Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

22Determinanten en lineaire stelsels

De determinant perst in één scalair het antwoord samen op de vraag “vormen deze $n$ vectoren een basis?” — en meet, meetkundig, het volume dat zij opspannen. Wij karakteriseren hem met zijn eigenschappen (multilineair, alternerend, genormaliseerd), berekenen hem in dimensie $2$ en $3$ en in het algemeen met cofactorontwikkeling, en zetten hem aan het werk op lineaire stelsels, naast het algoritme voor alles: de Gauss-eliminatie.

22.1 De determinant

Stelling 22.1 (Karakterisering)

Er is precies één afbeelding $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ , opgevat als functie van de $n$ kolommen, die

lineair in elke kolom is (met de andere vast);
alternerend is: twee kolommen verwisselen verandert het teken (dus twee gelijke kolommen geven $0$ );
genormaliseerd is: $\det I_n = 1$ .

Voor $n = 2$ en $3$ :

\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc, \qquad \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

(de $3 \times 3$ regel van Sarrus: de producten van de dalende diagonalen min die van de stijgende).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 22.2

Voor $n = 2$ geeft het ontwikkelen met bilineariteit op de canonieke kolommen de formule, die omgekeerd aan de axioma’s voldoet — een volledig bewijs; $n = 3$ verloopt identiek met meer termen. Het algemene geval (bestaan via de som over permutaties, eenduidigheid via dezelfde ontwikkeling) vraagt het teken van een permutatie en wordt uitgesteld tot het tweede jaar; wij gebruiken de axioma’s en de gevolgen hieronder vrijelijk.

De ontwikkeling voor $n = 2$ volledig, want zij is het sjabloon: met kolommen $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ en $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ geeft de bilineariteit

\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2) + cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),

en het alterneren doodt de herhaalde paren en klapt $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ om: het geheel stort in tot $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ wegens de normalisatie. De eenduidigheid is in de berekening zelf zichtbaar — de axioma’s lieten bij geen enkele stap een keuze — en dat is precies het feit over eenduidigheid op een schaalfactor na dat in het bewijs van de productregel hieronder wordt gebruikt.

Stelling 22.3 (Eigenschappen)

Voor $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

een veelvoud van een kolom bij een andere optellen verandert de determinant niet; een kolom met $\lambda$ vermenigvuldigen vermenigvuldigt hem met $\lambda$ (dus $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
$\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
$A$ is inverteerbaar $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ de kolommen vormen een basis van $K^n$ ; en dan is $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ;
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — dus is elke kolomregel ook een rijregel;
de determinant van een driehoeksmatrix is het product van haar diagonaalingangen.

Bewijs. (1) Wegens de lineariteit is $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ , waarbij de tweede determinant twee gelijke kolommen heeft: nul.

(2) Leg $A$ vast en beschouw $\varphi(B) = \det(AB)$ als functie van de kolommen van $B$ : omdat $AB$ de kolommen $AB_j$ heeft, is $\varphi$ multilineair en alternerend in de $B_j$ . Wij nemen, samen met Stelling 22.1, de uitspraak over de eenduidigheid in geschaalde vorm aan: elke multilineaire alternerende afbeelding $\varphi$ van de kolommen is gelijk aan $\varphi(I_n) \cdot \det$ . Hier is $\varphi(I_n) = \det A$ , dus $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ .

(3) Is $A$ inverteerbaar, dan is $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$ , dus $\det A \neq 0$ en geldt de formule voor de inverse. Is $A$ niet inverteerbaar, dan zijn haar kolommen afhankelijk (Gevolg 20.9 en Propositie 20.2); één kolom via de andere uitdrukken en met lineariteit ontwikkelen laat determinanten met twee gelijke kolommen over: $\det A = 0$ . De uitspraak over de basis is Propositie 19.8.

(4) Aangenomen samen met de algemene constructie (op de formule met permutaties is zij onmiddellijk); wij noteren haar om rij-operaties te kunnen gebruiken.

(5) Wordt een diagonaalingang nul, dan zijn de eerste $k$ kolommen voor zekere $k$ afhankelijk (rangoverwegingen) en is $\det = 0 =$ het product. Anders veegt men elke kolom linksonder schoon met bewerkingen van type (1) — mogelijk in de driehoeksgedaante — en bereikt men de diagonaalmatrix, waarvan de determinant met multilineariteit vanuit $I_n$ het product van de ingangen is. ∎

Voorbeeld 22.4 (De regels, getoetst aan getallen)

Neem $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) en $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ( $\det B = -1$ ). Dan is

AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}, \quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ; \qquad \det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2 = \det A .

Multiplicativiteit en invariantie onder transponeren bevestigd — terwijl de valse additiviteit op hetzelfde paar faalt:

\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7 \neq \det A + \det B = -3 .

Dertig seconden rekenwerk van dit soort, na elk beroep op een identiteit met determinanten, is de goedkoopste foutverzekering die er is.

Voorbeeld 22.5 (Determinanten als oppervlakten)

Het parallellogram opgespannen door $u = (2, 0)$ en $v = (1, 3)$ heeft basis $2$ en hoogte $3$ : oppervlakte $6$ . En

\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :

de $2\times2$ determinant is de georiënteerde oppervlakte van het parallellogram van zijn kolommen. De axioma’s vertellen de meetkunde opnieuw: een veelvoud van de ene kolom bij de andere optellen is een afschuiving, die het parallellogram evenwijdig met een zijde verschuift zonder basis of hoogte te veranderen (bewerking (1) van Stelling 22.3); een kolom schalen schaalt de oppervlakte; de kolommen verwisselen klapt de oriëntatie om, vandaar het teken $\det(v, u) = -6$ . In $\R^3$ geeft dezelfde lezing georiënteerde volumes, en wordt $\abs{\det}$ de universele volumeschaalfactor van lineaire afbeeldingen — het feit achter de formule voor verandering van veranderlijken in meervoudige integralen in het volume van bachelorjaar 2.

Stelling 22.6 (Cofactorontwikkeling)

Zij $A \in \mathcal{M}_n(K)$ en $\Delta_{ij}$ de determinant van $A$ met rij $i$ en kolom $j$ geschrapt. Dan geldt, voor elke vaste kolom $j$ (of rij, door te transponeren):

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 22.7

Ontwikkeling langs de eerste kolom:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \times 3 - 2 = 4 .

Strategie: maak eerst nullen (rij- en kolomoperaties), en ontwikkel daarna langs de leegste lijn.

Voorbeeld 22.8 (De inverse met cofactoren, één keer met de hand)

Voor $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ is $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$ . De negen cofactoren $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ voegen zich samen tot

\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},

de formule die in Oefening 22.8 wordt aangehaald. Controleer één paar rij-kolom: (rij $1$ van $A$ )(kolom $1$ van $A^{-1}$ ) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$ , en tegen kolom $2$ : $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$ . Negen $2\times2$ determinanten voor één $3\times3$ inverse: al bij deze omvang is rijreductie (Oefening 22.3) goedkoper — de waarde van de cofactorformule is theoretisch (geheeltalligheid in Oefening 22.8, afleidbaarheid van de inverse in latere volumes), niet rekenkundig.

Voorbeeld 22.9 (De blokdriehoeksregel, in omvang $4$ )

Bewering: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$ voor $2\times2$ blokken. Veeg het $N$ -blok schoon met kolomoperaties: geschikte combinaties van de kolommen $1, 2$ bij de kolommen $3, 4$ optellen verwijdert $N$ wanneer $M$ inverteerbaar is (los $M\Lambda = -N$ op voor de combinatiecoëfficiënten $\Lambda$ ), zodat $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ overblijft; daarna geeft de cofactorontwikkeling langs de eerste kolom, twee keer, de waarde $\det M\det P$ voor deze blokdiagonale gedaante. Is $M$ niet inverteerbaar, dan zijn haar kolommen afhankelijk, en dus zijn de eerste twee kolommen van de grote matrix afhankelijk (hun onderste helften zijn nul): beide leden worden nul. De regel breidt zich met hetzelfde argument in twee gevallen uit tot willekeurige blokomvangen — en zij is de motor van Oefening 22.10.

Voorbeeld 22.10 (Een $4 \times 4$ determinant, strategisch)

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.

Elke rij sommeert tot $10$ : de bewerking $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ maakt de eerste kolom constant, en het afsplitsen van $10$ laat enen over. Daarna veegt $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) de eerste kolom schoon:

\Delta = 10\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & -2 & -2\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10 \times 16 = 160,

waarbij de laatste $3\times3$ determinant langs zijn eerste rij wordt ontwikkeld: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$ . Moraal: één goedgekozen bewerking (het opmerken van de constante rijsom) verslaat zestien cofactoren.

Methode 22.11 (Een strategie voor determinanten kiezen)

Bekijk de matrix voordat je iets berekent.

Constante rij- of kolomsommen: tel alles bij één lijn op en splits de gemeenschappelijke waarde af (Voorbeeld 22.10, Oefening 22.7).
Repetitieve structuur: trek naburige rijen of kolommen van elkaar af om nullen te maken; trappatronen storten in naar de driehoeksvorm, waarvan de determinant op de diagonaal wordt afgelezen.
Geïsoleerde nullen: ontwikkel langs de leegste lijn (Voorbeeld 22.7); recursieve families (tridiagonaal, Oefening 22.6) leveren zo recursies op.
Een parameter: de determinant is een veelterm daarin; vind zijn wortels door de ontaarde waarden op te merken (gelijke rijen, evenredige kolommen), en pin de veelterm daarna vast met de graad en de kopcoëfficiënt. Voor de matrix van Oefening 22.7: $m = 1$ geeft drie gelijke rijen (rang $1$ , een dubbele wortel), $m = -2$ maakt de som van de rijen nul (nog een wortel); de determinant heeft graad $3$ in $m$ met kopterm $-m^3$ (het product van de antidiagonaal $m\cdot m\cdot m$ , waarvan het teken bij Sarrus $-1$ is), dus moet hij $-(m+2)(m-1)^2$ zijn — geen ontwikkeling nodig, en de twee methoden controleren elkaar.

Voorbeeld 22.12 (Vandermonde-determinant)

Voor scalairen $x_1, \dots, x_n$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & & & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .

Schets van het bewijs (uitgewerkt in Oefening 22.5): de kolomoperaties $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ van rechts af vegen de eerste rij schoon, en het afsplitsen van elke resterende rij herleidt alles tot $V(x_2, \dots, x_n)$ . Ongelijk aan nul dan en slechts dan als de $x_i$ paarsgewijs verschillend zijn — de determinant achter de Lagrange-interpolatie (Voorbeeld 20.10).

22.2 Lineaire stelsels

Definitie 22.13

Een lineair stelsel van $n$ vergelijkingen in $p$ onbekenden is $AX = B$ met $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; het is homogeen wanneer $B = 0$ . Zijn oplossingsverzameling is, indien niet leeg, gelijk aan $X_0 + \ker A$ : een bijzondere oplossing plus de algemene homogene oplossing — een affiene deelruimte van dimensie $p - \operatorname{rk} A$ (dimensiestelling).

Voorbeeld 22.14 (De affiene structuur, zichtbaar gemaakt)

Los op:

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

Aftrekken van de vergelijkingen geeft $2y - z = 1$ , dus $z = 2y - 1$ en $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . De oplossingen vormen de rechte

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

de bijzondere oplossing $X_0 = (4, 0, -1)$ (de keuze $y = 0$ ) plus de kernrechte $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ van het bijbehorende homogene stelsel — controle: $(-3) + 1 + 2 = 0$ en $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Meetkundig snijden twee niet-evenwijdige vlakken van $\R^3$ elkaar langs een rechte, en de dimensietelling $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ wist dat al voordat wij iets oplosten. De bijzondere oplossing veranderen (zeg $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) verandert de beschrijving, niet de rechte: een affiene deelruimte heeft vele oorsprongen en één richting.

Stelling 22.15 (Vierkante stelsels van Cramer)

Is $A \in GL_n(K)$ , dan heeft het stelsel $AX = B$ de eenduidige oplossing $X = A^{-1}B$ , waarvan de coördinaten

x_j = \frac{\det A_j}{\det A}, \qquad A_j = A \text{ met kolom } j \text{ vervangen door } B

zijn.

Bewijs. Het bestaan en de eenduidigheid zijn de inverteerbaarheid. Voor de formule: schrijf $B = \sum_k x_k C_k$ (de kolommen van $A$ ); dan geeft de multilineariteit met het alterneren

\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr) = \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n) = x_j \det A ,

waarbij elke term behalve $k = j$ een herhaalde kolom heeft. ∎

Voorbeeld 22.16 (Cramer met een parameter, volledig)

Los voor $m \in \R$ op:

\begin{cases} x + m y = 1\\ m x + y = 2 . \end{cases}

De determinant is $1 - m^2$ . Generiek geval $m \neq \pm1$ : Cramer geeft

x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{1 - 2m}{1 - m^2}, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{2 - m}{1 - m^2},

één nette oplossing voor elke toelaatbare $m$ (controle bij $m = 0$ : $(1, 2)$ , uiteraard juist). Ontaarde gevallen: bij $m = 1$ luiden de vergelijkingen $x + y = 1$ en $x + y = 2$ : onverenigbaar; bij $m = -1$ luiden zij $x - y = 1$ en $-x + y = 2$ , dat wil zeggen $x - y = 1$ en $x - y = -2$ : opnieuw onverenigbaar. Dat de determinant nul wordt, kondigt aan dat er iets ontaardt, maar zegt nooit wat — leeg of oneindig moet worden beslist door naar het rechterlid te kijken. Merk ook op hoe de formules hun eigen grenzen aangeven: als $m \to 1^{-}$ , gaat $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$ ; het oplossingspunt loopt weg naarmate de twee rechten evenwijdig worden.

Methode 22.17 (Gauss-eliminatie op stelsels)

Reduceer de aangevulde matrix $(A \mid B)$ met rijoperaties tot de trapvorm.

Verschijnt er een spil in de laatste kolom (een regel $0 = 1$ ), dan is er geen oplossing.
Anders splitsen de onbekenden zich in spilonbekenden en vrije onbekenden (parameters); terugsubstitutie drukt de eerste in de tweede uit: de oplossingsverzameling is een affiene deelruimte van dimensie $=$ het aantal vrije onbekenden.

De formules van Cramer zijn er voor de theorie en voor kleine stelsels; de eliminatie is het praktische algoritme.

Voorbeeld 22.18 (Een bespreking met parameter)

Beschouw voor $m \in \R$

\begin{cases} x + y + mz = 1\\ x + my + z = 1\\ mx + y + z = 1 . \end{cases}

De matrix heeft determinant $-(m+2)(m-1)^2$ (berekend in Oefening 22.7 door alle kolommen bij de eerste op te tellen). Voor $m \neq 1, -2$ : één oplossing $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (uit symmetrie). Voor $m = 1$ : één vergelijking die drie keer wordt herhaald, een vlak van oplossingen. Voor $m = -2$ : het optellen van de drie vergelijkingen geeft $0 = 3$ , geen oplossing.

Opmerking 22.19 (Veelgemaakte fouten)

De determinant is niet lineair in de matrix: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (al $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$ ); hij is lineair in elke kolom afzonderlijk, en dat is iets heel anders. Schalen: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , niet $\lambda\det A$ — elk van de $n$ kolommen wordt geschaald. Rij-operaties zijn niet alle gratis: $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ bewaart de determinant, maar een verwisseling verandert het teken en $L_i \leftarrow \lambda L_i$ vermenigvuldigt hem met $\lambda$ — boekhoudfouten hier zijn de klassieke bron van verkeerde tekens in berekeningen met eliminatie. Een determinant nul is het begin, niet het einde: hij zegt “rang $< n$ ” maar niet welke rang; alleen verder werk (trapvorm, of de minoren van Oefening 22.12) lokaliseert hem — vergelijk het geval $m = 1$ met $m = -2$ in Voorbeeld 22.18. Cramer vereist inverteerbaarheid: is $\det A = 0$ , dan zijn de formules $x_j = \det A_j/\det A$ betekenisloos, en kan het stelsel best (oneindig veel) oplossingen hebben. Alleen vierkante matrices hebben determinanten: voor een rechthoekig stelsel is de eliminatie het enige gereedschap.

Opmerking 22.20 (Waar determinanten heen gaan)

Drie levens wachten deze scalair. Meetkundig: $\abs{\det}$ is de schaalfactor voor oppervlakte of volume van de bijbehorende afbeelding — precies gemaakt voor het vlak in Hoofdstuk 23 en, als jacobiaan van een verandering van veranderlijken, in de meervoudige integralen van het volume van bachelorjaar 2. Algebraïsch: $\det(A - \lambda I)$ , de karakteristieke veelterm, opent de theorie van de eigenwaarden in bachelorjaar 2 — de identiteit $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ van de weekendopgave van Hoofdstuk 21 is haar eerste schaduw. Analytisch: determinanten van bijzondere matrices (Vandermonde, Cauchy, Gram) beslissen wanneer problemen van interpolatie, ontbinding en projectie goed gesteld zijn; de weekendopgave hieronder evalueert de eerste twee families volledig.

Opmerking 22.21 (Vooruitzichten binnen boek 3)

Dit hoofdstuk sluit de ruggengraat van de lineaire algebra van het volume af, en de twee resterende hoofdstukken innen de dividenden. In Hoofdstuk 23: de grammatrix $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ toetst de vrijheid met een determinant (Oefening 23.11), en de isometrieën van het vlak splitsen zich in rotaties en spiegelingen volgens het teken van hun determinant — de classificatie van de weekendopgave aldaar draait erop. In Hoofdstuk 25: de grootheid $rt - s^2$ van Monge is de determinant van de symmetrische matrix van de tweede afgeleiden, en de normaalvergelijkingen van de kleinste kwadraten vormen een stelsel van Cramer waarvan de matrix een grammatrix (en dus een momentenmatrix) is — inverteerbaar precies volgens de criteria in de geest van Vandermonde die hier zijn vastgesteld. Wanneer die hoofdstukken “inverteerbaar” of “positief” beweren, liggen de bewijsstukken in dit hoofdstuk.

22.3 Oefeningen

Oefening 22.1 ★

Bereken:

\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$ .

Tweede: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (op de oorspronkelijke rijen) geven de rijen $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ : twee gelijke rijen, determinant $0$ . (Sarrus bevestigt: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ .)

Derde: het is Vandermonde met $x = 1, 2, 3$ (Voorbeeld 22.12): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$ .

Oefening 22.2 ★

Voor welke $\lambda \in \R$ is de familie $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ een basis van $\R^3$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

De determinant is gelijk aan (tel alle kolommen bij de eerste op en splits af) $(\lambda + 2)$ maal

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda - 1)^2

(veeg schoon met $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ en ontwikkel), wat $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ geeft. Basis $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$ .

Oefening 22.3 ★

Los op met de regel van Cramer:

\begin{cases} 2x + y = 5\\ 3x - 2y = 4 , \end{cases} \qquad\text{en daarna}\qquad \begin{cases} x + y + z = 6\\ x - y + z = 2\\ 2x + y - z = 1 . \end{cases}

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

Eerste stelsel: $\det = -7$ ; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix} = \frac{-14}{-7} = 2$ , $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix} = \frac{-7}{-7} = 1$ . Controle: $2(2) + 1 = 5$ ; $3(2) - 2 = 4$ .

Tweede stelsel: na $L_2 - L_1$ en $L_3 - 2L_1$ worden de rijen $(1,1,1)$ , $(0,-2,0)$ , $(0,-1,-3)$ , dus

\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .

Cramer, met de kolommen vervangen door $(6,2,1)^{\mathsf T}$ :

x = \frac{6}{6} = 1, \qquad y = \frac{12}{6} = 2, \qquad z = \frac{18}{6} = 3

(de tellers op dezelfde wijze berekend). Controle: $1 + 2 + 3 = 6$ ; $1 - 2 + 3 = 2$ ; $2 + 2 - 3 = 1$ .

Oefening 22.4 ★

Los op met Gauss-eliminatie, met beschrijving van de oplossingsverzameling:

\begin{cases} x + 2y - z + t = 1\\ 2x + 4y + z - t = 5\\ x + 2y + 2z - 2t = 4 . \end{cases}

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

Reduceer de aangevulde matrix: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Spilonbekenden $x, z$ ; vrije onbekenden $y, t$ . Terugsubstitutie: $z = 1 + t$ , $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$ . Oplossingsverzameling:

\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\} = (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\, (0,0,1,1)\bigr),

een affien vlak (dimensie $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$ ) van $\R^4$ .

Oefening 22.5 ★★

Bewijs de formule van Vandermonde uit Voorbeeld 22.12 met inductie op $n$ , met de kolomoperaties $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ uitgevoerd van $k = n$ omlaag tot $k = 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

Inductie; $n = 1$ is het lege product $= 1$ . Voer voor de stap $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ uit voor $k = n, n-1, \dots, 2$ (in die volgorde, zodat elke bewerking een nog niet gewijzigde kolom gebruikt). De eerste rij wordt $(1, 0, \dots, 0)$ ; in rij $i \geq 2$ wordt de $k$ -de ingang $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$ . Ontwikkelen langs de eerste rij en $(x_i - x_1)$ uit elke rij $i$ afsplitsen geeft

V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),

en de inductiehypothese vervolledigt het product $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .

Oefening 22.6 ★★

(Tridiagonaal) Zij $D_n$ de $n \times n$ determinant met $2$ op de diagonaal, $1$ op de twee aangrenzende diagonalen en $0$ elders. Bewijs door langs de eerste rij te ontwikkelen dat $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ , en bereken $D_n$ ( $D_1 = 2$ , $D_2 = 3$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

Ontwikkeling van $D_n$ langs de eerste rij: $D_n = 2 D_{n-1} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-blok} \end{vmatrix}$ ; de tweede determinant is, ontwikkeld langs zijn eerste kolom, gelijk aan $D_{n-2}$ . Dus $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ , dat wil zeggen $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ : de verschillen zijn constant, gelijk aan $D_2 - D_1 = 1$ . Bijgevolg is $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$ . (Controle: $D_2 = 3$ , en het geval $3\times3$ is Voorbeeld 22.7: $D_3 = 4$ .)

Oefening 22.7 ★★

Vul Voorbeeld 22.18 aan: bereken de determinant $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ met de bewerking $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ , en voer de volledige bespreking van het stelsel uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ maakt de eerste kolom constant gelijk aan $(m+2)$ ; splits die af:

\det = (m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=} (m+2)\begin{vmatrix} 0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)

(ontwikkel langs de eerste kolom: de enige ingang $1$ draagt teken $+$ , en de resterende $2 \times 2$ determinant is $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$ ).

Bespreking. $m \notin \{1, -2\}$ : een stelsel van Cramer; wegens de symmetrie van de vergelijkingen is $x = y = z$ , en geeft elke vergelijking $(m + 2)x = 1$ : eenduidige oplossing $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$ . $m = 1$ : alle drie de vergelijkingen luiden $x + y + z = 1$ : de oplossingen vormen het affiene vlak $x + y + z = 1$ . $m = -2$ : het optellen van de drie vergelijkingen geeft $0 = 3$ : lege oplossingsverzameling.

Oefening 22.8 ★★

Zij $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ met gehele ingangen. Bewijs dat $A$ een inverse met gehele ingangen heeft dan en slechts dan als $\det A = \pm 1$ . (Neem voor de rechte richting determinanten; neem voor de omkering aan — of bewijs voor $n \leq 3$ met cofactoren — dat $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\, \operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ met een gehele cofactormatrix.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

( $\Rightarrow$ ) Heeft $A^{-1}$ gehele ingangen, dan is $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ met beide determinanten geheel (sommen van producten van ingangen): twee gehele getallen met product $1$ zijn beide $\pm1$ .

( $\Leftarrow$ ) De cofactorformule $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (voor $n \leq 3$ door rechtstreeks ontwikkelen nagegaan, in het algemeen aangenomen) heeft een $\operatorname{Com}(A)$ met gehele ingangen (elke cofactor is een gehele determinant); delen door $\det A = \pm 1$ behoudt de geheeltalligheid.

Oefening 22.9 ★★★

Bereken de $n \times n$ determinant van de matrix $aI + bJ$ (Oefening 21.9), dus met $a + b$ op de diagonaal en $b$ elders. (Tel alle kolommen bij de eerste op, splits af, en veeg schoon.) Vind de voorwaarde voor inverteerbaarheid $a \neq 0$ , $a + nb \neq 0$ terug.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

Tel alle kolommen bij de eerste op: elke ingang van de nieuwe eerste kolom is $a + nb$ ; splits die af, zodat de eerste kolom uit enen bestaat. De rij-operaties $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) vegen dan elke ingang onder de $1$ linksboven schoon en laten $a$ op de diagonaal en $0$ elders in die rijen: de matrix is een bovenste driehoeksmatrix met diagonaal $(1, a, \dots, a)$ . Bijgevolg

\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,

ongelijk aan nul dan en slechts dan als $a \neq 0$ en $a + nb \neq 0$ : de voorwaarde van Oefening 21.9.

Oefening 22.10 ★★★

Zij $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$ . Bewijs dat

\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix} = \det(A + B)\,\det(A - B),

met blokoperaties op kolommen en rijen ( $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$ , daarna $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , in blokvorm), waarbij je de natuurlijke blokdriehoeksregel $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M \det P$ aanneemt — bewezen voor $2 \times 2$ blokken in Voorbeeld 22.9.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.10.

Blokoperaties (elk een samenstelling van de overeenkomstige $n$ scalaire bewerkingen, toegestaan door Stelling 22.3 (1)):

\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix} \overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix} \overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix} = \det(A+B)\,\det(A-B),

met de blokdriehoeksregel voor de laatste stap.

Oefening 22.11 ★★

(Circulant van orde $3$ ) Zij $a, b, c \in \C$ en

\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}.

Bewijs dat $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ , en ontbind volledig over $\C$ met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ :

\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .

(Begin met $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ ; merk voor de complexe vorm op dat de kolom $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ zich bijna als een eigenvector gedraagt.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.11.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ maakt de eerste kolom constant gelijk aan $(a + b + c)$ ; splits die af, en daarna $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 0 & a - b & b - c\\ 0 & c - b & a - c \end{vmatrix} = (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],

en uitgewerkt is $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ . Over $\C$ , met $j^3 = 1$ en $1 + j + j^2 = 0$ :

\begin{align*} (a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) &= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\ &= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca , \end{align*}

waaruit de volledige ontbinding volgt. (Structureel: de kolom $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ voldoet aan $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ , en net zo voor $j^2$ en $1$ : de drie factoren zijn de drie “eigenwaarden” van de circulant, een verhaal dat in het volume van bachelorjaar 2 wordt gesystematiseerd.)

Oefening 22.12 ★★★

(Rang en minoren) Zij $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ . Bewijs dat $\operatorname{rk} A$ gelijk is aan de grootste omvang $r$ van een inverteerbare $r \times r$ deelmatrix van $A$ (een deelmatrix behoudt de ingangen op de kruisingen van $r$ gekozen rijen en $r$ gekozen kolommen). (Is $\operatorname{rk} A = r$ , kies dan $r$ vrije kolommen, en daarna $r$ vrije rijen van het resulterende $n \times r$ blok; omgekeerd dwingt een inverteerbare deelmatrix af dat de bijbehorende kolommen van $A$ vrij zijn.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.12.

Schrijf $r = \operatorname{rk} A$ .

Er bestaat een inverteerbare $r \times r$ deelmatrix. Kies $r$ vrije kolommen van $A$ en zij $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ de matrix die zij vormen: $\operatorname{rk} B = r$ . Omdat de rijrang gelijk is aan de kolomrang (Stelling 21.13), heeft $B$ $r$ vrije rijen; die rijen behouden levert een $r \times r$ deelmatrix van $A$ van rang $r$ , dus inverteerbaar.

Een grotere bestaat niet. Zij $S$ een inverteerbare $s \times s$ deelmatrix, genomen uit de kolommen $j_1, \dots, j_s$ en de rijen $i_1, \dots, i_s$ van $A$ . Wordt een combinatie $\sum_k \lambda_k C_{j_k} = 0$ van de bijbehorende volledige kolommen nul, dan geeft alleen de rijen $i_1, \dots, i_s$ lezen dat $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ op de kolommen van $S$ , dus zijn alle $\lambda_k = 0$ ( $S$ is inverteerbaar): de kolommen $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ van $A$ zijn vrij, en $s \leq \operatorname{rk} A = r$ .

Bijgevolg is $\operatorname{rk} A$ precies de grootste omvang van een inverteerbare deelmatrix.

22.4 Opgave: de dubbele alternant van Cauchy

Probleem 22.1

Twee determinanten beheersen de toepassingen van dit hoofdstuk: de Vandermonde-determinant, geëvalueerd in Oefening 22.5, en de Cauchy-determinant $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$ , die hier wordt geëvalueerd. Rond hen verzamelt deze opgave het gereedschap van de alternanten: kunstgrepen met veeltermkolommen, interpolatie via Cramer, de Hilbert-matrix, de discriminant van een derdegraadsveelterm, en de methode van de alternerende veeltermen. Overal noteert $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ de waarde van Vandermonde.

Deel I — Het gereedschap van Vandermonde.

Bereken $V(1, 2, 3, 4)$ , en breng in herinnering waarom interpolatie in $n$ paarsgewijs verschillende knooppunten een stelsel van Cramer is.
(Veeltermalternant) Zij $P_0, \dots, P_{n-1}$ monisch met $\deg P_k = k$ . Bewijs dat

$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = V(x_1, \dots, x_n) :$

kolomoperaties vervangen elke machtskolom gratis door een willekeurige monische trap.
Pas vraag 2 toe op de binomiale veeltermen $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ : bewijs dat voor gehele getallen $m_1 < m_2 < \dots < m_n$

$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!} \in \N :$

het product van alle paarsgewijze verschillen van $n$ gehele getallen is deelbaar door de superfaculteit $0!\,1!\cdots(n-1)!$ .
Bewijs dat $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (met de machten nu beginnend bij $1$ ).
(Momentenmatrix) Zij $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$ met $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$ . Bewijs dat $S = W^{\mathsf T} W$ voor de matrix $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$ , leid af dat

$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$

en besluit: $n$ reële getallen zijn paarsgewijs verschillend dan en slechts dan als hun momentenmatrix inverteerbaar is, en $\det S \geq 0$ altijd.

Deel II — Interpolatie, herbekeken. Knooppunten $x_1 < \dots < x_n$ , waarden $y_1, \dots, y_n$ .

Schrijf de voorwaarden “ $P = c_0 + c_1X + \dots + c_{n-1}X^{n-1}$ interpoleert” als een lineair stelsel in de $c_k$ met matrix $W$ , en vind uit $\det W = V \neq 0$ het bestaan en de eenduidigheid van de interpolant terug (vergelijk de twee eerdere bewijzen, Stelling 8.23 en Voorbeeld 20.10).
Bewijs met de regel van Cramer en cofactorontwikkeling van de betreffende determinant langs haar laatste kolom dat de kopcoëfficiënt van de interpolant gelijk is aan

$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$
(Confluente Vandermonde) Bereken

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\ 0 & 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)^2 ,$

en interpreteer: de gegevens $\bigl(P(x_1), P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ bepalen een eenduidige $P \in \R_2[X]$ wanneer $x_1 \neq x_2$ (interpolatie van Hermite).
Bepaal de eenduidige $P \in \R_2[X]$ met $P(0) = 1$ , $P'(0) = 0$ , $P(1) = 2$ , en toets je antwoord aan vraag 8.

Deel III — De Cauchy-determinant. Zij $a_1, \dots, a_n$ en $b_1, \dots, b_n$ scalairen met $a_i + b_j \neq 0$ voor alle $i, j$ , en

C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .

Bereken $C_2$ met de hand en breng hem in de gedaante “producten van verschillen gedeeld door producten van sommen”.
Voer voor $n \geq 2$ de bewerkingen $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ( $i < n$ ) uit en splits rijen en kolommen af om te bewijzen dat

$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n + b_j)}\;\det M,$

waarbij $M$ op de rijen $i < n$ met de Cauchy-matrix overeenstemt en als laatste rij $(1, 1, \dots, 1)$ heeft.
Voer $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ( $j < n$ ) uit op $M$ , splits opnieuw af, en besluit met inductie tot de dubbele alternant van Cauchy:

$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j - b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$
Leid het criterium voor inverteerbaarheid af (de $a_i$ paarsgewijs verschillend en de $b_j$ paarsgewijs verschillend). Voor de Hilbert-matrix $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ : bereken $\det H_2$ en $\det H_3$ met de formule, en ga na dat $H_2^{-1}$ gehele ingangen heeft.
Toon aan dat voor paarsgewijs verschillende $b_j$ en een willekeurig rechterlid het stelsel $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) een eenduidige oplossing heeft, en breng dit in verband met het bestaan en de eenduidigheid van de splitsing in partieelbreuken met enkelvoudige polen (Stelling 9.5).

Deel IV — De discriminant van een derdegraadsveelterm. Zij $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ de wortels (in $\C$ ) van $X^3 + pX + q$ , en $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$ .

Bereken met $\lambda^3 = -p\lambda - q$ in elke wortel en met Vieta ( $p_1 = 0$ ) de waarden $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ en $p_4 = 2p^2$ .
Bereken met vraag 5 (over $\C$ , waarbij $\det S = V^2$ behouden blijft)

$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = -4p^3 - 27q^2 .$
Leid af: $X^3 + pX + q$ heeft een herhaalde wortel dan en slechts dan als $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; toets dit op $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ .
Stel $p, q$ reëel. Bewijs dat de derdegraadsveelterm drie verschillende reële wortels heeft dan en slechts dan als $\operatorname{disc} > 0$ , en één reële plus twee niet-reële toegevoegde wortels dan en slechts dan als $\operatorname{disc} < 0$ . (Is $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ en $\lambda_1 \in \R$ , toon dan aan dat $V$ zuiver imaginair is.)

Deel V — Dividenden, en de alternerende methode.

Toon voor $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ aan dat $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
Bereken $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ voor $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , eerst met de vragen 2–3, daarna door rechtstreeks te ontwikkelen.
Zij $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ paarsgewijs verschillend en ongelijk aan nul. Bewijs met een inverteerbare Vandermonde-matrix opnieuw dat de meetkundige rijen $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq n}$ een vrije familie van de ruimte van de rijen vormen.
Bereken $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ met de dubbele alternant.
(Alternerende veeltermen) Noem een veelterm $F$ in $x_1, \dots, x_n$ alternerend wanneer het verwisselen van twee willekeurige veranderlijken zijn teken verandert. Toon aan dat een alternerende $F$ nul wordt zodra $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), en leid — één veranderlijke tegelijk, met de factorstelling — af dat $F$ deelbaar is door $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
Gebruik vraag 23 om de formule van Vandermonde opnieuw te bewijzen zonder inductie: de determinant $\det(x_i^{\,j-1})$ is een alternerende veelterm van totale graad $\binom n2$ , en dus een constant veelvoud van $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ; bepaal de constante door één monoom te vergelijken.
Synthese, in vier zinnen: welke enkele eigenschap van de determinant (welk axioma) alle ontbindingen van deze opgave voortbrengt; waarom de identiteit voor de momentenmatrix uit vraag 5 een uitspraak over complexe onderscheidbaarheid omzet in een berekenbare reële tekentoets; welke twee klassieke matrices hier volledig zijn geëvalueerd en welke lineaire problemen zij besturen; en hoe de alternerende methode van de vragen 23–24 in één klap verklaart waarom $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ steeds weer opduikt. Benoem de stelling van deel III.

Oplossing

Oplossing van Probleem 22.1.

1. $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$ . Interpolatie in verschillende knooppunten vraagt om de coëfficiënten van $P$ die $W c = y$ oplossen met $W = (x_i^{\,j-1})$ , en $\det W = V \neq 0$ : een stelsel van Cramer.

2. Werk de kolommen van links naar rechts af. $C_1$ is de constante kolom $P_0(x_i) = 1$ ( $P_0$ is monisch van graad $0$ ). Neem aan dat de kolommen $1, \dots, j-1$ al zijn gereduceerd tot de zuivere machten $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$ . Omdat $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$ , laat het aftrekken van de combinatie $\sum_k \alpha_k\,(\text{kolom van } x_i^k)$ van $C_j$ — een bewerking die de determinant niet verandert — de zuivere machtskolom $x_i^{\,j-1}$ over. Na de laatste kolom is de matrix de Vandermonde-matrix: $\det = V(x_1, \dots, x_n)$ .

3. De veeltermen $(j-1)!\,B_{j-1}$ zijn monisch van graad $j - 1$ , dus geeft vraag 2

\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr) = \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .

Het linkerlid is de determinant van een matrix met gehele ingangen ( $B_k$ is geheelwaardig op $\Z$ : de vragen 16–17 van de weekendopgave Probleem 18.1), dus een geheel getal; en het is positief omdat $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ voor $m_1 < \dots < m_n$ . De superfaculteit deelt dus het product van alle paarsgewijze verschillen.

4. Splits $x_i$ af uit elke rij $i$ : $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$ .

5. $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1} x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$ : $S = W^{\mathsf T}W$ . Bijgevolg is $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ (Stelling 22.3 (2),(4)). Voor reële $x_i$ is $\det S = V^2 \geq 0$ , en is $S$ inverteerbaar dan en slechts dan als $V \neq 0$ , dus dan en slechts dan als de $x_i$ paarsgewijs verschillend zijn — een tekenbepaalde toets, berekenbaar uit de machtsommen alleen.

6. De interpolatievoorwaarden $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ vormen het stelsel $Wc = y$ ; $\det W = V \neq 0$ geeft het bestaan en de eenduidigheid in één keer. Dit is het derde bewijs in het boek: de expliciete formule in Stelling 8.23, het argument met de kern in Voorbeeld 20.10, en Cramer hier.

7. Cramer: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ met $W'$ gelijk aan $W$ met haar laatste kolom vervangen door $y$ . Ontwikkeling van $\det W'$ langs die kolom geeft

\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_n) .

Nu is $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$ , en het omzetten van het tweede product kost $(-1)^{n-i}$ :

(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V} = \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} = \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,

waaruit $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — opnieuw de formule van de gedeelde differenties.

8. $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ geeft de rijen $(1, x_1, x_1^2)$ , $(0, 1, 2x_1)$ , $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ ; ontwikkeling langs de eerste kolom en het afsplitsen van $(x_2 - x_1)$ geven

(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .

Ongelijk aan nul voor $x_1 \neq x_2$ : het lineaire stelsel dat $P(x_1) = u$ , $P'(x_1) = v$ , $P(x_2) = w$ uitdrukt in de coëfficiënten van $P \in \R_2[X]$ is een stelsel van Cramer — de interpolatie van Hermite met een verdubbeld knooppunt is goed gesteld.

9. $P = a + bX + cX^2$ met $a = P(0) = 1$ , $b = P'(0) = 0$ , $a + b + c = P(1) = 2$ : $c = 1$ , dus $P = 1 + X^2$ , eenduidig. Consistentie: hier is $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ en is de determinant van vraag 8 gelijk aan $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$ .

10. Rechtstreekse berekening:

C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)} = \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)} {\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,

en de teller werkt uit tot $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$ : verschillen gedeeld door sommen.

11. Voor $i < n$ is de nieuwe ingang van rij $i$

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j} = \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .

Splits $(a_n - a_i)$ af uit elke rij $i < n$ , en daarna $\frac1{a_n + b_j}$ uit elke kolom $j$ : wat overblijft heeft ingangen $\frac1{a_i + b_j}$ in de rijen $i < n$ en constant $1$ in rij $n$ — de matrix $M$ , met de aangekondigde voorfactor.

12. Op $M$ maakt de bewerking $C_j \leftarrow C_j - C_n$ voor $j < n$ van rij $n$ de rij $(0, \dots, 0, 1)$ , en in rij $i < n$

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n} = \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .

Splits $(b_n - b_j)$ af uit elke kolom $j < n$ en $\frac1{a_i + b_n}$ uit elke rij $i < n$ , en ontwikkel daarna langs de laatste rij (teken $(-1)^{n+n} = +1$ ): de overblijvende determinant is $C_{n-1}$ . Het verzamelen van de factoren uit de vragen 11–12 geeft

C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)} {\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},

en de inductie (basis $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$ ) zet precies de dubbele alternant van Cauchy in elkaar: de factoren $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ voor alle paren, gedeeld door alle sommen $(a_i + b_j)$ .

13. De formule wordt nul dan en slechts dan als een $a_j = a_i$ of een $b_j = b_i$ : de Cauchy-matrix is inverteerbaar dan en slechts dan als beide families paarsgewijs verschillend zijn. Hilbert: $a_i = i$ , $b_j = j - 1$ . Voor $n = 2$ : teller $(2-1)(1-0) = 1$ , noemer $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$ : $\det H_2 = \frac1{12}$ . Voor $n = 3$ : teller $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$ , noemer $(1\cdot2\cdot3)(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$ : $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$ . Inverse voor $n = 2$ :

H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt] -\frac12 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},

allemaal gehele getallen (een verschijnsel dat voor elke $n$ waar is).

14. De matrix van het stelsel is de Cauchy-matrix, volgens vraag 13 inverteerbaar wanneer de $b_j$ (en de $a_i$ ) paarsgewijs verschillend zijn: een eenduidige oplossing. Interpretatie: een rationale functie $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ met enkelvoudige polen wordt bepaald door $n$ van haar waarden $R(a_1), \dots, R(a_n)$ , en omgekeerd wordt elk zo’n gegevensblad precies één keer gerealiseerd — de bemonsteringstegenhanger van de stelling over het bestaan en de eenduidigheid van de splitsing in partieelbreuken (Stelling 9.5).

15. Vieta voor $X^3 + pX + q$ : $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ , $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$ , dus $p_1 = 0$ en $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$ . Elke wortel voldoet aan $\lambda^3 = -p\lambda - q$ ; sommeren geeft $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$ . Vermenigvuldigen met $\lambda$ en sommeren geeft $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$ .

16. Volgens vraag 5 (de identiteit $S = W^{\mathsf T}W$ en $\det S = V^2$ gelden over $\C$ ) is

V^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr) = -4p^3 - 27q^2 ,

ontwikkeld langs de eerste rij.

17. Een herhaalde wortel betekent twee gelijke $\lambda_i$ , dus $V = 0$ , dus $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$ . Voor $X^3 - 3X + 2$ : $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$ , in overeenstemming met de dubbele wortel $1$ van $(X-1)^2(X+2)$ .

18. De niet-reële wortels van een reële derdegraadsveelterm komen in toegevoegde paren, dus doen zich bij $\operatorname{disc} \neq 0$ precies twee gevallen voor. Drie verschillende reële wortels: $V$ is reëel en ongelijk aan nul, dus $\operatorname{disc} = V^2 > 0$ . Eén reële wortel $\lambda_1$ en $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$ : dan is

(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) = \abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0, \qquad \lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,

zodat $V$ een zuiver imaginair getal ongelijk aan nul is en $\operatorname{disc} = V^2 < 0$ . De twee tekens karakteriseren de twee gevallen.

19. Neem $b_i = a_i$ in de dubbele alternant: de teller is $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ en de noemer $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (alle ingangen positief): de determinant is positief. (In latere taal: de kern $\frac1{x+y}$ is positief definiet.)

20. Volgens de vragen 2–3 is de determinant gelijk aan $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ . Rechtstreeks is de matrix

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 6\\ 1 & 7 & 21 \end{pmatrix}, \qquad \det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .

21. Stel $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ als rij. Aflezen bij $k = 0, 1, \dots, n-1$ geeft $W^{\mathsf T}c = 0$ met $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ inverteerbaar ( $\det = V \neq 0$ , want de $\lambda_i$ zijn verschillend): $c = 0$ . De meetkundige rijen zijn vrij.

22. $a = b = (1, 2, 3)$ : teller $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$ ; noemer $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120 = 172800$ . Bijgevolg is $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800} = \frac1{43200}$ .

23. Is $x_i = x_j$ , dan houdt de verwisseling van de twee veranderlijken het punt vast maar moet zij het teken van $F$ veranderen: $F = -F$ , dus $F = 0$ daar. Deelbaarheid: vat $F$ op als veelterm in de enkele veranderlijke $x_n$ met coëfficiënten in de overige veranderlijken; zij wordt nul in de $n - 1$ “waarden” $x_1, \dots, x_{n-1}$ , dus geeft herhaald afsplitsen (Stelling 8.7) dat $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ met $G$ een veelterm. De voorfactor is invariant onder verwisselingen van twee indices $i, j < n$ , dus is $G$ alternerend in $x_1, \dots, x_{n-1}$ , en de inductie voltooit het bewijs: $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ deelt $F$ .

24. $D = \det(x_i^{\,j-1})$ is een veelterm in de $x_i$ ; twee veranderlijken verwisselen verwisselt twee rijen, dus is $D$ alternerend, en volgens vraag 23 is $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ voor een zekere veelterm $c$ . Totale graden: $D$ heeft graad $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ , en het product heeft graad precies $\binom n2$ : $c$ is een constante. Het monoom $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ heeft coëfficiënt $1$ in $D$ (het diagonale product) en $1$ in het product (kies in elke factor de veranderlijke met de grootste index): $c = 1$ , en de formule van Vandermonde valt eruit zonder enige inductie.

25. (i) Het alterneren — het axioma “twee gelijke kolommen doden de determinant” — is de motor: het bracht elke factor $(x_j - x_i)$ , $(a_j - a_i)$ , $(b_j - b_i)$ van deze opgave voort. (ii) De identiteit $\det S = V^2$ vervangt de afzonderlijk complexe, onbereikbare wortels door hun machtsommen, die reële veeltermen in de coëfficiënten zijn, zodat de onderscheidbaarheid het teken van een berekenbaar reëel getal wordt. (iii) De Vandermonde-determinant bestuurt de interpolatie met veeltermen, en de Cauchy-determinant bestuurt de partieelbreuken en de bemonsterde rationale functies (met de Hilbert-matrix als beroemdste bijzondere geval). (iv) Elke alternerende veelterm is deelbaar door $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ , en een graadtelling pint zo’n veelterm daarna op een constante na vast — en dat is waarom dit product overal blijft opduiken waar een determinant op samenvallingen nul wordt. De stelling van deel III is de dubbele alternant van Cauchy.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

system

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst