Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

65Vierkantswortels

Hoe lang is de diagonaal van een vierkant met zijde $1$ ? De stelling van Pythagoras antwoordt $\sqrt 2$ , een getal met kwadraat $2$ — en dat, zo blijkt, geen breuk is. Dit hoofdstuk definieert vierkantswortels, stelt de rekenregels ervoor vast, en leert hoe je uitdrukkingen als $\sqrt{75}$ vereenvoudigt.

65.1 Definitie en eerste eigenschappen

Definitie 65.1 (Vierkantswortel)

Zij $a \geq 0$ . De vierkantswortel van $a$ , geschreven $\sqrt a$ , is het enige niet-negatieve getal met kwadraat $a$ :

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{en}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Negatieve getallen hebben geen vierkantswortel, want elk kwadraat is niet-negatief.

Voorbeeld 65.2

$\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt 0 = 0$ , $\sqrt 1 = 1$ , $\sqrt{2.25} = 1.5$ . De eerste vierkantswortels om uit het hoofd te kennen zijn die van de volkomen kwadraten: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ .

De diagonaal van een eenheidsvierkant heeft lengte √12 + 12 = √2 1.414, volgens de stelling van Pythagoras ( haalt die weer op). Dit getal is irrationaal: zijn decimalen repeteren nooit. — De diagonaal van een eenheidsvierkant heeft lengte $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , volgens de stelling van Pythagoras (Hoofdstuk 69 haalt die weer op). Dit getal is irrationaal: zijn decimalen repeteren nooit.

Propositie 65.3 (Vierkantswortel van een kwadraat)

Voor elk reëel getal $x$ (positief of niet):

\sqrt{x^2} = \abs{x} = \begin{cases} x & \text{als } x \geq 0,\\ -x & \text{als } x < 0 . \end{cases}

Bewijs. Het getal $\abs{x}$ is niet-negatief en zijn kwadraat is $x^2$ (een getal en zijn tegengestelde hebben hetzelfde kwadraat). Omdat het het enige niet-negatieve getal met kwadraat $x^2$ is, is het $\sqrt{x^2}$ . ∎

Voorbeeld 65.4

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$ : de vierkantswortel “vergeet” het teken, hij herstelt het niet. In het bijzonder is $\sqrt{x^2} = x$ verkeerd voor negatieve $x$ .

65.2 Producten en quotiënten van vierkantswortels

Stelling 65.5 (Regels voor vermenigvuldigen en delen)

Voor alle $a \geq 0$ en $b \geq 0$ :

\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b, \qquad\text{en voor } b > 0:\quad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .

Bewijs. Het getal $\sqrt a \times \sqrt b$ is niet-negatief (een product van niet-negatieve getallen), en zijn kwadraat is

\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2 = \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2 = a b .

Omdat het niet-negatieve getal met kwadraat $ab$ uniek is, is het gelijk aan $\sqrt{ab}$ . De regel voor het quotiënt bewijs je op dezelfde manier. ∎

Opmerking 65.6 (Zo’n regel bestaat niet voor sommen!)

$\sqrt{a + b}$ is in het algemeen niet $\sqrt a + \sqrt b$ :

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \qquad\text{maar}\qquad \sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .

Methode 65.7 ( $\sqrt n$ vereenvoudigen)

Om de vierkantswortel van een geheel getal te vereenvoudigen:

zoek het grootste volkomen kwadraat dat $n$ deelt (ontbind $n$ als dat nodig is);
splits met de productregel en haal het kwadraat eruit: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
ga na dat geen volkomen kwadraat meer deelt wat onder de wortel is overgebleven.

Voorbeeld 65.8

Vereenvoudig $\sqrt{75}$ : omdat $75 = 25 \times 3$ , is

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .

Vereenvoudig $\sqrt{72}$ : omdat $72 = 36 \times 2$ , is $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ . En een quotiënt: $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$ .

Voorbeeld 65.9 (Vierkantswortels optellen)

Sommen van vierkantswortels vereenvoudigen alleen wanneer de wortels gelijksoortig zijn. Bereken $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , en vereenvoudig eerst elke term:

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

zodat de som $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ is.

Voorbeeld 65.10 (Uitwerken met vierkantswortels)

De merkwaardige producten van de algebra gelden ook voor vierkantswortels. Werk $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ uit met $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

En met het derde product, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

het product van twee irrationale getallen kan een geheel getal zijn.

65.3 De vergelijking $x^2 = a$

Stelling 65.11 ( $x^2 = a$ oplossen)

Is $a > 0$ , dan heeft de vergelijking $x^2 = a$ precies twee oplossingen: $\sqrt a$ en $-\sqrt a$ ;
is $a = 0$ , dan is $0$ de enige oplossing;
is $a < 0$ , dan is er geen oplossing.

Bewijs. Herschrijf $x^2 = a$ als $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ wanneer $a \geq 0$ , en ontbind als een verschil van kwadraten:

\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,

dus is $x = \sqrt a$ of $x = -\sqrt a$ (die vallen samen als $a = 0$ ). Is $a < 0$ , dan is er geen oplossing, want $x^2 \geq 0 > a$ voor elke $x$ . ∎

x2 = 3 oplossen op de parabool y = x2: de horizontale lijn y = 3 snijdt haar in de twee abscissen ±√3. — $x^2 = 3$ oplossen op de parabool $y = x^2$ : de horizontale lijn $y = 3$ snijdt haar in de twee abscissen $\pm\sqrt3$ .

Voorbeeld 65.12

$x^2 = 16$ : oplossingen $4$ en $-4$ . $x^2 = 5$ : oplossingen $\sqrt5$ en $-\sqrt5$ (exacte waarden; $\sqrt5 \approx 2.236$ ). $x^2 = -9$ : geen oplossing. $3x^2 = 21$ : deel eerst door 3, dan is $x^2 = 7$ , met oplossingen $\pm\sqrt7$ .

65.4 Oefeningen

Oefening 65.1 ★

Bereken zonder rekenmachine:

\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad \sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad \sqrt{(-4)^2} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.1.

$\sqrt{64} = 8$ ; $\sqrt{100} = 10$ ; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (want $0.3^2 = 0.09$ ); $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$ ; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ ; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$ .

Oefening 65.2 ★

Vereenvoudig:

\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.2.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$ ; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$ ; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$ ; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$ .

Oefening 65.3 ★

Bereken en vereenvoudig:

\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad \frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad \sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.3.

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$ .

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}} = \dfrac25$ .

Oefening 65.4 ★

Los op: $x^2 = 36$ ; $x^2 = 11$ ; $x^2 + 4 = 0$ ; $2x^2 = 50$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.4.

$x^2 = 36$ : $x = 6$ of $x = -6$ .

$x^2 = 11$ : $x = \sqrt{11}$ of $x = -\sqrt{11}$ .

$x^2 + 4 = 0$ betekent $x^2 = -4 < 0$ : geen oplossing.

$2x^2 = 50$ : $x^2 = 25$ , dus $x = 5$ of $x = -5$ .

Oefening 65.5 ★

Breng samen tot één term: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ , en daarna $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.5.

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$ .

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2 = (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$ .

Oefening 65.6 ★★

Werk uit en vereenvoudig:

\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad \left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad \left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.6.

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$ .

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9 = 29 - 12\sqrt5$ .

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$ .

Oefening 65.7 ★★

Een vierkant veld heeft oppervlakte $6400$ m $^2$ . Hoe lang is zijn zijde? En zijn diagonaal (exacte waarde, daarna afgerond op de meter)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.7.

Zijde: $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonaal (Pythagoras): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

Oefening 65.8 ★★

Toon aan dat $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (vermenigvuldig teller en noemer met $\sqrt2$ ). Schrijf met dezelfde truc $\dfrac{6}{\sqrt3}$ en $\dfrac{10}{\sqrt5}$ zonder vierkantswortel in de noemer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.8.

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ .

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ . $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$ .

Oefening 65.9 ★★

Waar of niet waar? Verantwoord met een bewijs of een tegenvoorbeeld.

Voor alle $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
Voor alle $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
Voor alle $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
$\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.9.

1. Waar: dat is de productregel (Stelling 65.5).

2. Niet waar: $\sqrt{9 + 16} = 5$ , maar $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$ .

3. Niet waar voor negatieve $x$ : $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$ . De juiste uitspraak is $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ .

4. Waar: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$ .

Oefening 65.10 ★★★

Zij $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$ . Bereken $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ en leid daaruit een eenvoudiger uitdrukking voor $x$ af. Dezelfde vraag voor $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (mik op een kwadraat van de vorm $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$ , en let op het teken).

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.10.

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$ . Dus is $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (een niet-negatief getal, zodat de wortel enkel het kwadraat weghaalt).

Net zo is $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$ , en $\sqrt5 - 2 > 0$ , dus is $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (niet $2 - \sqrt5$ , want dat is negatief!).

65.5 Opgave: het getal dat geen breuk is

Probleem 65.1

Weekendopgave — het legendarische bewijs dat $\sqrt2$ irrationaal is, zijn vele neefjes, en het griezelig goede recept van Heron om het te benaderen

De diagonaal van een eenheidsvierkant is een volkomen echte lengte — je hebt ze in Voorbeeld 58.9 getekend — en toch meet, zoals de pythagoreërs zo’n vijfentwintig eeuwen geleden tot hun ontzetting ontdekten, geen enkele breuk haar. De legende beweert dat de ontdekking met verdrinking werd bestraft. Deze opgave loodst je door het onsterfelijke bewijs (vier vragen en het is voor het leven van jou), vermenigvuldigt de slachtoffers, en eindigt met het recept waarmee ingenieurs tweeduizend jaar lang het onhandelbare getal handelbaar maakten.

Deel I — Het bewijs.

Zit het eerst op de hielen: ga na dat $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ , en daarna dat $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ , door de grenzen te kwadrateren. Nog één cijfer: tussen welke getallen met drie decimalen ligt $\sqrt2$ ?
Stel nu — om tot een tegenspraak te komen — dat $\sqrt2 = \frac ab$ voor een zekere breuk in eenvoudigste vorm (Methode 64.16). Kwadrateer beide leden en toon aan dat $a^2 = 2 b^2$ . Wat is de pariteit van $a^2$ ?
De feiten over pariteit uit Probleem 58.1 zeggen: oneven getallen hebben oneven kwadraten. Leid af dat $a$ even is, schrijf $a = 2k$ , vul in — en toon aan dat ook $b$ even moet zijn.
Waar zit de tegenspraak? Besluit, en formuleer de stelling helemaal: $\sqrt2$ is irrationaal — het is geen quotiënt van hele getallen.
Het bewijs leunde één keer, onopvallend, op de woorden “in eenvoudigste vorm”. Wijs de precieze stap aan die zonder die woorden zou instorten, en leg uit waarom je die eenvoudigste vorm van meet af aan mocht aannemen.

Deel II — De slachtoffers vermenigvuldigen zich.

Een tweede bewijsstijl, via priemfactorontbindingen (Stelling 64.6): vergelijk in $a^2 = 3b^2$ de pariteit van de exponent van $3$ in beide leden (Probleem 64.1: kwadraten dragen even exponenten). Besluit dat $\sqrt3$ irrationaal is.
Voer hetzelfde argument met exponenten uit op $a^2 = n b^2$ voor een willekeurig heel getal $n$ : voor welke $n$ levert het een tegenspraak, en voor welke mislukt het? Formuleer het volledige resultaat: $\sqrt n$ is irrationaal precies wanneer …
Bewijs het schildlemma: een rationaal getal verschillend van nul maal een irrationaal getal is irrationaal. (Stel $r x = q$ met $r$ , $q$ rationaal en $r \neq 0$ , en los op naar $x$ .) Leid af dat $2\sqrt2$ en $\frac{\sqrt2}{2}$ irrationaal zijn.
Bewijs dat $1 + \sqrt2$ irrationaal is. En dan de mooie: stel dat $s = \sqrt2 + \sqrt3$ rationaal zou zijn, bereken $s^2$ , zonder $\sqrt6$ af, en vind de tegenspraak.
Tem het enthousiasme: geef twee irrationale getallen waarvan de som rationaal is, en twee waarvan het product rationaal is. (Irrationaliteit blijft niet bewaard onder rekenkundige bewerkingen — elk geval vraagt zijn eigen bewijs.)

Deel III — Het recept van Heron. Tweeduizend jaar vóór de rekenmachines benaderde Heron van Alexandrië $\sqrt2$ zo: neem een schatting $x$ ; vervang de schatting door het gemiddelde van $x$ en $\frac2x$ ; herhaal.

Begin bij de schatting $x = 1$ en bereken de volgende twee schattingen als exacte breuken.
Bereken de derde schatting, opnieuw als een exacte breuk, en haar decimale waarde. Vergelijk met vraag 1: hoeveel decimalen van $\sqrt2$ zijn al juist?
Het idee achter het recept: een rechthoek met oppervlakte $2$ en één zijde $x$ heeft als andere zijde $\frac2x$ . Toon aan dat $\sqrt2$ altijd tussen $x$ en $\frac2x$ ligt (bekijk de twee gevallen $x^2 > 2$ en $x^2 < 2$ ), zodat het gemiddelde nemen van de twee zijden de rechthoek naar het vierkant toe knijpt.
In de schattingen $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ zit een juweel verborgen: bereken $3^2 - 2 \times 2^2$ , daarna $17^2 - 2 \times 12^2$ , en daarna $577^2 - 2 \times 408^2$ . Deel I bewees dat $a^2 - 2b^2 = 0$ onmogelijk is — hoe dicht komen de breuken van Heron bij het onmogelijke?
Slot, in twee zinnen: de diagonaal van het eenheidsvierkant bestaat op papier, geen enkele breuk meet haar, en haar decimale schrijfwijze kan nooit repeteren (Probleem 63.1). Welk soort “nieuwe getallen” moet de getallenlijn dus bevatten — en waar in deze reeks wordt hun volledige verhaal verteld?

Oplossing

Oplossing van Probleem 65.1.

1. $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$ ; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$ . Met drie decimalen: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$ , dus is $1.414 < \sqrt2 < 1.415$ .

2. $\sqrt2 = \frac ab$ kwadrateren geeft $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , en dus $a^2 = 2b^2$ : het getal $a^2$ is twee keer een heel getal — even.

3. Was $a$ oneven, dan zou $a^2$ oneven zijn (Probleem 58.1); omdat $a^2$ even is, is $a$ even: $a = 2k$ . Invullen geeft $4k^2 = 2b^2$ , dus is $b^2 = 2k^2$ even, en volgens hetzelfde feit over pariteit is $b$ even.

4. $a$ en $b$ beide even betekent: beide deelbaar door $2$ — maar $\frac ab$ stond in eenvoudigste vorm en had geen gemeenschappelijke deler. Tegenspraak: de veronderstelde breuk kan niet bestaan. Stelling: $\sqrt2$ is irrationaal.

5. De tegenspraak zit volledig in “in eenvoudigste vorm”: zonder die woorden spreekt “ $a$ en $b$ beide even” niets tegen. De eenvoudigste vorm aannemen mag, doordat elke breuk zo’n vorm heeft (Methode 64.16: deel de ggd eruit) — was $\sqrt2$ hoe dan ook een breuk, dan zou het een breuk in eenvoudigste vorm zijn, en die is onmogelijk.

6. In priemfactorontbindingen dragen kwadraten even exponenten (Probleem 64.1). In $a^2 = 3b^2$ is de exponent van $3$ even in het linkerlid, maar oneven in het rechterlid (even uit $b^2$ , plus één). Geen enkel getal heeft twee ontbindingen (Stelling 64.6): tegenspraak, en $\sqrt3$ is irrationaal.

7. In $a^2 = n b^2$ vindt het argument precies dan een priemgetal met tegenstrijdige pariteit van de exponent, wanneer een priemgetal in $n$ met een oneven exponent voorkomt. Zijn alle exponenten van $n$ even, dan is $n$ een volkomen kwadraat ( $n = m^2$ , en $\sqrt n = m$ is heel). Volledig resultaat: $\sqrt n$ is irrationaal voor elk heel getal $n$ dat geen volkomen kwadraat is — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10}, \dots$

8. Uit $r x = q$ met $r \neq 0$ volgt $x = \frac qr$ , een quotiënt van rationale getallen, en dus rationaal. Is $x$ dus irrationaal, dan kan $r x$ niet rationaal zijn: $2\sqrt2$ en $\frac{\sqrt2}{2}$ zijn irrationaal (met vermenigvuldigers $2$ en $\frac12$ ).

9. Was $1 + \sqrt2 = q$ rationaal, dan zou $\sqrt2 = q - 1$ rationaal zijn: tegenspraak. Was $s = \sqrt2 + \sqrt3$ rationaal, dan zou $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ dat ook zijn, wat $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ rationaal maakt — maar $\sqrt6$ is irrationaal (vraag 7). Dus is $\sqrt2 + \sqrt3$ irrationaal.

10. Sommen: $\sqrt2$ en $-\sqrt2$ (of $\sqrt2$ en $1 - \sqrt2$ ) zijn elk irrationaal, met de rationale sommen $0$ en $1$ . Producten: $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$ . Irrationaliteit kan in het rekenen verdampen — vandaar de bewijzen geval per geval.

11. Vanuit $x = 1$ : het gemiddelde van $1$ en $\frac21 = 2$ is $x_1 = \frac32$ . Daarna het gemiddelde van $\frac32$ en $\frac{2}{3/2} = \frac43$ : $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$ .

12. $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot \frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ Tegenover $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$ : vijf juiste decimalen na drie stappen — het recept verdubbelt het aantal juiste decimalen ruwweg bij elke ronde.

13. Is $x^2 > 2$ (schatting te groot), dan is $x > \sqrt2$ en $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ : de bijhorende zijde is te klein. Is $x^2 < 2$ , dan keren de ongelijkheden om. In beide gevallen ligt $\sqrt2$ tussen $x$ en $\frac2x$ , zodat hun gemiddelde — de volgende schatting — dichterbij ligt dan de slechtste van de twee zijden: de rechthoek met oppervlakte $2$ wordt bij elke stap vierkanter.

14. $9 - 8 = 1$ ; $289 - 288 = 1$ ; $332\,929 - 332\,928 = 1$ . Elke schatting $\frac ab$ van Heron voldoet aan $a^2 - 2b^2 = 1$ : deel I bewees dat $0$ treffen onmogelijk is, en deze breuken missen het onmogelijke met precies één eenheid — dichterbij kunnen hele getallen nooit komen.

15. De getallenlijn moet getallen bevatten die verder gaan dan de breuken — lengten als $\sqrt2$ , waarvan de decimale schrijfwijze eindeloos doorloopt zonder te repeteren: de reële getallen. Hun eerlijke opbouw is een verhaal voor het bovenbouwvolume en, in volle strengheid, voor de universitaire volumes.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Vierkantswortel

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

65.1 Definitie en eerste eigenschappen

65.2 Producten en quotiënten van vierkantswortels

65.3 De vergelijking x2=ax^2 = ax2=a

65.4 Oefeningen

65.5 Opgave: het getal dat geen breuk is

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

65.3 De vergelijking $x^2 = a$