Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

65Vierkantswortels

Hoe lang is de diagonaal van een vierkant met zijde $1$ ? De stelling van Pythagoras antwoordt $\sqrt 2$ , een getal waarvan het kwadraat $2$ is — en dat geen breuk blijkt te zijn. Dit hoofdstuk definieert vierkantswortels, stelt de regels vast om ermee te rekenen, en leert uitdrukkingen als $\sqrt{75}$ te vereenvoudigen.

65.1 Definitie en eerste eigenschappen

Definitie 65.1 (Vierkantswortel)

Laat $a \geq 0$ . De vierkantswortel van $a$ , genoteerd $\sqrt a$ , is het unieke niet-negatieve getal waarvan het kwadraat $a$ is:

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{en}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Negatieve getallen hebben geen vierkantswortel, want elk kwadraat is niet-negatief.

Voorbeeld 65.2

$\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt 0 = 0$ , $\sqrt 1 = 1$ , $\sqrt{2.25} = 1.5$ . De eerste vierkantswortels om uit het hoofd te kennen zijn die van de volmaakte kwadraten: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ .

De diagonaal van een eenheidsvierkant heeft lengte √12 + 12 = √2 1.414, door de stelling van Pythagoras ( herinnert eraan). Dit getal is irrationaal: zijn decimalen herhalen zich nooit. — De diagonaal van een eenheidsvierkant heeft lengte $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , door de stelling van Pythagoras (Hoofdstuk 69 herinnert eraan). Dit getal is irrationaal: zijn decimalen herhalen zich nooit.

Propositie 65.3 (Vierkantswortel van een kwadraat)

Voor elk reëel getal $x$ (positief of niet):

\sqrt{x^2} = \abs{x} = \begin{cases} x & \text{als } x \geq 0,\\ -x & \text{als } x < 0 . \end{cases}

Bewijs. Het getal $\abs{x}$ is niet-negatief en zijn kwadraat is $x^2$ (een getal en zijn tegengestelde hebben hetzelfde kwadraat). Als uniek niet-negatief getal met kwadraat $x^2$ is het $\sqrt{x^2}$ . ∎

Voorbeeld 65.4

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$ : de vierkantswortel “vergeet” het teken, hij herstelt het niet. In het bijzonder is $\sqrt{x^2} = x$ fout voor negatieve $x$ .

65.2 Producten en quotiënten van vierkantswortels

Stelling 65.5 (Vermenigvuldigings- en delingsregels)

Voor alle $a \geq 0$ en $b \geq 0$ :

\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b, \qquad\text{en voor } b > 0:\quad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .

Bewijs. Het getal $\sqrt a \times \sqrt b$ is niet-negatief (product van niet-negatieve getallen), en zijn kwadraat is

\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2 = \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2 = a b .

Door uniciteit van het niet-negatieve getal met kwadraat $ab$ is het $\sqrt{ab}$ . De quotiëntrregel wordt op dezelfde manier bewezen. ∎

Opmerking 65.6 (Geen zulke regel voor sommen!)

$\sqrt{a + b}$ is niet $\sqrt a + \sqrt b$ in het algemeen:

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \qquad\text{maar}\qquad \sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .

Methode 65.7 ( $\sqrt n$ vereenvoudigen)

Om de vierkantswortel van een geheel getal te vereenvoudigen:

vind het grootste volmaakte kwadraat dat $n$ deelt (ontbind $n$ indien nodig);
splits met de productregel en haal het kwadraat eruit: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
controleer dat geen volmaakt kwadraat meer deelt wat onder de wortel overblijft.

Voorbeeld 65.8

Vereenvoudig $\sqrt{75}$ : omdat $75 = 25 \times 3$ ,

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .

Vereenvoudig $\sqrt{72}$ : omdat $72 = 36 \times 2$ , $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ . En een quotiënt: $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$ .

Voorbeeld 65.9 (Vierkantswortels optellen)

Sommen van vierkantswortels vereenvoudigen alleen wanneer de wortels gelijksoortig zijn. Bereken $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , eerst elke term vereenvoudigend:

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

dus de som is $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ .

Voorbeeld 65.10 (Uitwerken met vierkantswortels)

De algebraïsche identiteiten gelden voor vierkantswortels. Werk $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ uit met $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

En met de derde identiteit, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

het product van twee irrationale getallen kan een geheel getal zijn.

65.3 De vergelijking $x^2 = a$

Stelling 65.11 (Oplossen van $x^2 = a$ )

Als $a > 0$ , heeft de vergelijking $x^2 = a$ precies twee oplossingen: $\sqrt a$ en $-\sqrt a$ ;
als $a = 0$ , is de enige oplossing $0$ ;
als $a < 0$ , is er geen oplossing.

Bewijs. Herschrijf $x^2 = a$ als $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ wanneer $a \geq 0$ , en ontbind als verschil van kwadraten:

\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,

dus $x = \sqrt a$ of $x = -\sqrt a$ (die samenvallen wanneer $a = 0$ ). Wanneer $a < 0$ is er geen oplossing, want $x^2 \geq 0 > a$ voor elke $x$ . ∎

x2 = 3 oplossen op de parabool y = x2: de horizontale lijn y = 3 snijdt haar in de twee abscissen ±√3. — $x^2 = 3$ oplossen op de parabool $y = x^2$ : de horizontale lijn $y = 3$ snijdt haar in de twee abscissen $\pm\sqrt3$ .

Voorbeeld 65.12

$x^2 = 16$ : oplossingen $4$ en $-4$ . $x^2 = 5$ : oplossingen $\sqrt5$ en $-\sqrt5$ (exacte waarden; $\sqrt5 \approx 2.236$ ). $x^2 = -9$ : geen oplossing. $3x^2 = 21$ : deel eerst door 3, $x^2 = 7$ , oplossingen $\pm\sqrt7$ .

65.4 Oefeningen

Oefening 65.1 ★

Bereken zonder rekenmachine:

\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad \sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad \sqrt{(-4)^2} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.1.

$\sqrt{64} = 8$ ; $\sqrt{100} = 10$ ; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (want $0.3^2 = 0.09$ ); $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$ ; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ ; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$ .

Oefening 65.2 ★

Vereenvoudig:

\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.2.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$ ; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$ ; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$ ; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$ .

Oefening 65.3 ★

Bereken en vereenvoudig:

\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad \frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad \sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.3.

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$ .

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}} = \dfrac25$ .

Oefening 65.4 ★

Los op: $x^2 = 36$ ; $x^2 = 11$ ; $x^2 + 4 = 0$ ; $2x^2 = 50$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.4.

$x^2 = 36$ : $x = 6$ of $x = -6$ .

$x^2 = 11$ : $x = \sqrt{11}$ of $x = -\sqrt{11}$ .

$x^2 + 4 = 0$ betekent $x^2 = -4 < 0$ : geen oplossing.

$2x^2 = 50$ : $x^2 = 25$ , dus $x = 5$ of $x = -5$ .

Oefening 65.5 ★

Herleid tot één term: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ , daarna $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.5.

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$ .

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2 = (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$ .

Oefening 65.6 ★★

Werk uit en vereenvoudig:

\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad \left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad \left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.6.

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$ .

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9 = 29 - 12\sqrt5$ .

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$ .

Oefening 65.7 ★★

Een vierkant veld heeft oppervlakte $6400$ m $^2$ . Wat is de lengte van zijn zijde? Van zijn diagonaal (exacte waarde, daarna afgerond op de dichtstbijzijnde meter)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.7.

Zijde: $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonaal (Pythagoras): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

Oefening 65.8 ★★

Toon dat $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (vermenigvuldig teller en noemer met $\sqrt2$ ). Gebruik dezelfde truc om $\dfrac{6}{\sqrt3}$ en $\dfrac{10}{\sqrt5}$ te schrijven zonder vierkantswortel in de noemer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.8.

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ .

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ . $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$ .

Oefening 65.9 ★★

Waar of onwaar? Motiveer met een bewijs of een tegenvoorbeeld.

Voor alle $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
Voor alle $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
Voor alle $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
$\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.9.

1. Waar: dit is de productregel (Stelling 65.5).

2. Onwaar: $\sqrt{9 + 16} = 5$ maar $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$ .

3. Onwaar voor negatieve $x$ : $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$ . De juiste uitspraak is $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ .

4. Waar: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$ .

Oefening 65.10 ★★★

Laat $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$ . Bereken $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ , en leid een eenvoudigere uitdrukking van $x$ af. Zelfde vraag voor $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (mik op een kwadraat van de vorm $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$ , en let op het teken).

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.10.

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$ . Dus $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (een niet-negatief getal, dus de wortel haalt gewoon het kwadraat weg).

Evenzo $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$ , en $\sqrt5 - 2 > 0$ , dus $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (niet $2 - \sqrt5$ , dat negatief is!).

65.1 Definitie en eerste eigenschappen

65.2 Producten en quotiënten van vierkantswortels

65.3 De vergelijking x2=ax^2 = ax2=a

65.4 Oefeningen

65.3 De vergelijking $x^2 = a$