Wat is Deelruimte?

Voorbeeld 18.4

In $\mathcal{F}(\R, \R)$: de continue functies, de afleidbare, de veeltermen van graad $\leq n$ (genoteerd $K_n[X]$ binnen $K[X]$), de oplossingen van een homogene lineaire differentiaalvergelijking (Stelling 5.10 zei precies dat). Geen voorbeelden: $\{f : f(0) = 1\}$ (geen nulelement), graad precies $n$ (niet stabiel onder optelling).

Voorbeeld 18.5 (Deelruimte of niet: vier oordelen, beargumenteerd)

In de ruimte van reële rijen:

• $\{u : u \text{ begrensd}\}$ is een deelruimte: $0$ is begrensd, en is $\abs{u_n} \leq M$ en $\abs{v_n} \leq M'$, dan is $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$.
• $\{u : u_n \to 1\}$ is geen deelruimte: de nulrij ontbreekt (en de som van twee leden nadert tot $2$).
• $\{u : u \text{ monotoon}\}$ is er geen: $u_n = n$ en $v_n = -n + (-1)^n$ zijn monotoon, hun som $(-1)^n$ niet; de stabiliteit onder optelling is het axioma dat faalt, ook al bevat de verzameling $0$ en alle scalaire veelvouden van haar leden.
• $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ is er geen: zij bevat $0$, maar $2u$ ontsnapt zodra $u$ een lid ongelijk aan nul is ($2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ in het algemeen) — het kwadrateren is de niet-lineariteit.

De werkvolgorde is altijd dezelfde: toets eerst $0$ (het goedkoopst), daarna de stabiliteit — en om te weerleggen verslaat één expliciet paar tegenvoorbeelden elke hoeveelheid twijfel.

Voorbeeld 18.12 (Een complementair paar in $K_n[X]$)

Leg $a \in K$ vast en stel $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ en $G = \operatorname{Vect}(1)$ (de constanten). Dan is $K_n[X] = F \oplus G$. Inderdaad bestaat $F \cap G$ uit de constanten die in $a$ nul worden, dus uit $\{0\}$; en elke $P$ ontbindt als

De ontbinding is het onthouden waard: de waarde in een punt aftrekken is de standaardmanier om op “functies die in $a$ nul worden” te projecteren. Merk op dat $F$ een grote deelruimte is en $G$ een kleine; een complementair paar hoeft in geen enkele zin in evenwicht te zijn.