variabelen; rechtvaardig de oneigenlijke convergentie in $x = a$ ).
(Kleine oscillaties) Substitueer $\sin\frac x2 = \sin\frac a2\,\sin\varphi$ en toon aan

$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}}, \qquad k = \sin\frac a2$

(een volledige elliptische integraal). Leid via gedomineerde convergentie af dat $T(a) \to 2\pi$ als $a \to 0^+$ : de harmonische limiet, onafhankelijk van de amplitude — de bij benadering isochronie van Galileo, met exacte correctie $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (ontwikkel de integrand en integreer term voor term, gerechtvaardigd door normale convergentie).
Toon aan dat $T(a) \to +\infty$ als $a \to \pi^-$ (schat de integrand van onderen nabij $\varphi = \frac\pi2$ wanneer $k \to 1$ , of pas monotone convergentie toe): de separatrix nadererend, vertraagt de slinger zonder grens.

Deel III — De separatrix.

Voor $E_0 = 1$ , $y = 2\cos\frac x2$ op de bovenste tak: scheid de variabelen en integreer om de expliciete oplossing te vinden

$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$

(met $x(0) = 0$ , $y(0) = 2$ ). Verifieer rechtstreeks dat zij de slingervergelijking oplost, en bereken haar limieten en de limieten van $y(t)$ als $t \to \pm\infty$ .
Concludeer: de separatrixbaan verbindt het zadel $(-\pi, 0)$ (als $t \to -\infty$ ) met het zadel $(\pi, 0)$ (als $t \to +\infty$ ) maar bereikt geen van beide in eindige tijd — consistent met eenduidigheid (waarom zou het bereiken van een zadel in eindige tijd Gevolg 19.4 tegenspreken?).

Deel IV — Rotaties, en het volledige beeld.

Voor $E_0 > 1$ : toon aan dat $y$ nooit verdwijnt, $x$ strikt monotoon en globaal is met $x(t) \to \pm\infty$ , en $t \mapsto y(t)$ periodiek is met periode

$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$
Stel het volledige faseportret samen (de figuur van het hoofdstuk) met volledige rechtvaardiging van elk kenmerk, en schrijf een samenvatting van tien regels van de methode: energie, niveaucurven, compactheid, eenduidigheid — hoe elke stelling van het hoofdstuk binnenkwam. Waar hadden we ooit een formule voor de algemene oplossing nodig?

Deel V — De periodefunctie onder de microscoop.

Bewijs de Wallis-momenten

$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$

door inductie (partieel integreren), ontwikkel de integrand van vraag 6 via de binomiaalreeks, en rechtvaardig term-voor-term-integratie om de volledige reeks te verkrijgen

$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\Bigr), \qquad k = \sin\frac a2 .$
Zet om naar de amplitude:

$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$

(substitueer de ontwikkeling van $\sin\frac a2$ en verzamel). Isochronie faalt in orde $a^2$ , en het falen is nu gekwantificeerd tot orde $a^4$ .
Toon aan dat $a \mapsto T(a)$ continu en strikt stijgend is op $\intoo0\pi$ , en concludeer met vragen 6–7 dat $T$ een bijectie is van $\intoo0\pi$ op $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : elke superkritische periode wordt gerealiseerd door precies één amplitude.
(Rekenkunde van de klokkenmaker) Een slinger afgesteld op verdwijnende amplitude houdt ideale tijd; toon aan dat zij bij amplitude $a$ achterloopt met de fractie $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ van ideale tijd, en bereken de drift voor $a = 0{,}2$ rad: ongeveer $216$ seconden per dag. (De cycloïdale wangen van Huygens en de kleine constante amplitudes van ankergangen zijn beide antwoorden op dit getal.)
Keer terug naar de rotatieperiode $\tau$ van vraag 10: toon aan dat $\tau$ strikt dalend is op $\intoo1{+\infty}$ , dat $\tau(E_0) \to +\infty$ als $E_0 \to 1^+$ (monotone convergentie), en dat $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ als $E_0 \to +\infty$ (gedomineerde convergentie): snelle rotatie is asymptotisch vrije rotatie met hoeksnelheid $\sqrt{2E_0}$ .

Deel VI — De methode geëxporteerd: Lotka–Volterra. Het recept van de slinger — eerste integraal, compacte niveaucurven, eenduidigheid — lost een ecosysteem op. Fixeer $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ en beschouw, op het open kwadrant $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$ ,

x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad y' = y\,(\delta x - \gamma)

( $x$ prooi, $y$ predatoren).

Toon aan dat $Q$ invariant is — de assen zijn unies van banen, expliciet berekenbaar, die geen oplossing mag kruisen (Gevolg 19.4) — en dat het unieke evenwicht in $Q$ is $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .
Toon aan dat

$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$

een eerste integraal is, dat $H = f(x) + g(y)$ met $f, g$ strikt convex en proper op $\intoo0{+\infty}$ met minima in $x_*$ , $y_*$ , en leid af dat alle maximale oplossingen in $Q$ globaal zijn.
Toon aan dat voor $h > h_* = H(x_*, y_*)$ de niveaucurve $\{H = h\}\cap Q$ een gesloten curve is rond het evenwicht: twee continue takken $y_\pm(x)$ over een compact interval $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ , gelijmd in de eindpunten — het analoog van de ovalen van de slinger.
Bewijs dat elke niet-evenwichtsbaan in $Q$ periodiek is: vestig de tegen-de-klok-circulatie door de vier gebieden gesneden door de lijnen $x = x_*$ en $y = y_*$ , schat de oversteektijd van elke boog door een integraal met convergente vierkantswortelsingulariteit (zoals in vraag 5), en sluit met eenduidigheid (zoals in vraag 4).
(Wet van de gemiddelden van Volterra) Als $T$ de periode is van zo’n baan, toon aan dat

$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta, \qquad \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$

de tijds-gemiddelden zijn gelijk aan de evenwichtswaarden, ongeacht de amplitude (integreer $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ over één periode).
(De visparadox) Oogst beide soorten met snelheid $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : het stelsel behoudt zijn vorm met $\alpha - \varepsilon$ en $\gamma + \varepsilon$ in plaats van $\alpha$ en $\gamma$ . Wat gebeurt er met de gemiddelde populaties? Verklaar de waarneming van d’Ancona (1914–1918): toen de Adriatische visserij tijdens de oorlog afnam, nam de proportie predatoren (haaien) in de vangst toe — en waarom matige visserij de prooi bevoordeelt.
Schrijf de moraal van tien regels: welke stellingen van het hoofdstuk drijven elke stap, wat vervangt de energie van de slinger, en waarom had geen van beide stelsels — of laat toe — een elementaire gesloten-vorm-oplossing nodig.
(Snelheidsmodulatie) In het rotatieregime $E_0 > 1$ , toon aan dat $y = x'$ oscilleert tussen $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (in $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) en $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (in $x \equiv 0$ ), dat het tijds-gemiddelde van $y$ over één periode precies $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ is, en dat de modulatieverhouding $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ als $E_0 \to \infty$ : snelle rotatie is asymptotisch uniform.
(Monotonie van de rotatieperiode) Toon aan dat $\tau(E_0)$ van klasse $\mathcal C^1$ en strikt dalend is op $\intoo1{+\infty}$ (differentieer onder het integraalteken, met dominantie op elke $\intco{1 + \delta}\infty$ ), met $\tau \to \infty$ als $E_0 \to 1^+$ en $\tau \to 0$ als $E_0 \to \infty$ . Stel het volledige bifurcatiebeeld van de slinger samen langs de energie-as: evenwichten in $E_0 = -1$ , libraties met periode stijgend van $2\pi$ tot $\infty$ op $-1 < E_0 < 1$ , de separatrix in $E_0 = 1$ , en rotaties met periode dalend van $\infty$ tot $0$ daarbuiten.

Oplossing

Oplossing van Probleem 19.1.

1. $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x + y\sin x = 0$ : energie is een eerste integraal. Op een maximale oplossing is $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$ : $y$ is begrensd; dan groeit $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} + t\sup\abs y$ hoogstens lineair: op elk eindig tijdsinterval blijft de baan in een compactum van $\R^2$ , dus dwingt Stelling 19.5(2) $T_\pm = \pm\infty$ . Evenwichten $(k\pi, 0)$ ; linearisatie $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\ \mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ met $-\cos(k\pi) = \mp1$ : eigenwaarden $\pm\iu$ voor even $k$ (centrum-type, op zich inconclusief) en $\pm1$ voor oneven $k$ (zadel).

2. $E$ constant langs oplossingen sluit elke baan op in een niveaucurve $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$ . Voor $E_0 = -1$ : alleen de punten $(2k\pi, 0)$ . Voor $-1 < E_0 < 1$ : schrijvend $E_0 = -\cos a$ is de verzameling een disjuncte unie van gesloten curven $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ over $x \in [2k\pi - a, 2k\pi + a]$ , één rond elk stabiel evenwicht. Voor $E_0 = 1$ : de curven $y = \pm2\cos\frac x2$ die opeenvolgende zadels verbinden — de separatrix — samen met de zadels zelf. Voor $E_0 > 1$ : twee grafieken $y = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$ , gedefinieerd voor alle $x$ , die $y = 0$ nooit raken.

3. $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ verdwijnt in $(0,0)$ , is positief op een doorboorde omgeving ( $\abs x < 2\pi$ ), en $\dot V = 0 \leq 0$ : Stelling 19.11 geeft stabiliteit. Niet asymptotisch: de oplossing door $(a, 0)$ ( $0 < a$ klein) blijft op de niveaucurve $E = -\cos a$ , waarvan de afstand tot de oorsprong positief is (de curve snijdt de $x$ -as alleen in $\pm a$ ): $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$ .

4. Op de niveaucurve $C_a$ : geen evenwichten ( $y = 0$ dwingt $x = \pm a$ met $\sin(\pm a) \neq 0$ voor $0 < a < \pi$ ), dus heeft de snelheid $\norm{(y, -\sin x)}$ een positief minimum $m$ op de compacte $C_a$ . Volg de oplossing vanaf $(a, 0)$ : in het onderste halfvlak is $x' = y < 0$ , dus daalt $x$ van $a$ tot $-a$ in eindige tijd (de kwart-/halfperiode-integralen convergeren: analyse van vraag 5), en bereikt $(-a, 0)$ ; door de symmetrie $(x, y) \mapsto (x, -y)$ , $t \mapsto -t$ van de vergelijking wordt de bovenste helft in dezelfde tijd $\frac T2$ doorlopen: de oplossing keert terug naar $(a, 0)$ in tijd $T$ . Eenduidigheid (Gevolg 19.4) propageert dan: $x(t + T) = x(t)$ voor alle $t$ : periodiek.

5. Op de tak waar $y > 0$ : $y = \sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ en $\dd t = \frac{\dd x}{y}$ ; integreren van $x$ van $-a$ tot $a$ geeft de halfperiode, en de symmetrie $x \mapsto -x$ halveert de integraal opnieuw:

T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .

Convergentie in $x = a^-$ : $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) + O((a-x)^2)$ met $\sin a > 0$ : de integrand gedraagt zich als $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$ , integreerbaar.

6. Met $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$ , $k = \sin\frac a2$ : $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2) = 2k^2\cos^2\varphi$ en $\frac12\cos\frac x2\,\dd x = k\cos\varphi\,\dd\varphi$ , dus

T(a) = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .

Als $a \to 0^+$ , $k \to 0$ : voor $k \leq k_0 < 1$ wordt de integrand gedomineerd door $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , continu op $\intcc0{\pi/2}$ : DCT geeft $T \to 4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$ . Ontwikkelen van $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ met $u = k^2\sin^2\varphi$ (normale convergentie voor $k < 1$ ) en $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$ :

T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :

isochronie geldt alleen tot eerste orde; de periode groeit met de amplitude.

7. Als $k \uparrow 1$ stijgen de integranden naar $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$ , waarvan de integraal divergeert: door monotone convergentie $T(a) \to +\infty$ als $a \to \pi^-$ .

8. Op de tak $y = 2\cos\frac x2$ ( $\abs x < \pi$ ): $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$ ; met $u = \frac x2$ , $\int\frac{\dd u}{\cos u} = \ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$ , dus $t = \ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$ , d.w.z.

x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi, \qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} = \frac{2}{\cosh t} .

Verificatie via de energie: met $\theta = \arctan\eu^t$ , $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$ , dus $\cos x = -\cos4\theta = -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ en $E = \frac{y^2}2 - \cos x = \frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$ : de baan ligt op de separatrix, en differentiëren van $y^2 = 2(1 + \cos x)$ waar $y > 0$ reproduceert $y' = -\sin x$ . Limieten: $x \to \pm\pi$ en $y \to 0$ als $t \to \pm\infty$ .

9. De baan neigt naar het zadel $(\pi, 0)$ voorwaarts en $(-\pi, 0)$ achterwaarts maar arriveert nooit: als zij $(\pi, 0)$ in een eindige tijd $t^*$ bereikte, zouden twee verschillende maximale oplossingen — de separatrixoplossing en de constante oplossing in het zadel — door hetzelfde punt $(t^*, (\pi, 0))$ gaan, in tegenspraak met Gevolg 19.4. Zadels worden alleen asymptotisch benaderd.

10. Voor $E_0 > 1$ : $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq 2(E_0 - 1) > 0$ : $y$ houdt haar teken, en $\abs{x'} = \abs y \geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$ : $x$ is strikt monotoon, globaal (vraag 1), met $x(t) \to \pm\infty$ . Omdat $y(t) = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ en $\cos$ $2\pi$ -periodiek is, keert $y$ terug naar haar waarde telkens wanneer $x$ met $2\pi$ opschuift; de benodigde tijd is

\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}

(substitutie; periodiciteit): $y$ is $\tau$ -periodiek — de slinger draait met asymptotisch constante rotatiesnelheid $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ voor grote energieën.

11. De methode, in volgorde: energie ( $\dot E = 0$ ) reduceert de tweedimensionale stroom tot eendimensionale niveaucurven; begrensdheid van $y$ op elk niveau plus ontsnappen-uit-compacta geeft globaal bestaan; compactheid van de gesloten niveaus geeft snelheidsgrenzen en dus periodiciteit; eenduidigheid zet de eerste terugkeer om in exacte periodiciteit, verbiedt eindige-tijd-aankomst in zadels, en scheidt de baantypes; linearisatie en Lyapunov classificeren de evenwichten; de periode-integraal wordt geanalyseerd met de convergentie-stellingen van Hoofdstuk 10. Op geen enkel punt bezaten — of hadden — we een gesloten-vorm algemene oplossing: de kwalitatieve theorie trok elk kenmerk van de beweging uit de vergelijking zelf.

12. Partieel: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi \cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1} - W_n)$ , dus $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$ ; met $W_0 = \frac\pi2$ en $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (splits $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$ ), geeft inductie de getoonde waarde. Binomiaalreeks: $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ met $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$ , straal $1$ . Voor $k \leq k_0 < 1$ en $u = k^2\sin^2\varphi$ convergeert de reeks $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ normaal in $\varphi$ ( $c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$ ), dus is term-voor-term-integratie in de formule van vraag 6 legitiem:

T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n = 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n} = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .

Met $c_0 = 1$ , $c_1 = \frac12$ , $c_2 = \frac38$ : $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$ , de restterm uniform voor $k \leq k_0$ (staart gedomineerd door een meetkundige reeks).

13. $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} + O(a^5)$ , dus

k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6), \qquad k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,

\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} + O(a^6) = 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,

want $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072} = \frac{11}{3072}$ .

14. In de elliptische vorm van vraag 6 is $a \mapsto k = \sin\frac a2$ een continue strikt stijgende bijectie van $\intoo0\pi$ op $\intoo01$ , en voor elke $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ is de integrand $(1 - k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ strikt stijgend in $k$ : $T$ is strikt stijgend. Continuïteit: op $k \leq k_0 < 1$ wordt de integrand gedomineerd door de continue $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , dus past gedomineerde convergentie toe langs $k' \to k$ . Met de limieten $T \to 2\pi$ als $a \to 0^+$ (vraag 6) en $T \to +\infty$ als $a \to \pi^-$ (vraag 7) maken strikte monotonie en de tussenwaardestelling $T$ tot een bijectie van $\intoo0\pi$ op $\intoo{2\pi}{+\infty}$ .

15. Een klok telt slagen; afgesteld op verdwijnende amplitude boekt zij de harmonische periode $2\pi$ per slag (in de tijdseenheid van de slinger). Gedraaid op amplitude $a$ is de ware periode $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$ : de klok boekt $2\pi$ terwijl $T(a)$ werkelijk verloopt, dus loopt zij achter met de fractie

\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .

Voor $a = 0{,}2$ rad (ongeveer $11{,}5$ graden): $\frac{a^2}{16} = \frac{0{,}04}{16} = \frac1{400}$ , en een dag heeft $86400$ s: de klok verliest $86400/400 = 216$ seconden — zo’n drieënhalve minuut — per dag. Vandaar de twee historische remedies: een minuscule constante amplitude afdwingen (de ankergang), of de constrainte zo buigen dat de periode exact amplitudevrij is (de cycloïdale wangen van Huygens, 1657).

16. In $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ is de integrand, voor vaste $x$ , strikt dalend in $E_0$ : $\tau$ is strikt dalend. Als $E_0 \downarrow 1$ stijgen de integranden puntsgewijs naar $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$ , waarvan de integraal over $\intoo{-\pi}\pi$ divergeert ( $\cos\frac x2$ verdwijnt van eerste orde in $\pm\pi$ ): monotone convergentie geeft $\tau(E_0) \to +\infty$ . Als $E_0 \to +\infty$ :

\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi

door gedomineerde convergentie (voor $E_0 \geq 2$ is de integrand hoogstens $\sqrt2$ ). Dus $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$ : één omwenteling kost de tijd van vrije rotatie met snelheid $\sqrt{2E_0}$ , de potentiaal gereduceerd tot een rimpel — passend bij de rotatiesnelheid van vraag 10.

17. De assen dragen de expliciete oplossingen $t \mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ en $t \mapsto (0, y_0\eu^{-\gamma t})$ , samen met het evenwicht $(0, 0)$ : zij zijn unies van banen. Het veld is $\mathcal C^1$ , dus lokaal Lipschitz; een oplossing die in $Q$ start en een as zou raken, zou door een punt van één van die banen gaan en, door Gevolg 19.4, ermee samenvallen — onmogelijk, de ene levend op de as en de andere niet. Dus is $Q$ invariant in beide tijdsrichtingen. Evenwichten in $Q$ : $x > 0$ dwingt $\alpha - \beta y = 0$ en $y > 0$ dwingt $\delta x - \gamma = 0$ : het enige punt $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .

18. Langs een oplossing,

\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' + \Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y' = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .

$f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ heeft $f'' = \gamma/x^2 > 0$ , $f'$ verdwijnend alleen in $x_*$ , en $f \to +\infty$ zowel in $0^+$ als in $+\infty$ : strikt convex en proper, minimum $f(x_*)$ ; evenzo $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$ , minimum $g(y_*)$ . Dus $H \geq h_*$ met gelijkheid alleen in $(x_*, y_*)$ , en elk subniveau $\{H \leq h\}\cap Q$ is compact: $f(x) \leq h - g(y_*)$ sluit $x$ op in een compact interval van $\intoo0{+\infty}$ door properheid, evenzo $y$ , en de verzameling is gesloten in $\R^2$ aangezien $H \to +\infty$ aan de rand van $Q$ . Een maximale oplossing blijft op haar compacte niveaucurve, dus kan zij niet in eindige tijd uit elk compactum vertrekken: Stelling 19.5 maakt haar globaal.

19. Fixeer $h > h_*$ en stel $c = h - g(y_*) > f(x_*)$ . Omdat $f$ strikt daalt van $+\infty$ tot $f(x_*)$ op $\intoc0{x_*}$ en strikt stijgt terug tot $+\infty$ op $\intco{x_*}{+\infty}$ , heeft de vergelijking $f(x) = c$ precies twee wortels $x_- < x_* < x_+$ , en $\{f \leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$ . Voor $x \in \intoo{x_-}{x_+}$ : $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ heeft precies twee wortels $y_-(x) < y_* < y_+(x)$ , continu in $x$ (inversen van de strikt monotone continue restricties van $g$ aan weerszijden van $y_*$ ), met $y_\pm(x) \to y_*$ als $x \to x_\pm$ ; in $x = x_\pm$ is de unieke oplossing $y = y_*$ . Dus is $\{H = h\}\cap Q$ de unie van de grafieken van $y_+$ en $y_-$ over $\intcc{x_-}{x_+}$ , gelijmd in $(x_\pm, y_*)$ : een gesloten curve rond $(x_*, y_*)$ — het analoog van de ovalen van de slinger.

20. Zij $C_h = \{H = h\}\cap Q$ met $h > h_*$ : het enige evenwicht van $Q$ ligt buiten $C_h$ , dus verdwijnt het veld er nooit. Tekens: $x' = \beta x(y_* - y)$ , $y' = \delta y(x - x_*)$ : de beweging gaat rechts onder de lijn $y = y_*$ , omhoog rechts van $x = x_*$ , links boven, omlaag links — circulatie tegen de klok in. Volg de oplossing vanaf een punt $(x_0, y_-(x_0))$ van de open onderste tak, waar $x' > 0$ : de tijd om de rechterhoek $B = (x_+, y_*)$ te bereiken is

\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* - y_-(x)\bigr)} .

Nabij $x_+$ , kies $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$ ; voor $x \in \intcc{x'}{x_+}$ is $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ ( $f'$ is stijgend en positief voorbij $x_*$ ), terwijl de niveaurelatie en de ongelijkheid van Taylor geven $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* - y_-(x))^2$ op het compacte $y$ -bereik van $C_h$ : dus $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ met $c > 0$ , en de integrand is $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$ : integreerbaar — de convergentie van vraag 5, overgezet. Elders op de tak is de integrand continu. Dus wordt $B$ in eindige tijd bereikt; daar is $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$ , de baan treedt het gebied $x > x_*$ , $y > y_*$ binnen, klimt naar de bovenhoek $(x_*, y_+)$ via de symmetrische schatting (rollen van $f$ en $g$ omgewisseld), en zo verder rond de vier bogen: na een eindige tijd $T > 0$ keert de oplossing terug naar haar startpunt. Door Gevolg 19.4 is zij $T$ -periodiek — het argument van vraag 4, woordelijk.

21. Op een $T$ -periodieke baan in $Q$ is $t \mapsto \ln x(t)$ van klasse $\mathcal C^1$ en $T$ -periodiek, dus

0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t = \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t = \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,

wat $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$ geeft; evenzo $0 = \int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ geeft $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$ . De tijds-gemiddelden zijn de evenwichtswaarden, voor elke baan ongeacht de amplitude — een behoudswet die niemand met de hand erin stopte.

22. Met oogsten is het stelsel opnieuw van Lotka–Volterra-vorm, met parameters $\alpha - \varepsilon$ , $\beta$ , $\gamma + \varepsilon$ , $\delta$ (het inwendige evenwicht blijft bestaan omdat $\varepsilon < \alpha$ ). Vraag 21 toegepast op het nieuwe stelsel:

\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta} \ \ (\text{prooi-gemiddelde stijgt}), \qquad \bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta} \ \ (\text{predator-gemiddelde daalt}) :

indiscriminate oogst verschuift het evenwicht naar de prooi. De data van d’Ancona lezen dit achterstevoren: de oorlog snoeide de visserij, $\varepsilon$ daalde, dus steeg het predator-gemiddelde $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ en daalde het prooi-gemiddelde — een groter haaienaandeel in de vangst, precies wat de Adriatische vismarkten optekenden. Dit is het principe van Volterra, hetzelfde mechanisme achter pesticidenparadoxen: beide trofische niveaus uitdunnen bevoordeelt het niveau dat gegeten wordt.

23. Het recept, beide keren: (i) een eerste integraal — $E$ voor de slinger, $H$ hier, gevonden door scheiden van $\dd y/\dd x$ — stort het vlak in op curven; (ii) properheid en compactheid van de niveaucurven geven globaal bestaan via Stelling 19.5; (iii) de meetkunde van de niveaus — ovalen, uit de vorm van $\cos$ daar en de strikte convexiteit van $f$ en $g$ hier — wordt afgelezen uit de integraal, niet de stroom; (iv) een niet-verdwijnend veld op een compact ovaal plus integreerbare hoeksingulariteiten dwingt een eindige terugkeertijd; (v) eenduidigheid (Gevolg 19.4) zet terugkeer om in periodiciteit en verbiedt eindige-tijd-aankomst in evenwichten; (vi) de dividenden — periode-ontwikkelingen, wetten van gemiddelden — komen uit de convergentie-stellingen toegepast op de resulterende integralen. Noch $x'' = -\sin x$ noch Lotka–Volterra laat een elementaire gesloten-vorm-oplossing toe (elliptische integralen in het ene geval, transcendentale niveaucurven in het andere), en op geen enkel punt was er één nodig: de vergelijking zelf, kwalitatief ondervraagd, gaf de hele beweging prijs.

24. Op een energieniveau $E_0 > 1$ is $y^2 = 2(E_0 + \cos x) > 0$ : extrema van $y^2$ in $\cos x = \pm1$ , wat de genoemde grenzen geeft, bereikt in $x \equiv 0, \pi$ . Tijds-gemiddelde over één periode $\tau = \tau(E_0)$ : $x$ schuift precies $2\pi$ op, dus

\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) - x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .

De verhouding van extreme snelheden is $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$ : bij hoge energie is de $\pm1$ -rimpel van de potentiaal verwaarloosbaar tegen $E_0$ , en de slinger draait bijna uniform — de wasbordvlakte wordt vlak.

25. Op $E_0 \geq 1 + \delta$ wordt de integrand van $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ gedomineerd door $(2\delta)^{-1/2}$ en haar $E_0$ -afgeleide

\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}

door $(2\delta)^{-3/2}$ , beide integreerbaar op het compacte $\intcc{-\pi}\pi$ : differentiatie onder de integraal (Stelling 10.15) past toe en geeft $\tau'(E_0) < 0$ (de integrand is strikt negatief): strikt dalend, $\mathcal C^1$ . Limieten: als $E_0 \to \infty$ , $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$ ; als $E_0 \to 1^+$ : schrijf $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$ ; de integrand stijgt als $E_0$ daalt, dus door monotone convergentie

\tau(E_0) \;\nearrow\; \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}} = +\infty,

de limietintegraal divergeert in $x = \pm\pi$ (daar $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$ , een niet-integreerbare $\frac1{\abs\cdot}$ ): de periode explodeert bij nadering van de separatrix, passend bij $T(a) \to \infty$ van Deel II vanaf de libratiekant. De energie-as leest: rust in $E_0 = -1$ ; libraties, $2\pi \nearrow \infty$ , op $\intoo{-1}1$ ; de oneindig trage separatrix in $E_0 = 1$ ; rotaties, $\infty \searrow 0$ , daarbuiten. Eén integraal, het hele leven van de slinger.