Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

69Goniometrie in de rechthoekige driehoek

In een rechthoekige driehoek is, zodra je één scherpe hoek kent, de vorm van de driehoek vast — alleen zijn grootte kan variëren. De verhoudingen van zijn zijden hangen daarom alleen van de hoek af: deze verhoudingen zijn cosinus, sinus en tangens. Samen met de stelling van Pythagoras laten ze je elke zijde en elke hoek van een rechthoekige driehoek berekenen uit zeer weinig informatie.

69.1 De stelling van Pythagoras, nogmaals

Stelling 69.1 (Pythagoras)

In een driehoek $ABC$ rechthoekig in $A$ is het kwadraat van de schuine zijde de som van de kwadraten van de twee benen:

BC^2 = AB^2 + AC^2 .

Omgekeerd, als $BC^2 = AB^2 + AC^2$ in een driehoek, dan is de driehoek rechthoekig in $A$ .

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 69.2

Een rechthoekige driehoek heeft benen $AB = 5$ en $AC = 12$ . Dan

BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \qquad\text{dus}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .

Om een been te vinden: als $BC = 10$ en $AB = 6$ , dan $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$ , dus $AC = 8$ .

69.2 Cosinus, sinus, tangens

In een rechthoekige driehoek, ten opzichte van een scherpe hoek $\theta$ , hebben de drie zijden namen: de schuine zijde (tegenover de rechte hoek, de langste zijde), de zijde tegenover $\theta$ , en de zijde aanliggend aan $\theta$ (het been dat $\theta$ raakt).

Definitie 69.3 (Goniometrische verhoudingen)

Voor een scherpe hoek $\theta$ van een rechthoekige driehoek:

\cos\theta = \frac{\text{aanliggend}}{\text{schuine zijde}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{tegenover}}{\text{schuine zijde}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{tegenover}}{\text{aanliggend}} .

Deze verhoudingen hangen alleen van $\theta$ af, niet van de grootte van de driehoek (alle rechthoekige driehoeken met dezelfde scherpe hoek zijn schalingen van elkaar, door Thales).

De drie zijden gezien vanuit de hoek = B: de schuine zijde [BC], de aanliggende zijde [BA], de overstaande zijde [AC]. — De drie zijden gezien vanuit de hoek $\theta = \widehat B$ : de schuine zijde $[BC]$ , de aanliggende zijde $[BA]$ , de overstaande zijde $[AC]$ .

Propositie 69.4 (Eerste eigenschappen)

Voor elke scherpe hoek $\theta$ :

$0 < \cos\theta < 1$ en $0 < \sin\theta < 1$ (een been is korter dan de schuine zijde);
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

Bewijs. Schrijf $a$ voor de aanliggende zijde, $o$ voor de overstaande zijde, $h$ voor de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met hoek $\theta$ .

1. $0 < a < h$ en $0 < o < h$ , dus de twee verhoudingen liggen strikt tussen $0$ en $1$ .

2. Door Pythagoras, $a^2 + o^2 = h^2$ . Deel alles door $h^2$ :

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2} = \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa = \tan\theta$ . ∎

Methode 69.5 (Een zijde vinden)

Om een onbekende zijde te berekenen wanneer één zijde en één scherpe hoek bekend zijn:

markeer de bekende hoek en label de drie zijden (schuine zijde, overstaand, aanliggend) vanuit die hoek;
kies de verhouding (cos, sin of tan) die de bekende zijde en de gevraagde zijde betrekt;
schrijf de vergelijking en los die op;
saneiteitscontrole: de schuine zijde moet het langst uitkomen.

Voorbeeld 69.6

In een rechthoekige driehoek meet de schuine zijde $8$ en is één hoek $35^\circ$ ; bereken de zijde ertegenover. De verhouding met de overstaande zijde en de schuine zijde is de sinus:

\sin 35^\circ = \frac{\text{overstaand}}{8} \quad\Longrightarrow\quad \text{overstaand} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .

Voor de aanliggende zijde, gebruik de cosinus: $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$ . Controle met Pythagoras: $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$ .

Methode 69.7 (Een hoek vinden)

Wanneer twee zijden bekend zijn, bereken de verhouding die ze vormen, identificeer die als cosinus, sinus of tangens van de onbekende hoek, en pas de inverse functie van de rekenmachine toe ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ of $\tan^{-1}$ ) op de verhouding.

Voorbeeld 69.8

Een ladder van $5$ m leunt tegen een muur, met de voet $1.4$ m van de muur. De hoek $\theta$ tussen de ladder en de grond voldoet aan

\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28, \qquad\text{dus}\quad \theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .

Het ladderprobleem: de aanliggende zijde (1.4 m) en de schuine zijde (5 m) zijn bekend, dus de cosinus geeft de hoek. — Het ladderprobleem: de aanliggende zijde ( $1.4$ m) en de schuine zijde ( $5$ m) zijn bekend, dus de cosinus geeft de hoek.

Voorbeeld 69.9 (Speciale hoeken)

Twee driehoeken geven exacte waarden. De helft van een vierkant met zijde 1 (een rechthoekige gelijkbenige driehoek) heeft schuine zijde $\sqrt2$ en hoeken van $45^\circ$ :

\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1 .

De helft van een gelijkzijdige driehoek met zijde 1 geeft de hoeken $30^\circ$ en $60^\circ$ :

\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12, \qquad \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.

69.3 Oefeningen

Oefening 69.1 ★

Een rechthoekige driehoek heeft benen $9$ en $12$ . Bereken zijn schuine zijde. Een andere heeft schuine zijde $17$ en één been $8$ : bereken het andere been.

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.1.

Schuine zijde: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Ander been: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ .

Oefening 69.2 ★

Een driehoek heeft zijden $7$ , $24$ en $25$ . Is hij rechthoekig? Zelfde vraag voor zijden $5$ , $6$ en $8$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.2.

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ : ja, rechthoekig (omgekeerde van Pythagoras), met de rechte hoek tegenover de zijde $25$ .

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$ : niet rechthoekig.

Oefening 69.3 ★

In een driehoek $DEF$ rechthoekig in $D$ , met de hoek in $E$ genoteerd $\theta$ : welke zijde is de schuine zijde? Welke zijde ligt tegenover $\theta$ ? Schrijf $\cos\theta$ , $\sin\theta$ en $\tan\theta$ als verhoudingen van de zijden $DE$ , $DF$ , $EF$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.3.

De schuine zijde is $[EF]$ (tegenover de rechte hoek in $D$ ). De zijde tegenover $\theta = \widehat E$ is $[DF]$ ; de aanliggende zijde is $[DE]$ . Dus

\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad \sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad \tan\theta = \frac{DF}{DE}.

Oefening 69.4 ★

In een rechthoekige driehoek meet de schuine zijde $10$ en is één scherpe hoek $28^\circ$ . Bereken de twee benen (rond af op de tiende; $\cos 28^\circ \approx 0.883$ , $\sin 28^\circ \approx 0.469$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.4.

Overstaand been: $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$ . Aanliggend been: $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$ . (Controle: $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$ .)

Oefening 69.5 ★

In een rechthoekige driehoek meet het been aanliggend aan de hoek $\theta$ $6$ en het overstaande been $4.5$ . Bereken $\tan\theta$ , daarna $\theta$ (rond af op de graad; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.5.

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$ , dus $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$ .

Oefening 69.6 ★★

Een drone vliegt op een hoogte van $120$ m. Vanaf een waarnemer op de grond wordt hij gezien onder een elevatiehoek van $32^\circ$ . Op welke horizontale afstand van de waarnemer is de drone ( $\tan 32^\circ \approx 0.625$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.6.

In de rechthoekige driehoek gevormd door de waarnemer, het punt op de grond onder de drone, en de drone: de hoogte $120$ m is de zijde tegenover de elevatiehoek, de horizontale afstand $d$ is aanliggend. Dus

\tan 32^\circ = \frac{120}{d}, \qquad d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ m}.

Oefening 69.7 ★★

Een toegangshelling moet $1.2$ m stijgen met een hoek van hoogstens $5^\circ$ met de horizontaal. Welke minimale lengte langs de helling moet de helling hebben ( $\sin 5^\circ \approx 0.0872$ )? Rond naar boven af op de dichtstbijzijnde tiende van een meter.

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.7.

De stijging ( $1.2$ m) ligt tegenover de hoek; de hellinglengte $L$ is de schuine zijde:

\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L}, \qquad L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8 \text{ m}.

De helling moet minstens $13.8$ m lang zijn.

Oefening 69.8 ★★

Gebruik Propositie 69.4: een scherpe hoek $\theta$ voldoet aan $\cos\theta = 0.6$ . Bereken $\sin\theta$ zonder $\theta$ te vinden, daarna $\tan\theta$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.8.

Uit $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ : $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$ , en $\sin\theta > 0$ voor een scherpe hoek, dus $\sin\theta = 0.8$ . Dan $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} = \dfrac43$ .

Oefening 69.9 ★★★

Motiveer de exacte waarden van Voorbeeld 69.9: in de rechthoekige gelijkbenige driehoek met benen $1$ , bereken de schuine zijde; in de gelijkzijdige driehoek met zijde $1$ , bereken de hoogte, en leid cosinus en sinus van $30^\circ$ en $60^\circ$ af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.9.

Rechthoekige gelijkbenige driehoek met benen $1$ : schuine zijde $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ ; elke scherpe hoek is $45^\circ$ , en

\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ, \qquad \tan 45^\circ = \frac11 = 1 .

Gelijkzijdige driehoek met zijde $1$ : zijn hoogte splitst hem in twee rechthoekige driehoeken met schuine zijde $1$ , basis $\frac12$ , en hoogte $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (Pythagoras). De hoeken zijn $60^\circ$ (aan de basis) en $30^\circ$ (bovenaan). Aflezen van de verhoudingen:

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac12 .