Wat is Vierkantswortel? — Wiskunde

Definitie 65.1 Wiskunde basisschool en onderbouw · Hoofdstuk 65 — Vierkantswortels

Zij $a \geq 0$ . De vierkantswortel van $a$ , geschreven $\sqrt a$ , is het enige niet-negatieve getal met kwadraat $a$ :

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{en}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Negatieve getallen hebben geen vierkantswortel, want elk kwadraat is niet-negatief.

De diagonaal van een eenheidsvierkant heeft lengte √12 + 12 = √2 1.414, volgens de stelling van Pythagoras ( haalt die weer op). Dit getal is irrationaal: zijn decimalen repeteren nooit. — De diagonaal van een eenheidsvierkant heeft lengte $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , volgens de stelling van Pythagoras (Hoofdstuk 69 haalt die weer op). Dit getal is irrationaal: zijn decimalen repeteren nooit.

Voorbeelden

Voorbeeld 65.9 (Vierkantswortels optellen)

Sommen van vierkantswortels vereenvoudigen alleen wanneer de wortels gelijksoortig zijn. Bereken $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , en vereenvoudig eerst elke term:

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

zodat de som $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ is.

Voorbeeld 65.10 (Uitwerken met vierkantswortels)

De merkwaardige producten van de algebra gelden ook voor vierkantswortels. Werk $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ uit met $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

En met het derde product, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

het product van twee irrationale getallen kan een geheel getal zijn.

Lees in het hoofdstuk →