Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

22Determinanten en lineaire stelsels

De determinant vat in één scalair het antwoord samen op de vraag “vormen deze $n$ vectoren een basis?” — en meet, meetkundig, het volume dat ze opspannen. We karakteriseren hem door zijn eigenschappen (multilineair, alternerend, genormaliseerd), berekenen hem in dimensie $2$ en $3$ en door cofactorontwikkeling in het algemene geval, en zetten hem aan het werk op lineaire stelsels, naast het alomvattende algoritme: Gauss-eliminatie.

22.1 De determinant

Stelling 22.1 (Karakterisering)

Er is precies één afbeelding $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ , beschouwd als functie van de $n$ kolommen, die

lineair in elke kolom is (de andere vast);
alternerend is: het verwisselen van twee kolommen verandert het teken (dus twee gelijke kolommen geven $0$ );
genormaliseerd is: $\det I_n = 1$ .

Voor $n = 2$ en $3$ :

\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc, \qquad \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

(de $3 \times 3$ -regel van Sarrus: producten van dalende diagonalen min die van stijgende).

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Opmerking 22.2

Voor $n = 2$ : ontwikkelen via bilineariteit op de canonieke kolommen geeft de formule, die omgekeerd aan de axioma’s voldoet — een volledig bewijs; $n = 3$ is identiek met meer termen. Het algemene geval (bestaan via de som over permutaties, uniciteit door dezelfde ontwikkeling) vereist de signatuur van een permutatie en wordt uitgesteld naar het tweede jaar; we gebruiken de axioma’s en de gevolgen hieronder vrijelijk.

De volledige ontwikkeling voor $n = 2$ , want zij is het sjabloon: met kolommen $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ en $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ geeft bilineariteit

\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2) + cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),

en alternatie doodt de herhaalde paren terwijl ze $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ omklapt: de hele afbeelding valt samen tot $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ door normalisatie. Uniciteit is zichtbaar in de berekening zelf — de axioma’s lieten bij geen enkele stap een keuze — en dit is precies het geschaalde uniciteitsfeit dat gebruikt wordt in het bewijs van de productregel hieronder.

Stelling 22.3 (Eigenschappen)

Voor $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

een veelvoud van een andere kolom bij een kolom optellen verandert de determinant niet; een kolom met $\lambda$ vermenigvuldigen vermenigvuldigt hem met $\lambda$ (dus $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
$\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
$A$ is inverteerbaar $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ de kolommen vormen een basis van $K^n$ ; en dan is $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ;
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — dus elke kolomregel is ook een rijregel;
de determinant van een driehoeksmatrix is het product van zijn diagonaalelementen.

Bewijs. (1) Door lineariteit is $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ waarbij de tweede determinant twee gelijke kolommen heeft: nul.

(2) Fixeer $A$ en beschouw $\varphi(B) = \det(AB)$ als functie van de kolommen van $B$ : aangezien $AB$ de kolommen $AB_j$ heeft, is $\varphi$ multilineair en alternerend in de $B_j$ . We aanvaarden, met Stelling 22.1, de uniciteitsuitspraak ervan in geschaalde vorm: elke multilineaire alternerende afbeelding $\varphi$ van de kolommen is gelijk aan $\varphi(I_n) \cdot \det$ . Hier is $\varphi(I_n) = \det A$ , dus $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ .

(3) Als $A$ inverteerbaar is: $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$ , dus $\det A \neq 0$ en de inverseformule geldt. Als $A$ niet inverteerbaar is, zijn zijn kolommen afhankelijk (Gevolg 20.9 en Propositie 20.2); één kolom uitdrukken via de andere en ontwikkelen via lineariteit laat determinanten met twee gelijke kolommen over: $\det A = 0$ . De basisuitspraak is Propositie 19.8.

(4) Aanvaard met de algemene constructie (ze is onmiddellijk op de permutatieformule); we noteren ze om rij-operaties te gebruiken.

(5) Als een diagonaalelement verdwijnt, zijn de eerste $k$ kolommen afhankelijk voor zekere $k$ (rangbeschouwingen) en $\det = 0 =$ product. Anders: maak elke kolom links-en-onder leeg door operaties van type (1) — mogelijk in de driehoeksvorm — tot de diagonaalmatrix, waarvan de determinant het product van de elementen is door multilineariteit vanuit $I_n$ . ∎

Voorbeeld 22.4 (De regels, gecontroleerd op getallen)

Neem $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) en $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ( $\det B = -1$ ). Dan

AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}, \quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ; \qquad \det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2 = \det A .

Multiplicativiteit en transponeerinvariantie bevestigd — terwijl de valse additiviteit faalt op hetzelfde paar:

\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7 \neq \det A + \det B = -3 .

Dertig seconden rekenwerk van dit soort, na elke aangeroepen determinantidentiteit, is de goedkoopste foutverzekering die er is.

Voorbeeld 22.5 (Determinanten als oppervlakten)

Het parallellogram opgespannen door $u = (2, 0)$ en $v = (1, 3)$ heeft basis $2$ en hoogte $3$ : oppervlakte $6$ . En

\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :

de $2\times2$ -determinant is de getekende oppervlakte van het parallellogram van zijn kolommen. De axioma’s vertellen de meetkunde opnieuw: een veelvoud van de ene kolom bij de andere optellen is een scheefstelling, die het parallellogram evenwijdig aan een zijde verschuift zonder basis of hoogte te veranderen (operatie (1) van Stelling 22.3); een kolom schalen schaalt de oppervlakte; de kolommen verwisselen keert de oriëntatie om, vandaar het teken, $\det(v, u) = -6$ . In $\R^3$ geeft dezelfde lezing getekende volumes, en $\abs{\det}$ wordt de universele volumeschalingsfactor van lineaire afbeeldingen — het feit achter de formule voor verandering van veranderlijken bij meervoudige integralen in het volume van Jaar 2.

Stelling 22.6 (Cofactorontwikkeling)

Zij $A \in \mathcal{M}_n(K)$ en $\Delta_{ij}$ de determinant van $A$ met rij $i$ en kolom $j$ geschrapt. Dan geldt, voor elke vaste kolom $j$ (of rij, door transpositie):

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 22.7

Ontwikkelen langs de eerste kolom:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \times 3 - 2 = 4 .

Strategie: maak eerst nullen (rij-/kolomoperaties), ontwikkel dan langs de leegste lijn.

Voorbeeld 22.8 (De cofactorinverse, eens met de hand)

Voor $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ : $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$ . De negen cofactoren $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ assembleren tot

\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},

de formule die geciteerd wordt in Oefening 22.8. Controleer één rij-kolompaar: (rij $1$ van $A$ )(kolom $1$ van $A^{-1}$ ) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$ , en tegen kolom $2$ : $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$ . Negen $2\times2$ -determinanten voor één $3\times3$ -inverse: al bij deze grootte is rijreductie (Oefening 22.3) goedkoper — de waarde van de cofactorformule is theoretisch (geheeltalligheid in Oefening 22.8, afleidbaarheid van de inverse in latere volumes), niet rekenkundig.

Voorbeeld 22.9 (De blokdriehoeksregel, in grootte $4$ )

Bewering: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$ voor $2\times2$ -blokken. Maak het $N$ -blok leeg door kolomoperaties: geschikte combinaties van kolommen $1, 2$ bij kolommen $3, 4$ optellen verwijdert $N$ wanneer $M$ inverteerbaar is (los $M\Lambda = -N$ op voor de combinatiecoëfficiënten $\Lambda$ ), wat $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ overlaat; dan geeft cofactorontwikkeling langs de eerste kolom, tweemaal, $\det M\det P$ voor deze blokdiagonaalvorm. Als $M$ niet inverteerbaar is, zijn zijn kolommen afhankelijk, dus de eerste twee kolommen van de grote matrix zijn afhankelijk (hun onderste helften zijn nul): beide leden verdwijnen. De regel breidt uit naar willekeurige blokgroottes met hetzelfde tweegevallenargument — en ze is de motor van Oefening 22.10.

Voorbeeld 22.10 (Een $4 \times 4$ -determinant, strategisch)

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.

Elke rij sommeert tot $10$ : de operatie $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ maakt de eerste kolom constant, en $10$ afsplitsen laat enen over. Dan maakt $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) de eerste kolom leeg:

\Delta = 10\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & -2 & -2\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10 \times 16 = 160,

waarbij de laatste $3\times3$ -determinant langs zijn eerste rij ontwikkelt: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$ . Moraal: één goedgekozen operatie (de constante rijsom opmerken) verslaat zestien cofactoren.

Methode 22.11 (Een determinantstrategie kiezen)

Bekijk de matrix vóór je iets berekent.

Constante rij- of kolomsommen: tel alles op in één lijn, splits de gemeenschappelijke waarde af (Voorbeeld 22.10, Oefening 22.7).
Repetitieve structuur: trek naburige rijen of kolommen af om nullen te maken; trappatronen storten in naar driehoeksvorm, waarvan de determinant op de diagonaal wordt afgelezen.
Geïsoleerde nullen: ontwikkel langs de leegste lijn (Voorbeeld 22.7); recursieve families (tridiagonaal, Oefening 22.6) leveren zo recurrenties op.
Een parameter: de determinant is een veelterm erin; vind zijn wortels door de gedegenereerde waarden op te sporen (gelijke rijen, evenredige kolommen), en leg de veelterm dan vast door graad en leidende coëfficiënt. Voor de matrix van Oefening 22.7: $m = 1$ geeft drie gelijke rijen (rang $1$ , een dubbele wortel), $m = -2$ maakt dat de rijen tot nul sommeren (nog een wortel); de determinant heeft graad $3$ in $m$ met leidende term $-m^3$ (het antidiagonaalproduct $m\cdot m\cdot m$ , waarvan het Sarrus-teken $-1$ is), dus moet hij $-(m+2)(m-1)^2$ zijn — geen ontwikkeling nodig, en de twee methoden controleren elkaar.

Voorbeeld 22.12 (Vandermonde-determinant)

Voor scalairen $x_1, \dots, x_n$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & & & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .

Bewijsschets (uitgewerkt in Oefening 22.5): kolomoperaties $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ van rechts maken de eerste rij leeg, en elke resterende rij afsplitsen reduceert tot $V(x_2, \dots, x_n)$ . Niet-nul dan en slechts dan als de $x_i$ paarsgewijs verschillend zijn — de determinant achter Lagrange-interpolatie (Voorbeeld 20.10).

22.2 Lineaire stelsels

Definitie 22.13

Een lineair stelsel van $n$ vergelijkingen in $p$ onbekenden is $AX = B$ met $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; het is homogeen wanneer $B = 0$ . Zijn oplossingsverzameling is, indien niet leeg, $X_0 + \ker A$ : een particuliere oplossing plus de algemene homogene oplossing — een affiene deelruimte van dimensie $p - \operatorname{rk} A$ (rang-nulliteit).

Voorbeeld 22.14 (De affiene structuur, zichtbaar gemaakt)

Los op

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

De vergelijkingen aftrekken: $2y - z = 1$ , dus $z = 2y - 1$ en $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . De oplossingen vormen de rechte

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

de particuliere oplossing $X_0 = (4, 0, -1)$ (de keuze $y = 0$ ) plus de kernrechte $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ van het bijbehorende homogene stelsel — controleer: $(-3) + 1 + 2 = 0$ en $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Meetkundig snijden twee niet-evenwijdige vlakken van $\R^3$ elkaar langs een rechte, en de dimensietelling $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ wist het al voor we iets oplosten. De particuliere oplossing veranderen (zeg $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) verandert de beschrijving, niet de rechte: een affiene deelruimte heeft vele oorsprongen en één richting.

Stelling 22.15 (Vierkante stelsels van Cramer)

Als $A \in GL_n(K)$ , heeft het stelsel $AX = B$ de unieke oplossing $X = A^{-1}B$ , waarvan de coördinaten zijn

x_j = \frac{\det A_j}{\det A}, \qquad A_j = A \text{ met kolom } j \text{ vervangen door } B .

Bewijs. Uniciteit en bestaan zijn de inverteerbaarheid. Voor de formule: schrijf $B = \sum_k x_k C_k$ (kolommen van $A$ ); dan geldt, door multilineariteit en alternatie,

\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr) = \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n) = x_j \det A ,

waarbij elke term behalve $k = j$ een herhaalde kolom heeft. ∎

Voorbeeld 22.16 (Cramer met een parameter, volledig)

Los voor $m \in \R$ op

\begin{cases} x + m y = 1\\ m x + y = 2 . \end{cases}

De determinant is $1 - m^2$ . Generiek geval $m \neq \pm1$ : Cramer geeft

x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{1 - 2m}{1 - m^2}, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{2 - m}{1 - m^2},

één zuivere oplossing voor elke toelaatbare $m$ (controleer bij $m = 0$ : $(1, 2)$ , duidelijk correct). Gedegenereerde gevallen: bij $m = 1$ luiden de vergelijkingen $x + y = 1$ en $x + y = 2$ : onverenigbaar; bij $m = -1$ luiden ze $x - y = 1$ en $-x + y = 2$ , d.w.z. $x - y = 1$ en $x - y = -2$ : opnieuw onverenigbaar. Het verdwijnen van de determinant kondigt aan dat iets degenereert, maar zegt nooit wat — leeg of oneindig moet beslist worden door naar het rechterlid te kijken. Merk ook op hoe de formules hun eigen grenzen aangeven: als $m \to 1^{-}$ , gaat $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$ ; het oplossingspunt loopt weg naarmate de twee rechten evenwijdig worden.

Methode 22.17 (Gauss-eliminatie op stelsels)

Rijreduceer de uitgebreide matrix $(A \mid B)$ tot echelonvorm.

Als een spil in de laatste kolom verschijnt (regel $0 = 1$ ): geen oplossing.
Anders splitsen de onbekenden zich in spilonbekenden en vrije onbekenden (parameters); achterwaartse substitutie drukt de eerste uit in de tweede: de oplossingsverzameling is een affiene deelruimte van dimensie $=$ aantal vrije onbekenden.

De formules van Cramer zijn voor theorie en kleine stelsels; eliminatie is het praktische algoritme.

Voorbeeld 22.18 (Een bespreking met parameter)

Beschouw voor $m \in \R$

\begin{cases} x + y + mz = 1\\ x + my + z = 1\\ mx + y + z = 1 . \end{cases}

De matrix heeft determinant $-(m+2)(m-1)^2$ (berekend in Oefening 22.7 door alle kolommen bij de eerste op te tellen). Voor $m \neq 1, -2$ : unieke oplossing $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (door symmetrie). Voor $m = 1$ : één vergelijking driemaal herhaald, een vlak van oplossingen. Voor $m = -2$ : de drie vergelijkingen optellen geeft $0 = 3$ , geen oplossing.

Opmerking 22.19 (Veelvoorkomende valkuilen)

De determinant is niet lineair in de matrix: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (reeds $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$ ); hij is lineair in elke kolom afzonderlijk, wat iets heel anders is. Schalen: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , niet $\lambda\det A$ — elk van de $n$ kolommen wordt geschaald. Rij-operaties zijn niet allemaal gratis: $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ behoudt de determinant, maar een verwisseling verandert het teken en $L_i \leftarrow \lambda L_i$ vermenigvuldigt hem met $\lambda$ — boekhoudfouten hier zijn de klassieke bron van verkeerde tekens in eliminatiegebaseerde berekeningen. Een nuldeterminant is het begin, niet het einde: hij zegt “rang $< n$ ” maar niet welke rang; alleen verder werk (echelonvorm, of de minoren van Oefening 22.12) lokaliseert die — vgl. het geval $m = 1$ versus $m = -2$ in Voorbeeld 22.18. Cramer heeft inverteerbaarheid nodig: wanneer $\det A = 0$ zijn de formules $x_j = \det A_j/\det A$ betekenisloos, en het stelsel kan best (oneindig veel) oplossingen hebben. Alleen vierkante matrices hebben determinanten: voor een rechthoekig stelsel is eliminatie het enige gereedschap.

Opmerking 22.20 (Waar determinanten heen gaan)

Drie levens wachten deze scalair. Meetkundig: $\abs{\det}$ is de oppervlakte- of volumeschalingsfactor van de bijbehorende afbeelding — precies gemaakt voor het vlak in Hoofdstuk 23 en, als de Jacobiaan van een verandering van veranderlijken, in de meervoudige integralen van het volume van Jaar 2. Algebraïsch: $\det(A - \lambda I)$ , de karakteristieke veelterm, opent de eigenwaardetheorie in Jaar 2 — de identiteit $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ van het weekendprobleem van Hoofdstuk 21 is er de eerste schaduw van. Analytisch: determinanten van bijzondere matrices (Vandermonde, Cauchy, Gram) beslissen wanneer interpolatie-, ontbindings- en projectieproblemen welgesteld zijn; het weekendprobleem hieronder evalueert de eerste twee families volledig.

Opmerking 22.21 (Perspectieven binnen Boek 3)

Dit hoofdstuk sluit de lineaire-algebraruggengraat van het volume af, en zijn twee resterende hoofdstukken innen de dividenden. In Hoofdstuk 23: de Gram-matrix $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ toetst vrijheid met een determinant (Oefening 23.11), en de vlakke isometrieën splitsen zich in rotaties en spiegelingen langs het teken van hun determinant — de classificatie van het weekendprobleem daar draait erop. In Hoofdstuk 25: de Monge-grootheid $rt - s^2$ is de determinant van de symmetrische matrix van tweede afgeleiden, en de normaalvergelijkingen van kleinste kwadraten vormen een Cramer-stelsel waarvan de matrix een Gram-matrix (dus momentenmatrix) is — inverteerbaar precies volgens de Vandermonde-achtige criteria die hier worden vastgelegd. Wanneer die hoofdstukken “inverteerbaar” of “positief” beweren, liggen de bewijsstukken in dit hoofdstuk.

22.3 Oefeningen

Oefening 22.1 ★

Bereken:

\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$ .

Tweede: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (op de oorspronkelijke rijen) geven rijen $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ : twee gelijke rijen, determinant $0$ . (Sarrus bevestigt: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ .)

Derde: het is Vandermonde met $x = 1, 2, 3$ (Voorbeeld 22.12): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$ .

Oefening 22.2 ★

Voor welke $\lambda \in \R$ is de familie $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ een basis van $\R^3$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

De determinant is gelijk aan (tel alle kolommen bij de eerste op, splits af) $(\lambda + 2)$ maal

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda - 1)^2

(maak leeg met $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ en ontwikkel), wat $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ geeft. Basis $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$ .

Oefening 22.3 ★

Los op met de regel van Cramer:

\begin{cases} 2x + y = 5\\ 3x - 2y = 4 , \end{cases} \qquad\text{daarna}\qquad \begin{cases} x + y + z = 6\\ x - y + z = 2\\ 2x + y - z = 1 . \end{cases}

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

Eerste stelsel: $\det = -7$ ; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix} = \frac{-14}{-7} = 2$ , $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix} = \frac{-7}{-7} = 1$ . Controle: $2(2) + 1 = 5$ ; $3(2) - 2 = 4$ .

Tweede stelsel: na $L_2 - L_1$ en $L_3 - 2L_1$ worden de rijen $(1,1,1)$ , $(0,-2,0)$ , $(0,-1,-3)$ , dus

\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .

Cramer, met de kolommen vervangen door $(6,2,1)^{\mathsf T}$ :

x = \frac{6}{6} = 1, \qquad y = \frac{12}{6} = 2, \qquad z = \frac{18}{6} = 3

(de tellers op dezelfde manier berekend). Controle: $1 + 2 + 3 = 6$ ; $1 - 2 + 3 = 2$ ; $2 + 2 - 3 = 1$ .

Oefening 22.4 ★

Los op met Gauss-eliminatie en beschrijf de oplossingsverzameling:

\begin{cases} x + 2y - z + t = 1\\ 2x + 4y + z - t = 5\\ x + 2y + 2z - 2t = 4 . \end{cases}

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

Reduceer de uitgebreide matrix: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Spilonbekenden $x, z$ ; vrije onbekenden $y, t$ . Achterwaartse substitutie: $z = 1 + t$ , $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$ . Oplossingsverzameling:

\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\} = (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\, (0,0,1,1)\bigr),

een affien vlak (dimensie $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$ ) van $\R^4$ .

Oefening 22.5 ★★

Bewijs de Vandermonde-formule van Voorbeeld 22.12 door inductie op $n$ , met de kolomoperaties $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ uitgevoerd van $k = n$ omlaag tot $k = 2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

Inductie; $n = 1$ is het lege product $= 1$ . Voer voor de stap $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ uit voor $k = n, n-1, \dots, 2$ (in deze volgorde, zodat elke operatie een nog-niet-gewijzigde kolom gebruikt). De eerste rij wordt $(1, 0, \dots, 0)$ ; in rij $i \geq 2$ wordt het $k$ -de element $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$ . Ontwikkelen langs de eerste rij en $(x_i - x_1)$ uit elke rij $i$ afsplitsen:

V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),

en de inductiehypothese vervolledigt het product $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .

Oefening 22.6 ★★

(Tridiagonaal) Zij $D_n$ de $n \times n$ -determinant met $2$ op de diagonaal, $1$ op de twee naburige diagonalen, $0$ elders. Bewijs, door langs de eerste rij te ontwikkelen, $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ en bereken $D_n$ ( $D_1 = 2$ , $D_2 = 3$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

$D_n$ ontwikkelen langs de eerste rij: $D_n = 2 D_{n-1} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-blok} \end{vmatrix}$ ; de tweede determinant, ontwikkeld langs zijn eerste kolom, is $D_{n-2}$ . Dus $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ , d.w.z. $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ : de verschillen zijn constant, gelijk aan $D_2 - D_1 = 1$ . Dus $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$ . (Controle: $D_2 = 3$ , en het $3\times3$ -geval is Voorbeeld 22.7: $D_3 = 4$ .)

Oefening 22.7 ★★

Vervolledig Voorbeeld 22.18: bereken de determinant $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ door de operatie $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ , en voer de volledige bespreking van het stelsel uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ maakt de eerste kolom constant $(m+2)$ ; splits hem af:

\det = (m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=} (m+2)\begin{vmatrix} 0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)

(ontwikkel langs de eerste kolom: het enige element $1$ draagt teken $+$ , en de resterende $2 \times 2$ -determinant is $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$ ).

Bespreking. $m \notin \{1, -2\}$ : Cramer-stelsel; door de symmetrie van de vergelijkingen is $x = y = z$ , en elke vergelijking geeft $(m + 2)x = 1$ : unieke oplossing $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$ . $m = 1$ : de drie vergelijkingen luiden alle $x + y + z = 1$ : de oplossingen vormen het affiene vlak $x + y + z = 1$ . $m = -2$ : de drie vergelijkingen optellen geeft $0 = 3$ : lege oplossingsverzameling.

Oefening 22.8 ★★

Zij $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ met gehele elementen. Bewijs dat $A$ een inverse met gehele elementen heeft dan en slechts dan als $\det A = \pm 1$ . (Voor de directe zin, neem determinanten; voor de omkering, aanvaard — of bewijs voor $n \leq 3$ via cofactoren — dat $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ met gehele cofactormatrix.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

( $\Rightarrow$ ) Als $A^{-1}$ gehele elementen heeft: $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ met beide determinanten geheel (sommen van producten van elementen): twee gehele getallen met product $1$ zijn beide $\pm1$ .

( $\Leftarrow$ ) De cofactorformule $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (gecontroleerd voor $n \leq 3$ door directe ontwikkeling, in het algemeen aanvaard) heeft $\operatorname{Com}(A)$ met gehele elementen (elke cofactor is een gehele determinant); delen door $\det A = \pm 1$ behoudt gehele getallen.

Oefening 22.9 ★★★

Bereken de $n \times n$ -determinant van de matrix $aI + bJ$ (Oefening 21.9), d.w.z. met $a + b$ op de diagonaal en $b$ elders. (Tel alle kolommen bij de eerste op, splits af, maak dan leeg.) Herwin de inverteerbaarheidsvoorwaarde $a \neq 0$ , $a + nb \neq 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

Tel alle kolommen bij de eerste op: elk element van de nieuwe eerste kolom is $a + nb$ ; splits het af, zodat de eerste kolom uit enkel enen bestaat. Dan maken de rij-operaties $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) elk element onder de linksbovenste $1$ leeg en laten $a$ op de diagonaal en $0$ elders in die rijen: de matrix is bovendriehoekig met diagonaal $(1, a, \dots, a)$ . Dus

\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,

niet-nul dan en slechts dan als $a \neq 0$ en $a + nb \neq 0$ : de voorwaarde van Oefening 21.9.

Oefening 22.10 ★★★

Zij $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$ . Bewijs dat

\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix} = \det(A + B)\,\det(A - B),

door blokkolom- en blokrij-operaties ( $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$ , dan $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , in blokvorm), aannemend de natuurlijke blokdriehoeksregel $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — bewezen voor $2 \times 2$ -blokken in Voorbeeld 22.9.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.10.

Blokoperaties (elk een samenstelling van de bijbehorende $n$ scalaire operaties, toegestaan door Stelling 22.3 (1)):

\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix} \overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix} \overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix} = \det(A+B)\,\det(A-B),

met de blokdriehoeksregel voor de laatste stap.

Oefening 22.11 ★★

(Circulant van orde $3$ ) Zij $a, b, c \in \C$ en

\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}.

Bewijs dat $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ , en ontbind volledig over $\C$ met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ :

\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .

(Begin met $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ ; merk voor de complexe vorm op dat de kolom $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ zich bijna als een eigenvector gedraagt.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.11.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ maakt de eerste kolom constant $(a + b + c)$ ; splits hem af, dan $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 0 & a - b & b - c\\ 0 & c - b & a - c \end{vmatrix} = (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],

en ontwikkeld is $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ . Over $\C$ , met $j^3 = 1$ en $1 + j + j^2 = 0$ :

\begin{align*} (a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) &= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\ &= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca , \end{align*}

vanwaar de volledige ontbinding. (Structureel: de kolom $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ voldoet aan $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ , en analoog voor $j^2$ en $1$ : de drie factoren zijn de drie “eigenwaarden” van de circulant, een verhaal die gesystematiseerd wordt in het volume van Jaar 2.)

Oefening 22.12 ★★★

(Rang en minoren) Zij $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ . Bewijs dat $\operatorname{rk} A$ gelijk is aan de grootste grootte $r$ van een inverteerbare $r \times r$ -deelmatrix van $A$ (een deelmatrix behoudt de elementen op de kruisingen van $r$ gekozen rijen en $r$ gekozen kolommen). (Als $\operatorname{rk} A = r$ , kies $r$ vrije kolommen, dan $r$ vrije rijen van het resulterende $n \times r$ -blok; omgekeerd dwingt een inverteerbare deelmatrix de bijbehorende kolommen van $A$ vrij te zijn.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.12.

Schrijf $r = \operatorname{rk} A$ .

Er bestaat een inverteerbare $r \times r$ -deelmatrix. Kies $r$ vrije kolommen van $A$ en zij $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ de matrix die ze vormen: $\operatorname{rk} B = r$ . Aangezien rijrang gelijk is aan kolomrang (Stelling 21.13), heeft $B$ $r$ vrije rijen; die rijen behouden levert een $r \times r$ -deelmatrix van $A$ van rang $r$ , d.w.z. inverteerbaar.

Geen grotere doet dat. Zij $S$ een inverteerbare $s \times s$ -deelmatrix, genomen uit kolommen $j_1, \dots, j_s$ en rijen $i_1, \dots, i_s$ van $A$ . Als een combinatie $\sum_k \lambda_k C_{j_k} = 0$ van de bijbehorende volledige kolommen verdwijnt, dan geeft alleen de rijen $i_1, \dots, i_s$ lezen $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ op de kolommen van $S$ , dus alle $\lambda_k = 0$ ( $S$ inverteerbaar): de kolommen $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ van $A$ zijn vrij, en $s \leq \operatorname{rk} A = r$ .

Dus is $\operatorname{rk} A$ precies de grootste grootte van een inverteerbare deelmatrix.

22.4 Probleem: het dubbele alternant van Cauchy

Probleem 22.1

Twee determinanten beheersen de toepassingen van dit hoofdstuk: de Vandermonde-determinant, geëvalueerd in Oefening 22.5, en de Cauchy-determinant $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$ , hier geëvalueerd. Rond hen verzamelt dit probleem de alternant-gereedschapskist: kolomtrucs met veeltermen, interpolatie via Cramer, de Hilbert-matrix, de discriminant van een derdegraadsveelterm en de methode van alternerende veeltermen. Overal noteert $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ de Vandermonde-waarde.

Deel I — De Vandermonde-gereedschapskist.

Bereken $V(1, 2, 3, 4)$ , en herinner waarom interpolatie op $n$ paarsgewijs verschillende knopen een Cramer-stelsel is.
(Veelterm-alternant) Zij $P_0, \dots, P_{n-1}$ monisch met $\deg P_k = k$ . Bewijs

$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = V(x_1, \dots, x_n) :$

kolomoperaties vervangen elke machtskolom door een willekeurige monische trap, gratis.
Pas vraag 2 toe op de binomiale veeltermen $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ : bewijs dat voor gehele getallen $m_1 < m_2 < \dots < m_n$ ,

$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!} \in \N :$

het product van alle paarsgewijze verschillen van $n$ gehele getallen is deelbaar door de superfaculteit $0!\,1!\cdots(n-1)!$ .
Bewijs $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (machten nu beginnend bij $1$ ).
(Momentenmatrix) Zij $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$ waar $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$ . Bewijs dat $S = W^{\mathsf T} W$ voor de matrix $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$ , leid af

$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$

en besluit: $n$ reële getallen zijn paarsgewijs verschillend dan en slechts dan als hun momentenmatrix inverteerbaar is, en $\det S \geq 0$ altijd.

Deel II — Interpolatie herbekeken. Knopen $x_1 < \dots < x_n$ , waarden $y_1, \dots, y_n$ .

Schrijf de voorwaarden “ $P = c_0 + c_1X + \dots + c_{n-1}X^{n-1}$ interpoleert” als een lineair stelsel in de $c_k$ met matrix $W$ , en herwin uit $\det W = V \neq 0$ het bestaan en de uniciteit van de interpolant (vergelijk de twee eerdere bewijzen, Stelling 8.23 en Voorbeeld 20.10).
Bewijs met de regel van Cramer en cofactorontwikkeling van de relevante determinant langs zijn laatste kolom dat de leidende coëfficiënt van de interpolant is

$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$
(Confluente Vandermonde) Bereken

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\ 0 & 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)^2 ,$

en interpreteer: de gegevens $\bigl(P(x_1), P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ bepalen een unieke $P \in \R_2[X]$ wanneer $x_1 \neq x_2$ (Hermite-interpolatie).
Vind de unieke $P \in \R_2[X]$ met $P(0) = 1$ , $P'(0) = 0$ , $P(1) = 2$ , en controleer je antwoord tegen vraag 8.

Deel III — De Cauchy-determinant. Zij $a_1, \dots, a_n$ en $b_1, \dots, b_n$ scalairen met $a_i + b_j \neq 0$ voor alle $i, j$ , en

C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .

Bereken $C_2$ met de hand en breng het in de vorm “producten van verschillen over producten van sommen”.
Voer voor $n \geq 2$ $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ( $i < n$ ) uit en splits rijen en kolommen af om te bewijzen

$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n + b_j)}\;\det M,$

waar $M$ overeenstemt met de Cauchy-matrix op rijen $i < n$ en als laatste rij $(1, 1, \dots, 1)$ heeft.
Voer $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ( $j < n$ ) uit op $M$ , splits opnieuw af, en besluit door inductie het dubbele alternant van Cauchy:

$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j - b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$
Leid het inverteerbaarheidscriterium af (de $a_i$ paarsgewijs verschillend en de $b_j$ paarsgewijs verschillend). Voor de Hilbert-matrix $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ : bereken $\det H_2$ en $\det H_3$ uit de formule, en verifieer dat $H_2^{-1}$ gehele elementen heeft.
Toon aan dat voor paarsgewijs verschillende $b_j$ en een willekeurig rechterlid het stelsel $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) een unieke oplossing heeft, en verbind dit met het bestaan en de uniciteit van partieelbreukontbindingen met enkelvoudige polen (Stelling 9.5).

Deel IV — De discriminant van een derdegraadsveelterm. Zij $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ de wortels (in $\C$ ) van $X^3 + pX + q$ , en $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$ .

Bereken met $\lambda^3 = -p\lambda - q$ in elke wortel en Vieta ( $p_1 = 0$ ) $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ , en $p_4 = 2p^2$ .
Bereken met vraag 5 (over $\C$ , met behoud van $\det S = V^2$ )

$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = -4p^3 - 27q^2 .$
Leid af: $X^3 + pX + q$ heeft een meervoudige wortel dan en slechts dan als $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; controleer op $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ .
Onderstel $p, q$ reëel. Bewijs dat de derdegraadsveelterm drie verschillende reële wortels heeft dan en slechts dan als $\operatorname{disc} > 0$ , en één reële plus twee niet-reële toegevoegde wortels dan en slechts dan als $\operatorname{disc} < 0$ . (Als $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ en $\lambda_1 \in \R$ , toon dat $V$ zuiver imaginair is.)

Deel V — Dividenden, en de alternerende methode.

Toon voor $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ aan dat $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
Bereken $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ voor $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , eerst via de vragen 2–3, dan door directe ontwikkeling.
Zij $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ paarsgewijs verschillend en niet-nul. Bewijs met een inverteerbare Vandermonde-matrix opnieuw dat de meetkundige rijen $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq n}$ een vrije familie van de ruimte van rijen vormen.
Bereken $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ uit het dubbele alternant.
(Alternerende veeltermen) Noem een veelterm $F$ in $x_1, \dots, x_n$ alternerend wanneer het verwisselen van twee willekeurige veranderlijken zijn teken verandert. Toon aan dat een alternerende $F$ verdwijnt zodra $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), en leid af — één veranderlijke per keer, door de factorstelling — dat $F$ deelbaar is door $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
Gebruik vraag 23 om de Vandermonde-formule opnieuw te bewijzen zonder inductie: de determinant $\det(x_i^{\,j-1})$ is een alternerende veelterm van totale graad $\binom n2$ , dus een constant veelvoud van $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ; identificeer de constante door één monomiaal te vergelijken.
Synthese, in vier zinnen: welke enkele eigenschap van de determinant (welk axioma) genereert alle ontbindingen van dit probleem; waarom de momentenmatrix-identiteit van vraag 5 een uitspraak over complexe onderscheidbaarheid omzet in een berekenbaar reëel tekentestje; welke twee klassieke matrices hier volledig geëvalueerd werden en welke lineaire problemen ze beheersen; en hoe de alternerende methode van de vragen 23–24 in één beweging verklaart waarom $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ blijft opduiken. Noem de stelling van Deel III.

Oplossing

Oplossing van Probleem 22.1.

1. $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$ . Interpolatie op verschillende knopen vraagt om de coëfficiënten van $P$ die $W c = y$ oplossen met $W = (x_i^{\,j-1})$ , en $\det W = V \neq 0$ : een Cramer-stelsel.

2. Werk de kolommen af van links naar rechts. $C_1$ is de constante kolom $P_0(x_i) = 1$ ( $P_0$ monisch van graad $0$ ). Neem aan dat de kolommen $1, \dots, j-1$ al gereduceerd zijn tot de zuivere machten $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$ . Aangezien $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$ , laat het aftrekken van $C_j$ van de combinatie $\sum_k \alpha_k\,(\text{kolom van } x_i^k)$ — een operatie die de determinant niet verandert — de zuivere machtskolom $x_i^{\,j-1}$ over. Na de laatste kolom is de matrix de Vandermonde-matrix: $\det = V(x_1, \dots, x_n)$ .

3. De veeltermen $(j-1)!\,B_{j-1}$ zijn monisch van graad $j - 1$ , dus vraag 2 geeft

\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr) = \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .

Het linkerlid is de determinant van een matrix met gehele elementen ( $B_k$ is geheelwaardig op $\Z$ : vragen 16–17 van het weekendprobleem Probleem 18.1), dus een geheel getal; en het is positief aangezien $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ voor $m_1 < \dots < m_n$ . Dus deelt de superfaculteit het product van alle paarsgewijze verschillen.

4. Splits $x_i$ uit elke rij $i$ af: $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$ .

5. $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1} x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$ : $S = W^{\mathsf T}W$ . Dus $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ (Stelling 22.3 (2),(4)). Voor reële $x_i$ : $\det S = V^2 \geq 0$ , en $S$ is inverteerbaar dan en slechts dan als $V \neq 0$ dan en slechts dan als de $x_i$ paarsgewijs verschillend zijn — een tekendefiniete test berekenbaar uit alleen de machtsommen.

6. De interpolatievoorwaarden $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ vormen het stelsel $Wc = y$ ; $\det W = V \neq 0$ geeft bestaan en uniciteit tegelijk. Dit is het derde bewijs in het boek: expliciete formule in Stelling 8.23, kernargument in Voorbeeld 20.10, Cramer hier.

7. Cramer: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ waar $W'$ gelijk is aan $W$ met zijn laatste kolom vervangen door $y$ . $\det W'$ ontwikkelen langs die kolom:

\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_n) .

Nu is $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$ , en het tweede product omzetten kost $(-1)^{n-i}$ :

(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V} = \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} = \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,

vanwaar $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — opnieuw de formule van de gedeelde differenties.

8. $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ geeft de rijen $(1, x_1, x_1^2)$ , $(0, 1, 2x_1)$ , $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ ; ontwikkelen langs de eerste kolom en $(x_2 - x_1)$ afsplitsen:

(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .

Niet-nul voor $x_1 \neq x_2$ : het lineaire stelsel dat $P(x_1) = u$ , $P'(x_1) = v$ , $P(x_2) = w$ uitdrukt op de coëfficiënten van $P \in \R_2[X]$ is Cramer — Hermite-interpolatie met een verdubbelde knoop is welgesteld.

9. $P = a + bX + cX^2$ met $a = P(0) = 1$ , $b = P'(0) = 0$ , $a + b + c = P(1) = 2$ : $c = 1$ , dus $P = 1 + X^2$ , uniek. Consistentie: hier is $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ en de determinant van vraag 8 is $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$ .

10. Directe berekening:

C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)} = \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)} {\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,

en de teller ontwikkelt tot $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$ : verschillen over sommen.

11. Voor $i < n$ is het nieuwe element van rij $i$

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j} = \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .

Splits $(a_n - a_i)$ uit elke rij $i < n$ af, dan $\frac1{a_n + b_j}$ uit elke kolom $j$ : wat overblijft heeft elementen $\frac1{a_i + b_j}$ in rijen $i < n$ en constante $1$ in rij $n$ — de matrix $M$ , met de aangekondigde voorfactor.

12. Op $M$ maakt voor $j < n$ de operatie $C_j \leftarrow C_j - C_n$ rij $n$ tot $(0, \dots, 0, 1)$ en, in rij $i < n$ ,

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n} = \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .

Splits $(b_n - b_j)$ uit elke kolom $j < n$ af en $\frac1{a_i + b_n}$ uit elke rij $i < n$ , en ontwikkel dan langs de laatste rij (teken $(-1)^{n+n} = +1$ ): de resterende determinant is $C_{n-1}$ . De factoren van de vragen 11–12 verzamelen:

C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)} {\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},

en de inductie (basis $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$ ) assembleert precies het dubbele alternant van Cauchy: de factoren $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ voor alle paren, over alle sommen $(a_i + b_j)$ .

13. De formule verdwijnt dan en slechts dan als zeker $a_j = a_i$ of $b_j = b_i$ : de Cauchy-matrix is inverteerbaar dan en slechts dan als beide families paarsgewijs verschillend zijn. Hilbert: $a_i = i$ , $b_j = j - 1$ . Voor $n = 2$ : teller $(2-1)(1-0) = 1$ , noemer $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$ : $\det H_2 = \frac1{12}$ . Voor $n = 3$ : teller $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$ , noemer $(1\cdot2\cdot3) (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$ : $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$ . Inverse voor $n = 2$ :

H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt] -\frac12 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},

allemaal gehele getallen (een fenomeen dat voor elke $n$ waar is).

14. De matrix van het stelsel is de Cauchy-matrix, inverteerbaar volgens vraag 13 wanneer de $b_j$ (en de $a_i$ ) paarsgewijs verschillend zijn: unieke oplossing. Interpretatie: een rationale functie $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ met enkelvoudige polen is bepaald door $n$ van zijn waarden $R(a_1), \dots, R(a_n)$ , en omgekeerd wordt elk zulk gegevensblad precies eenmaal gerealiseerd — de bemonsteringstegenhanger van de bestaans- en uniciteitsstelling voor partieelbreuken (Stelling 9.5).

15. Vieta voor $X^3 + pX + q$ : $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ , $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$ , dus $p_1 = 0$ en $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$ . Elke wortel voldoet aan $\lambda^3 = -p\lambda - q$ ; sommeren: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$ . Vermenigvuldigen met $\lambda$ en sommeren: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$ .

16. Volgens vraag 5 (de identiteit $S = W^{\mathsf T}W$ en $\det S = V^2$ zijn geldig over $\C$ ),

V^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr) = -4p^3 - 27q^2 ,

ontwikkelend langs de eerste rij.

17. Een meervoudige wortel betekent twee gelijke $\lambda_i$ , d.w.z. $V = 0$ , d.w.z. $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$ . Voor $X^3 - 3X + 2$ : $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$ , overeenkomend met de dubbele wortel $1$ van $(X-1)^2(X+2)$ .

18. De niet-reële wortels van een reële derdegraadsveelterm komen in toegevoegde paren, dus er treden precies twee gevallen op wanneer $\operatorname{disc} \neq 0$ . Drie verschillende reële wortels: $V$ is reëel en niet-nul, dus $\operatorname{disc} = V^2 > 0$ . Eén reële wortel $\lambda_1$ en $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$ : dan

(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) = \abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0, \qquad \lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,

dus $V$ is een niet-nul zuiver imaginair getal en $\operatorname{disc} = V^2 < 0$ . De twee tekens karakteriseren de twee gevallen.

19. Neem $b_i = a_i$ in het dubbele alternant: de teller is $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ en de noemer $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (alle elementen positief): de determinant is positief. (In latere taal: de kern $\frac1{x+y}$ is positief definiet.)

20. Volgens de vragen 2–3 is de determinant gelijk aan $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ . Direct is de matrix

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 6\\ 1 & 7 & 21 \end{pmatrix}, \qquad \det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .

21. Onderstel $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ als een rij. Aflezen van $k = 0, 1, \dots, n-1$ geeft $W^{\mathsf T}c = 0$ met $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ inverteerbaar ( $\det = V \neq 0$ , verschillende $\lambda_i$ ): $c = 0$ . De meetkundige rijen zijn vrij.

22. $a = b = (1, 2, 3)$ : teller $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$ ; noemer $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120 = 172800$ . Dus $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800} = \frac1{43200}$ .

23. Als $x_i = x_j$ , fixeert de verwisseling van de twee veranderlijken het punt maar moet het teken van $F$ veranderen: $F = -F$ , dus $F = 0$ daar. Deelbaarheid: beschouw $F$ als een veelterm in de enkele veranderlijke $x_n$ met coëfficiënten in de andere veranderlijken; hij verdwijnt bij de $n - 1$ “waarden” $x_1, \dots, x_{n-1}$ , dus herhaald afsplitsen (Stelling 8.7) geeft $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ met $G$ veelterm. De voorfactor is invariant onder verwisselingen van twee indices $i, j < n$ , dus $G$ is alternerend in $x_1, \dots, x_{n-1}$ , en inductie vervolledigt: $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ deelt $F$ .

24. $D = \det(x_i^{\,j-1})$ is een veelterm in de $x_i$ ; twee veranderlijken verwisselen verwisselt twee rijen, dus $D$ is alternerend, en volgens vraag 23 is $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ voor zekere veelterm $c$ . Totale graden: $D$ heeft graad $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ , het product heeft graad precies $\binom n2$ : $c$ is een constante. Het monomiaal $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ heeft coëfficiënt $1$ in $D$ (diagonaalproduct) en $1$ in het product (kies de veranderlijke met de grootste index in elke factor): $c = 1$ , en Vandermonde’s formule volgt zonder inductie.

25. (i) Alternatie — het axioma “twee gelijke kolommen doden de determinant” — is de motor: ze produceerde elke factor $(x_j - x_i)$ , $(a_j - a_i)$ , $(b_j - b_i)$ in het probleem. (ii) De identiteit $\det S = V^2$ vervangt de individueel complexe, onbereikbare wortels door hun machtsommen, die reële veeltermen in de coëfficiënten zijn, zodat onderscheidbaarheid het teken van een berekenbaar reëel getal wordt. (iii) De Vandermonde-determinant beheerst polynomiale interpolatie, de Cauchy-determinant beheerst partieelbreuken en bemonsterde rationale functies (met de Hilbert-matrix als haar meest beroemde bijzondere geval). (iv) Elke alternerende veelterm is deelbaar door $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ , en een graadtelling legt zo’n veelterm dan vast op een constante na — daarom blijft dit product overal opduiken waar een determinant op coïncidenties verdwijnt. De stelling van Deel III is het dubbele alternant van Cauchy.