Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

69Goniometrie in de rechthoekige driehoek

In een rechthoekige driehoek ligt de vorm van de driehoek vast zodra je één scherpe hoek kent — alleen zijn grootte kan nog veranderen. De verhoudingen van zijn zijden hangen dus alleen van de hoek af: die verhoudingen zijn de cosinus, de sinus en de tangens. Samen met de stelling van Pythagoras laten ze je elke zijde en elke hoek van een rechthoekige driehoek uit heel weinig gegevens berekenen.

69.1 De stelling van Pythagoras, opnieuw

Stelling 69.1 (Pythagoras)

In een driehoek $ABC$ die rechthoekig is in $A$ , is het kwadraat van de schuine zijde de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden:

BC^2 = AB^2 + AC^2 .

Omgekeerd: geldt $BC^2 = AB^2 + AC^2$ in een driehoek, dan is de driehoek rechthoekig in $A$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 69.2

Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden $AB = 5$ en $AC = 12$ . Dan is

BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \qquad\text{dus}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .

Om een rechthoekszijde te vinden: is $BC = 10$ en $AB = 6$ , dan is $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$ , dus $AC = 8$ .

69.2 Cosinus, sinus, tangens

In een rechthoekige driehoek hebben de drie zijden, ten opzichte van een scherpe hoek $\theta$ , elk een naam: de schuine zijde (tegenover de rechte hoek, de langste zijde), de zijde overstaand aan $\theta$ , en de zijde aanliggend aan $\theta$ (de rechthoekszijde die aan $\theta$ raakt).

Definitie 69.3 (Goniometrische verhoudingen)

Voor een scherpe hoek $\theta$ van een rechthoekige driehoek:

\cos\theta = \frac{\text{aanliggend}}{\text{schuine zijde}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{overstaand}}{\text{schuine zijde}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{overstaand}}{\text{aanliggend}} .

Deze verhoudingen hangen alleen van $\theta$ af, niet van de grootte van de driehoek (alle rechthoekige driehoeken met dezelfde scherpe hoek zijn schalingen van elkaar, volgens Thales).

De drie zijden gezien vanuit de hoek = B: de schuine zijde [BC], de aanliggende zijde [BA], de overstaande zijde [AC]. — De drie zijden gezien vanuit de hoek $\theta = \widehat B$ : de schuine zijde $[BC]$ , de aanliggende zijde $[BA]$ , de overstaande zijde $[AC]$ .

Propositie 69.4 (Eerste eigenschappen)

Voor elke scherpe hoek $\theta$ :

$0 < \cos\theta < 1$ en $0 < \sin\theta < 1$ (een rechthoekszijde is korter dan de schuine zijde);
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

Bewijs. Schrijf $a$ voor de aanliggende zijde, $o$ voor de overstaande zijde en $h$ voor de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met hoek $\theta$ .

1. $0 < a < h$ en $0 < o < h$ , dus liggen de twee verhoudingen strikt tussen $0$ en $1$ .

2. Volgens Pythagoras is $a^2 + o^2 = h^2$ . Deel alles door $h^2$ :

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2} = \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa = \tan\theta$ . ∎

Methode 69.5 (Een zijde vinden)

Om een onbekende zijde te berekenen wanneer één zijde en één scherpe hoek bekend zijn:

markeer de bekende hoek en benoem de drie zijden (schuine zijde, overstaand, aanliggend) vanuit die hoek;
kies de verhouding (cos, sin of tan) waarin de bekende zijde en de gevraagde zijde voorkomen;
schrijf de vergelijking op en los ze op;
controle op het gezond verstand: de schuine zijde moet er als langste uit komen.

Voorbeeld 69.6

In een rechthoekige driehoek meet de schuine zijde $8$ en is één hoek $35^\circ$ ; bereken de zijde die daar tegenover ligt. De verhouding waarin de overstaande zijde en de schuine zijde voorkomen, is de sinus:

\sin 35^\circ = \frac{\text{overstaand}}{8} \quad\Longrightarrow\quad \text{overstaand} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .

Voor de aanliggende zijde gebruik je de cosinus: $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$ . Controle met Pythagoras: $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$ .

Methode 69.7 (Een hoek vinden)

Zijn twee zijden bekend, bereken dan de verhouding die ze vormen, bepaal of die de cosinus, de sinus of de tangens van de onbekende hoek is, en pas de omgekeerde functie van de rekenmachine ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ of $\tan^{-1}$ ) toe op de verhouding.

Voorbeeld 69.8

Een ladder van $5$ m staat tegen een muur, met zijn voet $1.4$ m van de muur. De hoek $\theta$ tussen de ladder en de grond voldoet aan

\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28, \qquad\text{dus}\quad \theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .

Het ladderprobleem: de aanliggende zijde (1.4 m) en de schuine zijde (5 m) zijn bekend, dus geeft de cosinus de hoek. — Het ladderprobleem: de aanliggende zijde ( $1.4$ m) en de schuine zijde ( $5$ m) zijn bekend, dus geeft de cosinus de hoek.

Voorbeeld 69.9 (Bijzondere hoeken)

Twee driehoeken geven exacte waarden. De helft van een vierkant met zijde 1 (een rechthoekige gelijkbenige driehoek) heeft schuine zijde $\sqrt2$ en hoeken van $45^\circ$ :

\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1 .

De helft van een gelijkzijdige driehoek met zijde 1 geeft de hoeken $30^\circ$ en $60^\circ$ :

\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12, \qquad \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.

69.3 Oefeningen

Oefening 69.1 ★

Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden $9$ en $12$ . Bereken zijn schuine zijde. Een andere heeft schuine zijde $17$ en één rechthoekszijde $8$ : bereken de andere rechthoekszijde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.1.

Schuine zijde: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Andere rechthoekszijde: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ .

Oefening 69.2 ★

Een driehoek heeft zijden $7$ , $24$ en $25$ . Is hij rechthoekig? Dezelfde vraag voor zijden $5$ , $6$ en $8$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.2.

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ : ja, rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras), met de rechte hoek tegenover de zijde $25$ .

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$ : niet rechthoekig.

Oefening 69.3 ★

In een driehoek $DEF$ die rechthoekig is in $D$ , met de hoek in $E$ aangeduid als $\theta$ : welke zijde is de schuine zijde? Welke zijde ligt tegenover $\theta$ ? Schrijf $\cos\theta$ , $\sin\theta$ en $\tan\theta$ als verhoudingen van de zijden $DE$ , $DF$ , $EF$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.3.

De schuine zijde is $[EF]$ (tegenover de rechte hoek in $D$ ). De zijde tegenover $\theta = \widehat E$ is $[DF]$ ; de aanliggende zijde is $[DE]$ . Bijgevolg is

\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad \sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad \tan\theta = \frac{DF}{DE}.

Oefening 69.4 ★

In een rechthoekige driehoek meet de schuine zijde $10$ en is één scherpe hoek $28^\circ$ . Bereken de twee rechthoekszijden (afgerond op een tiende; $\cos 28^\circ \approx 0.883$ , $\sin 28^\circ \approx 0.469$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.4.

Overstaande rechthoekszijde: $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$ . Aanliggende rechthoekszijde: $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$ . (Controle: $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$ .)

Oefening 69.5 ★

In een rechthoekige driehoek meet de rechthoekszijde die aan de hoek $\theta$ ligt $6$ , en de overstaande rechthoekszijde $4.5$ . Bereken $\tan\theta$ , en daarna $\theta$ (afgerond op de graad; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.5.

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$ , dus is $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$ .

Oefening 69.6 ★★

Een drone vliegt op een hoogte van $120$ m. Een waarnemer op de grond ziet hem onder een hoogtehoek van $32^\circ$ . Op welke horizontale afstand van de waarnemer bevindt de drone zich ( $\tan 32^\circ \approx 0.625$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.6.

In de rechthoekige driehoek die de waarnemer, het punt op de grond onder de drone en de drone vormen: de hoogte van $120$ m is de zijde tegenover de hoogtehoek, en de horizontale afstand $d$ ligt eraan. Dus is

\tan 32^\circ = \frac{120}{d}, \qquad d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ m}.

Oefening 69.7 ★★

Een oprit moet $1.2$ m stijgen met een hoek van ten hoogste $5^\circ$ met de horizontale. Welke minimale lengte langs de helling moet de oprit hebben ( $\sin 5^\circ \approx 0.0872$ )? Rond naar boven af op een tiende meter.

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.7.

De stijging ( $1.2$ m) ligt tegenover de hoek; de lengte $L$ van de oprit is de schuine zijde:

\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L}, \qquad L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8 \text{ m}.

De oprit moet minstens $13.8$ m lang zijn.

Oefening 69.8 ★★

Met Propositie 69.4: een scherpe hoek $\theta$ voldoet aan $\cos\theta = 0.6$ . Bereken $\sin\theta$ zonder $\theta$ te zoeken, en daarna $\tan\theta$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.8.

Uit $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ volgt $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$ , en $\sin\theta > 0$ voor een scherpe hoek, dus is $\sin\theta = 0.8$ . Dan is $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} = \dfrac43$ .

Oefening 69.9 ★★★

Verantwoord de exacte waarden van Voorbeeld 69.9: bereken in de rechthoekige gelijkbenige driehoek met rechthoekszijden $1$ de schuine zijde; bereken in de gelijkzijdige driehoek met zijde $1$ de hoogte, en leid de cosinus en de sinus van $30^\circ$ en $60^\circ$ af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 69.9.

Rechthoekige gelijkbenige driehoek met rechthoekszijden $1$ : schuine zijde $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ ; elke scherpe hoek is $45^\circ$ , en

\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ, \qquad \tan 45^\circ = \frac11 = 1 .

Gelijkzijdige driehoek met zijde $1$ : zijn hoogte verdeelt hem in twee rechthoekige driehoeken met schuine zijde $1$ , basis $\frac12$ en hoogte $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (Pythagoras). De hoeken zijn $60^\circ$ (op de basis) en $30^\circ$ (aan de top). De verhoudingen aflezen geeft

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac12 .

69.4 Opgave: meten wat je niet kunt bereiken

Probleem 69.1

Weekendopgave — de methode met twee standplaatsen van de landmeter voor onbereikbare hoogten, hellingspercentages, de afstand tot de horizon, en de wedloop van de tangens naar het oneindige

Geen enkel meetlint reikt tot de top van een berg, tot de spits van een toren aan de andere kant van een rivier, of tot de horizon op zee — maar een hoekmeter en de drie verhoudingen van dit hoofdstuk wel. Het middelpunt van deze opgave is de klassieke methode met twee standplaatsen van de landmeters, die een hoogte berekent zonder ooit haar voet te benaderen; eromheen: verkeersborden, ladders, trappen, de kromming van de Aarde, en een eerste glimp van een functie die naar het oneindige ontploft.

Deel I — Eén standplaats. (Waarden: $\tan 35^\circ \approx 0.700$ , $\sin 35^\circ \approx 0.574$ , $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\tan 1^\circ \approx 0.0175$ .)

Vanuit een punt op $60$ m van de voet van een vuurtoren wordt de top gezien onder een hoogtehoek van $35^\circ$ (gemeten vanaf de horizontale, op ooghoogte). Hoe hoog ligt de top boven ooghoogte?
Een verkeersbord kondigt een stijging van $12\,\%$ aan: de weg stijgt $12$ m per $100$ m horizontaal. Welke hoek maakt de weg met de horizontale? En welk stijgingspercentage zou een weg van $45^\circ$ hebben?
De twee scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek zijn complementair, en de overstaande zijde van de ene is de aanliggende zijde van de andere. Leid de “co”-gelijkheden af:

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta, \qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$
Een ladder van $8$ m staat onder $60^\circ$ met de grond. Geef met de exacte waarden van Voorbeeld 69.9 de bereikte hoogte en de afstand van de voet tot de muur — exact, en daarna op de centimeter.
Ga $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ met getallen na voor $\theta = 35^\circ$ en exact voor $\theta = 60^\circ$ . Waarom is deze gelijkheid (Propositie 69.4) een goede gewoonte om je werk met de rekenmachine te controleren?

Deel II — Twee standplaatsen. De top van een berg is zichtbaar, zijn voet onbereikbaar. Vanuit een punt $A$ is de hoogtehoek van de top $30^\circ$ ; na $200$ m rechtdoor naar de berg te lopen, naar $B$ , wordt de hoogtehoek $40^\circ$ . Schrijf $h$ voor de hoogte van de top boven ooghoogte en $x$ voor de horizontale afstand van $B$ tot de verticale van de top. ( $\tan 30^\circ \approx 0.577$ , $\tan 40^\circ \approx 0.839$ .)

Druk $\tan 40^\circ$ en $\tan 30^\circ$ uit met $h$ , $x$ en $x + 200$ : twee vergelijkingen voor twee onbekenden.
Druk uit elke vergelijking de horizontale afstand in $h$ uit, trek af, en leid de formule met twee standplaatsen af:

$h = \frac{200} {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$

Bereken $h$ op tien meter nauwkeurig.
Bereken ook $x$ , en toets je twee antwoorden aan de peiling van $30^\circ$ vanuit $A$ .
In één zin: waarom is de methode met twee standplaatsen onmisbaar — welke ene meting, die hier onmogelijk is, zou de methode met één standplaats uit vraag 1 hebben gevraagd?
Een toren wordt gepeild onder $30^\circ$ , en onder $60^\circ$ na $200$ m naar hem toe te lopen. Bereken de hoogte exact met $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ en $\tan 60^\circ = \sqrt3$ — het antwoord is een veelvoud van $\sqrt3$ — en daarna op de meter.

Deel III — Tot de horizon en tegen de muur op.

Hoe ver ligt de horizon? Staat je oog $h$ meter boven een bolvormige Aarde met radius $R$ , dan scheert je blik langs de bol: de bliklijn, de radius naar het scherende punt en de radius naar je voeten vormen een rechthoekige driehoek. Toon met Pythagoras (Stelling 69.1) aan dat de afstand $d$ tot de horizon voldoet aan $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ , en bereken $d$ voor ogen op $1.80$ m ( $R = 6.37 \times 10^6$ m).
Dezelfde vraag vanaf de top van een toren van $324$ m. (Vuistregel van zeelieden: de horizon in kilometer is ongeveer $3.6\sqrt{h}$ met $h$ in meter — toets je twee antwoorden eraan.)
Je duim, ongeveer $2$ cm breed, op armlengte gehouden, ongeveer $60$ cm van je oog: welke hoek bedekt hij? De volle Maan bedekt ongeveer $0.5^\circ$ : welk deel van je duim verbergt de hele Maan?
Comfortabele trappen hebben optreden van $17$ cm en aantreden van $29$ cm. Onder welke hoek klimmen ze? Vergelijk met de $30^\circ$ van Voorbeeld 69.9, en met een steile zoldertrap onder $60^\circ$ : welke optrede zou die nodig hebben bij een aantrede van $29$ cm?
De wedloop van de tangens: bereken (met de rekenmachine) $\tan 10^\circ$ , $\tan 45^\circ$ , $\tan 80^\circ$ , $\tan 89^\circ$ . Wat gebeurt er als de hoek $90^\circ$ nadert, en waarom (denk aan de aanliggende zijde)? De muur staat verticaal, de verhouding heeft geen waarde, en de grafiek schiet naar het oneindige — je eerste asymptoot, een wezen dat in het bovenbouwvolume nauwkeurig wordt bestudeerd.

Oplossing

Oplossing van Probleem 69.1.

1. De hoogte boven ooghoogte is de zijde tegenover $35^\circ$ , met aanliggende zijde $60$ m: $h = 60 \tan 35^\circ \approx 60 \times 0.700 = 42$ m.

2. $\tan\theta = 0.12$ geeft $\theta = \tan^{-1}(0.12) \approx 6.8^\circ$ — steil voor een weg, en toch een bescheiden hoek. Een weg van $45^\circ$ heeft $\tan 45^\circ = 1$ : een stijging van $100\,\%$ . (“Honderd procent” is nog lang niet verticaal — een geliefd misverstand bij skiliften.)

3. In een rechthoekige driehoek met scherpe hoeken $\theta$ en $90^\circ - \theta$ is de zijde die tegenover de ene ligt, de aanliggende zijde van de andere, en is de schuine zijde gemeenschappelijk. Dus is $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\text{haar overstaande zijde}}{h} = \frac{\text{aanliggende zijde van }\theta}{h} = \cos\theta$ , en symmetrisch $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$ : de cosinus is de sinus van het complement.

4. Hoogte: $8 \sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6.93$ m. Voet: $8 \cos 60^\circ = 4$ m, precies.

5. $0.574^2 + 0.819^2 = 0.329 + 0.671 = 1.000$ (op de afronding na); en $\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1$ . Elk paar waarden dat de gelijkheid niet doorstaat, verraadt een verkeerde aflezing of een rekenmachine in de verkeerde stand — een gratis foutendetector.

6. $\tan 40^\circ = \dfrac hx$ en $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 200}$ .

7. $x = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}$ en $x + 200 = \dfrac{h}{\tan 30^\circ}$ ; aftrekken geeft $200 = h\left(\frac{1}{\tan 30^\circ} - \frac{1}{\tan 40^\circ}\right)$ , en vandaar de formule. Met getallen: $\frac{1}{0.577} \approx 1.732$ , $\frac{1}{0.839} \approx 1.192$ , verschil $0.540$ : $h \approx \frac{200}{0.540} \approx 370$ m.

8. $x = \frac{h}{\tan 40^\circ} \approx \frac{370}{0.839} \approx 441$ m. Controle vanuit $A$ : $\frac{h}{x + 200} \approx \frac{370}{641} \approx 0.577 = \tan 30^\circ$ : samenhangend.

9. De methode met één standplaats heeft de horizontale afstand nodig tot het punt recht onder de top — niet te meten over een ravijn of binnen in een berg. De methode met twee standplaatsen vervangt die door een afstand die je zelf kunt afstappen: de $200$ m tussen je twee eigen standplaatsen.

10. $h = \dfrac{200}{\sqrt3 - \frac{1}{\sqrt3}} = \dfrac{200}{\frac{2}{\sqrt3}} = 100\sqrt3 \approx 173$ m — de tweede verdieping van de Eiffeltoren, gemeten met twee peilingen en een wandeling.

11. Bliklijn $d$ , radiussen $R$ (naar het scherende punt, loodrecht op de bliklijn) en $R + h$ (naar het oog): Pythagoras geeft $d^2 + R^2 = (R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2$ , dus $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ ( $h$ is minuscuul tegenover $R$ ). Ogen op $1.80$ m: $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 1.8} \approx 4\,800$ m — de horizon op zee ligt nauwelijks vijf kilometer ver.

12. $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 324} \approx 64$ km. Vuistregel van de zeelieden: $3.6\sqrt{1.8} \approx 4.8$ km en $3.6\sqrt{324} = 64.8$ km — beide kloppen.

13. $\tan\theta = \frac{2}{60}$ geeft $\theta \approx 1.9^\circ$ . De $0.5^\circ$ van de Maan is ongeveer een kwart duim: de Maan lijkt enorm en wordt door een vingernagel verborgen — het oog is een slechte gradenboog.

14. Trap: $\tan^{-1}\frac{17}{29} \approx 30^\circ$ — een comfortabele trap klimt onder bijna precies de $30^\circ$ van de bijzondere waarden. Onder $60^\circ$ bij een aantrede van $29$ cm zou de optrede $29\tan 60^\circ = 29\sqrt3 \approx 50$ cm zijn: een ladder, geen trap.

15. $\tan 10^\circ \approx 0.18$ ; $\tan 45^\circ = 1$ ; $\tan 80^\circ \approx 5.7$ ; $\tan 89^\circ \approx 57.3$ . Nadert $\theta$ de $90^\circ$ , dan krimpt de aanliggende zijde tot niets terwijl de overstaande zijde blijft: het quotiënt groeit boven elke grens uit. Bij precies $90^\circ$ is er geen driehoek en geen waarde — de grafiek van de tangens klimt langs een verticale asymptoot, de eerste van vele in het bovenbouwvolume.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Goniometrische verhoudingen

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst